E'tibor bering, matritsaning elementlari nafaqat raqamlar bo'lishi mumkin. Tasavvur qiling-a, siz kitob javoningizdagi kitoblarni tasvirlayapsiz. Rafingiz tartibda bo'lsin va barcha kitoblar qat'iy belgilangan joylarda tursin. Kutubxonangiz tavsifini o'z ichiga olgan jadval (javonlar va javondagi kitoblar ketma-ketligiga ko'ra) ham matritsa bo'ladi. Ammo bunday matritsa raqamli bo'lmaydi. Yana bir misol. Raqamlar o'rniga o'zaro bog'liqlik bilan birlashtirilgan turli xil funktsiyalar mavjud. Olingan jadval matritsa deb ham ataladi. Boshqacha qilib aytganda, Matritsa - bu har qanday to'rtburchaklar jadval bir hil elementlar. Bu erda va quyida raqamlardan tashkil topgan matritsalar haqida gapiramiz.

Qavslar o'rniga matritsalar kvadrat qavslar yoki to'g'ri qo'sh vertikal chiziqlar yordamida yoziladi.

(2.1*)

Ta'rif 2. Ifodada bo'lsa(1) m = n, keyin ular haqida gapirishadi kvadrat matritsa, Agar , haqida nimadir to'rtburchaklar.

M va n qiymatlariga qarab, matritsalarning bir nechta maxsus turlari mavjud:

Eng muhim xususiyat kvadrat matritsa uniki aniqlovchi yoki aniqlovchi, bu matritsa elementlaridan tuzilgan va belgilanadi

Shubhasiz, D E =1; .

Ta'rif 3. Agar , keyin matritsa A chaqirdi degenerativ bo'lmagan yoki maxsus emas.

Ta'rif 4. Agar detA = 0, keyin matritsa A chaqirdi degeneratsiya yoki maxsus.

Ta'rif 5. Ikki matritsa A Va B chaqirdi teng va yozing A=B agar ular bir xil o'lchamlarga ega bo'lsa va ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa, ya'ni..

Masalan, va matritsalari teng, chunki ular hajmi bo'yicha tengdir va bitta matritsaning har bir elementi boshqa matritsaning mos keladigan elementiga teng. Ammo matritsalarni teng deb atash mumkin emas, garchi ikkala matritsaning determinantlari teng bo'lsa va matritsalarning o'lchamlari bir xil, lekin bir xil joylarda barcha elementlar teng emas. Matritsalar har xil, chunki ular turli o'lchamlarga ega. Birinchi matritsa 2x3, ikkinchisi esa 3x2. Elementlar soni bir xil bo'lsa-da - 6 va elementlarning o'zlari bir xil 1, 2, 3, 4, 5, 6, lekin ular har bir matritsada turli joylarda joylashgan. Ammo va matritsalari 5-ta'rifga ko'ra tengdir.

Ta'rif 6. Agar ma'lum miqdordagi matritsa ustunlarini tuzatsak A va uning qatorlarining bir xil soni, keyin ko'rsatilgan ustunlar va qatorlar kesishmasidagi elementlar kvadrat matritsa hosil qiladi. n- th tartib, qaysi belgilovchi chaqirdi kichik k- tartibli matritsa A.

Misol. Matritsaning ikkinchi tartibli uchta minorini yozing

Matritsa - bu ba'zi matematik ob'ektlar bilan to'ldirilgan to'rtburchaklar jadval. Ko'pincha biz matritsalarni qaysidir sohaning elementlari bilan ko'rib chiqamiz, garchi assotsiativ (kommutativ emas) halqaning elementlarini matritsalar elementlari sifatida ko'rib chiqsak, ko'p takliflar o'z kuchini saqlab qoladi.

Ko'pincha, matritsaning elementlari elementning "manzilini" ko'rsatadigan ikkita indeksli bitta harf bilan belgilanadi - birinchi indeks elementni o'z ichiga olgan qatorning raqamini, ikkinchisi - ustun raqamini beradi. Shunday qilib, matritsa (o'lchamlar ) shaklda yoziladi

Raqamlardan kiritilgan matritsalar tizimlarni ko'rib chiqishda tabiiy ravishda paydo bo'ladi chiziqli tenglamalar

Ushbu muammoning kiritilishi tabiiy ravishda matritsa hosil qiluvchi koeffitsientlar to'plamidir

va faqat bitta ustunga ega bo'lgan matritsani tashkil etuvchi erkin shartlar to'plami. Kerakli narsa noma'lum qiymatlar to'plamidir, ma'lum bo'lishicha, uni bitta ustundan iborat matritsa shaklida ko'rsatish ham qulay.

Diagonal matritsalar muhim rol o'ynaydi. Bu nom asosiy diagonalning elementlari, ya'ni pozitsiyalardagi elementlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsalarga ishora qiladi.

Diagonal yozuvlari bo'lgan diagonal D matritsasi belgilangan

A matritsasining bir nechta tanlangan qatorlari va bir nechta tanlangan ustunlar kesishmasida joylashgan elementlardan tashkil topgan matritsa A matritsasi uchun submatritsa deb ataladi. Agar tanlangan satrlarning raqamlari va tanlangan ustunlarning raqamlari bo'lsa, unda tegishli submatritsa bo'ladi.

Xususan, matritsaning satr va ustunlarini uning submatritsalari deb hisoblash mumkin.

Matritsalar tabiiy ravishda chiziqli almashtirish bilan bog'liq ( chiziqli transformatsiya) o'zgaruvchilar. Bu nom o'zgaruvchilarning dastlabki tizimidan formulalar bilan bog'langan boshqa, yangisiga o'tishni anglatadi

O'zgaruvchilarni chiziqli almashtirish koeffitsientlar matritsasi bilan beriladi

Chiziqli tenglamalar tizimlari orasida eng yuqori qiymat tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlarga ega. O'zgaruvchilarning chiziqli almashtirishlari orasida asosiy rolni boshlang'ich va yangi o'zgaruvchilar soni bir xil bo'lgan almashtirishlar o'ynaydi. Bunday holatlarda koeffitsient matritsasi kvadrat bo'lib chiqadi, ya'ni qatorlar va ustunlar soni bir xil bo'ladi; bu raqam kvadrat matritsaning tartibi deb ataladi.

“Bir satrdan iborat matritsa”, “bir ustundan iborat matritsa” deyish o‘rniga qisqacha: qator, ustun deyishadi.

Matritsa o'lchamga joylashtirilgan elementlardan tashkil topgan to'rtburchaklar jadval deyiladi m chiziqlar va n ustunlar.

Matritsa elementlari (birinchi indeks i− qator raqami, ikkinchi indeks j− ustun raqami) raqamlar, funksiyalar va boshqalar boʻlishi mumkin. Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi.

Matritsa deyiladi kvadrat agar uning qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa ( m = n). Bunday holda, raqam n matritsaning tartibi, matritsaning o'zi esa matritsa deb ataladi n-chi tartib.

Xuddi shu indeksli elementlar shakl asosiy diagonali kvadrat matritsa va elementlar (ya'ni indekslar yig'indisi ga teng n+1) − ikkilamchi diagonali.

Yolg'iz matritsa chaqirdi kvadrat matritsa, asosiy diagonalining barcha elementlari 1 ga, qolgan elementlari esa 0 ga teng. U harf bilan belgilanadi. E.

Nol matritsa matritsa bo'lib, uning barcha elementlari 0 ga teng. Nol matritsa har qanday hajmda bo'lishi mumkin.

Raqamga matritsalar ustida chiziqli amallar bog'lash:

1) matritsalarni qo‘shish;

2) matritsalarni songa ko'paytirish.

Matritsalarni qo'shish amali faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi.

Ikki matritsaning yig'indisi LEKIN Va IN matritsa deb ataladi FROM, barcha elementlari matritsalarning mos keladigan elementlari yig'indisiga teng LEKIN Va IN:

.

Matritsa mahsuloti LEKIN raqam uchun k matritsa deb ataladi IN, barcha elementlari berilgan matritsaning mos elementlariga teng LEKIN soniga ko'paytiriladi k:

Operatsiya matritsalarni ko'paytirish shartni qanoatlantiradigan matritsalar uchun kiritiladi: birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng.

Matritsa mahsuloti LEKIN o'lchamlari matritsaga IN o'lcham matritsa deb ataladi FROM o'lchov, element i-chi qator va j ustuni elementlarning hosilalari yig'indisiga teng i matritsaning birinchi qatori LEKIN tegishli elementlar bo'yicha j-matritsaning ustuni IN:

Matritsalar mahsuloti (haqiqiy sonlar mahsulotidan farqli o'laroq) kommutativ qonunga bo'ysunmaydi, ya'ni. umuman LEKIN IN IN LEKIN.

1.2. Aniqlovchilar. Kvalifikator xususiyatlari

Determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun kiritilgan.

2-tartibli matritsaning determinanti quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqamdir

.

3-tartibli matritsa determinanti quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqam:

"+" belgisi bo'lgan atamalarning birinchisi matritsaning asosiy diagonalida joylashgan elementlarning mahsulotidir (). Qolgan ikkitasida asosi asosiy diagonal(lar) ga parallel bo'lgan uchburchaklar cho'qqilarida joylashgan elementlar mavjud. "-" belgisi bilan ikkilamchi diagonal () elementlari va shu diagonalga (va) parallel bo'lgan asosli uchburchaklar hosil qiluvchi elementlarning mahsuloti kiritiladi.

3-tartibli determinantni hisoblashning bu qoidasi uchburchaklar qoidasi (yoki Sarrus qoidasi) deb ataladi.

Kvalifikator xususiyatlari 3-tartibli determinantlar misolini ko'rib chiqing.

1. Determinantning barcha qatorlarini qatorlar bilan bir xil raqamlarga ega ustunlar bilan almashtirganda, determinant o'z qiymatini o'zgartirmaydi, ya'ni. determinantning satrlari va ustunlari teng

.

2. Ikki qator (ustun) almashtirilganda determinant o'z belgisini o'zgartiradi.

3. Agar ma'lum bir qator (ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinant 0 ga teng.

4. Bir qator (ustun) ning barcha elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.

5. Ikkita bir xil satr (ustun) ni o'z ichiga olgan determinant 0 ga teng.

6. Ikki proportsional qator (ustun) ni o'z ichiga olgan determinant nolga teng.

7. Agar determinantning ma'lum ustuni (satri) ning har bir elementi ikkita hadning yig'indisini ifodalasa, determinant ikkita aniqlovchining yig'indisiga teng bo'lib, ulardan biri bir xil ustundagi (satrdagi) birinchi hadlarni o'z ichiga oladi, ikkinchisi. - ikkinchisi. Ikkala determinantning qolgan elementlari bir xil. Shunday qilib,

.

8. Agar boshqa ustunning (satrning) bir xil songa ko'paytirilgan mos keladigan elementlari uning biron bir ustunining (qatorining) elementlariga qo'shilsa, determinant o'zgarmaydi.

Aniqlovchining keyingi xossasi kichik va algebraik to`ldiruvchi tushunchalari bilan bog`liq.

Kichik determinantning elementi - bu elementning kesishmasida joylashgan satr va ustunni o'chirish orqali berilgandan olingan aniqlovchi.

Masalan, aniqlovchining kichik elementi determinant deb ataladi.

Algebraik qo'shish determinantning elementi uning minorini qayerga ko'paytirish deyiladi i- qator raqami, j− element chorrahasida joylashgan ustun raqami. Algebraik to'ldiruvchi odatda belgilanadi. 3-tartibli determinant elementi uchun algebraik to'ldiruvchi

9. Aniqlovchi har qanday satr (ustun) elementlari va ularga mos keladigan algebraik qo'shimchalar ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Masalan, determinant birinchi qatorning elementlari bo'yicha kengaytirilishi mumkin

,

yoki ikkinchi ustun

Determinantlarning xossalari ularni hisoblash uchun ishlatiladi.

Bu mavzuda matritsalarni qo‘shish va ayirish, matritsani songa ko‘paytirish, matritsani matritsaga ko‘paytirish, matritsani transpozitsiya qilish kabi amallar ko‘rib chiqiladi. Ushbu sahifada foydalanilgan barcha belgilar oldingi mavzudan olingan.

Matritsalarni qo'shish va ayirish.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalarining $A+B$ yigʻindisi $C_(m) matritsasidir. \times n) =(c_(ij))$, bunda $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline( 1, n) $.

Xuddi shunday ta'rif matritsalar farqi uchun ham kiritilgan:

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalarining $AB$ farqi $C_(m\ marta) matritsasidir. n)=( c_(ij))$, bunda $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ barcha $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1, n) $.

$i=\overline(1,m)$ yozuvi uchun tushuntirish: ko'rsatish\yashirish

"$i=\overline(1,m)$" yozuvi $i$ parametrining 1 dan m gacha o'zgarishini bildiradi. Masalan, $i=\overline(1,5)$ yozuvida $i$ parametri 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini olishi aytiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ayirish amallari faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Umuman olganda, matritsalarni qo'shish va ayirish intuitiv ravishda tushunarli bo'lgan operatsiyalardir, chunki ular aslida mos keladigan elementlarni yig'ish yoki ayirishni anglatadi.

№1 misol

Uchta matritsa berilgan:

$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)\;\; B=\left(\begin(massiv) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng); \;\; F=\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(massiv) \o'ng). $$

$A+F$ matritsasini topish mumkinmi? $C=A+B$ va $D=A-B$ boʻlsa, $C$ va $D$ matritsalarini toping.

$A$ matritsasi 2 satr va 3 ustundan iborat (boshqacha qilib aytganda $A$ matritsasining oʻlchami $2\kart 3$), $F$ matritsasi esa 2 satr va 2 ustundan iborat. $A$ va $F$ matritsasining o'lchamlari mos kelmaydi, shuning uchun biz ularni qo'sha olmaymiz, ya'ni. bu matritsalar uchun $A+F$ operatsiyasi aniqlanmagan.

$A$ va $B$ matritsalarining oʻlchamlari bir xil, yaʼni. matritsa ma'lumotlarini o'z ichiga oladi teng miqdorda qatorlar va ustunlar, shuning uchun qo'shish amali ularga nisbatan qo'llaniladi.

$$ C=A+B=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)+ \left(\begin(massiv) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \o'ng) $$

$D=A-B$ matritsasini toping:

$$ D=AB=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)- \left(\begin(massiv)) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng) $$

Javob: $C=\left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \right)$, $D=\left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng)$.

Matritsani songa ko'paytirish.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $\alpha$ sonining koʻpaytmasi $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsasidir, bunda $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1,n)$.

Oddiy qilib aytganda, matritsani qandaydir songa ko'paytirish, berilgan matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirishni anglatadi.

№2 misol

Berilgan matritsa: $ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ va $-A$ matritsalarini toping.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin( massiv) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin) (massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv)) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng). $$

$-A$ yozuvi $-1\cdot A$ ning qisqartmasi. Ya'ni $-A$ ni topish uchun $A$ matritsasining barcha elementlarini (-1) ga ko'paytirish kerak. Aslida, bu $A$ matritsasining barcha elementlarining belgisi teskari tomonga o'zgarishini anglatadi:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng)= \ chap (\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng) $$

Javob: $3\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -5\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng)$.

Ikki matritsaning mahsuloti.

Ushbu operatsiyaning ta'rifi og'ir va birinchi qarashda tushunarsizdir. Shuning uchun men birinchi navbatda ta'kidlayman umumiy ta'rif, va keyin biz bu nimani anglatishini va u bilan qanday ishlashni batafsil tahlil qilamiz.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matritsasining mahsuloti $C_(m\times k) matritsasiga teng. )=(c_( ij))$, buning uchun har bir element $c_(ij)$ mos keladigan elementlarning hosilalari yig‘indisiga teng. i-elementlar$B$ matritsasining j-ustunining elementlari boʻyicha $A$ matritsasining satrlari: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj) ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Bosqichma-bosqich, biz misol yordamida matritsalarni ko'paytirishni tahlil qilamiz. Biroq, barcha matritsalarni ko'paytirish mumkin emasligiga darhol e'tibor berishingiz kerak. Agar $A$ matritsasini $B$ matritsasiga koʻpaytirmoqchi boʻlsak, avvalo $A$ matritsasining ustunlari soni $B$ matritsasining satrlari soniga teng ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak (bunday matritsalar koʻpincha deyiladi. kelishilgan). Masalan, $A_(5\kart 4)$ matritsasi (matritsa 5 qator va 4 ta ustundan iborat) $F_(9\kart 8)$ (9 qator va 8 ustun) matritsasiga koʻpaytirib boʻlmaydi, chunki ustunlar soni $A $ matritsasi $F$ matritsasi qatorlari soniga teng emas, yaʼni. $4\neq 9$. Lekin $A_(5\kart 4)$ matritsasini $B_(4\kart 9)$ matritsasiga koʻpaytirish mumkin, chunki $A$ matritsasining ustunlari soni qatorlar soniga teng. $B$ matritsasi. Bunda $A_(5\qat 4)$ va $B_(4\kart 9)$ matritsalarini koʻpaytirish natijasi 5 qator va 9 ustundan iborat $C_(5\kart 9)$ matritsasi boʻladi:

№3 misol

Berilgan matritsalar: $ A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (massiv) \o'ng)$ va $ B=\left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) $. $C=A\cdot B$ matritsasini toping.

Boshlash uchun biz darhol $C$ matritsasining hajmini aniqlaymiz. $A$ matritsasi $3\kart 4$ va $B$ matritsasi $4\kart 2$ oʻlchamiga ega boʻlgani uchun $C$ matritsasining oʻlchami $3\kart 2$ boʻladi:

Demak, $A$ va $B$ matritsalarining koʻpaytmasi natijasida uchta qator va ikkita ustundan iborat $C$ matritsasini olishimiz kerak: $ C=\left(\begin(massiv) (cc) c_(11) & c_(12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(massiv) \o'ng)$. Agar elementlarning belgilanishi savollar tug'dirsa, u holda siz avvalgi mavzuni ko'rishingiz mumkin: "Matritsalar. Matritsalarning turlari. Asosiy atamalar", uning boshida matritsa elementlarining belgilanishi tushuntiriladi. Bizning maqsadimiz $C$ matritsasining barcha elementlarining qiymatlarini topishdir.

$c_(11)$ elementidan boshlaylik. $c_(11)$ elementini olish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlari ko‘paytmalari yig‘indisini topish kerak:

$c_(11)$ elementining o'zini topish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustunining mos keladigan elementlariga ko'paytirish kerak, ya'ni. birinchi element birinchi, ikkinchi ikkinchi, uchinchi uchinchi, to'rtinchi to'rtinchi. Olingan natijalarni umumlashtiramiz:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Keling, yechimni davom ettiramiz va $c_(12)$ topamiz. Buning uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining ikkinchi ustuni elementlarini koʻpaytirish kerak:

Avvalgisiga o'xshab, bizda:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

$C$ matritsasining birinchi qatorining barcha elementlari topilgan. $c_(21)$ elementi bilan boshlanadigan ikkinchi qatorga o'tamiz. Uni topish uchun $A$ matritsasining ikkinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlarini koʻpaytirish kerak:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Keyingi $c_(22)$ elementi $A$ matritsasining ikkinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish yoʻli bilan topiladi:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ ni topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlariga ko‘paytiramiz:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Va nihoyat, $c_(32)$ elementini topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish kerak:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

$C$ matritsasining barcha elementlari topildi, faqat $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) ni yozish kerak. ) \right)$. Yoki to'liq yozish uchun:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng). $$

Javob: $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng)$.

Aytgancha, ko'pincha natija matritsasining har bir elementining joylashishini batafsil tavsiflash uchun hech qanday sabab yo'q. Hajmi kichik bo'lgan matritsalar uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin:

$$ \left(\begin(massiv) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(massiv)\right)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 4 & 9 \\ - 6 va 90 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(massiv) \o'ng) =\chap (\begin(massiv) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(massiv) \o'ng) $$

Shuni ham ta'kidlash kerakki, matritsalarni ko'paytirish kommutativ emas. Bu degani, umuman olganda $A\cdot B\neq B\cdot A$. Faqat matritsalarning ayrim turlari uchun, ular deyiladi almashtiruvchi(yoki qatnovda), $A\cdot B=B\cdot A$ tengligi toʻgʻri. Aynan ko'paytirishning o'zgarmasligi asosida ifodani u yoki bu matritsaga qanday ko'paytirishni aniq ko'rsatish talab qilinadi: o'ngda yoki chapda. Masalan, “$3EF=Y$ tenglikning ikkala tomonini oʻngdagi $A$ matritsasiga koʻpaytiring” iborasi quyidagi tenglikni olishni xohlayotganingizni bildiradi: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsasiga nisbatan koʻchirilgan $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matritsasi, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ boʻlgan elementlar uchun.

Oddiy qilib aytganda, $A^T$ koʻchirilgan matritsani olish uchun asl $A$ matritsasidagi ustunlarni ushbu tamoyilga muvofiq mos keladigan qatorlar bilan almashtirish kerak: birinchi qator bor edi - birinchi ustunga aylanadi; ikkinchi qator bor edi - ikkinchi ustun bo'ladi; uchinchi qator bor edi - uchinchi ustun bo'ladi va hokazo. Masalan, $A_(3\times 5)$ matritsasiga koʻchirilgan matritsani topamiz:

Shunga ko'ra, agar dastlabki matritsaning o'lchami $3\kart 5$ bo'lsa, ko'chirilgan matritsaning o'lchami $5\kart 3$ bo'ladi.

Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari.

Bu yerda $\alpha$, $\beta$ ayrim raqamlar, $A$, $B$, $C$ esa matritsalar deb taxmin qilinadi. Birinchi to'rtta xususiyat uchun men nomlarni ko'rsatdim, qolganlarini birinchi to'rttasiga o'xshash tarzda nomlash mumkin.