Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y = . Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у даному напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1) яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані у загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

Кожному школяру, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування завдання по даному розділу стереометрії викликають проблеми у великої кількості учнів. При цьому завдання, що вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати мають усі.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або такими, що схрещуються. Кут між ними може бути гострим або прямим.

Для знаходження кута між прямими в ЄДІ або, наприклад, у рішенні школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів розв'язання задач по даному розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми та теореми стереометрії. Школяреві потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, щоб привести завдання до планиметричного завдання.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила та алгоритми. Головне в цьому випадку – правильно виконати усі обчислення. Відточити свої навички розв'язання задач зі стереометрії та інших розділів шкільного курсу вам допоможе освітній проект «Школкове».

Даний матеріал присвячений такому поняттю, як кут між двома прямими, що перетинаються. У першому пункті ми пояснимо, що він є, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, як можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формули і покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.

Щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

Визначення 1

Ми називаємо дві прямі, що перетинаються, якщо у них є одна спільна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма поділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кути, з яких два вертикальні, а два суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити й інші.

Допустимо, нам відомо, що один із кутів дорівнює α . У такому разі кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж дорівнюватиме α . Щоб знайти кути, що залишилися, нам треба обчислити різницю 180° - α . Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Лінії, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

Визначення 2

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0, 90]. Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку дорівнюватиме 90 градусів.

Вміння знаходити міру кута між двома прямими, що перетинаються, корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод вирішення можна вибрати із кількох варіантів.

Спочатку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кути, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо сторони трикутника і потрібно вирахувати кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косінусів. Якщо в нас є прямокутний трикутник, то для підрахунків нам також знадобиться знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод теж дуже зручний вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх літерами a та b . Прямі у своїй можна описати з допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M . Як визначити кут (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута у заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як напрямний та нормальний вектор. Якщо ми маємо рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох прямих, що перетинаються.

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, можна знайти за допомогою:

• кута між напрямними векторами;
• кута між нормальними векторами;
• кута між нормальним вектором однієї прямої та напрямним вектором інший.

Тепер розглянемо кожний спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямним вектором a → = (a x , a y) і пряма b з напрямним вектором b → (b x , b y) . Тепер відкладемо два вектори a → та b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони розташовуватимуться кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їхнього взаємного розташування. ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між прямими a і b , що перетинаються. Якщо ж він тупий, то кут, що шукається, буде дорівнює куту, суміжному з кутом a → , b → ^ . Отже, α = a → , b → ^ у разі, якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° , і α = 180 ° - a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати рівністі, що вийшли так: cos α = cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

У другому випадку було використано формули приведення. Таким чином,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

Визначення 3

Косинус кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, буде дорівнює модулю косинуса кута між його напрямними векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) – це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад розв'язання задачі.

Приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві прямі, що перетинаються, a і b . Їх можна описати параметричними рівняннями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R та x 5 = y - 6 - 3 . Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас є параметричне рівняння, отже, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її напрямного вектора. І тому потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто. пряма x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R матиме напрямний вектор a → = (4 , 1) .

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x5 = y-6-3. Тут координати ми можемо взяти із знаменників. Таким чином, у цій прямій є напрямний вектор b → = (5 - 3) .

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів у наведену вище формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Отримуємо таке:

?

Відповідь: дані прямі утворюють кут 45 градусів.

Ми можемо вирішити подібну задачу за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором na → = (nax , nay) і пряма b з нормальним вектором nb → = (nbx , nby) , то кут між ними дорівнюватиме куту між na → і nb → або куту, який буде суміжним з na →, nb → ^. Цей спосіб показаний на малюнку:

Формули для обчислення косинуса кута між прямими, що перетинаються, і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2

Тут n a → n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y – 30 = 0 та x + 4 y – 17 = 0 . Знайдіть синус, косинус кута між ними та величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані з допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C = 0 . Нормальний вектор позначимо n → = (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої та запишемо їх: n a → = (3 , 5) . Для другої прямої x + 4 y - 17 = 0 нормальний вектор матиме координати n b → = (1, 4). Тепер додамо отримані значення формулу і підрахуємо результат:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричне тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не тупий, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .

У такому разі α = r c cos 23 2 34 = r c sin 7 2 34 .

Відповідь: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок – знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора інший.

Припустимо, що пряма a має напрямний вектор a → = (a x , a y) , а пряма b – нормальний вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину та розглянути всі варіанти їхнього взаємного розташування. на картинці:

Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він доповнюватиме кут між a і b до прямого кута.

a → , n b → ^ = 90 ° - α у разі, якщо a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Якщо він менший за 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a → , n b → ^ > 90 ° , тоді a → , n b → ^ = 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косінусів рівних кутів, запишемо:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .

Таким чином,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° -- cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

Визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямним вектором першої прямої та нормальним вектором другої.

Запишемо потрібні формули. Знаходження синуса кута:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямним вектором першої прямої, а n b → нормальним вектором другої.

Приклад 3

Дві прямі, що перетинаються, задані рівняннями x - 5 = y - 6 3 і x + 4 y - 17 = 0 . Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати напрямного та нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → = (- 5, 3) і n → b = (1, 4). Беремо формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попереднього завдання і отримали такий самий результат, але іншим способом.

Відповідь:α = a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a , яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y = k 1 · x + b 1 і пряма b , задана як y = k 2 · x + b 2 . Це рівняння прямих із кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису було використано формули визначення кута через координати нормальних векторів.

Приклад 4

Є дві прямі, що перетинаються на площині, задані рівняннями y = - 3 5 x + 6 і y = - 1 4 x + 17 4 . Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих дорівнюють k 1 = - 3 5 і k 2 = - 1 4 . Додамо їх у формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 та підрахуємо:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Відповідь:α = a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вивчати напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних та/або нормальних векторів заданих прямих та вміти визначати їх за різними типами рівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.

Як обчислити кут між прямими, що перетинаються, в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів та визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі самі міркування, які ми наводили до цього.

Припустимо, що ми маємо прямокутну систему координат, розташовану в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a та b з точкою перетину M . Щоб визначити координати напрямних векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → = (a x, a y, a z) і b → = (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Приклад 5

Ми маємо пряму, задану в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Відомо, що вона перетинається із віссю O z . Обчисліть кут перетину та косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба вирахувати, літерою α . Запишемо координати напрямного вектора для першої прямої - a → = (1, -3, -2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → = (0, 0, 1) як напрямний. Ми отримали необхідні дані та можемо додати їх у потрібну формулу:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (-3) 2 + (-2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

У результаті ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 = 45 ° .

Відповідь: cos α = 12, α = 45°.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

КУТ між площинами

Розглянемо дві площини α 1 і α 2 задані відповідно рівняннями:

Під кутомміж двома площинами розумітимемо один із двогранних кутів, утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин 1 і 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Т.к. і , то

.

приклад.Визначити кут між площинами x+2y-3z+4=0 та 2 x+3y+z+8=0.

Умова паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а отже .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і лише тоді, коли коефіцієнти за відповідних координат пропорційні:

або

Умова перпендикулярності площин.

Зрозуміло, що дві площини перпендикулярні і тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, отже, або .

Таким чином, .

приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ВЕКТОРНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОЮ.

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Положення прямої у просторі цілком визначається завданням будь-якої її фіксованої точки М 1 і вектор , паралельний цій прямій.

Вектор , паралельний прямий, називається напрямнимцей прямий вектор.

Отже, хай пряма lпроходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М(x,y,z)на прямий. З малюнка видно, що .

Вектори та колінеарні, тому знайдеться таке число t, що , де множник tможе приймати будь-яке числове значення залежно від положення точки Mна прямий. Множник tназивається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 та Мвідповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторнимрівнянням прямої. Воно показує, що кожному значення параметра tвідповідає радіус-вектор деякої точки М, що лежить на прямий.

Запишемо це рівняння у координатній формі. Зауважимо, що , і звідси

Отримані рівняння називаються параметричнимирівняннями прямою.

При зміні параметра tзмінюються координати x, yі zі крапка Мпереміщається прямою.

КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і – її напрямний вектор. Знову візьмемо на пряму довільну точку М(x,y,z)і розглянемо вектор.

Зрозуміло, що вектори та колінеарні, тому їх відповідні координати мають бути пропорційними, отже,

– канонічнірівняння прямої.

Примітка 1.Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Справді, з параметричних рівнянь отримуємо або .

приклад.Записати рівняння прямої у параметричному вигляді.

Позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Примітка 2.Нехай пряма перпендикулярна до однієї з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді напрямний вектор прямий перпендикулярний Ox, отже, m=0. Отже, параметричні рівняння прямий набудуть вигляду

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямої у вигляді

Проте й у разі умовимося формально записувати канонічні рівняння прямої як . Отже, якщо знаменнику однієї з дробів стоїть нуль, це означає, що пряма перпендикулярна відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна до осей Oxі Ойабо паралельна осі Oz.

приклади.

ЗАГАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕКЛАД ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої достатньо знайти будь-які її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOyотримаємо з рівнянь прямої, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y= 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейти до її канонічних або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий та напрямний вектор прямий.

Координати точки М 1 отримаємо з даної системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для відшукання напрямного вектора, зауважимо, що цей вектор має бути перпендикулярним до обох нормальних векторів і . Тому за напрямний вектор прямий lможна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

приклад.Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y= 0 і розв'яжемо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму, мають координати. Тому напрямний вектор буде прямий

. Отже, l: .

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Оскільки , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Кут φ загальними рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 обчислюється за формулою:

Кут φ між двома прямими, заданими канонічними рівняннями(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 і (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2 обчислюється за формулою:

Відстань від точки до прямої

Кожну площину у просторі можна як лінійне рівняння, зване загальним рівняннямплощині

Приватні випадки.

o Якщо рівняння (8) , то площина проходить через початок координат.

o При (,) площина паралельна осі (осі, осі) відповідно.

o При (,) площина паралельна площині (площині, площині).

Рішення: використовуємо (7)

Відповідь: загальне рівняння площини.

приклад.

Площина у прямокутній системі координат Oxyz задана загальним рівнянням площини . Запишіть координати всіх звичайних векторів цієї площини.

Нам відомо, що коефіцієнти при змінних x, y та z у загальному рівнянні площини є відповідними координатами нормального вектора цієї площини. Отже, нормальний вектор заданої площини має координати. Багато всіх нормальних векторів можна задати як.

Напишіть рівняння площини, якщо у прямокутній системі координат Oxyz у просторі вона проходить через точку , а - Нормальний вектор цієї площини.

Наведемо два розв'язки цього завдання.

З умови маємо. Підставляємо ці дані до загального рівняння площини, що проходить через точку:

Напишіть загальне рівняння площини паралельної координатної площини Oyz та проходить через точку .

Площина, паралельна координатній площині Oyz, може бути задана загальним неповним рівнянням площини виду . Оскільки точка належить площині за умовою, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння площини, тобто має бути справедлива рівність. Звідси знаходимо. Таким чином, шукане рівняння має вигляд.

Рішення. Векторний твір за визначенням 10.26 ортогонально до векторів p і q. Отже, воно ортогонально шуканої площини і вектор можна взяти її нормального вектора. Знайдемо координати вектора n:

тобто . Використовуючи формулу (11.1), отримаємо

Розкривши у цьому рівнянні дужки, приходимо до остаточної відповіді.

Відповідь: .

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

У паралельних площин той самий вектор нормалі. 1) Зі рівняння знайдемо вектор нормалі площини:.

2) Рівняння площини складемо по точці вектору нормалі:

Відповідь:

Векторне рівняння площини у просторі

Параметричне рівняння площини у просторі

Рівняння площини, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна декартова система координат. Сформулюємо таке завдання:

Скласти рівняння площини, що проходить через цю точку M(x 0, y 0, z 0) перпендикулярно даному вектору n = ( A, B, C} .

Рішення. Нехай P(x, y, z) - довільна точка простору. Точка, крапка Pналежить площині тоді і лише тоді, коли вектор MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ортогональний вектор n = {A, B, C) (рис.1).

Написав умову ортогональності цих векторів (n, MP) = 0 у координатній формі, отримаємо:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Рівняння площини за трьома точками

У векторному вигляді

у координатах

Взаємне розташування площин у просторі

- Загальні рівняння двох площин. Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або , то площини перетинаються і система рівнянь

(6)

є рівняннями прямої перетину даних площин.

Рішення: Канонічні рівняння прямої складемо за формулою: Відповідь:

Беремо отримані рівняння і подумки «відщипуємо», наприклад, лівий шматочок: . Тепер цей шматочок прирівнюємо до будь-якого числа(Пам'ятаємо, що нуль вже був), наприклад, до одиниці: . Так як , то й два інших «шматки» теж повинні дорівнювати одиниці. По суті, потрібно вирішити систему:

Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

Рішення: Прямі задані канонічними рівняннями і на першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямої, та її напрямний вектор.

а) З рівнянь знімаємо крапку та напрямний вектор: . Крапку можна вибрати й іншу (як це зробити – розказано вище), але краще взяти найочевиднішу. До речі, щоб уникнути помилок, завжди підставляйте її координати на рівняння.

Складемо параметричні рівняння даної прямої:

Зручність параметричних рівнянь у тому, що з допомогою дуже легко знаходити інші точки прямий. Наприклад, знайдемо точку , координати якої, скажімо, відповідають значенню параметра:

Таким чином: б) Розглянемо канонічні рівняння . Вибір точки тут нескладний, але підступний: (будьте уважні, не переплутайте координати!). Як витягнути напрямний вектор? Можна поміркувати, чому паралельна дана пряма, а можна використовувати простий формальний прийом: у пропорції знаходяться «гравець» і «зет», тому запишемо напрямний вектор, а на місце, що залишилося, поставимо нуль: .

Складемо параметричні рівняння прямої:

в) Перепишемо рівняння у вигляді , тобто "зет" може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад, . Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження напрямного вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «ікс» та «гравець», і у напрямному векторі на даних місцях записуємо нулі: . На місце, що залишилося, ставимо одиницю: . Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.

Запишемо параметричні рівняння прямої: