Ця властивість грає важливу роль у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння

є функція

де c- Довільна константа.

1. Число eірраціонально і навіть трансцендентно. Його трансцендентність була доведена лише у 1873 році Шарлем Ермітом. Передбачається, що e- нормальне число, тобто можливість появи різних цифр у його записі однакова.
2. Число eє обчислюваним (отже, і арифметичним) числом.

Формула Ейлера, зокрема

5. т.з. "інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"

8. Подання Каталана:

9. Подання через твір:

10. Через числа Белла:

11. Міра ірраціональності числа eдорівнює 2 (що є найменше можливе значення для ірраціональних чисел).

Доказ ірраціональності

Припустимо, що

де a та b - натуральні числа. Враховуючи цю рівність і розглядаючи розкладання в ряд:

отримуємо наступну рівність:

Представимо дану суму у вигляді суми двох доданків, одна з яких - сума членів ряду по nвід 0 до a, а друге - сума решти членів ряду:

Тепер перенесемо першу суму до лівої частини рівності:

Помножимо обидві частини набутої рівності на. Отримаємо

Тепер спростимо отриманий вираз:

Розглянемо ліву частину набутої рівності. Очевидно, що число ціле. Цілим є і число, оскільки (звідси випливає, що це числа виду цілі). Тим самим ліва частина набутої рівності - ціле число.

Перейдемо тепер до правої частини. Ця сума має вигляд

За ознакою Лейбніца цей ряд сходиться, та його сума Sє речовим числом, укладене між першим доданком і сумою перших двох доданків (зі знаками), тобто.

Обидва ці числа належать між 0 і 1. Отже, тобто. - права частина рівності - може бути цілим числом. Отримали протиріччя: ціле число не може бути рівне числу, яке не є цілим. Це протиріччя доводить, що число eне є раціональним, а отже є ірраціональним.

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так звуться? Де вони використовуються і що являють собою? Мало хто може без роздумів відповісти на ці запитання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність та позначення

Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена тим, що для вирішення нових завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, для того, щоб обчислити квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіших рівнянь також не мають рішення без введення концепції ірраціонального числа.

Ця множина позначається як I. І, як уже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики у VII столітті, коли було виявлено, що квадратне коріння з деяких величин не може бути позначене явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцеві Гіппас, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї величезної кількості привнесли ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони такі важливі.

походження назви

Якщо ratio у перекладі з латини - це "дроб", "ставлення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва множини цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дрібним, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої сутності.

Місце у загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд із раціональними належить до групи речових чи дійсних, які у свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну та трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

Властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі їхні властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними законами алгебри).

a + b = b + a (комутативність);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) = 0 (існування протилежного числа);

ab = ba (переміщувальний закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивність);

a(b+c) = ab + ac (розподільний закон);

a x 1/a = 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальних закономірностей та принципів:

Якщо a > b і b > c, a > c (транзитивність співвідношення) и. т.д.

Вочевидь, все ірраціональні числа може бути перетворені з допомогою основних арифметичних процесів. Жодних особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона говорить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a як доданок достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те, що в звичайному житті не так часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, що дорівнює 3,1415926..., або e, що є основою натурального логарифму, 2,718281828... В алгебрі, тригонометрії та геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перерізу", тобто відношення як більшої частини до меншої, так і навпаки, також

відноситься до цієї множини. Менш відоме "срібне" - теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, так що між будь-якими двома величинами, віднесеними до множини раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

До цих пір існує маса невирішених проблем, пов'язаних з цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності та нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади щодо приналежності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що е – нормальне число, тобто ймовірність появи в його записі різних цифр однакова. Що ж до пі, то щодо його поки що ведуться дослідження. Мірою ірраціональності називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближено раціональними числами.

Алгебраїчні та трансцендентні

Як вже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для поділу множини C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають дійсні або речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем багаточлена, що не дорівнює тотожному нулю. Наприклад, квадратний корінь із 2 буде відноситися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 = 0.

Все ж таки інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі та основа натурального логарифму e.

Що цікаво, ні одне, ні друге були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для підтвердження було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало кінець суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисяч років. Воно досі до кінця не вивчене, тому сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перший досить точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були надто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера) доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса та тангенсу для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

Саме поняття ірраціонального числа так влаштовано, що воно визначається через заперечення якості "бути оптимальним", тому підтвердження від неприємного є тут більш природним. Можна, проте запропонувати ось яке міркування.

Чим відрізняються принципово раціональні числа від ірраціональних? Як ті, так і інші, можна наблизити раціональними числами з будь-якою заданою точністю, але для раціональних чисел є наближення з "нульовою" точністю (самим цим числом), а для ірраціональних чисел це не так. Спробуємо у цьому " зіграти " .

Насамперед, відзначимо такий простий факт. Нехай $%\alpha$%, $%\beta$% -- два позитивні числа, які наближають один одного з точністю $%\varepsilon$%, тобто $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Що станеться, якщо замінимо числа на зворотні? Як зміниться точність? Легко бачити, що $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\alpha\ beta),$$ що буде строго менше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Це твердження можна розглядати як самостійну лему.

Тепер покладемо $%x=\sqrt(2)$%, і нехай $%q\in(\mathbb Q)$% - раціональне наближення числа $%x$% з точністю $%\varepsilon$%. Ми знаємо, що $%x>1$%, а щодо наближення $%q$% вимагатимемо виконання нерівності $%q\ge1$%. У всіх чисел, менших за $%1$%, точність наближення буде гірша, ніж у самої $%1$%, і тому ми не будемо їх розглядати.

До кожного з чисел $%x$%, $%q$% додамо по $%1$%. Очевидно, точність наближення залишиться тією ж. Тепер у нас є числа $%\alpha=x+1$% та $%\beta=q+1$%. Переходячи до зворотних чисел і застосовуючи "лему", ми прийдемо до висновку, що точність наближення у нас покращилася, ставши строго меншою за $%\varepsilon$%. Необхідна умова $%\alpha\beta>1$% у нас дотримано навіть із запасом: насправді ми знаємо, що $%\alpha>2$% і $%\beta\ge2$%, звідки можна зробити висновок, що точність покращується як мінімум у $%4$% рази, тобто не перевищує $%\varepsilon/4$%.

І ось тут - основний момент: за умовою, $% x ^ 2 = 2 $ %, тобто $ % x ^ 2-1 = 1 $ %, а це означає, що $ % (x + 1) (x- 1)=1$%, тобто числа $%x+1$% і $%x-1$% обернені один одному. А це означає, що $%\alpha^(-1)=x-1$% буде наближенням до (раціонального) числа $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% з точністю строго менше $%\varepsilon$%. Залишилося додати по $%1$% до цих цифр, і виявиться, що у числа $%x$%, тобто у $%\sqrt(2)$%, з'явилося нове раціональне наближення, що дорівнює $%\beta^(- 1)+1$%, тобто $%(q+2)/(q+1)$%, з "покращеною" точністю. Це завершує доказ, так як у раціональних чисел, як ми зазначали вище, існує "абсолютно точне" раціональне наближення з точністю $% \ varepsilon = 0 $ %, де точність у принципі підвищити не можна. А ми зуміли це зробити, що говорить про ірраціональність нашого числа.

Фактично, це міркування показує, як будувати конкретні раціональні наближення для $%\sqrt(2)$% з точністю, що все погіршується. Треба спочатку взяти наближення $%q=1$%, і далі застосовувати одну й ту саму формулу заміни: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. У ході цього процесу виходить наступне: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ і так далі.

Приклад:
$4$ - раціональне число, тому що його можна записати як $\frac(4)(1)$ ;
$0,0157304$ - теж раціональне,т.к.його можна записати у вигляді $\frac(157304)(10000000)$ ;
$0,333(3)…$-і це раціональне число: можна уявити як $\frac(1)(3)$;
$\sqrt(\frac(3)(12))$ - раціональне, тому що можна уявити як $\frac(1)(2)$ . Справді, ми можемо провести ланцюжок перетворень $\sqrt(\frac(3)(12))$ $=$$\sqrt(\frac(1)(4))$ $=$ \ (\frac(1)(2)\)

Ірраціональне число- Це число, яке неможливо записати у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником.

Неможливо, бо це нескінченнідроби, та ще й неперіодичні. Тому немає таких цілих чисел, які поділилися б один на одного, дали б ірраціональне число.

Приклад:
$\sqrt(2)≈1,414213562…$ -ірраціональне число;
$π≈3,1415926… $ -ірраціональне число;
$\log_(2)(5)≈2,321928…$-ірраціональне число.

Приклад (Завдання з ОДЕ). Значення якого з виразів є числом раціональним?
1) $\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)$;
2)$(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))$;
3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))$;
4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)$.

Рішення:

1) $\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)$ - корінь з $14$ взяти не можна, значить і уявити число як дробу з цілими числами теж не можна, отже число ірраціонально.

2) $(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5$ - коріння не залишилося, число легко уявити у вигляді дробу, наприклад такий $\frac(-5)(1)$ , означає воно раціональне.

3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) $ - Корінь не можна отримати - число ірраціональне.

4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6) $ - теж ірраціональне.

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа .

Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де і - цілі числа. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм 3

Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді дробу , де і - цілі числа . Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 р. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас обгрунтував, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить ціле число одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
Так як aпарне, позначимо a = 2y.
Тоді a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
Проте було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Числові системи
Рахункові множини	Натуральні числа ()