I. Ecuaţii liniare
II. Ecuații cuadratice
topor 2 + bx +c= 0, A≠ 0, altfel ecuația devine liniară
Rădăcinile unei ecuații pătratice pot fi calculate în diferite moduri, de exemplu:
Suntem buni la rezolvarea ecuațiilor pătratice. Multe ecuații de grade superioare pot fi reduse la ecuații pătratice.
III. Ecuații reduse la pătratice.
modificarea variabilei: a) ecuaţie biquadratică topor 2n+ bx n+ c = 0,A ≠ 0,n ≥ 2
2) ecuația simetrică de gradul 3 – ecuația formei
3) ecuația simetrică de gradul 4 – ecuația formei
topor 4 + bx 3 + cx 2 +bx + A = 0, A≠ 0, coeficienți a b c b a sau
topor 4 + bx 3 + cx 2 –bx + A = 0, A≠ 0, coeficienți a b c (–b) a
Deoarece X= 0 nu este o rădăcină a ecuației, atunci este posibil să se împartă ambele părți ale ecuației la X 2, atunci obținem: .
Făcând substituția rezolvăm ecuația pătratică A(t 2 – 2) + bt + c = 0
De exemplu, să rezolvăm ecuația X 4 – 2X 3 – X 2 – 2X+ 1 = 0, împărțiți ambele părți la X 2 ,
, după înlocuire obținem ecuația t 2 – 2t – 3 = 0
– ecuația nu are rădăcini.
4) Ecuația formei ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Topor 2, coeficienți ab = cd
De exemplu, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Înmulțind 1–4 și 2–3 paranteze, obținem ( X 2 + 14X+ 24)(X 2 +11X + 24) = 4X 2, împărțiți ambele părți ale ecuației cu X 2, obținem:
Avem ( t+ 14)(t + 11) = 4.
5) Ecuație omogenă de gradul 2 - o ecuație de forma P(x,y) = 0, unde P(x,y) este un polinom, fiecare termen având gradul 2.
Răspuns: -2; -0,5; 0
IV. Toate ecuațiile de mai sus sunt recunoscute și tipice, dar cum rămâne cu ecuațiile de formă arbitrară?
Să fie dat un polinom P n ( X) = A n X n+ A n-1 X n-1 + ...+ A 1x+ A 0, unde A n ≠ 0
Să luăm în considerare metoda de reducere a gradului ecuației.
Se ştie că dacă coeficienţii A sunt numere întregi și A n = 1, apoi rădăcinile întregi ale ecuației P n ( X) = 0 sunt printre divizorii termenului liber A 0 . De exemplu, X 4 + 2X 3 – 2X 2 – 6X+ 5 = 0, divizorii numărului 5 sunt numerele 5; -5; 1; -1. Apoi P 4 (1) = 0, adică X= 1 este rădăcina ecuației. Să coborâm gradul ecuației P 4 (X) = 0 împărțind polinomul cu „colț” la factorul x –1, obținem
P 4 (X) = (X – 1)(X 3 + 3X 2 + X – 5).
De asemenea, P 3 (1) = 0, atunci P 4 (X) = (X – 1)(X – 1)(X 2 + 4X+5), adică ecuația P 4 (x) = 0 are rădăcini X 1 = X 2 = 1. Să arătăm o soluție mai scurtă a acestei ecuații (folosind schema lui Horner).
| 1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
| 1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
Mijloace, X 1 = 1 înseamnă X 2 = 1.
Asa de, ( X– 1) 2 (X 2 + 4X + 5) = 0
Ce am facut? Am scăzut gradul ecuației.
V. Se consideră ecuații simetrice de gradul 3 și 5.
A) topor 3 + bx 2 + bx + A= 0, evident X= –1 este rădăcina ecuației, apoi coborâm gradul ecuației la doi.
b) topor 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + A= 0, evident X= –1 este rădăcina ecuației, apoi coborâm gradul ecuației la doi.
De exemplu, să arătăm soluția ecuației 2 X 5 + 3X 4 – 5X 3 – 5X 2 + 3X + = 0
| 2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
| –1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
| 1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
X = –1
Primim ( X – 1) 2 (X + 1)(2X 2 + 5X+ 2) = 0. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt: 1; 1; -1; –2; –0,5.
VI. Iată o listă cu diferite ecuații de rezolvat la clasă și acasă.
Sugerez cititorului să rezolve el însuși ecuațiile 1–7 și să obțină răspunsurile...
Să analizăm două tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații:
1. Rezolvarea sistemului folosind metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.
Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii prin metoda substitutiei trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Express. Din orice ecuație exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea rezultata intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.
A rezolva sistem prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen trebuie sa:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face coeficienți identici.
2. Adunăm sau scădem ecuații, rezultând o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.
Soluția sistemului o reprezintă punctele de intersecție ale graficelor funcției.
Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.
Exemplul #1:
Să rezolvăm prin metoda substituției
Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda substituției2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)
1. Express
Se poate observa că în a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, ceea ce înseamnă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y
2.După ce am exprimat-o, înlocuim 3+10y în prima ecuație în loc de variabila x.
2(3+10y)+5y=1
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (deschideți parantezele)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Soluția sistemului de ecuații sunt punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul punct în care l-am exprimat înlocuim y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)
Exemplul #2:
Să rezolvăm folosind metoda adunării (scăderii) termen cu termen.
Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda adunării3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)
1. Alegem o variabilă, să presupunem că alegem x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)
Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.
Să ne amintim proprietățile de bază ale gradelor. Fie a > 0, b > 0, n, m orice numere reale. Apoi
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, dacă a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m dacă 0
În practică, funcțiile de forma y = a x sunt adesea folosite, unde a este un număr pozitiv dat, x este o variabilă. Astfel de funcții sunt numite indicativ. Acest nume se explică prin faptul că argumentul funcției exponențiale este exponentul, iar baza exponentului este numărul dat.
Definiție. O funcție exponențială este o funcție de forma y = a x, unde a este un număr dat, a > 0, \(a \neq 1\)
Funcția exponențială are următoarele proprietăți
1) Domeniul de definiție al funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.
Această proprietate rezultă din faptul că puterea a x unde a > 0 este definită pentru toate numerele reale x.
2) Setul de valori ale funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor pozitive.
Pentru a verifica acest lucru, trebuie să arătați că ecuația a x = b, unde a > 0, \(a \neq 1\), nu are rădăcini dacă \(b \leq 0\) și are o rădăcină pentru orice b > 0 .
3) Funcția exponențială y = a x crește pe mulțimea tuturor numerelor reale dacă a > 1 și descrește dacă 0. Aceasta rezultă din proprietățile gradului (8) și (9)
Să construim grafice ale funcțiilor exponențiale y = a x pentru a > 0 și pentru 0. Folosind proprietățile considerate, observăm că graficul funcției y = a x pentru a > 0 trece prin punctul (0; 1) și este situat deasupra axa Ox.
Dacă x 0.
Dacă x > 0 și |x| crește, graficul crește rapid.
Graficul funcției y = a x la 0 Dacă x > 0 și crește, atunci graficul se apropie rapid de axa Ox (fără a o traversa). Astfel, axa Ox este asimptota orizontală a graficului.
Dacă x 
Ecuații exponențiale
Să luăm în considerare câteva exemple de ecuații exponențiale, i.e. ecuații în care necunoscutul este conținut în exponent. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b unde a > 0, \(a \neq 1\), x este o necunoscută. Această ecuație este rezolvată folosind proprietatea puterii: puterile cu aceeași bază a > 0, \(a \neq 1\) sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali.
Rezolvați ecuația 2 3x 3 x = 576
Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă ca 8 x 3 x = 24 2, sau ca 24 x = 24 2, din care x = 2.
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Luând factorul comun 3 x - 2 din paranteze din partea stângă, obținem 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de unde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 x = 7 x
Deoarece \(7^x \neq 0 \) , ecuația poate fi scrisă sub forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), din care \(\left(\frac(3) )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Răspuns x = 0
Rezolvați ecuația 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Prin înlocuirea 3 x = t, această ecuație se reduce la ecuația pătratică t 2 - 4t - 45 = 0. Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: t 1 = 9, t 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5 .
Ecuația 3 x = 9 are rădăcină x = 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Să scriem ecuația sub forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de unde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Deoarece 3 > 0, \(3 \neq 1\), atunci ecuația inițială este echivalentă cu ecuația |x-1| = |x+3|
Punând la pătrat această ecuație, obținem corolarul ei (x - 1) 2 = (x + 3) 2, din care
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Verificarea arată că x = -1 este rădăcina ecuației originale.
Răspuns x = -1
Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.
O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.
Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:
- Nu au rădăcini;
- Au exact o rădăcină;
- Au două rădăcini diferite.
Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.
Discriminant
Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.
Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:
- Daca D< 0, корней нет;
- Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
- Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.
Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini, și deloc semnele acestora, așa cum din anumite motive cred mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:
Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.
Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.
Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:
Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:
A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:
După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.
Ecuații patratice incomplete
Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:
Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.
Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.
Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:
Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:
- Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
- Dacă (−c /a)< 0, корней нет.
După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.
Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:
Scoaterea factorului comun din parantezeProdusul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:
Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.