Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că în primul rând trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri.

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea

Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar la numărător trebuie rezolvată sau factorizată ecuația pătratică, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă la funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes; s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să le găsești cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, ele înțeleg prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar ne vom uita la semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă, ci și o funcție elementară sau o funcție complexă poate acționa ca parametru. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu; aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi fi hotărât între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve un exemplu simplu („poate că el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. La lectie Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Puteți raționa astfel: în acest exemplu parametrul este , ceea ce înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Atunci când se calculează limitele, ar trebui să se țină cont următoarele reguli de bază:

1. Limita sumei (diferenței) funcțiilor este egală cu suma (diferenței) limitelor termenilor:

2. Limita unui produs de funcții este egală cu produsul limitelor factorilor:

3. Limita raportului dintre două funcții este egală cu raportul limitelor acestor funcții:

4. Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

5. Limita unei constante este egală cu constanta însăși:

6. Pentru funcțiile continue, simbolurile de limită și de funcție pot fi schimbate:

Găsirea limitei unei funcții ar trebui să înceapă prin înlocuirea valorii în expresia funcției. Mai mult, dacă se obține valoarea numerică 0 sau ¥, atunci s-a găsit limita dorită.

Exemplul 2.1. Calculați limita.

Soluţie.

Sunt numite expresii de forma , , , , incertitudini.

Dacă obțineți o incertitudine a formei , atunci pentru a găsi limita trebuie să transformați funcția astfel încât să relevați această incertitudine.

Incertitudinea formei se obține de obicei atunci când este dată limita raportului a două polinoame. În acest caz, pentru a calcula limita, se recomandă factorizarea polinoamelor și reducerea acestora cu un factor comun. Acest multiplicator este zero la valoarea limită X .

Exemplul 2.2. Calculați limita.

Soluţie.

Înlocuind , obținem incertitudinea:

Să factorizăm numărătorul și numitorul:

;

Să reducem printr-un factor comun și să obținem

O incertitudine a formei se obține atunci când limita raportului a două polinoame este dată la . În acest caz, pentru a-l calcula, se recomandă împărțirea ambelor polinoame la X în gradul superior.

Exemplul 2.3. Calculați limita.

Soluţie. Când înlocuim ∞, obținem o incertitudine de forma , deci împărțim toți termenii expresiei la x 3.

Se are în vedere aici că .

Când se calculează limitele unei funcții care conține rădăcini, se recomandă înmulțirea și împărțirea funcției la conjugatul său.

Exemplul 2.4. Calculați limita

Soluţie.

Când se calculează limite pentru a dezvălui incertitudinea formei sau (1) ∞, prima și a doua limită remarcabilă sunt adesea folosite:

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă.

Să luăm în considerare exemplul lui Ya. I. Perelman, dând o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat.

Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare.

Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar după alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unități den.).

Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adunare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate capitalei la fiecare secundă pentru că

Exemplul 2.5. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Exemplul 2.6. Calculați limita unei funcții .

Soluţie.Înlocuind obținem incertitudinea:

Folosind formula trigonometrică, transformăm numărătorul într-un produs:

Ca rezultat obținem

Aici se ia în considerare a doua limită remarcabilă.

Exemplul 2.7. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Pentru a dezvălui incertitudinea formei sau, puteți folosi regula lui L'Hopital, care se bazează pe următoarea teoremă.

Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor

Rețineți că această regulă poate fi aplicată de mai multe ori la rând.

Exemplul 2.8. Găsi

Soluţie. Când înlocuim, avem o incertitudine a formei. Aplicând regula lui L'Hopital, obținem

Continuitatea funcției

O proprietate importantă a unei funcții este continuitatea.

Definiție. Se ia în considerare funcția continuu, dacă o mică modificare a valorii argumentului implică o mică modificare a valorii funcției.

Matematic aceasta se scrie astfel: când

Prin și se înțelege incrementul de variabile, adică diferența dintre valorile ulterioare și cele precedente: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Creșterea variabilelor

Din definiţia unei funcţii continue în punctul rezultă că . Această egalitate înseamnă că sunt îndeplinite trei condiții:

Soluţie. Pentru funcție punctul este suspect pentru o discontinuitate, să verificăm asta și să găsim limite unilaterale

Prin urmare, , Mijloace - punct de rupere

Derivată a unei funcții

Teoria limitelor este una dintre ramurile analizei matematice. Problema rezolvării limitelor este destul de extinsă, deoarece există zeci de metode de rezolvare a limitelor de diferite tipuri. Există zeci de nuanțe și trucuri care vă permit să rezolvați cutare sau cutare limită. Cu toate acestea, vom încerca în continuare să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică.

Să începem cu însăși conceptul de limită. Dar mai întâi, un scurt context istoric. A trăit în secolul al XIX-lea un francez, Augustin Louis Cauchy, care a pus bazele analizei matematice și a dat definiții stricte, în special definiția unei limite. Trebuie spus că același Cauchy a fost, este și va fi în coșmarurile tuturor studenților la fizică și matematică, deoarece a demonstrat un număr imens de teoreme de analiză matematică, iar fiecare teoremă este mai dezgustătoare decât cealaltă. În acest sens, nu vom lua în considerare o definiție strictă a limitei, ci vom încerca să facem două lucruri:

1. Înțelege ce este o limită.
2. Învață să rezolvi principalele tipuri de limite.

Îmi cer scuze pentru unele explicații neștiințifice, este important ca materialul să fie de înțeles chiar și pentru un ceainic, care, de fapt, este sarcina proiectului.

Deci care este limita?

Și doar un exemplu de ce să-i faci buniței...

Orice limită constă din trei părți:

1) Cunoscuta pictogramă limită.
2) Intrări sub pictograma limită, în acest caz . Intrarea scrie „X tinde spre unu”. Cel mai adesea - exact, deși în loc de „X” în practică există și alte variabile. În sarcinile practice, locul unuia poate fi absolut orice număr, precum și infinitul ().
3) Funcții sub semnul limită, în acest caz .

Înregistrarea în sine se citește astfel: „limita unei funcții ca x tinde spre unitate”.

Să ne uităm la următoarea întrebare importantă - ce înseamnă expresia „x”? se straduieste catre unul"? Și ce înseamnă chiar „străduiți”?
Conceptul de limită este un concept, ca să spunem așa, dinamic. Să construim o secvență: mai întâi , apoi , , …, , ….
Adică expresia „x se straduieste la unu” ar trebui înțeles astfel: „x” preia constant valorile care se apropie de unitatea infinit apropiată și practic coincid cu ea.

Cum se rezolvă exemplul de mai sus? Pe baza celor de mai sus, trebuie doar să înlocuiți unul în funcție de sub semnul limită:

Deci, prima regulă: Când se oferă vreo limită, mai întâi încercăm pur și simplu să conectăm numărul în funcție.

Am considerat cea mai simplă limită, dar acestea apar și în practică, și nu atât de rar!

Exemplu cu infinit:

Să ne dăm seama ce este? Acesta este cazul când crește fără limită, adică: mai întâi, apoi, apoi, apoi și așa mai departe la infinit.

Ce se întâmplă cu funcția în acest moment?
, , , …

Deci: dacă , atunci funcția tinde spre minus infinit:

În linii mari, conform primei noastre reguli, în loc de „X” înlocuim infinitul în funcție și obținem răspunsul.

Un alt exemplu cu infinit:

Din nou începem să creștem la infinit și să ne uităm la comportamentul funcției:

Concluzie: când funcția crește fără limită:

Si inca o serie de exemple:

Vă rugăm să încercați să analizați mental următoarele pentru dvs. și să vă amintiți cele mai simple tipuri de limite:

, , , , , , , , ,
Dacă aveți îndoieli oriunde, puteți lua un calculator și puteți exersa puțin.
În cazul în care , încercați să construiți secvența , , . Daca atunci , , .

Notă: strict vorbind, această abordare de a construi secvențe de mai multe numere este incorectă, dar pentru înțelegerea celor mai simple exemple este destul de potrivită.

Acordați atenție și la următorul lucru. Chiar dacă o limită este dată cu un număr mare în vârf, sau chiar cu un milion: , atunci este tot la fel , deoarece mai devreme sau mai târziu „X” va lua valori atât de gigantice încât un milion în comparație cu ele va fi un adevărat microb.

Ce trebuie să rețineți și să înțelegeți din cele de mai sus?

1) Când se oferă o limită, mai întâi încercăm pur și simplu să substituim numărul în funcție.

2) Trebuie să înțelegeți și să rezolvați imediat cele mai simple limite, cum ar fi , , etc.

Acum vom lua în considerare grupul de limite când , iar funcția este o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame

Exemplu:

Calculați limita

Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul în funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem ceea ce se numește incertitudinea speciei. S-ar putea crede că , și răspunsul este gata, dar în cazul general nu este deloc așa și este necesar să se aplice o tehnică de soluție, pe care o vom lua în considerare acum.

Cum se rezolvă limitele de acest tip?

Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere:

Puterea principală în numărător este două.

Acum ne uităm la numitor și îl găsim și la cea mai mare putere:

Cel mai înalt grad al numitorului este doi.

Apoi alegem cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: în acest exemplu, acestea sunt aceleași și egale cu doi.

Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul la cea mai mare putere.

Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.

Ce este esențial important în proiectarea unei decizii?

În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.

În al doilea rând, este indicat să întrerupeți soluția pentru explicații intermediare. De obicei folosesc semnul, nu are nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.

În al treilea rând, în limită este indicat să marchezi ce se întâmplă unde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel:

Este mai bine să folosiți un creion simplu pentru note.

Desigur, nu trebuie să faceți nimic din toate acestea, dar apoi, poate, profesorul va sublinia deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare despre sarcină. Ai nevoie de el?

Exemplul 2

Găsiți limita
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad:

Gradul maxim la numărător: 3
Gradul maxim la numitor: 4
Alege cel mai mare valoare, în acest caz patru.
Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la .
Sarcina completă ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Exemplul 3

Găsiți limita
Gradul maxim de „X” la numărător: 2
Gradul maxim de „X” la numitor: 1 (se poate scrie ca)
Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la . Soluția finală ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Notația nu înseamnă împărțire la zero (nu poți împărți la zero), ci împărțire cu un număr infinitezimal.

Astfel, descoperind incertitudinea speciei, putem fi capabili număr final, zero sau infinit.

Limite cu incertitudine de tip și metodă de rezolvare a acestora

Următorul grup de limite este oarecum similar cu limitele luate în considerare: numărătorul și numitorul conțin polinoame, dar „x” nu mai tinde spre infinit, ci spre număr finit.

Exemplul 4

Rezolvați limita
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 în fracția:

În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.

Regula generala: dacă numărătorul și numitorul conțin polinoame și există incertitudine cu privire la forma , atunci pentru a o dezvălui trebuie să factorizezi numărătorul și numitorul.

Pentru a face acest lucru, cel mai adesea trebuie să rezolvați o ecuație pătratică și/sau să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dacă aceste lucruri au fost uitate, atunci vizitați pagina Formule și tabele matematiceși citiți materialul didactic Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică. Apropo, cel mai bine este să-l imprimați; este solicitat foarte des, iar informațiile sunt absorbite mai bine din hârtie.

Deci, hai să ne rezolvăm limita

Factorizați numărătorul și numitorul

Pentru a factoriza numărătorul, trebuie să rezolvați ecuația pătratică:

Mai întâi găsim discriminantul:

Și rădăcina pătrată a acesteia: .

Dacă discriminantul este mare, de exemplu 361, folosim un calculator; funcția de extragere a rădăcinii pătrate este pe cel mai simplu calculator.

! Dacă rădăcina nu este extrasă în întregime (se obține un număr fracționar cu virgulă), este foarte probabil ca discriminantul să fi fost calculat incorect sau să fi fost o greșeală de tipar în sarcină.

În continuare găsim rădăcinile:

Prin urmare:

Toate. Numătorul este factorizat.

Numitor. Numitorul este deja cel mai simplu factor și nu există nicio modalitate de a-l simplifica.

Evident, poate fi scurtat la:

Acum înlocuim -1 în expresia care rămâne sub semnul limită:

Desigur, într-un test, test sau examen, soluția nu este niciodată descrisă atât de detaliat. În versiunea finală, designul ar trebui să arate cam așa:

Să factorizăm numărătorul.

Exemplul 5

Calculați limita

În primul rând, versiunea „termină” a soluției

Să factorizăm numărătorul și numitorul.

Numărător:
Numitor:

,

Ce este important în acest exemplu?
În primul rând, trebuie să înțelegeți bine cum este dezvăluit numărătorul, mai întâi am scos 2 dintre paranteze și apoi am folosit formula pentru diferența de pătrate. Aceasta este formula pe care trebuie să o cunoști și să o vezi.

Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați final valoarea funcției la infinit. determinarea convergenței unei serii de numere și multe altele se poate face datorită serviciului nostru online -. Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. Dumneavoastră introduceți variabila funcție și limita la care tinde aceasta, iar serviciul nostru efectuează toate calculele pentru dvs., oferind un răspuns precis și simplu. Si pentru găsirea limitei online puteți introduce atât serii numerice, cât și funcții analitice care conțin constante în expresie literală. În acest caz, limita găsită a funcției va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să indicați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze valoarea limită a funcției. De calculat limitele online, puteți folosi diverse metode și reguli de rezolvare a acestora, verificând în același timp rezultatul obținut cu rezolvarea limitelor online pe www.site-ul, ceea ce va duce la îndeplinirea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeli și erori de scris. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru a calcula în mod independent limita funcției. Permitem introducerea de valori limită, cum ar fi infinitul. Este necesar să introduceți un membru comun al unei secvențe de numere și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit.

Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este limita functieiȘi limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru acest lucru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul analizei matematice începe cu trecerea la limită, limite sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii superioare, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online, care este site-ul.