Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R
Площадь круга : S=\pi R^{2}
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
- Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
- Используя радианную меру: CD = \alpha R
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Касательная к окружности
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
AC = CB
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
AC^{2} = CD \cdot BC
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Углы в окружности
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
S = pr ,
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
r = \frac{S}{p}
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
AB + DC = AD + BC
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = \frac{S}{p} ,
где p = \frac{a + b + c}{2}
Описанная окружность
Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
R = \frac{abc}{4 S}
a , b , c — длины сторон треугольника,
S — площадь треугольника.
Теорема Птолемея
Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.
Выведем
уравнение окружности. Пусть точка
произвольная точка окружности радиуса
.
Введем прямоугольную систему координат,
у которой начало совпадает с центром
окружности
.
В этом случае точка
имеет координаты
.
По определению окружности
.
Учитывая, что
,
получим
,
или
.
(1.27)
Выражение (1.27)
называется уравнением окружности с
центром в точке
и радиуса
.
Покажем,
что любая точка, координаты которой
удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит
окружности с центром в точке
и радиуса
.
Пусть
координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда,
т. е.
является точкой окружности.
С
учетом формулы преобразования
прямоугольных координат точки при
параллельном переносе осей получим
уравнение окружности с центром в точке
и радиуса
:
П
р и м е р 13.
Составить
уравнение окружности, проходящей через
начало координат, центр которой находится
на одинаковом расстоянии от параллельных
прямых
и
.
Решение.
Для того чтобы составить уравнение
окружности вида
,
необходимо найти координаты
ее центра
и радиус
.
Искомая окружность касается прямых
и
,
поэтому радиус
равен половине расстояния
между этими прямыми. Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
от произвольной точки одной прямой до
другой прямой. На прямой, задаваемой
уравнением
,
возьмем произвольную точку
,
тогда
.
По формуле (1.15) имеем:
.
Таким образом,
.
Центр окружности равноудален от заданных
прямых, поэтому координаты
ее центра
должны удовлетворять равенству
,
т. е.
.
Известно, что окружность проходит через
начало координат, поэтому.
Получили систему уравнений относительно
координат центра
окружности:
.
Ее решениями будут
.
Итак, существует два уравнения,
удовлетворяющих условиям задачи:
.
1.12. Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Выберем
прямоугольную систему координат таким
образом, чтобы ось абсцисс проходила
через фокусы
и
,
а начало координат
совпадало
с серединой отрезка
.
Обозначим
,
,
,
где
,
фокальные радиусы (расстояния от точки
до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы
и
имеют координаты
,
.
Пусть
произвольная точка эллипса. Имеем:
,
.
Из определения эллипса
,
(1.29)
или
искомое уравнение эллипса, которое
неудобно для использования. Из последнего
равенства следует, что
.Так
как
,
то можем обе части уравнения возвести
в квадрат и после эквивалентных
преобразований получим:
.
Следовательно,.
Введем новую переменную
.
Имеем:
.
Из этого равенства следует, что
.
(1.30)
Уравнение (1.30) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса. Это уравнение является уравнением второго порядка. Таким образом, любая точка эллипса, удовлетворяющая уравнению (1.29), удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем, что все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.30), являются точками эллипса, т. е. их координаты удовлетворяют уравнению (1.29).
Для
фокального радиуса
выполняется соотношение
.
Из уравнения (1.30) имеем:
.
Поэтому
,
или
.
Аналогично находим, что
.
Следовательно,
.
Эллипс
симметричен относительно координатных
осей, так как содержит только четные
степени
и
,
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются его осями,
а центр симметрии
центром эллипса.
Эллипс
пересекает координатные оси в точках
,
,
,
.
Эти точки называются вершинами эллипса.
При
эллипс вырождается в окружность радиусом
и центром в начале координат. Вершины
эллипса ограничивают на осях отрезки
длиной
и
,
причем
(это следует из того, что
).
Величины
и
называются большой и малой полуосями
эллипса, оси эллипса
соответственно большой и малой осью.
Определение. Эксцентриситетом эллипса
называется отношение,
где
половина расстояния между фокусами,
большая полуось, т. е.
.
(1.31)
Учитывая,
что
,
получим
.
Так как
,
то
.
Если
,
т. е. эллипс приближается к окружности,
то
.
Если
,
а
к нулю не стремится, то эллипс вытянут
вдоль большой оси. Таким образом,
эксцентриситет эллипса характеризует
меру его вытянутости вдоль большой оси.
Если
фокусы эллипса
и
расположены на оси ординат, то в этом
случае
и большой является полуось
.
Уравнение эллипса также имеет вид
(1.30), но
,
а его эксцентриситет вычисляется по
формуле
.
П
р и м е р 14.
Составить
уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная,
что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет
.
Решение.
Половина расстояния между фокусами
.
Фокусы эллипса расположены на оси
абсцисс, поэтому большой полуосью
является
.
Из (1.31) следует, что
.
Тогда.
Таким образом, уравнение эллипса имеет
вид
.
П
р и м е р 15.
Дан
эллипс
.
Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Решение.
Приведем
уравнение эллипса к каноническому виду.
Для этого обе части уравнения разделим
на 45, получим
.
Таким образом, его полуось
,
.
Большой полуосью является полуось
,
поэтому фокусы эллипса расположены на
оси ординат и
,
следовательно, фокусы находятся в точках
и
.
Эксцентриситет эллипса равен отношению
половины расстояния между фокусами к
большой полуоси, т. е.
.
П
р и м е р 16.
Вычислить
площадь четырехугольника
,
две вершины
и
которого лежат в фокусах эллипса
,
две другие
и
совпадают с концами его малой оси.
Решение.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид
,
поэтому
,
.
Следовательно, вершины четырехугольника
и
имеют соответственно координаты
и
.
Найдем координаты вершин
и
.
Так как
,
то
,
.
Полученный четырехугольник симметричен
относительно координатных осей и
относительно начала координат
,
следовательно,
.
Лекция: Окружность и круг
Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.
В повседневной жизни Вы не раз встречали окружность. Именно её описывает часовая и секундная стрелка, именно форму окружности имеет гимнастический обруч.
А теперь представьте, что Вы нарисовали окружность на листке бумаги и захотели её разукрасить.
Так вот все разукрашенное пространство, ограниченное окружностью – это и есть круг.
И круг, и окружность имеют некоторые параметры:
Центр – это точка, которая равноудалена от всех точек окружности. Центр круга и окружности обозначается буквой О.
Радиус – это расстояние от центра до окружности (R).
Диаметр – это отрезок, проходящий через центр, который соединяет все точки окружности (d). Более того, диаметр равен двум радиусам: d = 2R.
Хорда – отрезок, который соединяет любые две точки на окружности. Диаметр является частным случаем хорды.
Чтобы найти длину окружности, необходимо воспользоваться формулой:
l =2 πR
Обратите внимание, длина окружности, площадь зависят только от радиуса данной окружности.
Площадь круга можно найти по следующей формуле:
S =πR 2 .
Хотелось бы обратить Ваше внимание на число «Пи». Данное значение было найдено как раз с помощью окружности. Для этого её длину разделили на два радиуса, и таким образом получилось число «Пи».
Если круг разбить на некоторые части двумя радиусами, то такие части будут называться секторами. Каждый сектор имеет свою градусную меру – градусную меру той дуги, на которую опирается.
Чтобы найти длину дуги, необходимо воспользоваться формулой:
1. Используя градусную меру:
2. Используя радианную меру:
Если вершина некоторого угла опирается на центр окружности, а его лучи пересекают окружность, то такой угол называется центральным.
Если некоторые две хорды пересекаются в некоторой точке, то их отрезки пропорциональны:
Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка (O) называется центром окружности
.
Радиус окружности
- это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда
- отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром
. Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности
. Дуга называется полуокружностью
, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π
.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º
.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом
.
Круговой сектор
- часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора
.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими
.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными
.
Взаимное расположение прямой и окружности
- Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
- Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Центральные и вписанные углы
Центральный угол
- это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол
- угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Теорема о вписанном угле
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- Следствие 1.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. - Следствие 2.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Основные формулы
- Длина окружности:
- Длина дуги окружности:
- Диаметр:
- Длина дуги окружности:
где α - градусная мера длины дуги окружности)
- Площадь круга:
- Площадь кругового сектора:
Уравнение окружности
- В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:
- Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.
Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство (Длина отрезка равна радиусу окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().
Длина окружности:
Площадь круга:
Дуга окружности:
Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.
Угол между двумя радиусами называется центральным углом :
а) угол дан в градусах:
б) угол дан в радианах:
Диаметр, перпендикулярный хорде , делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:
Если хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:
Касательная к окружности.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:
Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть :
Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть :
Углы в окружности.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
∠∠
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
∠∠∠
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны :
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна
∠∠
Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:
Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Вписанная окружность.
Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
здесь - полупериметр многоугольника, - радиус вписанной окружности.
Отсюда радиус вписанной окружности равен
Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:
В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус вписанной окружности
равен . Здесь 
Описанная окружность.
Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
Радиус описанной окружности
вычисляется по формулам:
Где - длины сторон треугольника, - его площадь.
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:
