Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Так, например, функция двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:
Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.
Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.
Например, частные производные
являются смешанными частными производными функции двух переменных .
Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение. Находим частные производные первого порядка
Затем находим смешанные частные производные второго порядка
Мы видим, что смешанные частные производные и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т. е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.
Пусть задана функция двух переменных. Дадим аргументу приращение, а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением по переменной и обозначается:
Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние, получим частное приращение функции по переменной:
Величина называется полным прира-щениием функции в точке.
Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или, или.
Таким образом, по определению имеем:
Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной, считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается.
Пример 3. Найти частные производные функций:
Решение. а) Чтобы найти считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной:
Аналогично, считая постоянной величиной, находим:
Определение 5. Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде
Пример 4. Найти полный дифференциал функции.
Решение. Так как, то по формуле полного дифференциала находим
Частные производные высших порядков
Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные. Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство.
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.
Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.
Функция двух и более переменных
Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:
Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.
А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:
Это – функция двух независимых переменных x и y . График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:
Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.
Частная производная первого порядка
Запоминаем главное правило:
При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.
То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных . Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:
Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:
Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:
Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.
Частная производная второго порядка
Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.
По игреку:
Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:
- При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
- Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.
Частные производные и полный дифференциал функции
Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.
Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:
Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.
Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.
Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!
Пример. Найти частные производные функции y x yxz
Решение. Полагая y =const , находимy xy x z
Полагая x =const , находим 2 2) 1 (1 y x x y xx y z
Пример. Найти значения частных производных функции в точке M (1, – 1, 0). xyzyxu)ln(
Решение. Полагая y = const , z = const , находим 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u
Аналогично находим 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z u
Геометрическим смыслом частной производной (например,) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) к сечению поверхности плоскостью у = у 0. xz
Предположим, что функция z = f (x , y) имеет непрерывные частные производные), (yxf x z x), (yxf y z y
Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть и частными производными 1 — го порядка.), (yxf x), (yxf y
Частными производными 2 -го порядка называются частные производные от частных производных 1 -го порядка. Для функции z = f (x , y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2 -го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:
В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M (x , y) , то они равны, т. е. xyfyxf), (yxfyxf yxxy
Ч астными производными n – го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)– го порядка. Их обозначают и т. д. 221 , yx z x z n n n
Пример. Найти частные производные 2 -го порядка функции)1 sin(23 xyyxz
Решение. Последовательно находим); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx
); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx
)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx
Рассмотрим функцию z = f (x , y). Дадим аргументу x приращение Δ x , а аргументу y приращение Δ y. Тогда z получит приращение которое называется полным приращением функции z.), (yxfyyxxfz
Предположим, что f (x , y) в точке M (x , y) имеет непрерывные частные производные.
Определение. Дифференциалом 1 -го порядка функции z = f (x , y) называется главная часть полного приращения Δ z этой функции, линейная относительно Δ x и Δ y , обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле y y z x x z zd
Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx = Δ x , dy = Δ y , то эту формулу можно записать в виде: dy y z dx x z zd
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f (x , y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 + х, у 0 + у).
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Дифференциалом 2 -го порядка функции z = f (x , y) называется дифференциал от ее дифференциала 1 -го порядка и обозначается)(zzddd
Если все частные производные 2 -го порядка функции z = f (x , y) непрерывны, то имеет место формула: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd
Пример. Найти дифференциалы 1 -го и 2 -го порядков функции y x yz 2 x
Решение. Найдем частные производные 1 -го и 2 -го порядков: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z
; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy
Следовательно, дифференциалы 1 -го и 2 -го порядков запишутся в виде: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd
Пусть функция f (x , y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (
Если подставить в эту формулу выражение то получим приближенную формулу: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (
Пример. Вычислить приближенно значение исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln
Решение. Из заданного выражения определим x = 1, 04 – 1 = 0, 04, y = 1, 99 – 2 = -0, 01, z = 1, 02 – 1 = 0, 02. Найдем значение функции u (x , y , z) = 11 ln
Находим частные производные: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y
Полный дифференциал функции u равен: 2 1 ln 2 1 zx z z u y
05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu
Точное значение этого выражения: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu
Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности в точке M 0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.
Если поверхность задана уравнением F (x , y , z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет вид: 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx
Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) , запишутся следующим образом:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx
Если поверхность задана уравнением z = f (x , y) , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет вид:))(, (000 0000 yyyxf xxyxfzz y x
а уравнения нормали запишутся так: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx
Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0) , если 01332 22 yzxzxyyx. 1, 2 00 yx
Решение. Подставляя x 0 и y 0 в уравнение поверхности, находим значение z 0: откуда находим z 0 = 1. Следовательно, M 0 (2, – 1, 1) – точка касания. 01)1(32)1(23)1(2400 2 zz
По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим и найдем частные производные в точке M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.
, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z
Подставля ем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx
У равнения нормали име ю т вид 1 1 5 1 2 2 zyx
Определение. Функция z = f (x , y) имеет максимум в точке M 0 (x 0 , y 0) , если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M (x , y) из этой окрестности выполняется неравенство), (00 yxfyxf
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/
- называется полным приращением
, где представлено в виде (1)
().
в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). . Тогда