Feladatok megoldása a Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd feladatkönyvből 6. osztályos matematika számára a témában:
1. § A számok oszthatósága:
6. Legnagyobb közös osztó. Második prímszámok
146 Keresse meg a 18 és 60 számok összes közös tényezőjét; 72., 96. és 120.; 35 és 88.
MEGOLDÁS
147 Határozzuk meg az a és b számok legnagyobb közös osztójának prímtényezősségét, ha a = 2·2·3·3 és b = 2·3·3·5; a = 5·5·7·7·7 és b = 3·5·7·7.
MEGOLDÁS
148 Keresse meg a 12 és 18 számok legnagyobb közös osztóját; 50. és 175.; 675 és 825; 7920 és 594; 324, 111 és 432; 320, 640 és 960.
MEGOLDÁS
149 A 35 és 40 számok viszonylag prímek-e; 77. és 20.; 10, 30, 41; 231 és 280?
MEGOLDÁS
150 A 35 és 40 számok viszonylag prímek-e; 77. és 20.; 10, 30, 41; 231 és 280?
MEGOLDÁS
151. Írja fel az összes olyan 12-es nevezőjű megfelelő törtet, amelynek számlálója és nevezője viszonylag prímszám.
MEGOLDÁS
152 A srácok azonos ajándékokat kaptak az újévi fán. Az ajándékok összesen 123 narancsot és 82 almát tartalmaztak. Hány gyerek volt jelen a karácsonyfánál? Hány narancs és hány alma volt az egyes ajándékokban?
MEGOLDÁS
153 A városon kívüli utazásokhoz az üzem dolgozói több, azonos számú autóbuszt kaptak. Az erdőbe 424-en, a tóba 477-en mentek. A buszokon minden ülés foglalt volt, egyetlen ember sem maradt ülőhely nélkül. Hány buszt osztottak ki, és hány utas tartózkodott az egyes buszon?
MEGOLDÁS
154 Számíts szóban oszlop segítségével
MEGOLDÁS
155 A 7. ábra segítségével határozza meg, hogy a, b és c prímszámok-e.
MEGOLDÁS
156 Van-e olyan kocka, amelynek élét természetes szám fejezi ki, és amelyben az összes él hosszának összege prímszámmal van kifejezve? A felületet egyszerű számként fejezzük ki?
MEGOLDÁS
157 faktor 875 prímtényezőkké; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
MEGOLDÁS
158 Ha egy szám két prímtényezőre, a második háromra bontható, akkor ezek a számok miért nem egyenlők?
MEGOLDÁS
159 Találhatunk-e négy különböző prímszámot úgy, hogy kettőnek a szorzata egyenlő a másik kettő szorzatával?
MEGOLDÁS
160 Hányféleképpen tud egy kilencüléses kisbusz 9 utast elhelyezni? Hányféleképpen ülhetnek le, ha valamelyikük, aki jól ismeri az útvonalat, a sofőr mellé ül?
MEGOLDÁS
161 Keresse meg a kifejezések értékét (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); (2 · 2 · 3 · 5 · 7): (2 · 3 · 7); (2 · 3 · 7 · 1 · 3): (3 · 7); (3 · 5 · 11 · 17 · 23): (3 · 11 · 17).
MEGOLDÁS
162 Hasonlítsa össze 3/7 és 5/7; 11/13 és 8/13, 1 2/3 és 5/3; 2 2/7 és 3 1/5.
MEGOLDÁS
163 Szögmérővel konstruálja meg az AOB = 35° és a DEF = 140°.
MEGOLDÁS
164 1) Az OM sugár a kifejlesztett AOB szöget két részre osztotta: AOM és MOB. Az AOM szög háromszorosa a MOB-nak. Mekkora az AOM és a TLT szöge? Építsd meg őket. 2) Az OK gerenda a kifejlesztett COD szöget két részre osztotta: SOK és KOD. A SOK szög 4-szer kisebb, mint a KOD. Melyek a SOK és a KOD szögei? Építsd meg őket.
MEGOLDÁS
165 1) A munkások három nap alatt megjavítottak egy 820 m hosszú utat. Kedden ennek az útnak a 2/5-ét, szerdán a maradék 2/3-át javították meg. Hány méter utat javítottak meg csütörtökön a munkások? 2) A gazdaságban tehenek, juhok és kecskék vannak, összesen 3400 állat. A juh és a kecske együtt az összes állat 9/17-ét, a kecskék pedig a juhok és kecskék teljes számának 2/9-ét teszik ki. Hány tehén, birka és kecske van a farmon?
MEGOLDÁS
166 Mutassa be a 0,3 számokat közönséges törtként; 0,13; 0,2 és tizedesjegyként 3/8; 4 1/2; 3 7/25
MEGOLDÁS
167 Hajtsa végre a műveletet úgy, hogy minden számot tizedes törtként ír be 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
MEGOLDÁS
168 Mutassa be a 10, 36, 54, 15, 27 és 49 számokat prímtagok összegeként, hogy a lehető legkevesebb tag legyen. Milyen javaslatokat tud tenni a számok prímtagok összegeként való ábrázolására?
MEGOLDÁS
169 Határozzuk meg az a és b számok legnagyobb közös osztóját, ha a = 3·3·5·5·5·7, b = 3·5·5·11; a = 2·2·2·3·5·7, b = 3·11·13.
Prím- és összetett számok
1. definíció. Több természetes szám közös osztója az a szám, amely e számok mindegyikének osztója.
2. definíció. A legnagyobb közös osztó ún legnagyobb közös osztó (GCD).
1. példa A 30, 45 és 60 számok közös osztói a 3, 5, 15 számok. Ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója az
GCD (30, 45, 10) = 15.
3. definíció. Ha több szám legnagyobb közös osztója 1, akkor ezeket a számokat hívjuk kölcsönösen prím.
2. példa A 40-es és a 3-as számok másodprémek, de az 56-os és 21-es számok nem, mivel az 56-os és 21-es számok közös tényezője 7, ami nagyobb 1-nél.
Jegyzet. Ha egy tört számlálója és a tört nevezője kölcsönösen prímszámok, akkor egy ilyen tört irreducibilis.
Algoritmus a legnagyobb közös osztó megtalálására
Mérlegeljük algoritmus a legnagyobb közös osztó megtalálására több szám a következő példában.
3. példa Keresse meg a 100, 750 és 800 számok legnagyobb közös osztóját!
Megoldás . Tekintsük ezeket a számokat prímtényezőkbe:
A 2-es prímtényező az első faktorozásban 2, a második faktorozásban 1, a harmadik faktorozásban pedig 5 hatványáig szerepel. Jelöljük a legkisebb e jogosítványok a betűvel. Ez nyilvánvaló a = 1 .
A 3-as prímtényező az első faktorozásban 0 hatványig szerepel (azaz a 3-as tényező egyáltalán nem szerepel az első faktorozásban), a második faktorozásban pedig az 1-es hatványban, és a harmadik faktorizáció – 0 hatványára. Jelöljük a legkisebb ezen jogkörök közül a b betűvel. Ez nyilvánvaló b = 0 .
Az 5-ös prímtényező az első faktorozásban 2, a második faktorozásban 3, a harmadik faktorozásban pedig 2 hatványáig szerepel. Jelöljük a legkisebb e jogosítványok c betűvel. Ez nyilvánvaló c = 2 .
Emlékezik!
Ha egy természetes szám csak 1-gyel és önmagával osztható, akkor prímnek nevezzük.
Bármely természetes szám mindig osztható 1-gyel és önmagával.
A 2-es szám a legkisebb prímszám. Ez az egyetlen páros prímszám, az összes többi prímszám páratlan.
Sok prímszám van, és ezek közül az első a 2. Utolsó prímszám azonban nincs. A „Tanulmányozáshoz” részben letöltheti a prímszámok táblázatát 997-ig.
De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.
Például:
- a 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
- A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.
Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12), a szám osztóinak nevezzük.
Emlékezik!
Az a természetes szám osztója olyan természetes szám, amely az adott „a” számot maradék nélkül osztja.
Azokat a természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztója van, összetettnek nevezzük.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12.
Két adott „a” és „b” szám közös osztója az a szám, amellyel mindkét adott „a” és „b” szám maradék nélkül el van osztva.
Emlékezik!
Legnagyobb közös osztó(GCD) két adott szám „a” és „b” a legnagyobb szám, amellyel mindkét „a” és „b” szám maradék nélkül el van osztva.
Röviden, az „a” és „b” számok legnagyobb közös osztóját a következőképpen írjuk fel:
GCD (a; b).
Példa: gcd (12; 36) = 12.
A megoldásrekordban a számok osztóit nagy „D” betűvel jelöljük.
D (7) = (1, 7)
D (9) = (1, 9)
GCD (7; 9) = 1
A 7-es és 9-es számoknak csak egy közös osztójuk van - az 1-es szám. Az ilyen számokat hívják prímszámok.
Emlékezik!
Második prímszámok- ezek olyan természetes számok, amelyeknek csak egy közös osztójuk van - az 1. A gcd-jük 1.
Hogyan találjuk meg a legnagyobb közös osztót
Két vagy több természetes szám gcd-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- bontsuk fel a számok osztóit prímtényezőkre;
Kényelmes számításokat írni függőleges sáv használatával. A sor bal oldalán először felírjuk az osztalékot, jobbra - az osztót. Ezután a bal oldali oszlopba írjuk fel a hányadosok értékeit.
Magyarázzuk meg rögtön egy példával. Tekintsük a 28 és 64 számokat prímtényezőkbe.
- Mindkét számban ugyanazokat a prímtényezőket hangsúlyozzuk.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Keresse meg az azonos prímtényezők szorzatát, és írja le a választ!
GCD (28; 64) = 2 2 = 4Válasz: GCD (28; 64) = 4
A GCD helyét kétféleképpen formalizálhatja: oszlopban (mint fentebb) vagy „egy sorban”.
Kész munkák
FOKOZAT MUNKÁK
Már sok minden eltelt, és most már végzett, ha természetesen időben megírja a szakdolgozatát. De az élet olyan, hogy csak most válik világossá számodra, hogy miután megszűnt diáknak lenni, elveszíted az összes diákörömöt, amelyek közül sokat még soha nem próbáltál ki, mindent halogatva későbbre halasztva. És most ahelyett, hogy felzárkózna, a szakdolgozatán dolgozik? Van egy kiváló megoldás: töltse le weboldalunkról a szükséges szakdolgozatot - és azonnal sok szabadideje lesz!
A szakdolgozatokat sikeresen megvédték a Kazah Köztársaság vezető egyetemein.
Munka költsége 20.000 tenge-től
TANFOLYAMOK
A tanfolyami projekt az első komoly gyakorlati munka. A kurzusok megírásával kezdődik a diplomatervek kidolgozására való felkészülés. Ha egy hallgató megtanulja egy kurzusban egy téma tartalmát helyesen bemutatni és hozzáértően formázni, akkor a jövőben nem lesz gondja sem a beszámolók, sem a szakdolgozatok elkészítésével, sem más gyakorlati feladatok elvégzésével. Az ilyen típusú diákmunka megírásának segítése és az elkészítése során felmerülő kérdések tisztázása érdekében valójában ez az információs rész készült.
Munka költsége 2500 tenge-től
MESTER ÉRTEKEZÉSEK
Jelenleg a kazahsztáni és a FÁK-országok felsőoktatási intézményeiben nagyon elterjedt az alapképzést követő felsőfokú szakmai képzés - a mesterképzés. A mesterképzésben mesterképzés megszerzésének céljával tanulnak a hallgatók, amelyet a világ legtöbb országában jobban elismernek, mint egy alapképzést, és a külföldi munkaadók is elismerik. A mesterképzés eredménye a szakdolgozat megvédése.
Naprakész elemző és szöveges anyagot biztosítunk, az ár 2 tudományos cikket és egy absztraktot tartalmaz.
Munka költsége 35.000 tenge-től
GYAKORLATI JELENTÉSEK
Bármilyen típusú hallgatói gyakorlat (oktatási, ipari, érettségi előtti) teljesítése után jelentés szükséges. Ez a dokumentum a hallgató gyakorlati munkájának megerősítése és a gyakorlat értékelésének alapja. Általában a gyakorlatról szóló jelentés elkészítéséhez információkat kell gyűjtenie és elemeznie kell a vállalkozásról, figyelembe kell vennie annak a szervezetnek a felépítését és munkarutinját, amelyben a gyakorlat zajlik, naptári tervet kell készítenie és le kell írnia gyakorlati tapasztalatait. tevékenységek.
Egy-egy vállalkozás tevékenységének sajátosságait figyelembe véve segítünk a szakmai gyakorlatról szóló beszámoló megírásában.
Célok: fejlessze a legnagyobb közös osztó megtalálásának képességét; mutassa be a koprímszámok fogalmát; gyakorolni a gcd számok felhasználásával megoldandó feladatokat; megtanulni elemezni és következtetéseket levonni.
II. Verbális számolás
1. Tartalmazhat-e a 24 753 szám prímtényezőssége 5-ös tényezőt? Miért? (Nem, mert ez a szám nem végződik 0-val vagy 5-tel.)
2. Nevezzen meg egy számot, amely maradék nélkül osztható minden számmal! (Nulla.)
3. Két egész szám összege páratlan. Páros vagy páratlan a termékük? (Ha két szám összege páratlan, akkor az egyik szám páros, a második páratlan. Mivel az egyik tényező páros szám, ezért osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a szorzat osztható 2-vel. az egész termék egyenletes.)
4. Egy családban mind a három testvérnek van egy nővére. Hány gyerek van a családban? (4 gyerek: három fiú és egy nővére.)
III . Egyéni munka
Bővítse ki a 210-es számot minden lehetséges módon:
a) 2 szorzóval; (210 = 21 10 = 14 15 = 7 30 = 70 3 = 6 35 = 42 5 = 105 2.)
b) 3 szorzóval; (210 = 3 7 10 = 5 3 14 = 7 5 6 = 35 2 3 = 21 2 5 = 7 2 15.)
c) 4 tényezővel. (210 = 3 7 2 5.)
IV. Lecke téma üzenet
– A számok uralják a világot. Ezek a szavak az ókori görög matematikushoz, Pythagorashoz tartoznak, aki az 5. században élt. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.
Ma egy másik számcsoporttal ismerkedünk meg, amelyeket relatív prímeknek nevezünk.
V. Új anyag elsajátítása
1. Előkészítő munka.
146. szám 25. oldal (táblán és füzetekben). (Egyébként ilyenkor egy diák dolgozik a tábla hátulján.)
Keresse meg az egyes számok osztóit.
Húzd alá közös osztóikat!
Írd le a legnagyobb közös osztót!
Válasz:
Milyen számoknak van csak egy közös tényezője? (35. és 88.)
2. Dolgozz egy új témán.
(Egyébként ilyenkor egy diák dolgozik a tábla hátulján.)
Keresse meg a számok legnagyobb közös osztóját: 7 és 21; 25. és 9.; 8. és 12.; 5. és 3.; 15. és 40.; 7. és 8.
Válasz:
GCD (7; 21) = 7; GCD (25; 9) = 1; GCD (8; 12) = 4;
GCD (5; 3) = 1; GCD (15; 40) = 5; GCD (7; 8) = 1.
Mely számpároknak ugyanaz a közös osztója? (25 és 9; 5 és 3; 7 és 8 - közös osztó 1.)
Az ilyen számokat relatív prímszámoknak nevezzük.
Adja meg a koprímszámok definícióját!
Mondjon példákat koprímszámokra! (35 és 88, 3 és 7; 12 és 35; 16 és 9.)
VI. Történelmi pillanat
Az ókori görögök csodálatos módszert találtak ki két természetes szám legnagyobb közös osztójának megtalálására faktorálás nélkül. „Euklideszi algoritmusnak” hívták.
A görög matematikus, Eukleidész életéről nem ismertek megbízható adatok. Van egy kiemelkedő tudományos munkája, az „Elvek”. 13 könyvből áll, és lefekteti az összes ókori görög matematika alapjait.
Itt van leírva az Euklidész algoritmus, amely abból áll, hogy két természetes szám legnagyobb közös osztója a számok egymás utáni osztásakor a nullától eltérő utolsó maradék. A szekvenciális osztás azt jelenti, hogy egy nagyobb számot osztunk kisebb számmal, egy kisebb számot az első maradékkal, az első maradékot egy második maradékkal stb., amíg az osztás maradék nélkül véget nem ér. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a GCD-t (455; 312).
455: 312 = 1 (maradék 143), 455 = 312 1 + 143-at kapunk.
312: 143 = 2 (fennmaradó 26), 312 = 143 2 + 26,
143: 26 = 5 (fennmaradó 13), 143 = 26 5 + 13,
26: 13 = 2 (maradék 0), 26 = 13 2.
Az utolsó osztó vagy az utolsó nem nulla maradék 13 a kívánt gcd (455; 312) = 13 lesz.
VII. Testnevelés perc
VIII. Dolgozik egy feladaton
1. 152. szám 26. o. (részletes megjegyzésekkel a táblán és füzetekben).
Olvassa el a problémát.
Miről beszél a probléma?
Mit mond a probléma?
Nevezd meg a probléma 1. kérdését!
Hogyan lehet megtudni, hány gyerek volt a karácsonyfánál? (Keresse meg a 123-as és 82-es számok gcd-jét.)
Olvassa el a feladathoz tartozó feladatot a jegyzetfüzeteiből. (A narancs és az alma számának oszthatónak kell lennie a legnagyobb számmal.)
Hogyan lehet megtudni, hány narancs volt az egyes ajándékokban? (Ossza el a narancsok teljes számát a fánál lévő gyerekek számával.)
Hogyan lehet megtudni, hány alma volt az egyes ajándékokban? (Ossza el az összes almát a fánál lévő gyerekek számával.)
Írja le a probléma megoldását nyomtatott füzetekbe.
Megoldás:
GCD (123; 82) = 41, ami 41 főt jelent.
123:41 = 3 (ap.)
82:41 = 2 (alma)
(Válasz: 41 srác, 3 narancs, 2 alma.)
2. No. 164 (2) 27. o. (rövid elemzés után egy tanuló - a tábla hátoldalán, a többiek önállóan, majd önteszt).
Olvassa el a problémát.
Mi a kialakult szög fokmérője?
Ha az egyik szög 4-szer kisebb, akkor mit mondhatunk a második szögről? (4-szer nagyobb.)
Írd le egy rövid jegyzetben.
Hogyan fogja megoldani a problémát? (Algebrai.)
Megoldás:
1) Legyen x az RNS szög mértéke,
4x - fokos szögmérték KOD.
Mivel az RNS és a szögek összege KOD egyenlő 180°-kal, akkor létrehozzuk az egyenletet:
x + 4x = 180
5x = 180
x = 180:5
x = 36; A 36° az SOC szög fokos mértéke.
2) 36 · 4 = 144° - fokos szögmérték KOD.
(Válasz: 36°, 144°.)
Szerkessze meg ezeket a szögeket.
Határozza meg az RNS szögek típusát és KOD . (A SOK szög hegyes, szög KOD - hülye.)
Miért?
IX. A tanult anyag megerősítése
1. 149. szám 26. (részletes kommentárral ellátott táblánál).
Mit kell tennie annak megállapításához, hogy a számok másodprímek? (Keresd meg a legnagyobb közös osztójukat; ha egyenlő 1-gyel, akkor a számok viszonylag prímek.)
2. 150. szám 26. o. (szóbeli).
Kérjük, erősítse meg válaszát. (9 és 14; 14 és 15; 14 és 27 pár prímszám, mivel a gcd-jük 1.)
3. 151. szám 26. o. (egy diák a táblánál, a többi füzetben).
(Válasz: 
.)
Ki nem ért egyet?
4. Szóban, részletes magyarázattal.
Hogyan találja meg több természetes szám legnagyobb közös osztóját? (Ugyanúgy keresse meg, mint két számot.)
Keresse meg a számok legnagyobb közös osztóját:
a) 18, 14 és 6; b) 26, 15 és 9; c) 12, 24, 48; d) 30, 50, 70.
Megoldás:
a) 1. Ellenőrizzük, hogy a 18 és 14 számok oszthatók-e 6-tal.
2. Tényezőzzük a legkisebb 6 = 2 3 számot.
3. Ellenőrizzük, hogy a 18 és 14 számok oszthatók-e 3-mal.
4. Ellenőrizzük, hogy a 18 és 14 számok oszthatók-e 2-vel. Igen. Ezért GCD (18; 14; 6) = 2.
b) GCD (26; 15; 9) = 1.
Mit lehet mondani ezekről a számokról? (Viszonylag elsőrangúak.)
c) GCD (12; 24; 48) = 12.
d) GCD (30; 50; 70) = 10.
X. Önálló munka
Peer review. (A válaszok fel vannak írva a zárótáblára.)
I. lehetőség 161. szám (a, b) 27. o., 157. szám (b - 1. és 3.) 27. o.
lehetőség II . 161. szám (c, d) 27. o., 157. szám (b - 2. és 3.) 27. o.
XI. Összegezve a tanulságot
Milyen számokat nevezünk koprímnek?
Hogyan állapítható meg, hogy a megadott számok másodprímek?
Hogyan találjuk meg több természetes szám legnagyobb közös osztóját?
Házi feladat
No. 169 (6), 170 (c, d), 171, 174, 28. o.
Kiegészítő feladat:Ha átrendezi a 311-es prímszám számjegyeit, ismét egy prímszámot kap (ezt ellenőrizze a prímszámtáblázattal). Keresse meg az összes azonos tulajdonságú kétjegyű számot. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)