A téma tanulmányozása során a kényelem és az áttekinthetőség érdekében összefoglaló táblázatot mutatunk be.

Állandóy = C Hatványfüggvény y = x p (x p) " = p x p - 1	Exponenciális függvényy = ax (a x) " = a x ln a Főleg mikora = enekünk van y = e x (e x) " = e x
Logaritmikus függvény (log a x) " = 1 x ln a Főleg mikora = enekünk van y = log x (ln x) " = 1 x	Trigonometrikus függvények (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Inverz trigonometrikus függvények (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperbolikus függvények (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Vizsgáljuk meg, hogyan kaptuk meg a megadott táblázat képleteit, vagy más szóval, bizonyítsuk be az egyes függvénytípusokhoz tartozó derivált képletek származtatását.

Egy állandó származéka

Bizonyíték 1

Ennek a képletnek a származtatásához egy függvény deriváltjának definícióját vesszük alapul egy pontban. Használjuk x 0 = x, ahol x bármely valós szám értékét veszi fel, vagy más szóval x tetszőleges szám az f (x) = C függvény tartományából. Írjuk fel egy függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát ∆ x → 0 értékkel:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vegye figyelembe, hogy a 0 ∆ x kifejezés a határjel alá esik. Nem a „nulla osztva nullával” bizonytalanságról van szó, mivel a számláló nem végtelenül kicsi értéket tartalmaz, hanem pontosan nullát. Más szóval, egy állandó függvény növekménye mindig nulla.

Tehát az f (x) = C konstans függvény deriváltja a teljes definíciós tartományban nullával egyenlő.

1. példa

Az állandó függvények a következők:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Megoldás

Ismertesse a megadott feltételeket. Az első függvényben a 3 természetes szám deriváltját látjuk. A következő példában a származékát kell vennie A, Ahol A- bármilyen valós szám. A harmadik példa megadja a 4-es irracionális szám deriváltját. 13 7 22, a negyedik a nulla deriváltja (nulla egész szám). Végül az ötödik esetben megkapjuk a racionális tört deriváltját - 8 7.

Válasz: adott függvények deriváltjai bármely valós esetén nullák x(a teljes definíciós területen)

f 1 " (x) = (3) " = 0, f 2 " (x) = (a) " = 0, a ∈ R , f 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0, f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Hatványfüggvény származéka

Térjünk át a hatványfüggvényre és a derivált képletére, amelynek alakja: (x p) " = p x p - 1, ahol a kitevő p bármilyen valós szám.

Bizonyíték 2

Íme a képlet bizonyítéka, amikor a kitevő természetes szám: p = 1, 2, 3, …

Ismét a derivált definíciójára hagyatkozunk. Írjuk fel egy hatványfüggvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

A számlálóban a kifejezés egyszerűsítésére Newton binomiális képletét használjuk:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

És így:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x ( ∆ x) p - 2 + C p p ( ∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Így bebizonyítottuk a hatványfüggvény derivált képletét, ha a kitevő természetes szám.

Bizonyíték 3

Bizonyítékot szolgáltatni arra az esetre, amikor p- nullától eltérő valós szám esetén a logaritmikus deriváltot használjuk (itt meg kell értenünk a különbséget a logaritmikus függvény deriváltjától). A teljesebb megértés érdekében tanácsos tanulmányozni a logaritmikus függvény deriváltját, és jobban megérteni egy implicit függvény deriváltját és egy komplex függvény deriváltját.

Vegyünk két esetet: mikor x pozitív és mikor x negatív.

Tehát x > 0. Ekkor: x p > 0 . Logaritáljuk az y = x p egyenlőséget e bázisra, és alkalmazzuk a logaritmus tulajdonságát:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Ebben a szakaszban egy implicit módon meghatározott függvényt kaptunk. Határozzuk meg a származékát:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Most azt az esetet vesszük figyelembe, amikor x - negatív szám.

Ha a jelző p páros szám, akkor a hatványfüggvény x-re van definiálva< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Aztán x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ha p páratlan szám, akkor a hatványfüggvény x-re van definiálva< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Az utolsó átmenet annak köszönhető, hogy ha p akkor páratlan szám p - 1 vagy páros szám vagy nulla (p = 1 esetén), tehát negatív esetén x a (- x) p - 1 = x p - 1 egyenlőség igaz.

Tehát bebizonyítottuk a hatványfüggvény derivált képletét bármely valós p-re.

2. példa

Adott funkciók:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Határozza meg származékaikat!

Megoldás

A megadott függvények egy részét a fok tulajdonságai alapján y = x p táblázatos alakra alakítjuk, majd a képletet használjuk:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Exponenciális függvény deriváltja

4. bizonyítás

Vezessük le a derivált képletet a definíció alapján:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Elbizonytalanodtunk. Kibontásához írjunk fel egy új z = a ∆ x - 1 változót (z → 0 mint ∆ x → 0). Ebben az esetben a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Az utolsó átmenethez az új logaritmusbázisra való áttérés képletét használták.

Helyettesítsük be az eredeti határt:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Emlékezzünk a második figyelemre méltó határértékre, majd megkapjuk az exponenciális függvény deriváltjának képletét:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

3. példa

Az exponenciális függvények a következők:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Meg kell találni a származékaikat.

Megoldás

Az exponenciális függvény és a logaritmus tulajdonságainak deriválására a képletet használjuk:

f 1 "(x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmikus függvény deriváltja

Bizonyíték 5

Bizonyítsuk be a logaritmikus függvény deriváltjának képletét bármelyikre x a definíció tartományában és a logaritmus a bázisának bármely megengedett értéke. A derivált definíciója alapján a következőket kapjuk:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

A jelzett egyenlőségláncból jól látható, hogy a transzformációk a logaritmus tulajdonságain alapultak. A lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e egyenlőség a második figyelemre méltó határnak megfelelően igaz.

4. példa

A logaritmikus függvények adottak:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Ki kell számítani a származékaikat.

Megoldás

Alkalmazzuk a származtatott képletet:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Tehát a természetes logaritmus deriváltja eggyel osztva x.

Trigonometrikus függvények származékai

6. bizonyítás

Használjunk néhány trigonometrikus képletet és az első csodálatos határértéket egy trigonometrikus függvény deriváltjának képletének származtatására.

A szinuszfüggvény deriváltjának definíciója szerint a következőt kapjuk:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

A szinuszok különbségének képlete lehetővé teszi a következő műveletek végrehajtását:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Végül az első csodálatos határt használjuk:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Tehát a függvény deriváltja bűn x akarat cos x.

Bebizonyítjuk a koszinusz deriváltjának képletét is:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Azok. a cos x függvény deriváltja lesz – sin x.

Levezetjük az érintő és a kotangens deriváltjainak képleteit a differenciálás szabályai alapján:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Inverz trigonometrikus függvények deriváltjai

Az inverz függvények deriváltjairól szóló rész átfogó tájékoztatást ad az arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens deriváltjainak bizonyításáról, ezért itt nem fogjuk megkettőzni az anyagot.

Hiperbolikus függvények származékai

Bizonyíték 7

A hiperbolikus szinusz, koszinusz, tangens és kotangens deriváltjainak képleteit a differenciálási szabály és az exponenciális függvény deriváltjának formulája segítségével levezethetjük:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Hatványfüggvény derivált képletének levezetése (x az a hatványára). Az x gyökeinek származékait tekintjük. Egy magasabb rendű hatványfüggvény deriváltjának képlete. Példák a származékok kiszámítására.

Tartalom

Lásd még: Hatványfüggvény és gyökök, képletek és grafikon
Teljesítményfüggvény grafikonok

Alapképletek

Az x a hatványának deriváltja egyenlő azzal, hogy x x mínusz egy hatványa:
(1) .

Az x n-edik gyökének az m-edik hatványra való deriváltja:
(2) .

Hatványfüggvény deriváltjának képletének levezetése

x > 0

Tekintsük az x változó a kitevőjű hatványfüggvényét:
(3) .
Itt a egy tetszőleges valós szám. Először nézzük meg az esetet.

A (3) függvény deriváltjának megtalálásához egy hatványfüggvény tulajdonságait használjuk, és a következő alakra alakítjuk:
.

Most megtaláljuk a származékot a következő használatával:
;
.
Itt .

A Forma (1) bevált.

Az x n fokú gyökének m fokra való deriváltjának képlet levezetése

Most nézzünk meg egy függvényt, amely a következő alak gyökere:
(4) .

A derivált megkereséséhez a gyököt hatványfüggvényré alakítjuk:
.
A (3) képlettel összehasonlítva azt látjuk
.
Akkor
.

Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a deriváltot:
(1) ;
;
(2) .

A gyakorlatban nincs szükség a (2) képlet memorizálására. Sokkal kényelmesebb először a gyököket hatványfüggvényekké alakítani, majd az (1) képlet segítségével megkeresni a származékaikat (lásd a példákat az oldal végén).

x = 0

Ha , akkor a hatványfüggvény az x = változó értékére van definiálva 0 . Keressük meg a (3) függvény deriváltját x =-nél 0 . Ehhez a derivált definícióját használjuk:
.

Helyettesítsük x = 0 :
.
Ebben az esetben deriválton azt a jobb oldali határt értjük, amelyre .

Így találtuk:
.
Ebből egyértelmű, hogy a , .
Nál nél , .
Nál nél , .
Ezt az eredményt az (1) képletből is megkapjuk:
(1) .
Ezért az (1) képlet x = esetén is érvényes 0 .

x. eset< 0

Tekintsük újra a (3) függvényt:
(3) .
Az a konstans bizonyos értékeihez az x változó negatív értékeihez is definiálva van. Nevezetesen, legyen a racionális szám. Ekkor egy irreducibilis törtként ábrázolható:
,
ahol m és n olyan egész számok, amelyeknek nincs közös osztójuk.

Ha n páratlan, akkor a hatványfüggvény az x változó negatív értékeire is definiálva van. Például, ha n = 3 és m = 1 megvan az x kockagyöke:
.
Az x változó negatív értékeire is definiálva van.

Keressük meg a hatványfüggvény (3) deriváltját az a konstans racionális értékeire, amelyekre definiáltuk. Ehhez ábrázoljuk x-et a következő formában:
.
Akkor ,
.
A deriváltot úgy találjuk meg, hogy az állandót a derivált előjelén kívülre helyezzük, és alkalmazzuk a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabályt:

.
Itt . De
.
Azóta
.
Akkor
.
Vagyis az (1) képlet a következőkre is érvényes:
(1) .

Magasabb rendű származékok

Most keressük a hatványfüggvény magasabb rendű deriváltjait
(3) .
Már megtaláltuk az elsőrendű származékot:
.

Ha az a konstanst a derivált előjelén kívülre vesszük, a másodrendű deriváltot találjuk:
.
Hasonlóképpen találjuk a harmadik és negyedik rend származékait:
;

.

Ebből egyértelmű, hogy tetszőleges n-edrendű származéka a következő formája van:
.

vegye észre, az ha a természetes szám, akkor az n-edik derivált állandó:
.
Ekkor az összes következő derivált nulla:
,
nál nél .

Példák a származékok kiszámítására

Példa

Keresse meg a függvény deriváltját:
.

Konvertáljuk a gyökereket hatványokká:
;
.
Ekkor az eredeti függvény a következő alakot veszi fel:
.

Hatványok származékainak keresése:
;
.
Az állandó deriváltja nulla:
.

A táblázat legelső képletének származtatásánál a derivált függvény definíciójából indulunk ki egy ponton. Vegyük hova x- bármilyen valós szám, azaz x– tetszőleges szám a függvény definíciós tartományából. Írjuk fel a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát:

Megjegyzendő, hogy a határjel alatt a kifejezést kapjuk, amely nem a nulla nullával osztva bizonytalansága, mivel a számláló nem végtelenül kicsi értéket tartalmaz, hanem pontosan nullát. Más szóval, egy állandó függvény növekménye mindig nulla.

És így, állandó függvény deriváltjaegyenlő nullával a teljes definíciós tartományban.

Hatványfüggvény származéka.

A hatványfüggvény deriváltjának képlete alakja , ahol a kitevő p– bármilyen valós szám.

Először bizonyítsuk be a természetes kitevő képletét, azaz for-t p = 1, 2, 3, …

A derivált definícióját fogjuk használni. Írjuk fel egy hatványfüggvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát:

A számlálóban a kifejezés egyszerűsítéséhez forduljunk a Newton-binomiális képlethez:

Ennélfogva,

Ez bizonyítja a hatványfüggvény derivált képletét természetes kitevőre.

Exponenciális függvény deriváltja.

Bemutatjuk a derivált képlet levezetését a definíció alapján:

Elérkeztünk a bizonytalansághoz. Bővítéséhez új változót vezetünk be, és itt: . Akkor . Az utolsó átmenetben az új logaritmikus bázisra való áttérés képletét használtuk.

Helyettesítsük be az eredeti határt:

Ha felidézzük a második figyelemre méltó határt, akkor az exponenciális függvény deriváltjának képletéhez jutunk:

Logaritmikus függvény deriváltja.

Bizonyítsuk be a logaritmikus függvény deriváltjának képletét mindenkire x a definíciós tartományból és az alap összes érvényes értékéből a logaritmus A származékos definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

Mint észrevette, a bizonyítás során a transzformációkat a logaritmus tulajdonságaival hajtották végre. Egyenlőség igaz a második figyelemre méltó határ miatt.

Trigonometrikus függvények származékai.

A trigonometrikus függvények deriváltjainak képleteinek származtatásához fel kell idéznünk néhány trigonometriai képletet, valamint az első figyelemre méltó határértéket.

A szinuszfüggvény deriváltjának definíciója szerint .

Használjuk a szinuszok különbségét:

Már csak az első figyelemre méltó határhoz kell fordulni:

Így a függvény deriváltja bűn x Van cos x.

A koszinusz deriváltjának képlete pontosan ugyanígy van bizonyítva.

Ezért a függvény deriváltja cos x Van –sin x.

A tangens és a kotangens derivált táblázatához képleteket fogunk levezetni bizonyított differenciálási szabályokkal (tört deriváltja).

Hiperbolikus függvények származékai.

A differenciálás szabályai és az exponenciális függvény deriváltjának képlete a deriválttáblázatból lehetővé teszik, hogy a hiperbolikus szinusz, koszinusz, tangens és kotangens deriváltjaira képleteket származtassunk.

Az inverz függvény deriváltja.

A bemutatás közbeni félreértések elkerülése végett jelöljük alsó indexben annak a függvénynek az argumentumát, amellyel a differenciálás történik, vagyis a függvény deriváltja f(x)Által x.

Most fogalmazzuk meg szabály egy inverz függvény deriváltjának megtalálására.

Hagyjuk a függvényeket y = f(x)És x = g(y) kölcsönösen inverz, az intervallumokon, ill. Ha egy pontban van a függvénynek véges nem nulla deriváltja f(x), akkor a pontban van az inverz függvény véges deriváltja g(y), és . Egy másik bejegyzésben .

Ez a szabály bármelyikre újrafogalmazható x intervallumból, akkor kapjuk .

Ellenőrizzük ezeknek a képleteknek az érvényességét.

Keressük meg a természetes logaritmus inverz függvényét (Itt y egy függvény, és x- érvelés). Miután megoldotta ezt az egyenletet x, megkapjuk (itt x egy függvény, és y– érvelése). vagyis és kölcsönösen inverz függvények.

A származékok táblázatából azt látjuk És .

Győződjön meg arról, hogy az inverz függvény deriváltjainak keresésére szolgáló képletek ugyanarra az eredményre vezetnek:

Amint látja, ugyanazokat az eredményeket kaptuk, mint a derivált táblázatban.

Most már rendelkezünk az inverz trigonometrikus függvények deriváltjainak képleteinek bizonyításával.

Kezdjük az arcszinusz deriváltjával.

. Ekkor az inverz függvény deriváltjának képletével azt kapjuk

Már csak az átalakítások végrehajtása van hátra.

Mivel az arcszinusz tartomány az intervallum , Azt (lásd az alapvető elemi függvényekről, azok tulajdonságairól és grafikonjairól szóló részt). Ezért nem vesszük figyelembe.

Ennélfogva, . Az arszinus derivált definíciós tartománya az intervallum (-1; 1) .

Az ív koszinusz esetében minden pontosan ugyanúgy történik:

Keressük meg az arctangens deriváltját.

Mert az inverz függvény az .

Fejezzük ki az arctangenst arkoszinuszban, hogy egyszerűsítsük a kapott kifejezést.

Hadd arctgx = z, Akkor

Ennélfogva,

Az ívkotangens deriváltja hasonló módon található:

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.
Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Továbbra is fejlesztjük differenciálási technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk tárgyalt anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Minden az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik a sorban, és elsajátítása után magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos a „Hol máshol? Elég volt!”, hiszen minden példa és megoldás valós tesztekből származik, és gyakran találkozunk vele a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. A leckében Komplex függvény származéka Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

A jövőben más matan témák tanulmányozásakor ilyen részletes nyilvántartásra legtöbbször nincs szükség, feltételezhető, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilotán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá JobbÉRTSE MEG befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehet-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Ez valóban – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra, a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát alkalmazzuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet veszünk figyelembe, amikor a „szörnyű” logaritmust javasolják a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

Ezért előtt hogyan vegyük le egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog forogni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit kell tenni? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a végén egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

jegyzet : mert egy függvény negatív értékeket vehet fel, akkor általában modulokat kell használni: , amely a differenciálódás következtében eltűnik. Elfogadható azonban a jelenlegi kialakítás is, ahol alapból ezt veszik figyelembe összetett jelentések. De ha teljes szigorral, akkor mindkét esetben fenntartással kell élni, hogy.

Most a jobb oldal logaritmusát kell „szétszedni”, amennyire csak lehetséges (képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

Az a tény, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A lecke végén egy ilyen típusú minta minta látható.

A logaritmikus derivált segítségével a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, másik dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadunk:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Megtaláljuk a származékot, ehhez mindkét részt vonjuk be körvonalakkal:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely átalakítás nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban a hatvány-exponenciális függvény mindig bonyolultabb lesz, mint a vizsgált előadási példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :

Exponenciális hatványfüggvények vagy nehézkes törtkifejezések megkülönböztetésekor célszerű a logaritmikus deriváltot használni. Ebben a cikkben példákat tekintünk meg alkalmazására részletes megoldásokkal.

A további bemutatás feltételezi a deriválttáblázat, a differenciálási szabályok használatának képességét és a komplex függvény deriváltjának képletének ismeretét.

A logaritmikus derivált képletének levezetése.

Először a logaritmusokat e bázisra vesszük, a logaritmus tulajdonságaival egyszerűsítjük a függvény alakját, majd megkeressük az implicit módon megadott függvény deriváltját:

Például keressük meg egy x exponenciális hatványfüggvény deriváltját az x hatványra.

A logaritmusokat véve . A logaritmus tulajdonságai szerint. Az egyenlőség mindkét oldalának megkülönböztetése a következő eredményhez vezet:

Válasz: .

Ugyanez a példa megoldható a logaritmikus derivált használata nélkül is. Elvégezhet néhány transzformációt, és az exponenciális hatványfüggvény differenciálásától áttérhet egy komplex függvény deriváltjának megkeresésére:

Példa.

Keresse meg egy függvény deriváltját .

Megoldás.

Ebben a példában a függvény egy tört, és származéka a differenciálási szabályok segítségével megtalálható. De a kifejezés nehézkessége miatt ez sok átalakítást igényel. Ilyen esetekben célszerűbb a logaritmikus derivált képlet alkalmazása . Miért? Most meg fogod érteni.

Először keressük meg. A transzformációknál a logaritmus tulajdonságait fogjuk használni (egy tört logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével, a szorzat logaritmusa pedig a logaritmusok összegével, és a logaritmus előjele alatti kifejezés mértéke együtthatóként kivéve a logaritmus előtt):

Ezek az átalakítások egy meglehetősen egyszerű kifejezéshez vezettek, amelynek származékát könnyű megtalálni:

A kapott eredményt behelyettesítjük a logaritmikus derivált képletébe, és megkapjuk a választ:

Az anyag konszolidálásához további néhány példát adunk részletes magyarázat nélkül.

Példa.

Keresse meg egy exponenciális hatványfüggvény deriváltját!