A dinamika és a kinematika a fizika két fontos ága, amelyek a tárgyak térben való mozgásának törvényeit tanulmányozzák. Az első a testre ható erőket veszi figyelembe, míg a második közvetlenül a dinamikus folyamat jellemzőivel foglalkozik, anélkül, hogy belemélyedne annak okaiba. A fizika ezen ágainak ismeretét fel kell használni a ferde síkban történő mozgással kapcsolatos problémák sikeres megoldásához. Nézzük meg ezt a kérdést a cikkben.

A dinamika alapképlete

Természetesen a második törvényről beszélünk, amelyet Isaac Newton tételezett fel a 17. században a szilárd testek mechanikai mozgásának tanulmányozása során. Írjuk le matematikai formában:

Az F¯ külső erő hatására az a¯ lineáris gyorsulás jelenik meg egy m tömegű testben. Mindkét vektormennyiség (F¯ és a¯) ugyanabba az irányba van irányítva. A képletben szereplő erő a rendszerben jelenlévő összes erő testre gyakorolt ​​hatásának eredménye.

Forgó mozgás esetén Newton második törvénye a következőképpen írható:

Itt M és I a tehetetlenség, α a szöggyorsulás.

Kinematikai képletek

A ferde síkban történő mozgással kapcsolatos problémák megoldásához nemcsak a dinamika fő képletének, hanem a kinematika megfelelő kifejezéseinek ismerete is szükséges. A gyorsulást, a sebességet és a megtett távolságot egyenlőségbe kötik. Az egyenletesen gyorsított (egyenletesen lassított) egyenes vonalú mozgáshoz a következő képleteket használjuk:

S = v 0 *t ± a*t 2 /2

Itt v 0 a test kezdeti sebességének értéke, S az egyenes úton megtett út a t idő alatt. A "+" jelet hozzá kell adni, ha a test sebessége idővel növekszik. Ellenkező esetben (egyenletesen lassított) a „-” jelet kell használni a képletekben. Ez egy fontos szempont.

Ha a mozgást körpályán (tengely körüli forgás) hajtják végre, akkor a következő képleteket kell használni:

ω = ω 0 ± α*t;

θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2

Itt α és ω a sebesség, θ pedig a forgó test elfordulási szöge t idő alatt.

A lineáris és a szögjellemzőket a következő képletek kapcsolják össze:

Itt r a forgási sugár.

Mozgás ferde síkon: erők

Ez a mozgás egy tárgynak egy sík felület mentén történő mozgását jelenti, amely bizonyos szögben dől a horizonthoz. Ilyen például a deszkán csúszó blokk vagy egy ferde fémlapon gördülő henger.

A vizsgált mozgástípus jellemzőinek meghatározásához mindenekelőtt meg kell találni a testre (rúd, henger) ható összes erőt. Különbözőek lehetnek. Általában ezek a következő erők lehetnek:

• nehézkedés;
• támogató reakciók;
• és/vagy csúszás;
• menetfeszítés;
• külső vonóerő.

Közülük az első három mindig jelen van. Az utóbbi kettő létezése a fizikai testek sajátos rendszerétől függ.

A ferde sík mentén történő mozgással járó problémák megoldásához nemcsak az erőmodulokat, hanem azok hatásirányait is ismerni kell. Ha egy test egy síkon legurul, a súrlódási erő ismeretlen. Ezt azonban a megfelelő mozgásegyenletrendszer határozza meg.

Megoldás módszere

Az ilyen típusú problémák megoldása az erők és hatásirányaik meghatározásával kezdődik. Ehhez először a gravitációs erőt veszik figyelembe. Kétkomponensű vektorra kell bontani. Az egyiket a ferde sík felülete mentén kell irányítani, a másodiknak pedig merőlegesnek kell lennie. Lefelé mozgó test esetén a gravitáció első összetevője adja a lineáris gyorsulását. Ez egyébként megtörténik. A második egyenlő: Mindezek a mutatók különböző paraméterekkel rendelkezhetnek.

A ferde sík mentén történő mozgás során a súrlódási erő mindig a test mozgása ellen irányul. Ha csúsztatásról van szó, a számítások meglehetősen egyszerűek. Ehhez használja a következő képletet:

Ahol N a támogatási reakció, µ a súrlódási együttható, amelynek nincs mérete.

Ha csak ez a három erő van jelen a rendszerben, akkor eredőjük a ferde sík mentén egyenlő lesz:

F = m*g*sin(φ) – µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) – µ*cos(φ)) = m*a

Itt φ a sík dőlésszöge a horizonthoz képest.

Az F erő ismeretében a Newton-törvény segítségével meghatározhatjuk az a lineáris gyorsulást. Ez utóbbi pedig a ferde sík mentén történő mozgás sebességének meghatározására szolgál ismert idő elteltével és a test által megtett távolsággal. Ha belenézel, megértheted, hogy nem minden olyan bonyolult.

Abban az esetben, ha egy test csúszás nélkül gördül le egy ferde síkon, az F összerő egyenlő:

F = m*g*sin(φ) - F r = m*a

Hol F r - Nem ismert. Amikor egy test gördül, a gravitációs erő nem hoz létre pillanatot, mivel a forgástengelyre hat. F r viszont a következő momentumot hozza létre:

Tekintettel arra, hogy két egyenletünk és két ismeretlenünk van (α és a kapcsolatban állnak egymással), könnyen meg tudjuk oldani ezt a rendszert, tehát a problémát.

Most nézzük meg, hogyan használhatjuk a leírt technikát konkrét problémák megoldására.

Egy blokk ferde síkon való mozgásával kapcsolatos probléma

A fahasáb a ferde sík tetején van. Ismeretes, hogy 1 méter hosszú és 45°-os szögben helyezkedik el. Ki kell számolni, hogy mennyi idő alatt ereszkedik le a blokk ezen a síkon csúszás következtében. Vegyük a súrlódási együtthatót 0,4-nek.

Adott fizikai rendszerre írjuk fel Newton törvényét, és kiszámítjuk a lineáris gyorsulás értékét:

m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>

a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 m/s 2

Mivel ismerjük azt a távolságot, amelyet a blokknak meg kell tennie, a következő képletet írhatjuk fel az egyenletesen gyorsított mozgás során, kezdősebesség nélkül:

Hol fejezzük ki az időt és cseréljük ki az ismert értékeket:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 s

Így a blokk ferde síkja mentén történő mozgáshoz szükséges idő egy másodpercnél kevesebb lesz. Vegye figyelembe, hogy a kapott eredmény nem függ a testtömegtől.

Probléma egy síkon legördülő hengerrel

Egy 20 cm sugarú és 1 kg tömegű hengert 30 o-os szögben ferde síkra helyezünk. Ki kell számítani a maximális lineáris sebességet, amelyet akkor ér el, amikor legurul egy repülőgép, ha annak hossza 1,5 méter.

Írjuk fel a megfelelő egyenleteket:

m*g*sin(φ) - F r = m*a;

F r *r = I*α = I*a/r

Az I. henger tehetetlenségi nyomatékát a következő képlettel számítjuk ki:

Helyettesítsük be ezt az értéket a második képletbe, fejezzük ki belőle az F r súrlódási erőt és cseréljük le az első egyenletben kapott kifejezéssel, így kapjuk:

F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >

m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>

a = 2/3*g*sin(φ)

Megállapítottuk, hogy a lineáris gyorsulás nem függ a síkról leguruló test sugarától és tömegétől.

Tudva, hogy a sík hossza 1,5 méter, megkapjuk a test mozgási idejét:

Ekkor a maximális mozgási sebesség a henger ferde síkja mentén egyenlő lesz:

v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))

A feladatfeltételekből ismert összes mennyiséget behelyettesítjük a végső képletbe, és azt a választ kapjuk: v ≈ 3,132 m/s.

DÖNTŐ SÍKBŐL KIRULÓ TEST TEhetetlenségi nyomatékának meghatározása

CÉL : elsajátítja az egyszerű elemekből álló testek tehetetlenségi nyomatékának kiszámítását, számítási és kísérleti módszerekkel határozza meg a test tehetetlenségi nyomatékát a pillanatnyi forgástengelyhez képest

FELSZERELÉS : beépítés, karosszéria készlet, stopper

ELMÉLETI RÉSZ

TELEPÍTÉSI LEÍRÁS

A munka olyan testeket használ, amelyek tengelye egy r sugarú hengeres rúd. Az egyik ábra. 1) párhuzamos 2 vezetékekre helyezve α1 és α2 szöget képezve a horizonttal.

Ha a testet elengedjük, legurul, eléri az alsó pontot, és tehetetlenségből tovább haladva a vezetők mentén felfelé emelkedik. Egy olyan test mozgását, amelyben minden pont pályája párhuzamos síkban fekszik, síkbelinek nevezzük. A síkbeli mozgás kétféleképpen ábrázolható: vagy egy test tömegközéppont sebességű transzlációs mozgásának és a tömegközépponton áthaladó tengely körüli forgó mozgásának kombinációjaként; vagy amint forgó mozgást végez egy pillanatnyi forgástengely (MOB) körül, amelynek helyzete folyamatosan változik. Esetünkben ez a pillanatnyi Z tengely halad át a vezetők és a mozgó rúd érintkezési pontjain.

A MÉRÉSI MÓDSZER LEÍRÁSA

A test gurításakor, magasból eséskor áthalad az úton l0, és tehetetlenséggel olyan magasságba emelkedve, amelyen az út elhalad l. Az alsó pontban a tömegközéppont transzlációs mozgásának sebessége , a test szögsebessége

Ahol t- a mozgás ideje a felső ponttól az aljáig, r - a rúd sugara (tengely).

A gördülő testre az Mtr ellenállási nyomaték hat. Munkája az l0 pályán egyenlő A = Mtrφ ahol a szögpálya φ = l0/r.

Az energiamegmaradás törvénye az l0 útszakaszon alakja

, (2)

ahol J a gördülő test MOB-hoz viszonyított tehetetlenségi nyomatéka, m - testtömeg, beleértve a rúd tömegét is.

Amikor egy test h0 magasságból lefelé mozdul és h magasságba gördül, az ellenállási erők által végzett munka az út mentén ( l + l0) egyenlő a potenciális energia veszteséggel

https://pandia.ru/text/80/147/images/image008_41.gif" width="146 height=48" height="48"> (4)

Itt a mennyiség (α1 és α2) egy adott berendezés állandója.

A test MOB-hoz viszonyított tehetetlenségi nyomatékát a Steiner-tétel határozza meg: J = J0 + ma2, (5)

8. Milyen függvényeket nevezünk mozgásintegráloknak?

9. Sorolja fel a mozgás additív integráljait!

10. Hogyan érti a következő fizikai kategóriákat: „idő egyenletessége”, „tér homogenitása”, „tér izotrópiája”, és hogyan kapcsolódnak ezek a mozgás additív integráljaihoz?

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1. Milyen módszerrel határozható meg egy test tehetetlenségi nyomatéka?

2. Jelölje meg az esetleges szisztematikus mérési hibákat.

3. Adja meg a kinetikus és potenciális energia értékeit, amikor egy test gurul: a mozgás elején és végén, az alsó pontban és egy tetszőleges pontban.

4. Ismertesse a testmozgások természetét vezetők mentén! Milyen erő hoz létre nyomatékot a forgástengely körül?

5. Hogyan mérjük ebben a munkában az ω szögsebességet?

6. Milyen mennyiségek mérésével határozzuk meg az ω sebességet, a súrlódási erők nyomatékát, a súrlódási erők munkáját?

7. Milyen egyenletek állnak a tehetetlenségi nyomaték meghatározására szolgáló dinamikus módszerek mögött?

8. Jelölje meg a mérések véletlenszerű hibáinak lehetséges forrásait!

9. Egy m tömegű és R sugarú homogén henger vízszintes síkban csúszás nélkül gördül. A henger közepe υ0 sebességgel mozog. Keressen kifejezést a henger mozgási energiájának meghatározására!

10. Számítsa ki a Föld tengely körüli mozgásából adódó impulzusimpulzusát! Hasonlítsd össze ezt a pillanatot a Föld Nap körüli mozgása által okozott szögimpulzussal. A Földet homogén gömbnek tekintik, a Föld pályája pedig egy kör.

Sterlitamak

Ferde síkban lefelé gördülő testek tanulmányozása

A munka célja : elsajátítanak bizonyos jártasságot a fizikai jelenségek önálló kutatásában és a kapott eredmények feldolgozásában.

Berendezések és tartozékok : ferde sík (tribométer), skálavonalzó, testkészlet, mérleg, stopper.

Gyakorlat. Vizsgáljuk meg a hengerek és a golyók gördülését egy ferde sík mentén.

Jegyzet: Ha egy henger vagy golyó a vízszintessel enyhe szögben elhelyezkedő ferde síkon gördül le, akkor a gördülés csúszás nélkül történik. Ha a sík dőlésszöge túllép egy bizonyos határértéket, akkor csúszással gurulás következik be.

A feladat végrehajtása során meg kell határozni azt a határszöget, amelynél a testek gördülése elkezdődik a csúszással. A vizsgálat eredményei alapján állítsa össze a kutatási módszertant tükröző jelentést, adja meg a megfigyelési eredmények táblázatát és adjon magyarázatot arra, hogy egy bizonyos értéket meghaladó szögnél miért következik be a testek elgurulása csúszással.

Ezenkívül a feladat magában foglalja a hengerek és a golyó tehetetlenségi nyomatékának meghatározását a ferde síkban való legurulás megfigyelései alapján.

Rövid elmélet

Tegyük fel, hogy egy henger csúszás nélkül gördül le egy ferde síkon. A hengerre külső erők hatnak: a gravitáció, a súrlódási erő és a síkból érkező reakcióerő. A mozgást transzlációsnak tekintjük, amelynek sebessége megegyezik a tömegközéppont sebességével, és forgónak a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest.

Egyenlet a golyó (henger) tömegközéppontjának mozgására

vagy skaláris formában vetületekben:

az OX tengelyhez: .

a műveleti erősítő tengelyéhez:

Egy tengely körüli nyomatékegyenlet

Amikor nincs csúszás

Határozzuk meg azt a gyorsulást, amelyet a henger elér a jelzett erők hatására. Megtalálható a gördülő test mozgási energiájának kifejezésével

,

(1)

ahol a golyó (henger) tömege, a tömegközéppont transzlációs sebessége, a golyó tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva, a forgás szögsebessége a forgástengelyhez viszonyítva .

A test mozgási energiájának változása megegyezik a testre ható külső erők munkájával. A sík súrlódási erejének és reakciójának elemi munkája nullával egyenlő, mert hatásvonalaik áthaladnak a pillanatnyi forgástengelyen (). Következésképpen a test mozgási energiájának változása csak a gravitáció hatására következik be

ahol a tömegközéppont végsebessége a ferde sík végén, a kezdeti sebesség, ez egyenlő nullával, ezért

,

(6)

ahol a test legurulásának ideje egy ferde síkon, a golyó (henger) sugara, a golyó (henger) tömege, a sík dőlésszöge a horizonthoz képest, a golyó (henger) sugara ferde sík.

A fenti értékek mérésével kiszámíthatja a gördülőhenger tehetetlenségi nyomatékát. Lehet tömör, üreges, kialakító felületén hornyokkal stb. (9) képlet: hengerre és labdára is érvényes.

Végezze el a kísérletet mindegyik testtel legalább háromszor. A megfigyelések és számítások eredményeit az 1. táblázat tartalmazza.

Asztal 1

Nem.	Guruló testforma	Súly, kg	Sugár, m	A ferde sík hossza (m)	Gördülési idő, s	Tehetetlenségi nyomaték, kg m 2

Határozza meg minden esetben a meghatározás hibáját.

Határozza meg elméletileg az egyes testek tehetetlenségi nyomatékának értékét! Hasonlítsa össze a testek tehetetlenségi nyomatékának elméletileg és kísérletileg meghatározott értékeit, és ha nem esnek egybe, magyarázza meg az okot.

Ellenőrző kérdések

1. Határozza meg a nyomatékot. Írd vektoros formában. Mekkora a nyomaték iránya az erőhöz képest? Mekkora az erő sugárvektora? Rajzold le és mutasd meg a képen.

2. Milyen irányú a szöggyorsulás és a szögsebesség?

3. Határozza meg egy anyagi pont és egy abszolút merev test tehetetlenségi nyomatékát! A tehetetlenség fizikai jelentése.

4. Vezesse le a golyó és a henger tehetetlenségi nyomatékát!

5. Bizonyítsa be Steiner tételét!

6. Fogalmazza meg a forgó mozgás során az energia megmaradásának törvényét!

7. Vezesse le a mozgási energia számítási képletét a test forgásának figyelembevételével!

8. Vezesse le a testek rendszerének impulzusának megmaradásának törvényét!

9. Határozza meg a fűtési rendszer tömegközéppontját.

10. Fogalmazza meg azokat a feltételeket, amelyek mellett egy test csúszás nélkül gurul, és állítsa le a számítás során használt képleteket!

11. Fogalmazza meg a forgó mozgás dinamikájának törvényeit, és származtassa azokat egy anyagi pontra és egy abszolút merev testre!

12. Magyarázza el, hogyan számították ki a munka mérési hibáját!

RF OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUM

AZ FSBEI HPE "UFA ÁLLAMI REPÜLÉSI MŰSZAKI EGYETEM" ÁGAZATA

STERLITAMAK VÁROSBAN

Irányelvek

általános fizika tárgykörében végzett laboratóriumi munkákhoz

szakasz: szakasz: "Mechanika. Mechanikai rezgések. Statisztikai fizika és termodinamika"

LABORATÓRIUMI MUNKA 9. sz

Az együttható meghatározása
folyadékok belső súrlódása

Sterlitamak

A munka célja: Stokes módszerrel határozzuk meg egy ismeretlen folyadék belső súrlódási együtthatóját.

Műszerek és felszerelések:üveghenger a tesztfolyadékkal, stopperóra, különböző átmérőjű golyók, mikrométer.

Rövid elmélet

Minden viszkózus folyadékban mozgó test húzóerőnek van kitéve. Általános esetben ennek az erőnek a nagysága sok tényezőtől függ: a folyadék belső súrlódásától, a test alakjától, az áramlás természetétől stb.

A folyadékban a makroszkopikus mozgások során fellépő belső súrlódási erő egyenesen arányos a sebességgradienssel. Az arányossági együtthatót belső súrlódási tényezőnek, vagy egyszerűen a folyadék viszkozitásának nevezzük. A viszkozitás (vagy dinamikus viszkozitás) számszerűen egyenlő a párhuzamosan mozgó folyadékrétegek határfelületének egységnyi területére ható belső súrlódási erővel, amikor mozgásuk sebessége eggyel csökken, amikor a határra merőleges irányban mozognak, egységnyi hosszra, azaz ~ at .

.

(1)

Az (1) törvényt Newton kísérleti adatok elemzéséből kapta, és ez volt az alapja a viszkózus folyadékok és gázok mozgásának tanulmányozásának.

Példaként vegyük egy kis folyadék sugarú golyó egyenletes mozgását.

Jelöljük a golyó folyadékhoz viszonyított sebességét.

A labda által magával ragadott szomszédos folyadékrétegekben a sebességek eloszlásának az 1. ábrán látható alaknak kell lennie. A labda felületének közvetlen közelében ez a sebesség egyenlő, a távolsággal pedig csökken és gyakorlatilag nulla lesz. bizonyos távolságra a felszíntől. Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb a labda sugara, annál nagyobb a mozgásában részt vevő folyadék tömege, és arányosnak kell lennie

A labda felülete és a mozgó golyó által tapasztalt teljes súrlódási erő egyenlő

Az (5) képletet Stokes-törvénynek nevezzük.

A Stokes-képlet csak kellően kis méretű és kis mozgási sebességű testek esetén alkalmazható. Nagy sebességnél a folyadék összetett örvénymozgásai keletkeznek a mozgó testek körül, és a légellenállási erő a sebesség négyzetével arányosan növekszik, nem pedig az első hatványával.

A súrlódás szerepét a Reynolds-számnak nevezett dimenzió nélküli mennyiség jellemzi:

,

hol vannak a vizsgált folyadékáramlásra jellemző lineáris méretek. Csőn keresztül történő folyadékáramlás esetén - a cső sugara, - az átlagsebesség. Az arányt kinematikai viszkozitási együtthatónak nevezzük.

A Reynolds-szám szerepének magyarázatához vegyünk egy olyan folyadéktérfogat elemet, amelynek élhossza . Ennek a térfogatnak a kinetikus energiája egyenlő:

A folyadéktérfogat elemre ható súrlódási erő arányos annak felületével, viszkozitási együtthatójával és sebességgradiensével. Feltételezve, hogy a sebesség nagyságrendileg egyenlő távolságban nullára csökken (csőn keresztüli áramlás esetén - radiális irányban), azt kapjuk, hogy a sebességgradiens egyenlő . Így a súrlódási erő

A súrlódás szerepe a folyadékáramlásban kicsi, ha a munka kicsi a folyadéktérfogat mozgási energiájához képest, vagyis ha az egyenlőtlenség teljesül

,

De - Re a Reynolds-szám.

Így a folyadékáramlás során a súrlódási erők szerepe kicsi a magas Reynolds-számoknál.

Tekintsük a labda szabadesését egy viszkózus folyadékban, amelyre 3 erő hat: gravitáció, arkhimédeszi erő és a sebességtől függő húzóerő. Keressük meg a golyó folyadékban való mozgásának egyenletét.Newton második törvénye szerint

hol a labda térfogata; - sűrűsége; - folyadék sűrűsége; - a gravitáció gyorsulása.

Ezt az egyenletet megoldva azt találjuk

.

(9)

A (7) pontból látható, hogy a labda sebessége exponenciálisan közelíti az állandó sebességet. A sebesség megállapítását egy idődimenziós mennyiség határozza meg, amelyet relaxációs időnek nevezünk. Ha az esési idő többszöröse a relaxációs időnek, akkor a sebesség megállapításának folyamata befejezettnek tekinthető.

Kísérletileg mérve a golyó esési sebességének állandósult állapotát és az értéket, a képlet segítségével meghatározhatjuk a folyadék belső súrlódási együtthatóját.

,

(10)

(8)-ból következik.

Jegyzet: különböző sugarú golyók azonos sebességgel és különböző relaxációs idővel mozognak a folyadékban. Ha a tapasztalt sebességek és relaxációs idők teljes tartományában a (10) képlettel számított értékek azonosnak bizonyulnak, akkor az (5) képlet helyesen közvetíti az erők függését a labda sugarától. Függőség vagy függetlenség az elmélet helyességének és a kísérlet megbízhatóságának érzékeny mutatójaként szolgál. A kísérlet eredményeit csak akkor van értelme feldolgozni, ha az érték nem mutat szisztematikus függőséget a -tól. Ha ilyen függőséget észlelnek, az leggyakrabban az érfalak befolyásának köszönhető.

3. Mit jellemez a Reynolds-szám?

4. Lamináris és turbulens áramlás és kapcsolatuk a Reynolds-számmal.

5. Melyek a Stokes-törvény alkalmazhatóságának határai?

6. Milyen módszerek léteznek a súrlódási erő meghatározására?

7. Hogyan magyarázható a viszkózus súrlódás jelenségének mechanizmusa?

8. Milyen fizikai mennyiségektől függ a súrlódás?

9. Milyen energiaátalakítások mennek végbe, amikor a testek a súrlódási erő figyelembevételével mozognak?

10. Mekkora a statikus és csúszó súrlódási erő?

11. Magyarázza el a csúszó, statikus, viszkózus és gördülő súrlódást!

12. Miért nagyobb a csúszósúrlódás, mint a gördülési súrlódás?

13. Miért kisebb a viszkózus súrlódás, mint a csúszósúrlódás?

14. Hogyan nyilvánul meg a súrlódás a természetben? Mikor játszik pozitív vagy negatív szerepet? Hogyan lehet megszabadulni a súrlódástól?

1) Trofimova T.I. Fizika szak: tankönyv mérnöki és műszaki szakterületekhez az egyetemeken - M.: Academia, 2006.

2) Alexandrov I.V. és mások Modern fizika [Elektronikus forrás]: tankönyv minden oktatási forma műszaki és technológiai területen és szakon tanuló hallgatók számára - Ufa: UGATU, 2008.

3) Grinkrug M.S., Vakulyuk A.A. Laboratóriumi műhely fizikában [Elektronikus forrás] - St. Petersburg: Lan, 2012.

4) Kalashnikov N.P. A fizika alapjai: tankönyv egyetemek számára: 2 kötetben / N.P. Kalashnikov, M.A. Smondyrev - M.: Bustard, 2007.

A test felülettel való érintkezési pontjának csúszási sebessége nyilvánvalóan egyenlő a kerek test felületén lévő pontok lineáris sebessége és a test transzlációs mozgásának sebessége közötti különbséggel:

Mire

a csúszási sebesség nullává válik, és megkezdődik a tiszta gördülési mód.

A tiszta gördülési módban az egyenlőség teljesül

A gördülési stabilizáló szakasz hossza egyenlő

A felszabaduló hő mennyisége meghatározható az energiamegmaradás törvényével vagy a súrlódási nyomaték által végzett munka kiszámításával:

Vegye figyelembe, hogy az egyenletes transzlációs mozgás sebessége u sés a felszabaduló hőmennyiség K nem függnek a csúszósúrlódási együtthatótól m .

44. probléma. Egy kerek test csúszás nélkül gördül le egy ferde síkon. A sík szögben dől a vízszinteshez a. A gördülési súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül hagyva határozza meg a gördülő test gyorsulását. A súrlódási együttható milyen értékeinél m Lehet csúszás nélkül gurulni?

Megoldás. Nézzünk egy energetikai megoldást. Mivel a test csúszás nélkül gurul, és a légellenállás és a gördülési súrlódás elhanyagolható, mechanikai energiája a test mozgása során megmarad. Kezdetben a test nyugalomban van, és mechanikai energiája megegyezik a potenciális energiával mgh, és hengerlés után a mechanikai energia egyenlő a transzlációs mozgás kinetikus energiájának és a forgási energiának az összegével:

Ahol J c = CmR 2– egy kerek test tehetetlenségi nyomatéka a tehetetlenségi középponton átmenő tengely körül, m– testsúly (C – alakparaméter), u s- a test tehetetlenségi középpontjának sebessége, w– a test forgási szögsebessége ( R– kerek test sugara).

Mivel a test csúszás nélkül gurul, a tehetetlenségi középpont sebessége u sés a test forgásának szögsebessége w kapcsolatban áll a kapcsolattal u с =wR(lásd 43. feladat).

Az Eq. (1) a test tehetetlenségi középpontjának sebességére u s gurulás után találjuk

Ahol h– a magasság, ahonnan a test legurul.

A test tehetetlenségi középpontja gyorsulással mozog

mert S=h/sina, u (0)=0.

Kérdés a súrlódási együttható értékére vonatkozóan m energetikailag nem oldható meg.

Tekintsük a probléma dinamikus megoldását. A testre a gravitáció, a reakcióerő és a statikus súrlódási erő hat (lásd az ábrát). Ezen erők hatására a test forog és transzlációsan mozog a dinamikai egyenletek szerint:

Az egyenletrendszerből kizárva (4) És (5) súrlódási erő figyelembe véve azt u с =wRÉs J c = CmR 2, kapunk egy képletet a test tehetetlenségi középpontja gyorsulásának kiszámításához (3) .

Tekintsük a súrlódási együttható értékének becslésének kérdését m .

Fejezzük ki az egyenletrendszerből (4) És (5) súrlódási erő

A statikus súrlódási erő a maximális értékre korlátozódik

F tr max =mN=mmgsina.

Az állapottól F tr £F tr max olyan összefüggést kapunk, amely korlátozza a súrlódási együttható értékét

Csúszás nélküli gördülés adott súrlódási együttható mellett m dőlésszögeknél lehetséges a, kielégíti a feltételt

45. probléma. Kerek test sugárral r csúszás nélkül gördül egy ferde sík mentén, amely simán hengeres sugarú felületté válik R. Mekkora minimális magasságtól kell egy testet gurítani, hogy egy „hurok” formájú akadályt leküzdhessen? A légellenállást és a gördülési súrlódást figyelmen kívül kell hagyni.

Megoldás. Kerek test tehetetlenségi középpontjának sebessége egy pontban A

(lásd 44. feladat).

A henger belső felülete mentén történő mozgást egy dinamikus egyenletrendszer írja le:

Ahol J c = cmr 2- egy kerek test tehetetlenségi nyomatéka a saját forgástengelyéhez képest ( m- testtömeg, VAL VEL– form paraméter).

Az egyenletekhez (1)-(3) hozzá kell adni egy összefüggést, amely összeköti a test transzlációs mozgásának sebességét és a csúszás hiányában a forgás szögsebességét:

Az Eqs. (1) És (3) figyelembe véve a (4) keresse meg a test transzlációs mozgási sebességének egyenletét!

Integráljuk az utolsó egyenletet (lásd 32. feladat), ennek figyelembevételével u=u A nál nél j=0.

Elemezzük a fizikai helyzetet a B kritikus pontban. A testnek el kell érnie a B pontot, és nem szabad elszakadnia tőle.

A dinamika alapegyenletéből (2) a B ponthoz

világos, hogy a reakcióerő N B a transzlációs mozgás sebessége határozza meg ezen a ponton. A test nem válik le a ponton BAN BEN, Ha N B >0. Minimális testsebesség egy ponton BAN BEN, amelynél nem szakad el egy adott ponttól, azt úgy becsüljük meg, hogy teszünk N B =0:

A képletből (5) a kapott minimális süllyedési magasságra

Ugyanezt az eredményt kaphatjuk energetikai szempontok alapján is (ezt ellenőrizzük).

46. ​​probléma. A vízszintes asztal élprofilja sugarú félkörré van lekerekítve R. Egy r sugarú kerek test gördül az asztalon anélkül, hogy sebességgel megcsúszna u 0. A gördülési súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül hagyva határozza meg a test elválasztásának helyét az asztal felületétől és a test sebességét a szétválás pillanatában.

Megoldás. Amikor egy test egy vízszintes asztalfelület mentén mozog, a transzlációs mozgás sebessége és a forgás szögsebessége w=u 0/r ne változz.

Egy test kerekítés mentén történő mozgását a dinamikai egyenletek írják le:

Ahol J c = cmr 2, u c =wr(lásd a 44., 45. feladatot).

Egyenletrendszer megoldása (1) – (3) figyelembe véve a kezdeti állapotot u=u 0 nál nél j=0, találunk

A test transzlációs sebessége u c polárszöggel növekszik j, és a reakcióerő N csökken. Az elválás pontján N=0. Innen megkapjuk az elválasztási pontnak megfelelő poláris szög meghatározásához szükséges összefüggést:

A test transzlációs mozgásának sebessége a szétválás pillanatában egyenlő

Az eredményül kapott kifejezések a j otrÉs u negatív sok speciális esetet tartalmaz (erről ügyeljen).

Érdemes ellenőrizni a csúszás nélküli gördülés feltételezését. Az ilyen gördülés akkor lehetséges, ha a statikus súrlódási erő egyetlen ponton sem haladja meg a legnagyobb statikus súrlódási erőt:

Ezt az elemzést saját maga végezze el.

47. probléma. Olyan személy, akinek tömege m 1 =65 kg, a forgó platform szélétől a közepéig mozog. Ha a platformot homogén körnek, a személyt pedig anyagi pontnak tekintjük, becsüljük meg a rendszer mozgási energiájának változásait. Az emelvény tömege és sugara egyenlő m 2 =210 kg, R=2,1 m. A rendszer kezdeti forgási szögsebessége egyenlő w 0 = 2,3 rad/s

Megoldás. Kérdés: „Meg fog változni a rendszer kinetikus energiája?”

A problémafelvetésben megadott közelítések esetén a platform-személy rendszer elszigeteltnek tekinthető. Ezért, amikor egy személy a platform közepére mozog, a rendszer szögimpulzusa a platform forgástengelyéhez képest megmarad:

Ahol J0 =J(1+2m1/m2), J = 0,5 m 2 R 2– a platform tehetetlenségi nyomatéka a saját forgástengelyéhez képest, w-a rendszer forgási szögsebessége, miután egy személy a platform közepére mozog.

A rendszer kinetikus energiája nem marad meg. A mechanikai energia megtakarításához nem elegendő a rendszer leválasztásának puszta követelménye. A kölcsönható testek rendszerének is konzervatívnak kell lennie.

Konzervatív a rendszerünk? Egy személy csak a súrlódás miatt tud mozogni a platformhoz képest. A statikus súrlódási erő lehetővé teszi, hogy az emberi izomenergiát forgási kinetikus energiává alakítsák. Rendszerünk nem konzervatív. A rendszer kinetikus energiája az emberi bioenergia hatására megnő. Amikor az emelvény közepére mozog, az ember a nyugalmi energia erejének hatására „pörgeti” a platformot.

A kinetikus energia növekedése kiszámítható a személy platform közepére való átmenetéhez kapcsolódó munka kiszámításával, vagy a rendszer kinetikus energiáinak különbségével:

Itt figyelembe veszik azt L = L 0 = J 0 w 0 .

Vegye figyelembe, hogy egy személy mozoghat a platformon, ha a súrlódási együttható kielégíti a feltételt m³w 0 2 R/g.

48. probléma. A forgó platform szélén egy masszával ellátott alátét található m 1 =0,21 kg. Az alátéthez az egyik végén egy nyújthatatlan szál van kötve, amelynek másik végét egy kis lyukon vezetik át az emelvény közepén. Egy szál segítségével a korongot a platform közepére mozgatják. Az alátét és a platform közötti súrlódási tényező a m=0,4. Becsülje meg a korong mozgatásához szükséges munkát, figyelmen kívül hagyva a méretét, a súrlódást a platform tengelyében és a légellenállást. Az emelvény sugara és tömege egyenlő R=0,57 m, m 2 =5,6 kg.

Megoldás. A vizsgált rendszer ugyan nem elszigetelt, de a szögimpulzus megmaradásának törvénye alkalmazható rá, mivel a menet forgástengelyhez viszonyított feszítési nyomatéka nulla. Ezért tudunk írni

Ahol J 0 = J(1+2 m 1 /m 2), J = 0,5 m 2 R 2.

Ebben az esetben a rendszer kinetikus energiája a mennyiséggel növekszik (lásd 47. feladat)

A korong mozgatására végzett munka megegyezik a rendszer kinetikus energiájában bekövetkezett növekedés és a súrlódási erő által végzett munka összegével:

A=DK+mmgR=23,5J.

Ugyanaz a munka közvetlenül kiszámítható a munkaképlet segítségével:

Ahol F=mm 1 g+ m 1 sz 2 x– a menetre ható erő ( – a rendszer forgási szögsebessége).

49. probléma. Egy személy végigsétál egy kör alakú emelvény szélén, és visszatér a kiindulóponthoz. Ha egy személyt pontnak tekintünk, a platformot pedig homogén korongnak, becsüljük meg, milyen szögben fog elfordulni a platform. A személy és az emelvény tömege egyenlő m 1 =75 kg, m 2 =150kg. Hagyja figyelmen kívül a súrlódást a platform tengelyében és a légellenállást.

Megoldás. Amikor egy személy a peron széle mentén mozog, maga az emelvény a személlyel együtt elfordul a Földhöz képest az ellentétes irányba, mint a személy a platformhoz képest. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy egy személy egyenletesen mozog a peron széle mentén w / szögsebességgel a platformhoz képest. Ebben az esetben a platform wpl szögsebességgel fog forogni a Földhöz képest, a személy pedig az összeggel egyenlő szögsebességgel.

A platform elfordulási szögének meghatározásához a szögimpulzus megmaradásának törvényét használjuk:

Jw+J pl w pl =0,

Ahol J = m 1 R 2, J pl =0,5 m 2 R 2– az ember és az emelvény tehetetlenségi pillanatai.

Ahonnan a platform forgási szögsebességét kapjuk

Az utolsó arányt megszorozva a mozgás idejével, a platform elfordulási szögéhez kapjuk

A „-” jel azt jelzi, hogy az emelőkosár a személy mozgásával ellentétes irányban forog az emelvény széle mentén.

A forgásszög nem függ a személy mozgásának természetétől a platform széle mentén.

50. probléma. Homogén rúd tömeggel m = 250 gés hossza l=1,2 m egyik végén felfüggesztve. Kis tömegű test m 0 =120g sebességgel vízszintesen mozog u 0 =4,2 m/s, úgy ütközik, hogy a rúd az ütközés után a lehető legnagyobb szögbe elhajlik. Határozza meg a test és a rúd ütközésének helyét (a felfüggesztési pont és az ütközési pont távolsága) és a rúd elhajlási szögét, tekintve az ütközést abszolút rugalmasnak, figyelmen kívül hagyva a légellenállást és a súrlódást tengely.

Megoldás. Használjuk a szögimpulzus és a mechanikai energia megmaradásának törvényét

Ahol J = (1/3) ml 2– a rúd tehetetlenségi nyomatéka a felfüggesztési ponthoz képest, P 0 =m 0 u 0, P=m 0 u- testimpulzusok ütközés előtt és után, L– a rúd szögimpulzusa az ütközés után.

Az Eqs. (1) És (2) az ismeretlenért PÉs L találunk

Mint látható, az értékek Pés L az ütközési hely koordinátáitól függ. Funkció L(x) maximuma van. Az extrém feltételből kapjuk

A maximális szögimpulzus, amelyet a rúd az ütközés során kap, egyenlő

Ebben az esetben a test lendülete az ütközés után nulla (erről ügyeljen).

Egy rúd ütközés utáni elhajlása a Föld egyenletes gravitációs terében egy dinamikai probléma megoldásával vagy a mechanikai energia megmaradásának törvényével becsülhető meg.

A rúd elhajlási szögének kiszámításához a következő összefüggést kapjuk:

Számítások után megkapjuk x m = 1,0 m, j=73 0 .

Önállóan megoldandó problémák
(Merev test transzlációs és forgó mozgása)

1 . Egy lendkerék, amelynek tömege m = 5,2 kg a perem mentén elosztva szabadon forog a középpontján átmenő vízszintes tengely körül, frekvenciával 720 ford./perc. Fékezéskor a lendkerék leáll utána 20-as évek. Határozza meg a fékezőnyomatékot, ha a lendkerék sugara az 36 cm (2,5 Nm).

2 . Egynemű tömeghengerhez 5,1 kg nyújthatatlan szálat tekercselnek, melynek végére masszát rögzítenek 0,25 kg. Az idő egy pillanatában t=0 a rendszer mozogni kezdett. Határozza meg a teljes rendszer kinetikus energiáját az adott időpontban 3,3 s (2J).

3 . Egy álló tömb köré nyújthatatlan szálat tekercselnek, melynek végére tömegtömeg van rögzítve 1,7 kg. Határozza meg, milyen gyorsulással esik le a terhelés, ha a blokk tömege egyenlő 2,2 kg. Tekintsük a blokkot homogén lemeznek. Hanyagolja el a légellenállást és a súrlódást a blokk tengelyében (6,1 m/s 2).

4 . Egy helyhez kötött blokk köré egy nyújthatatlan szálat tekercselnek, melynek végeihez súlytömegeket rögzítenek 1,6 kgÉs 1,2 kg. Határozza meg a rendszer kinetikus energiáját a következőkkel: 1.8s a mozgás megkezdése után. Blokksúly 3,2 kg. Tekintsük a blokkot homogén lemeznek. A menet nem csúszik végig a blokkon. Hanyagolja el a légellenállást és a súrlódást a tengelyen. (15J).

5 . Egy álló blokkon, amelynek tömege egyenlő 25 kg, kötél fel van tekerve. Egy majom lóg egy kötélen, és próbál felmászni rajta. Milyen gyorsulással mozog a kötél, ha a majom mindvégig a padlótól egy magasságban marad? Majommise 5,0 kg. A tömb tengelyében kialakuló súrlódás és a kötél tömege elhanyagolható (4,0 m/s 2).

6 . A testek rendszere (lásd az ábrát) gyorsulással mozog 1,4 m/s 2,rakománytömeg m 2 =2,3 kg, m b = 1,6 kg, súrlódási együttható m=0,2. A menet nyújthatatlan és nem csúszik végig a blokkon. Határozza meg a tömeget, figyelmen kívül hagyva a légellenállást és a súrlódást a blokk tengelyében m 1. Tekintsük a blokkot homogén lemeznek (1,0 kg).

7 . Az összekapcsolt rendszer három testből áll (lásd az ábrát): egy állótömbből egy tömeggel m 2 =1,8 kg, mozgótömb mérlegelés m 3 =2,0 kgés a rakomány mérlegelése m 1 =1,5 kg. Határozza meg, milyen gyorsulással esik le a terhelés, ha a menet nyújthatatlan és nem csúszik át a tömbökön (1,6 m/s 2).

8 . A jégkorongot szögsebességgel pörgetik 31rad/sés a jégre fektette. Határozza meg az alátét lassítási idejét, ha az alátét tömege és sugara egyenlő 0,21 kgÉs 3,2 cm. A korong és a jég közötti súrlódási együttható az 0,13 (0,57 s).

9 . A saját tengelye körül frekvenciával forgó golyó 10 ford./perc, vízszintes felületre helyezve. Határozza meg a labda gördülésének szögsebességét és a kezdeti kinetikus energiának azt a hányadát, amely hővé alakul ( 18 rad/s, 71%).

10 . Szögsebességgel forgó üreges vékonyfalú henger 15rad/s, vízszintes felületre helyezve. Mennyi idő alatt teszi meg a henger a távolságot? 5,7 m, ha a sugara egyenlő 12 cm, és a henger és a vízszintes felület közötti súrlódási tényező egyenlő 0,25 ( 6,6c).

11 . A vízszintes felület simán dőlésszögű lapos csúszdává alakul a=25 0 a horizonthoz. Szögsebességgel forgó homogén henger 45rad/s, vízszintes felületre helyezve távol a csúszda lábától. Határozza meg, milyen magasságban fog a henger elgurulni, ha a henger és a felület közötti súrlódási együttható mindenhol egyenlő 0,2 . A henger sugara a 13 cm(29cm).

12 . Egy homogén golyó egy ferde síkon ereszkedik le a magasból 1,5 m. A sík horizonthoz viszonyított dőlésszöge egyenlő 33 0 . A golyó és a sík közötti súrlódási együttható mindenhol, beleértve a vízszintes felületet is, egyenlő 0,15 . Határozza meg a vízszintes felületen gördülő labda egyenletes sebességét, ha a gördülési súrlódás és a légellenállás elhanyagolható ( 4,5 m/s).

13 . Egy homogén henger egy ferde sík mentén mozog egy bizonyos magasságból kezdeti sebesség nélkül. A sík szögben dől a vízszinteshez 26 0 . A test és a sík közötti súrlódási együttható egyenlő 0,1 . Határozza meg az ereszkedés végén a mozgási energia és a test potenciális energiájának kezdeti értékének arányát! A gördülési súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül kell hagyni. (0,9) .

14 . Mekkora minimális magasságtól kell egy sugarú golyót gurítani? r=1,1 cm, hogy egy sugarú „holt hurok” formájában leküzdhessen egy akadályt R = 13 cm? A labda csúszás nélkül gurul. A légellenállás és a gördülési súrlódás figyelmen kívül hagyása 33 cm).

15. Vízszintes felületen üreges vékonyfalú henger gördül, amely simán, csúszás nélkül hengeres felületté alakul. Mekkora minimális transzlációs sebességgel gurul a henger egy hengeres felületen anélkül, hogy kiesne, ha a hengerfelület sugara egyenlő 41 cm, és az üreges henger sugara 2,0 cm. A gördülési súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül kell hagyni. (3,4 m/s).

16 . A ferde sík simán átalakul egy sugarú hengeres felületté R=1,2 m. A labda csúszás nélkül gördül le egy ferde síkon magasról 2,5 m kezdeti sebesség nélkül. Határozza meg a golyó elválasztási pontjának magasságát a henger felületétől. A labda sugara a 0,15 m. A gördülési súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül kell hagyni. (1,9 m).

17 . A tárcsa csúszás nélkül gördül egy ferde síkon, amelynek dőlésszöge a vízszinteshez képest 27 0 , simán görbületi sugarú hengeres felületté alakul 25 cm. Határozza meg azt a minimális magasságot, ahonnan a korongot úgy kell görgetni, hogy az a ferde sík hengeres felületté való átmenetének vonalánál leváljon a felületről. A lemez sugara a 5 cm (0,2 m).

18 . Egy labda elgurul anélkül, hogy elcsúszna egy sugarú gömb tetejéről 0,50 m kezdeti sebességgel 1,0 m/s. Ha a légellenállás és a gördülési súrlódás figyelmen kívül hagyható, határozzuk meg annak a pontnak a polárszögét, ahol a golyó elválik a gömbfelülettől! A labda sugara 10 cm (49 0).

19 . A labda csúszás nélkül gurul egy ferde sík mentén, amely simán hengeres felületté válik, amelynek sugara R=1,5 m. A labda sugara r=11 cm. A labda legurul a magasból h=2,9 m kezdeti sebesség nélkül. Határozza meg a golyó és a henger felületétől való elválasztási pont koordinátáját (poláris szög) 130 0).

20 . Egy vízszintesen repülő test eltalálja az egyik végén felfüggesztett homogén rudat, és hozzátapad. Határozza meg, hogy a rúd milyen szögben tér el a függőleges helyzettől. A rúd hossza és tömege egyenlő 0,51 cm, 980 g) testtömeg 12g. A felfüggesztési pont és a test mozgásvonala közötti távolság egyenlő 34 cm. A test sebessége ütközés előtt 30 m/s (15 0).

21 . Golyós tömeg 2,1 kg fényrúdra függesztve. A labdát vízszintesen repülő tömeggolyó találja el 9,0 gés elakad a labda közepén. Határozza meg a golyó sebességét, ha a rendszer egy szöggel eltér az egyensúlyi helyzettől! 40 0 .A rúd hossza és a labda sugara egyenlő 6,5 cm, 35 cm. Hanyagolja el a légellenállást és a súrlódást a felfüggesztés tengelyében (520 m/s).

22 . A Nap saját tengelye körüli forgási periódusa egyenlő 27 földi nap. A Nap egy hidrogéncsillag. Miután a hidrogén teljesen kiégett, a Nap gravitációs összeomlást fog tapasztalni. Becsülje meg a Nap sugarát, mielőtt szétszakad. A Nap tömege 2,0×10 30 kg, a Nap sugara 7,0×10 8 (14 km).

Példák problémamegoldásra
(lengő mozgás)

51. probléma. Egy tömegű fizikai inga lengéseinek maximális frekvenciája m = 2,3 kg egyenlő n max = 1,3 Hz. Határozzuk meg az inga tehetetlenségi nyomatékát a tehetetlenségi középpontján átmenő tengely körül!

Megoldás. Az inga a lengés tengelyéhez képest forgó rezgőmozgást végez a gravitációs nyomaték hatására

Ahol x = OS, J 0 = J c + mx 2, Jc– az inga tehetetlenségi nyomatéka a tehetetlenségi középponton átmenő tengelyhez képest VAL VEL, m– az inga tömege.

Ebben a közelítésben figyelmen kívül hagyjuk a légellenállást és a súrlódást az inga lengésének tengelyében.

Kis eltérítési szögeknél az inga harmonikus rezgőmozgást végez szögfrekvenciával

A szögfrekvencia függése a lengés tengelyének helyzetétől w(x) maximuma van

A maximális szögfrekvencia a

Honnan találjuk?

A gravitációs gyorsulás mérésére fizikai ingát használnak.

52. probléma. Egy sugarú henger belső felülete mentén R kerek test csúszás nélkül gurul. Határozza meg a test kis oszcillációinak periódusát az egyensúlyi helyzet körül! A kör alakú test sugara a r. A légellenállást és a gördülési súrlódást figyelmen kívül kell hagyni.

Megoldás. Tekintsük a probléma dinamikus megoldását.

A testnek a gravitáció, reakció és súrlódás hatására bekövetkező transzlációs és forgó mozgásait (lásd az ábrát) a merev testdinamika alapegyenletei írják le.

F tr -mgsin , (1)

F tr × r=J c , (2)

Ahol J c = cmr 2– kerek test tehetetlenségi nyomatéka a saját forgástengelyéhez képest.

Az Eqs. (1) És (2) , tekintettel arra u =wr(nincs csúszás), a test transzlációs mozgásának felgyorsítására a következő egyenletet kapjuk:

Hol kis szögekben az elmozduláshoz S=(R-r) találunk

Tehát az eltolás Utca) szögfrekvenciájú harmonikus függvény írja le

és az oszcillációs periódus

A merev testdinamika törvényszerűségeinek alkalmazásának szemléltetésére oldjuk meg a henger ferde síkban való legördülésének feladatát (10.5. ábra).

Szilárd tömegű henger més sugár R csúszás nélkül gurul le egy ferde síkon. A sík dőlésszöge a, és a magassága N (N » R). A henger kezdeti fordulatszáma nulla. Határozzuk meg a gördülési időt - Tés a henger tömegközéppontjának sebessége a ferde sík alapjában.

Amikor egy henger gördül, három erő hat rá: gravitáció, rugalmas támasztóerő és súrlódási erő béke(elvégre csúszás nélkül gurul!).

Képzeljük el ezt a mozgást két mozgás összegeként: transzlációs sebességgel V C, amellyel a henger tengelye mozog, és a henger w szögsebességgel forog a tengely körül.

Rizs. 10.5

Ez az összefüggés a transzlációs és forgó mozgások sebessége között a „csúszás nélküli mozgás” feltételből következik.

Az idő függvényében differenciált egyenlet (10.9) után megkapjuk a henger szög- és lineáris gyorsulásának arányát:

Azaz .

A tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel segítségével leírjuk a henger transzlációs mozgását:

A forgás leírására a forgási mozgás dinamikájának alapegyenletét használjuk:

M C= én C×e. (10.11)

A (10.10) egyenlet kivetítése a tengelyek irányaira xÉs y, két skaláris egyenletet kapunk:

x: mg Sina – F tr = ma C; (10.12)

y: N – mgсosa = 0. (10,13)

Térjünk most át a (10.11) egyenletre. A három megnevezett erő közül a hengertengelyhez viszonyított nyomatékot csak a súrlódási erő hozza létre:

Egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka a tengelyéhez viszonyítva egyenlő (lásd 9. sz. előadás):

Mindezeket figyelembe véve a (10.11) egyenletet a következőképpen írjuk át:

A (10.12) és (10.14) egyenlet együttes megoldásával az ismeretlen mennyiségek alábbi értékeit kapjuk:

A (10.15) egyenletből az következik, hogy az a dőlésszög növekedésével a statikus súrlódási erőnek is növekednie kell F tr. De, mint tudod, növekedését korlátozza egy határérték:

Mivel a statikus súrlódási erő (10,15) nem haladhatja meg a (10,17) határértéket, az egyenlőtlenségnek teljesülnie kell:

⅓mg Sina ≤ m mg Cosa.

Ebből következik, hogy a gördülés csúszás nélkül történik mindaddig, amíg az a szög meg nem haladja az a előtti értéket:

apre = arctg3m.

Itt m a henger súrlódási együtthatója a sík mentén.

A henger lineáris gyorsulása (10.16) állandó érték, ezért a henger transzlációs mozgása egyenletesen gyorsul. Ilyen, kezdeti sebesség nélküli mozgással a henger időben eléri a ferde sík alapját:

Itt: l= - a sík hossza;

a=, (lásd 10.16).

Tehát a gördülési idő:

Számítsuk ki a henger tengelyének transzlációs mozgásának végső sebességét:

Megjegyezzük, hogy ez a probléma egyszerűbben megoldható a mechanikai energia megmaradásának törvényével.

Igaz, a rendszerben van súrlódási erő, de ennek a munkája nulla, mivel ennek az erőnek az alkalmazási pontja a süllyedési folyamat során mozdulatlan marad: végül is a mozgás csúszás nélkül történik. Mivel a súrlódási erő nem végez munkát, a rendszer mechanikai energiája nem változik.

Tekintsük a henger energiáját a kezdeti pillanatban - a magasságban hés az ereszkedés végén. A henger teljes energiája ezekben a helyzetekben megegyezik:

Emlékezzünk arra és . Ekkor az energiamegmaradás törvényének egyenlete a következőképpen írható át:

Innen könnyen megtaláljuk a henger végsebességét:

ami ragyogóan megerősíti korábbi eredményünket (10.19).

11. előadás „A folyadékmechanika elemei”

Előadás vázlata

1. Folyadéknyomás. A hidrosztatika törvényei.

2. Álló folyadékáramlás. Áramlási folytonossági egyenlet.

3. A dinamika alaptörvénye ideális folyadékra. Bernoulli egyenlet.

4. A Bernoulli-egyenlet alkalmazása hidrodinamikai problémák megoldására.

4.1. Folyadék áramlása egy edényből.

4.2. Manometrikus áramlásmérő.