Egyes statisztikai módszerek alkalmazását az határozza meg, hogy a kapott anyag melyik statisztikai skálához tartozik. S. Stevens négy statisztikai skála megkülönböztetését javasolta:

1. névsor (vagy névleges);

2. rendelési skála;

3. intervallum skála;

4. kapcsolati skála.

Az egyes skálák jellemző sajátosságainak ismeretében nem nehéz megállapítani, hogy a statisztikai feldolgozás tárgyát képező anyagot melyikbe soroljuk.

Név skála. Ez a skála olyan anyagokat tartalmaz, amelyekben a vizsgált tárgyak minőségükben különböznek egymástól.

Az ilyen anyagok feldolgozása során nem szükséges ezeket a tárgyakat sajátosságaik alapján bármilyen sorrendbe rendezni. Elvileg az objektumok tetszőleges sorrendben elrendezhetők.

Íme egy példa: egy nemzetközi tudományos konferencia összetételét tanulmányozzák. A résztvevők között vannak franciák, angolok, dánok, németek és oroszok. Számít-e a résztvevők elrendezésének sorrendje a konferencia összetételének vizsgálatakor? ABC sorrendbe rendezheti őket, ez kényelmes, de egyértelmű, hogy ennek az elrendezésnek nincs alapvető jelentősége. Amikor ezeket az anyagokat egy másik nyelvre (és így egy másik ábécére) fordítja le, ez a sorrend megszakad. Országos csoportokat szervezhet a résztvevők számának megfelelően. De ha összehasonlítjuk ezt az anyagot egy másik konferencia anyagával, azt találjuk, hogy ez a sorrend valószínűleg nem lesz ugyanaz. Az elnevezési skálához rendelt objektumok a vizsgálat céljától függően tetszőleges sorrendben elhelyezhetők.

Az ilyen típusú anyagok statisztikai feldolgozásakor figyelembe kell venni, hogy az egyes objektumokat hány egység képviseli. Vannak nagyon hatékony statisztikai módszerek, amelyek lehetővé teszik, hogy ezekből a számszerű adatokból tudományosan jelentős következtetéseket vonjunk le (például a khi-négyzet módszer).

Rendelési mérleg. Ha az elnevezési skálán a vizsgált objektumok sorrendje gyakorlatilag nem játszik szerepet, akkor a sorrendi skálán - ez a nevéből is kiderül - minden figyelem erre a sorrendre irányul.

Ez a statisztikai skála olyan kutatási anyagokat tartalmaz, amelyekben olyan tárgyakat tekintenek, amelyek egy vagy több osztályba tartoznak, de különböznek egymástól, ha összehasonlítják őket egymással - „több-kevesebb”, „magasabb-alacsonyabb” stb.

A sorrendi skála jellemző tulajdonságait úgy lehet legkönnyebben bemutatni, ha megnézzük bármely sportverseny közzétett eredményeit. Ezek az eredmények sorrendben felsorolják azokat a résztvevőket, akik első, második, harmadik és további helyezést értek el. A versenyek eredményeiről szóló információkban azonban gyakran hiányoznak vagy háttérbe szorulnak a sportolók tényleges eredményeire vonatkozó információk, és előtérbe kerülnek a sorrendi helyeik.

Tegyük fel, hogy D. sakkozó első helyezést ért el a versenyen. Mik az eredményei? Kiderült, hogy 12 pontot szerzett. Második helyezést ért el E. sakkozó. Eredménye 10 pont. A harmadik helyet J. szerezte meg nyolc ponttal, a negyediket 3. hat ponttal, stb. A versenyről szóló beszámolókban a sakkozók elhelyezésekor elért teljesítménykülönbség háttérbe szorul, és a sorrendi helyezéseik továbbra is az első helyen állnak. Annak a ténynek, hogy a rendes helynek tulajdonítják a fő jelentőséget, megvan a maga jelentése. Valójában a mi példánkban Z. hat, D. 12 pontot szerzett. Ezek az abszolút eredményeik – a megnyert meccsek. Ha ezt a teljesítménykülönbséget pusztán aritmetikailag próbálnánk értelmezni, akkor el kellene ismernünk, hogy Z. kétszer rosszabbul játszik, mint D. Ezzel azonban nem érthetünk egyet. A verseny körülményei nem mindig egyszerűek, mint ahogy az sem, hogy egy-egy résztvevő lebonyolította azokat. Ezért tartózkodva az aritmetikai abszolutizálástól, arra szorítkoznak, amit megállapítanak: a sakkozó 3. három sorszámmal van lemaradva az első helyet szerző D. mögött.

Intervallum skála. Ide tartoznak azok az anyagok, amelyek rögzített egységekben adják a vizsgált objektum mennyiségi értékelését.

Térjünk vissza azokhoz a kísérletekhez, amelyeket a pszichológus Sashával végzett. A kísérletek során figyelembe vették, hogy maga Sasha és minden társa hány pontot tudott elhelyezni a számukra elérhető maximális sebességgel. A kísérletekben az értékelési egység a pontok száma volt. Ezek megszámlálását követően a kutató azt az abszolút számú pontot kapta, amennyit a kísérletben résztvevők számára a megadott idő alatt el lehetett helyezni. Az anyagok intervallumskálához való hozzárendelésének fő nehézsége az, hogy olyan mértékegységre van szükség, amely minden ismételt mérésnél azonos lenne önmagával, azaz azonos és megváltoztathatatlan. A sakkozókkal kapcsolatos példában (sorrend) ilyen egység egyáltalán nem létezik.

Valójában a verseny minden résztvevője által megnyert játékok számát veszik figyelembe. De nyilvánvaló, hogy a felek közel sem azonosak. Lehetséges, hogy a verseny negyedik helyezést elért résztvevője - hat játszmában nyert - a legnehezebb játszmát maga nyerte meg a vezető ellen! De a végeredményekben elfogadottnak tűnik, hogy minden megnyert meccs ugyanaz. A valóságban ez nem így van. Ezért az ilyen anyagokkal való munka során célszerű azokat a rendelési skála követelményei szerint értékelni, nem pedig egy intervallumskála szerint. Az intervallumskálát követő anyagoknak rendelkezniük kell mértékegységgel.

Kapcsolati skála. Ez a skála olyan anyagokat tartalmaz, amelyek nemcsak a rögzített egységek számát veszik figyelembe, mint az intervallumskálában, hanem az így kapott összesített eredmények egymáshoz való viszonyát is. Ahhoz, hogy ilyen kapcsolatokkal dolgozhass, rendelkezned kell valami abszolút ponttal, ahonnan számíthatsz. A pszichológiai objektumok tanulmányozása során ez a skála gyakorlatilag nem alkalmazható.

A rendszermodellek gyakorlati felhasználása szempontjából a legfontosabb szempont a modell és a modellezett objektumok, jelenségek vagy folyamatok közötti megfelelés mértékének megállapítása. Az ilyen megfeleltetés megállapításának célja annak tisztázása, hogy a modell megfelel-e az eredetinek. A modell igazságának megállapítására a leghatékonyabb és legszélesebb körben használt módszer a modell használatával kapott elméleti implikációk összehasonlítása kísérleti adatokkal vagy kísérleti mérésekkel.

Bármely kísérlet eredményeit ilyen vagy olyan formában rögzítik, majd általában a modell igazságának ellenőrzésére vagy a vizsgált jelenség modelljének létrehozására használják. A tudományos kutatás gyakorlatában a kísérleti adatok feldolgozása fontos lépés az információszerzés szakaszai (a vizsgált tárgy megfigyelhető tulajdonságainak mérése) és felhasználása között. A kísérleti adatok egy meghatározott skálán jelennek meg, amely meghatározza az elfogadható adatfeldolgozási módszereket.

Mérés olyan művelet, amely egy objektum, folyamat vagy jelenség egy adott megfigyelhető állapotát egy bizonyos megjelöléssel társítja: szám, szám vagy szimbólum. Ez a megfeleltetés biztosítja, hogy a mérési eredmények információkat tartalmazzanak a megfigyelt objektumról, és az információ mennyisége a megfeleltetés teljességének mértékétől függ. A szükséges információkat mérésekből nyerik azok átalakítása, vagy ahogy szokták mondani, kísérleti adatok feldolgozásával.

Nyilvánvalóan minél teljesebb a megfeleltetés a megfigyelt állapotok és megjelöléseik között, annál több információ nyerhető ki az adatfeldolgozás eredményeként. Ami kevésbé nyilvánvaló, hogy ennek a megfelelésnek a mértéke nemcsak a módszerek és a mérési módszerek megválasztásától (azaz a kísérletezőtől) függ, hanem a vizsgált jelenség természetétől is, és magától a megfelelés mértékétől is. viszont meghatározza az adatfeldolgozás elfogadható (és elfogadhatatlan) módszereit. Elvileg maga a vizsgált jelenség vagy tárgy bizonyos korlátozásokat támaszt a mérési eljárással szemben.

A továbbiakban csak olyan jelenségeket, folyamatokat és objektumokat veszünk figyelembe, amelyek állapotáról meg tudjuk mondani, hogy megkülönböztethetők-e vagy sem, és csak olyan mérési módszereket, amelyek a megkülönböztethető állapotokhoz különböző, a megkülönböztethetetlen állapotokhoz azonos megnevezéseket rendelnek. Ez azt jelenti, hogy mind az objektum állapotainak, mind a megjelöléseiknek meg kell felelniük legalább a következő axiómáknak:

Reflexivitás -

Szimmetria - Ha akkor.

Tranzitivitás - Ha és akkor.

Itt a „=” szimbólum egy ekvivalencia relációt jelöl.

Egy jelenség vagy folyamat matematikai modelljének kidolgozásához mindenekelőtt meg kell határozni mérlegek típusai , amelyben bizonyos jellemzők, tulajdonságok és állapotok mérésére kerül sor. A skála típusa is meghatározza a megengedett léptéktranszformációk csoportja . A megengedett transzformációk nem változtatnak a mérési eredmények közötti kapcsolatokon. Távolságméréskor az egyik mértékegységről, például a méterről a lábra való átmenet nem változtatja meg a távolságok közötti kapcsolatot - ha egy tárgy nagyobb távolságra van a tárgytól, mint , akkor ez az összefüggés megmarad, függetlenül attól, hogy az egységek, amelyekben a távolságot mérik.

Tekintsük a mérési skálák főbb típusait és a megengedett transzformációk megfelelő csoportjait. Először is meg kell jegyezni, hogy a skálák két csoportra oszthatók: minőségi és mennyiségi. Nézzük a minőségi mérlegeket.

Név skála vagy névleges méretarány egy skála, amelyet csak az objektumok megkülönböztetésére használnak.

Tegyük fel, hogy a megkülönböztethető állapotok száma (az ekvivalenciaosztályok száma) véges. Minden ekvivalenciaosztályt társítsunk a többi osztály megnevezésétől eltérő elnevezéssel. A mérések most abból állnak, hogy kísérletet hajtanak végre egy objektumon, megállapítják, hogy az eredmény egyik vagy másik ekvivalenciaosztályba tartozik-e, és ezt az osztályt jelölő szimbólum segítségével felírják. Ezt a mérést elnevezési skála mérésnek nevezik (néha névleges vagy osztályozási skálának is nevezik). Ebben az esetben az ekvivalenciaosztályokat jelölő szimbólumok halmaza egy névskálát alkot.

Példák a névleges skálákra különféle számozási rendszerek (telefonszámok, egyéni adózói szám stb.), valamint a nemzetiség, városok, országok megnevezése és egyéb módszerek, amelyek lehetővé teszik a folyamatok, jelenségek, objektumok vagy azok eltéréseinek rögzítését. tulajdonságait.

A névleges léptékben elfogadható transzformációk csak egy az egyhez átalakítások, például a numerikus számok betűkombinációkkal való helyettesítése. Ilyen egy az egyhez konverzióra példa az IP-címek. A felhasználó a latin ábécé betűit és néhány további szimbólumot használja az IP-cím kijelölésére, a hálózati alkalmazások pedig számokból és pontokból álló IP-címekkel működnek. A névleges skálán nem használhatók aritmetikai vagy relációs műveletek.

Hangsúlyozni kell, hogy az elnevezési skálán használt megnevezések csak szimbólumok, még akkor is, ha erre a célra számokat használunk. Ezért a névleges léptékben rögzített kísérleti adatok feldolgozása során közvetlenül magával az adatokkal csak az egyenértékűség-ellenőrzés műveletét, valamint az adott ekvivalenciaosztályba tartozó mérések számának számlálását tudja elvégezni.

Az adatok statisztikai feldolgozása a névskálán több dimenzióban is elvégezhető. Tekintsük a mérési eredmények ilyen feldolgozásának egyes elemeit. Vezessük be a Kronecker szimbólumot a következőképpen:

Ekkor a képlet határozza meg a -edik ekvivalenciaosztályba tartozó dimenziók számát

Itt látható a mérések teljes száma. Ezen eredmények megszerzése után meg lehet határozni a különböző ekvivalencia osztályok relatív gyakoriságát -

Ordinális skála(Használt név is rangsor skála) jelenségek, folyamatok és objektumok vagy tulajdonságaik halmazán egy bizonyos viszony meghatározására szolgálnak, leggyakrabban ez egy szigorú vagy nem szigorú sorrendű reláció.

Ilyen skálákat akkor használunk, ha szükség (és lehetőség) van arra, hogy ne csak objektumok vagy folyamatok kiválasztott tulajdonságainak mérési eredményeit egyik vagy másik ekvivalenciaosztályba soroljuk, hanem ezeket az osztályokat egymással is össze tudjuk hasonlítani egyik vagy másik kritérium szerint.

A szigorú sorrendű reláció (a , jelölésekkel) olyan reláció, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

antireflexivitás-hamis;

aszimmetriaés - kölcsönösen kizárják egymást;

tranzitivitást: tól től .

A fenti tulajdonságokat kielégítő rangsort egyszerű vagy szigorú sorrendű skálának nevezzük. Ilyen skála például a katonai rangok, az elsőbbségi számozás stb.

Példák (döntéshozatal, hozzáférési prioritások).

A nem szigorú sorrendű reláció (a jelölést használjuk: , ) olyan reláció, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

reflexivitás

antiszimmetria

tranzitivitást .

Gyenge sorrendű skálának nevezzük azt az ordinális skálát, amelyen egy nem szigorú sorrendű reláció érvényes.

Az ordinális skálákban bemutatott kísérleti adatok feldolgozásához a rang fogalmát használjuk. Ennek a fogalomnak a meghatározásához az űrlap lépésfüggvényét használjuk

Ekkor egy tárgy vagy jelenség tulajdonságának dimenziójának rangja a szám

hol van az összehasonlított mérések száma.

Gyenge sorrendű skálákon egyes megfigyelések egybeeshetnek. Az ilyen megfigyelési csoportokat csomónak nevezzük. Ebben az esetben a köteg minden tagja azonos rangot kap.

Hangsúlyozni kell, hogy még ha a mérési eredményeket soros léptékben adjuk is meg számok formájában, mégsem lehet számként feldolgozni.

Ilyen rendszám-skálára példa az ásványi keménység Mohs-skála. A két ásvány közül a keményebb az, amelyik karcolásokat vagy horpadásokat hagy a másikon. Az „A nehezebb, mint B” reláció egy sorrendi reláció. Az ásványi keménységi skála gyenge sorrendű skála. Tíz keménységi fokozatot tartalmaz. A következő, növekvő keménységű ásványi anyagokat tekintjük szabványnak: 1 – talkum, 2 – gipsz, 3 – kalcium, 4 – fluorit, 5 – apatit, 6 – ortoklász, 7 – kvarc, 8 – topáz, 9 – korund, 10 – gyémánt . Ebben a skálában nincsenek köztes keménységi fokozatok. Bár a keménység fokozatai számok, mindazonáltal lehetetlen azt mondani, hogy a gyémánt kétszer olyan kemény, mint az apatit, és azt sem, hogy az apatit és a kvarc közötti keménységkülönbség ugyanaz, mint a topáz és a gyémánt között. Az ordinális skálán bemutatott adatok hibás feldolgozásának tipikus példája a tanulói tudás felmérésére szolgáló pontskálák átlagpontszámának kiszámítása. A pontskála ordinális skála, így az ilyen skálán kapott átlagpontszám értelmetlen. Például fizikában két azonos érettségivel végzett középiskolai végzettség nagyon eltérő lehet. E tekintetben kritikus esetekben nem tanulmányi eredményről szóló dokumentumversenyt, hanem jelentkezők versenyét szeretik megszervezni, pl. visszatérés az ordinális méréshez, az egyes jelentkezők egy-egy tudományterületének tudásszintjének közvetlen összehasonlításához.

Az elnevezési skálához hasonlóan az egy az egyhez konverzió érvényes átalakítás ebben a skálában. Például 2 – nem kielégítő, 3 – kielégítő stb.

Az ordinális skálákat legszélesebb körben a szociológiai és marketingkutatásban, a termékek és szolgáltatások minőségének felmérésében, szakértői értékelésekben és más olyan tanulmányokban használják, ahol csak kvalitatív mérés lehetséges.

Nézzük a mennyiségi skálákat.

Intervallum skála. Ebből a skálából hiányzik a természetes referenciapont és a természetes mértékegység.

Az „intervallumskála” elnevezés abból adódik, hogy egy ilyen skálán csak az objektum két különböző állapotának mért értékei közötti különbségnek van értelme. Egy ilyen skála alkalmazására példa az álló töltések rendszerének elektromos mezőjének potenciálkülönbsége. Önmagában az elektromos térpotenciál értékének egy adott pontban nincs fizikai jelentése. Csak a potenciális különbségnek van fizikai jelentése. Definíció szerint az 1. és 2. pont közötti elektromos tér potenciálkülönbsége megegyezik azzal a munkával, amelyet az egységnyi töltés 1. pontból a 2. pontba való mozgatása során végeznek.

Az ilyen skála megkülönböztető jellemzője, hogy nem függ a referenciapont megválasztásától, valamint a mértékegységtől. Például különböző skálákat használnak a hőmérséklet mérésére: abszolút, Celsius és Fahrenheit. Mindhárom skála különbözik az eredet megválasztásában, a Fahrenheit skála és a hőmérsékleti mértékegység megválasztásában. Például a Celsius-skála hőmérsékleti egysége a jég olvadáspontja és a víz forráspontja közötti intervallum századrésze. Azonban például a víz fagyáspontja és forráspontja közötti hőmérsékletkülönbség az abszolút skálán és a Celsius-skála között megegyezik, és egyenlő . A Fahrenheit-skálán ez a különbség . A Celsius és Fahrenheit skála hőmérsékletméréseinek eredményeinek korrelálásához lineáris konverziós képleteket használnak:

átváltani a Celsius-skálára,

hogy Fahrenheit-skálára váltson.

Ebből következik, hogy a vizsgált skálákon a hőmérsékletmérések között lineáris kapcsolat van. Ez az intervallumskálák másik jellegzetessége, hogy az intervallumskálák az alak lineáris transzformációjáig azonosak.

vagy invariánsak a transzláció, nyújtás vagy tömörítés lineáris transzformációja alatt.

Minden empirikus tudományos kutatás azzal kezdődik, hogy a kutató az őt érdeklő tulajdonságok kifejezését a kutatás tárgyaiban rögzíti, általában számokkal. Ezért meg kell különböztetni:

1. Kutatási tárgyak (a pszichológiában ezek leggyakrabban emberek)

2. Tulajdonságaik (ami érdekli a kutatót és képezi a vizsgálat tárgyát)

3. A tulajdonságok súlyosságát numerikus skálán tükröző jelek

Attól függően, hogy egy jellemző mérése milyen műveletre épül, úgynevezett mérési skálákat különböztetünk meg. Nézzük a leggyakrabban használtakat statisztika mérőskálák.

1. Névleges skála(elnevezési skála, osztályozási skála) az objektumok egy adott osztályhoz való hozzárendelésére szolgál. Például: nem, temperamentum. Ha egy objektum két osztály közül csak az egyikhez tartozhat, akkor az ilyen skálát nominális dichotómnak nevezzük. Például: nem vagy válaszlehetőségek a kérdésre (igen vagy nem).

2. Ordinális skála(rang, sorszám), arra szolgál, hogy objektumokat rendeljünk egy bizonyos osztályhoz a vizsgált objektum adott tulajdonságának kifejeződési foka szerint. Például: vizsgapontszámok vagy szorongásos szint.

3. Mennyiségi skálák Kétféle mennyiségi mérleg létezik:

Intervallum skála

Abszolút skála (arány skála)

Intervallum skála lehetővé teszi az objektumok osztályozását és rendszerezését, valamint az objektumok tulajdonságai közötti különbségek mennyiségi leírását. A skála beállításához állítsa be a mértékegységet és egy tetszőleges nulla referenciapontot. Például: hőmérséklet a Celsius-skálán ( 0 C).

Abszolút skála csak abban különbözik az intervallumskálától, hogy abszolút nulla referenciapontot hoz létre, amely megfelel a mért tulajdonság kifejezésének teljes hiányának. Például: hőmérséklet a Kelvin-skálán ( 0 K).

Az adatelemzés kulcsfontosságú pontja annak meghatározása, hogy egy tulajdonságot milyen skálán mérnek, hiszen ettől függ a szükséges statisztikai módszer kiválasztása. Az egyik skálán kapott adatok csak a következő irányban vihetők át egy másik skálára.

Ellenkező irányban ez nem lehetséges:

Ezért lehetőség szerint próbáljunk meg kvantitatív skálán mérni, hiszen ebben az esetben bármelyik figyelembe vett skálára áttérhetünk.

Ez azonban az alanyok egyéni különbségeiről szóló, számunkra oly értékes empirikus információ részleges elvesztését eredményezi. Ennek következménye lehet a vizsgálati eredmények statisztikai megbízhatóságának csökkenése.

A forrásadatok mennyiségi skáláról ordinálissá alakítását hívjuk rangsor . Ehhez először meg kell rendelni az eredeti mintát, majd a minta minden eleméhez rangot kell rendelni. Vagyis az elem sorszámának megfelelő szám a megrendelt mintában.

Munka vége -

Ez a téma a következő részhez tartozik:

Statisztikai módszerek a pszichológiában

Filozófiai és Társadalomtudományi Kar.. Pszichológiai Tanszék.. statisztikai módszerek a pszichológiában előadások..

Ha további anyagra van szüksége ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:

Mit csinálunk a kapott anyaggal:

Ha ez az anyag hasznos volt az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:

Csipog

Az összes téma ebben a részben:

A statisztikai adatfeldolgozás főbb szakaszai
1. szakasz: A vizsgált valós jelenség kezdeti (előzetes) elemzése. Az elemzés eredményeként a következőket határozzuk meg: · A fő célkitűzések tanulmányozása

Mintavételi módszerek
A statisztikai módszerek lényege, hogy a sokaság egy bizonyos részét, azaz egy mintát használva ítéletet hozunk a sokaság egészének tulajdonságairól. Így p

6.3 számú képlet
ezt követően egy K1 és K2 között elhelyezkedő egész szám kerül kiválasztásra a szükséges mennyiségi intervallumként. Például: K1=7,3 és

Kvantilisok és értelmezésük
A forrásadatok összegzésének egyik leghatékonyabb módszere a kvantilisek segítségével történő leírás. A kvantilis egy általános fogalom, speciális esetei: kvartilis, d

Az adatok grafikus ábrázolása
Az adatok grafikus megjelenítésének 3 fő módja van: hisztogram (oszlopdiagram), frekvenciapoligon, simított görbe (ogive). Lényeg

A változékonyság mértékei
A 9. §-ban tárgyalt központi tendencia mérőszámai lehetővé teszik, hogy bizonyos értelemben a minta összes elemét egészében jellemezzük. Ebben az esetben p-t valójában figyelmen kívül hagyjuk

Képlet 10.5
Minél nagyobb a minta szórása, annál jobban szóródnak a mintaelemek a számtengely mentén a mintaátlaghoz képest. Példa: Számítsa ki a következő 1. minta szórását,

10.6 számú képlet
Példánkban ez a következő: Xi

Képlet 10.7
Például, ha a variancia = 2,25, akkor a szórás egyenlő lesz

Képlet 10.8
Ahol M és szigma olyan állandók, amelyek a következő értékeket veszik fel a megfelelő skálához: skála M δ

Képlet 10.9
Ha β egyenlő nullával, akkor ez azt jelenti, hogy az eredeti minta (hisztogramja) szimmetrikus: β=0 Ha β

Normális eloszlás
A kiindulási adatokat reprezentáló mennyiségek értéke még teljesen ismert kísérleti körülmények között sem jelezhető pontosan

Képlet 11.11
Ha az aszimmetria és kanyarodás mutatók empirikus értékei abszolút értékben kisebbek, mint a kritikus értékek, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a mért mutató eloszlása ​​nem tér el a normától

A normál eloszláshoz kapcsolódó eloszlások
A normális eloszláshoz sok más eloszlás is kapcsolódik, amelyek közül a statisztikában leggyakrabban a következőket használják: 1. (khi-négyzet) Pearson-eloszlások. 2. t-eloszlás

A statisztikai skálák típusai: névleges skála, ordinális skála, intervallum skála, arányskála.

Névleges méretarány a legalacsonyabb mérési szint rögzítésére szolgál, amely a mérés minimális előfeltételeinek meglétét feltételezi. Ezen a szinten történő méréskor gyakorlatilag nem használnak számokat. Itt fontos megállapítani az objektumok hasonlóságát vagy különbözőségét valamilyen jellemző szerint, vagyis ebben az esetben kvalitatív adatokról van szó. Nézzünk példákat.

A névleges skálaértékekre példa a tanulók osztályonkénti, nemenkénti, lakóhely szerinti megoszlása, sportágak, a családban élő gyermekek száma szerint. Ebben az esetben lehetőség van a tanulók két vagy több jellemző (kétdimenziós vagy többdimenziós adatok) szerinti elosztására.

A számlálás segítségével meghatározhatja egy adott kategória gyakoriságát (az iskolában tanuló fiúk és lányok száma; az egyes mikrokörzetekben élő tanulók száma; az egyes osztályok tanulóinak száma; egy adott sportággal foglalkozó tanulók száma; autóbuszok gyártásával foglalkozó cégek száma stb. .d.). Ebben az esetben meg lehet határozni a leggyakrabban előforduló értéket (az osztály, amelyben a legtöbb tanuló tanul; a diákok körében legnépszerűbb sportág; a legtöbb cég által gyártott autó típusa). A névleges léptékű adatkategóriák kijelölése általában szóban történik.

Sorrendi, vagy rang, skála csak a tulajdonság hordozóinak sorrendjét vagy a tulajdonság kifejeződési fokának irányát jelzi.

Például a tanulók rangsorolhatók a helyesen kitöltött tesztelemek száma alapján. Az A, B, C, D, E tanulók helyesen oldjanak meg 21, 16, 12, 9 és 3 feladatot. Grafikailag így is ábrázolható

Ez a sorrendi skála 1-től 5-ig terjed, és a tanulók a helyesen elvégzett feladatok számától függően kerülnek rá: A - első, D - ötödik. Az ábrán látható, hogy a sor helyeit elválasztó intervallumok eltérő méretűek. Emiatt nem célszerű a sorszámot összeadni, kivonni, szorozni és osztani.

Tovább intervallum skála egyenlő intervallumok a mért jellemző értékének ugyanazt a mértékét tükrözik. Például a 3 és 4 centiméter közötti 1 cm a hosszmérési skálán ugyanazt jelenti, mint az 1 cm 82 és 83 centiméter között. Más szóval, intervallumskálán a szomszédos felosztások közötti távolságok egyenlőek. Intervallumskálán a „mennyivel?” kérdés meglehetősen értelmes. De nem mindig lehetséges a „hányszor?” kérdést megfogalmazni, ha intervallumskálát használunk. Az a tény, hogy az intervallumskálán a referenciapont (nulla skála), a mértékegység és a referencia irány tetszőlegesen van beállítva. Az intervallumskálára példa a Celsius hőmérsékleti skála. A +30 és +20 °C közötti levegőhőmérséklet közötti különbség olyan nagy, mint -10 és -20 °C között. Nem mondható azonban el, hogy +30 °C-os levegőhőmérsékleten másfélszer melegebb, mint +20 °C-on. Még ha a levegő hőmérséklete 0 °C, akkor sem lehet azt mondani, hogy egyáltalán nincs hő: a kiindulási pontot végül is önkényesen választják ki.

A legtöbb fizikai műszeren (ampermérő, voltmérő stb.) a skálák intervallumúak. Az IQ skála egy intervallum skála.

Az intervallumskála metrikus, és összeadás és kivonás végrehajtására használható. Jelentős előnyei vannak a névleges és ordinális skálákkal szemben.

Kapcsolati skála, vagy arány skála, lehetővé teszi a mért jellemző értékei közötti kapcsolatok megállapítását, mivel a „0” skálaérték olyan értéknek felel meg, amelynél a mért jellemző hiányzik. Más szóval, az eredetet ezeken a skálákon önkéntelenül választják ki. Az arányskálák példái a hossz (m, cm stb.) és a tömeg (kg, g stb.) mértékei. Egy 100 cm hosszú objektum kétszer olyan hosszú, mint egy 50 cm hosszú. Erre különösen akkor van szükség, ha egy adatsorban egy vagy több adat jelentősen meghaladja a többit. Ha az adatok egyértelműen torzítottak, akkor a statisztikai elemzés egyszerűsítése érdekében cserélje ki az adott adatsor minden értékét az adott érték logaritmusára.Logaritmus a "ferdített" (aszimmetrikus) adatokat szimmetrikusabbakká alakítja, mivel a skála nulla közelébe "nyúlik", a kis értékek csoportosítva oszlanak el a skála mentén. Ugyanakkor a logaritmus nagy értékeket hoz össze a skála jobb végén. A leggyakrabban használt decimális és természetes logaritmus. Egyenlő távolságoklogaritmikus skála az eredeti skálán az egyenlő százalékos növekedésnek felel meg, nem pedig az értékek egyenlő növekedésének.

^ Normál eloszlás ellenőrzése.

Számos módszer, amellyel az intervallumskálás változókat feldolgozzák, azon a hipotézisen alapul, hogy értékeik normális eloszlást követnek. Ezzel az eloszlással az értékek nagy része egy bizonyos átlagérték köré csoportosul, amelynek mindkét oldalán egyenletesen csökken a megfigyelések gyakorisága.

Példaként tekintsük a normál életkori eloszlást, amelyet a hipertónia vizsgálatának adataiból (hyper.sav fájl) állítunk össze a Graphs menü Hisztogramm... (Histogram) parancsaival (lásd 5.1. ábra).

A diagram egy normál eloszlási görbét mutat (Gauss-harang). A tényleges eloszlás kisebb-nagyobb mértékben eltér ettől az ideális görbétől. A normál eloszlásnak szigorúan betartozó minták általában nem fordulnak elő a gyakorlatban. Ezért szinte mindig ki kell deríteni, hogy a valós eloszlás normálisnak tekinthető-e, és az adott eloszlás mennyiben tér el a normáltól.

Mielőtt bármilyen olyan módszert alkalmaznánk, amely feltételezi a normális eloszlás meglétét, először ellenőrizni kell az utóbbi meglétét. A normál eloszlást feltételező statisztikai teszt klasszikus példája a Student t teszt, amely két független mintát hasonlít össze. Ha az adatok nem követnek normális eloszlást, akkor megfelelő nem paraméteres tesztet kell alkalmazni két független minta esetén - a Mann és Whitney U teszt.

Ha az aktuális hisztogram és a haranggörbe vizuális összehasonlítása nem tűnik elegendőnek, alkalmazhatja a Kolmogorov-Smirnov tesztet, amely a nem paraméteres tesztkészlet Elemzés menüjében található (lásd a 14.5. szakaszt).

Rizs. 5.1:Életkori megoszlás

Kor szerinti eloszlási példánkban a Kolmogorov-Smirnov teszt nem mutat szignifikáns eltérést a normál eloszlástól.

^ A minták függése és függetlensége.

Két minta függ egymástól, ha az egyik minta minden értéke természetes és egyértelműen hozzárendelhető a másik minta pontosan egy értékéhez. Több minta függőségét azonos módon határozzuk meg.

Leggyakrabban a függő minták akkor fordulnak elő, ha a méréseket több időpontban végzik. A függő minták a vizsgált folyamat különböző időpontoknak megfelelő paramétereinek értékeit alkotják.

Az SPSS-ben a függő (szintén rokon, párosított) mintákat különböző változók reprezentálják, amelyeket összehasonlítanak egymással egy megfelelő tesztben ugyanazon a megfigyeléseken.

Ha a minták közötti szabályos és egyértelmű megfeleltetés nem lehetséges, ezek a minták függetlenek. Az SPSS-ben a független minták különböző megfigyeléseket tartalmaznak (például különböző válaszadóktól), amelyeket általában egy nominális skálához kapcsolódó csoportváltozó különböztet meg.

^ Az átlaggal kapcsolatos hipotézisek tesztelésére szolgáló gyakori tesztek áttekintése.

A legáltalánosabb helyzetben, amikor a különböző mintákat átlaguk vagy mediánjuk alapján kell összehasonlítani egymással, az 5.1. szakaszban leírt feltételek mellett, általában a következő nyolc teszt egyikét alkalmazzák.

^ Az intervallumskálához kapcsolódó és normál eloszlású változók

^ Változók, amelyek ordinális skálán vannak, vagy olyan változók, amelyek intervallumskálán vannak, de nem normális eloszlásúak

^ A hiba valószínűsége.

Az analitikai statisztikában módszereket dolgoztak ki az úgynevezett teszt (kontroll) értékek kiszámítására, amelyeket bizonyos képletekkel számítanak ki a mintákban található adatok vagy az azokból nyert jellemzők alapján. Ezek a tesztértékek megfelelnek bizonyos elméleti eloszlásoknak (t-eloszlás, F-eloszlás, X2-eloszlás stb.), amelyek lehetővé teszik az ún. hibavalószínűség kiszámítását. Ez a valószínűség egyenlő a nullhipotézis elutasításával és az alternatíva elfogadásával elkövethető hibaszázalékkal.

A valószínűséget a matematikában 0-tól 1-ig terjedő értékként definiálják. A gyakorlati statisztikában gyakran százalékban is kifejezik. A valószínűséget általában p betűvel jelöljük:

0
Az a hiba valószínűsége, amelynél elfogadható a nullhipotézis elutasítása és az alternatív hipotézis elfogadása, minden konkrét esettől függ. Ezt a valószínűséget nagymértékben a vizsgált helyzet természete határozza meg. Minél nagyobb valószínűséggel kell elkerülni a hibás döntést, annál szűkebbre választják a hiba valószínűségének azon határait, amelyeknél a nullhipotézist elutasítják, a valószínűség ún. konfidenciaintervallumát.

Van egy általánosan elfogadott terminológia, amely a valószínűségi konfidencia intervallumokra utal. Hibavalószínű állítások p

^ A hiba valószínűsége	Jelentőség	Kijelölés
p > 0,05	Nem jelentős	ns
R	Jelentős	*
R	Nagyon jelentős	**
R	Maximális jelentősége	***

^ Valószínűségi konfidencia intervallum.

Megbízhatósági intervallum -ben használt kifejezésmatematikai statisztika a statisztikai paraméterek intervallum- (nem pontszerű) becslésével, ami kis mintaszám mellett előnyös. A konfidenciaintervallum az, amely egy ismeretlen paramétert fed le adott megbízhatósággal.

A paraméter konfidencia intervalluma θ valószínűségi változó eloszlás x 100-as megbízhatósági szinttel p%[1. megjegyzés] , a minta által generált ( x 1 ,…,x n), egy intervallumnak nevezzük határokkal ( x 1 ,…,x n) és ( x 1 ,…,x n), amelyek valószínűségi változók realizációi L(x 1 ,…,x n) és U(x 1 ,…,x n), így

A konfidenciaintervallum határpontjait ún bizalmi korlátok.

A konfidenciaintervallum intuíción alapuló értelmezése a következő lenne: ha p nagy (mondjuk 0,95 vagy 0,99), akkor a konfidencia intervallum szinte biztosan tartalmazza a valódi értéket θ .

^ Leíró (leíró elemzés).

Ez a fajta elemzés magában foglalja az egyes változók leíró bemutatását. Ez magában foglalja a gyakorisági táblázat létrehozását, a statisztikai jellemzők kiszámítását vagy a grafikus ábrázolást. A gyakorisági táblázatok a névleges skálához kapcsolódó változókhoz és a nem túl sok kategóriájú ordinális változókhoz készülnek; erről lásd a 6., 12. és 24. fejezetet.

A névleges skálához kapcsolódó változók esetében nem számítható ki szignifikáns statisztikai jellemző. Leggyakrabban ordinális változók és az intervallumskálához kapcsolódó, de normális eloszlás alá nem tartozó változók esetén a mediánokat és mindkét kvartilis kiszámítása történik (lásd a 6.2. szakaszt); Ha kevés a kategóriák száma, akkor használható a koncentrált adatok opciója (lásd a 6.3 fejezetet).

Az intervallumskálán lévő és normál eloszlású változók esetében leggyakrabban az átlagot és a szórást vagy a standard hibát számítják ki (lásd 6.2. fejezet). A két szórási jellemző közül azonban csak az egyiket kell kiválasztani. Az összes statisztikai skála változóihoz sokféle grafikon készíthető, amelyek gyakoriságokat, átlagokat vagy egyéb jellemzőket mutatnak be.

^ Elemző statisztika.

Szinte minden statisztikai elemzés a tisztán leíró műveletek mellett tartalmaz bizonyos analitikai módszereket (szignifikancia teszteket), amelyek alkalmazása végső soron meghatározza a p hiba valószínűségét (lásd 5.3. fejezet).

Számos tesztet használnak annak meghatározására, hogy két vagy több különböző minta átlaga vagy mediánja különbözik-e. Ez figyelembe veszi a független minták (különböző megfigyelések) és a függő minták (különböző változók; lásd az 5.1.3. fejezetet) közötti különbséget. A minták számától (két vagy több), attól függően, hogy a minták függőek-e vagy sem, a változók intervallum- vagy ordinális skálához tartoznak-e, vagy normál eloszlásúak, speciális teszteket alkalmaznak (lásd 5.2. fejezet). .

Nagyon gyakori helyzet fordul elő, amikor egy névleges skálához kapcsolódó különböző megfigyelési csoportokat vagy változók értékeit hasonlítják össze. Ebben az esetben kontingencia táblák készülnek (lásd a 11. fejezetet). A tesztek másik csoportja két változó közötti kapcsolatok vizsgálatára vonatkozik, vagyis a korrelációk azonosítására és a regressziók rekonstruálására (lásd 15. fejezet, 16.1. fejezet).

Ezeken a meglehetősen egyszerű statisztikai módszereken kívül léteznek bonyolultabb többváltozós elemzési módszerek is, amelyek általában sok változót használnak egyszerre. Például, ha nagyszámú változót szeretne kisebb számú „változókötegre”, úgynevezett faktorokra redukálni, akkor faktoranalízist hajtunk végre (19. fejezet). Ha a célunk az ellenkezője - adott megfigyeléseket kombinálni, klasztereket alkotva belőlük, akkor klaszteranalízist alkalmazunk (20. fejezet).

A többváltozós tesztek egy bizonyos csoportjában különbséget tesznek egy függő változó, amelyet célnak is neveznek, és több független változó (befolyásoló vagy előrejelző változók) között.

^ Függő változó	Független változók	Többdimenziós módszer
Dichotóm	Bármi	Bináris logisztikus regresszió (16.4. szakasz); diszkriminanciaanalízis (18. fejezet)
Dichotóm		Logit-log lineáris modellek
Névleges skálával	Névleges vagy ordinális skálával	Multinomiális logisztikai regresszió (16.5. szakasz)
Sorrendi skálával	Névleges vagy ordinális skálával	Ordinális regresszió (16.6. szakasz)
Intervallum skálával	Névleges vagy ordinális skálával	Varianciaanalízis (17.1. szakasz)
Intervallum skálával	Bármi	Kovariancia-elemzés (17.2. szakasz); többszörös regressziós elemzés (16.2. szakasz)

A multinomiális logisztikus regresszió és az ordinális regresszió intervallumskála kovariánsokat is használhat.

A bináris logisztikus regresszióban, a diszkriminanciaanalízisben és a többváltozós regressziós elemzésben a nominális skálához kapcsolódó független változóknak dichotómnak kell lenniük, vagy dichotóm változók halmazára kell bontani (lásd 16.2. fejezet). A logit-log lineáris modelleket ebben a könyvben nem tárgyaljuk, hanem a piac- és közvéleménykutatás módszereinek szentelt második kötetben.

Elméleti érvényesítés a szociológiai kutatásban: Módszertan és módszerek

Stanley Stevensonnak köszönhetően kutatási gyakorlatunkban többféle mérleggel dolgozunk. Vannak, akik kritizálják ezt a tipológiát, de láthatóan senki sem talált ki jobbat.

0 Kattintson, ha hasznos volt =ъ

Függetlenül attól, hogy milyen összetett kérdőíves kérdéseket vagy teszttechnikákat fontolgat, mindegyik három típusra osztható attól függően, hogy melyik mérési skálához tartoznak. Ebben az esetben nem a mérőműszerek felépítésének konkrét módszereiről beszélünk (például a Guttmann-skála vagy a Thurstone-skála), hanem a mérőskálák Stanley Stevens által 1946-ban javasolt osztályozásáról. Ennek az osztályozásnak az ismerete döntő fontosságú a kvantitatív megközelítés alkalmazása szempontjából, hiszen a matematikai statisztika egyes módszereinek alkalmazása többek között olyan mérési skálákon alapul, amelyekben a kutatót érdeklő változók jelennek meg.

Tudjon meg többet a "változó" fogalmáról
A „változó” gyakran használt fogalom a tudományos kutatásban (nem csak a társadalom- és viselkedéstudományokban), és különösen akkor, ha kvantitatív megközelítésről és statisztikai módszerek alkalmazásáról beszélünk. Valójában a változó a vizsgált objektumok bármely tulajdonsága, amely egyik megfigyelésről a másikra változik. Ebben az esetben a megfigyelések a vizsgálat tárgyaira vonatkoznak (emberekre, szervezetekre, országokra vagy bármi másra – ez magától a vizsgálattól függ).
Ha egy tulajdonság nem változik egyik megfigyelésről a másikra, akkor az nem ad matematikai értelemben értékes információt (a legtöbb módszer egyszerűen használhatatlan lesz).
Így a kvantitatív megközelítés keretein belül a vizsgált objektumok érdekes és vizsgálandó változók halmazaként jelennek meg. Nem nehéz kitalálni, hogy a változók elsősorban attól függően vannak felosztva, hogy milyen léptékben jelennek meg. Így megkülönböztethetünk például nominális, ordinális és metrikus változókat. Ugyanakkor a sorszámúakat összecsukott és folyamatos sorszámúakra lehet osztani. A folytonos sorszámú változóknak sok numerikus értéke van, és (legalábbis első pillantásra) metrikus változóknak tűnnek. Az összecsukott sorszámú változóknak csak néhány kategóriája vagy számértéke van (legfeljebb öt vagy hat). Ezeket akár összecsukott formában történő adatgyűjtéssel, akár folytonos ordinális vagy metrikus skála összecsukásával kaphatjuk meg.
A változók másik fontos felosztása a függő és független felosztás. Az elemzés során gyakran hipotéziseket állítanak fel egyes változóknak másokra gyakorolt ​​hatásáról. Ilyen esetekben a befolyásoló változókat függetlennek, a befolyásolt változókat függőnek nevezzük. Például, ha egy hallgató neme és tanulmányi eredményessége közötti kapcsolatról beszélünk, akkor a nem független változó, a tanulmányi sikere pedig függő változó.

Stevenson osztályozása szerint a legáltalánosabb formában háromféle skálát különböztethetünk meg:
- névleges,
- sorszámú,
- metrikus.

Névleges a skála olyan változókat tartalmaz, amelyek értékei csoportokra oszthatók, de nem rangsorolhatók. Példák a releváns változókra: nem, nemzetiség, vallás stb. Tekintsünk részletesebben egy olyan változót, mint a nemzetiség. Ebben az esetben a válaszadók különböző csoportokba sorolhatók attól függően, hogy milyen nemzetiségűnek tartják magukat. Ugyanakkor ezen információk alapján lehetetlen a válaszadókat a minket érdeklő paraméter mennyiségi kifejeződése szerint válogatni, mert a nemzetiség a szó hagyományos értelmében nem mérhető tulajdonság.
Sorrendi a skála olyan változókat tartalmaz, amelyek értékeit nem csak csoportokra lehet osztani, hanem a mért tulajdonság súlyosságától függően rangsorolni is lehet. Az ordinális skála klasszikus példája a Bogardus-skála, amelyet országos távolság mérésére terveztek. Az alábbiakban egy Ukrajna lakosságára adaptált változat (N. Panina, E. Golovakha):

Kérdőíves feladat
Minden alább felsorolt ​​nemzetiséghez válasszon egyet az Önhöz személyesen legközelebb álló pozíciók közül, amelybe beengedné az adott nemzetiség képviselőit.
Válasz skála
1) családom tagjaként;
2) közeli barátként;
3) szomszédként;
4) munkahelyi kollégákként;
5) Ukrajna lakosaiként;
6) Ukrajnába látogatóként;
7) egyáltalán nem engedné be Ukrajnába.

Ez a skála lehetővé teszi a válaszadók sorrendjét az adott nemzetiséghez való hozzáállásuk szerint. Ez azonban csak hozzávetőleges információt ad, ami nem teszi lehetővé a skála fokozatok közötti különbségek pontos felmérését. Így például vitatkozhatunk azzal, hogy az a válaszadó, aki kész családtagként felvenni zsidókat, jobban bánik velük, mint az, aki csak szomszédként hajlandó befogadni őket. Ugyanakkor nem tudjuk megmondani, hogy „mennyivel?” vagy "hány órakor?" hiszen az első válaszoló jobban viszonyul a zsidó nemzetiségű képviselőkhöz, mint a második. Más szóval, nincsenek olyan érveink, amelyek alátámasztanák a skálaelemek közötti intervallumok egyenlőségét.
Metrikus a skála változók osztályát tartalmazza, amelyek értékei vagy csoportokra oszthatók és rangsorolhatók, vagy értékük pontosan meghatározható (ugyanaz „mennyivel?” és „mikor?”). Tipikus példák a releváns változókra az életkor, a fizetés, a gyermekek száma stb. Mindegyik a lehető legpontosabban mérhető: életkor években, fizetés hrivnyában, gyerekek száma... darabban;)
Természetesen, ha egy változó potenciálisan kifejezhető metrikus skálán, akkor ugyanaz a változó kifejezhető ordinális skálán.

Például az életkor kifejezhető korcsoportokban (fiatalok, középkorú, időskor), amelyek a rangsorolási lehetőség ellenére is csak hozzávetőleges információt adnak a válaszadóról.
A metrikus skálához való tartozás lehetőséget ad bármilyen statisztikai módszer alkalmazására. Az ordinális vagy nominális skálához való tartozás viszont korlátozza a matematikai eszközök választását (ordinális skála esetén kisebb mértékben, nominális skála esetén nagyobb mértékben). Megadjuk a statisztikai módszerek osztályozását.
Annak érdekében, hogy a nominális, ordinális és metrikus skála közötti különbségek még szembetűnőbbek legyenek, adok egy további példát a profi nehézsúlyú ökölvívók boxrec.com szerinti értékelésére (2012.01.31-i információ). Ugyanakkor három változó szerint nézzük meg az első tíz ökölvívó adatait: az ökölvívó etnikai hovatartozása, a rangsorban elfoglalt helye és a 2012. január 31-én szerzett pontszámok száma.

A) Etnikai hovatartozás ( névleges méretarány). Három bokszoló (testvérek Klitschko és Dimitrenko) ukrán, egy (Povetkin) orosz, egy (Adamek) lengyel, kettő (Chambers és Thompson) amerikai, egy (Fury) brit, egy (Helenius) finn, egy (Pulev) - bolgár. Így a „nemzetiség” változó segített abban, hogy az összes bokszolót 7 csoportra osztjuk, etnikai hovatartozásuktól függően. Ezen adatok birtokában egy boksztól távol álló személy nem tud semmit mondani a felsorolt ​​bokszolók sikeréről, bár a 10 legjobb nehézsúlyú etnikai hovatartozásáról kap információt (továbbra is hipotetikus szakértőhöz fordulunk):
ukránok - 30%;
amerikaiak - 20%;
Oroszok, lengyelek, britek, finnek és bolgárok - egyenként 10%.
B) Helyezés a rangsorban ( rendes skála) hozzávetőleges információt ad a bokszoló sikeréről. A helyzet a következő:
1. Vlagyimir Klicsko
2. Vitalij Klicsko
3. Alekszandr Povetkin
4. Tomasz Adamek
5. Eddie Chambers
6. Tyson Fury
7. Robert Helenius
8. Tony Thompson
9. Alekszandr Dimitrenko
10. Kubrat Pulev
Most tájékozatlan elemzőnk ismeri a tíz legjobb nehézsúlyú bokszoló sorrendjét. És bár itt már jelen vannak az 1-től 10-ig terjedő számok, az összehasonlításon kívül mégsem tud más matematikai műveletet végrehajtani. Például nem mondhatja, hogy Vladimir Klitschko 4 egységgel jobb Eddie Chambersnél. Az „5 mínusz 1” kifejezésnek ebben az esetben nincs értelme. Erről a két bokszolóról csak annyit tud mondani, hogy Vladimir Klitschko jobb bokszoló Eddie Chambersnél (valamint mindenki más az első tízből). A matematikai műveletek végrehajtásának lehetetlensége az az oka, hogy az 1-től 10-ig terjedő pontok között nincs egyenlőség. Hogy mik a pontok közötti tényleges intervallumok, azt az utolsó változónak köszönhetően láthatjuk.
B) Értékelési pontok száma ( metrikus skála). Ez a mutató