Oldalunk youtube csatornájára, hogy értesüljön minden új videó leckéről.

Először idézzük fel a fokozatok alapvető képleteit és tulajdonságait.

Egy szám szorzata a n-szer fordul elő önmagán, ezt a kifejezést a a … a=a n alakban írhatjuk fel

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Hatvány- vagy exponenciális egyenletek- Ezek olyan egyenletek, amelyekben a változók hatványban (vagy kitevőben) vannak, és az alap egy szám.

Példák exponenciális egyenletekre:

Ebben a példában a 6-os szám az alap, mindig alul van, és a változó x fok vagy mérték.

Adjunk még példákat az exponenciális egyenletekre.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Most nézzük meg, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket?

Vegyünk egy egyszerű egyenletet:

2 x = 2 3

Egy ilyen példa még fejben is megoldható. Látható, hogy x=3. Végül is, ahhoz, hogy a bal és a jobb oldal egyenlő legyen, x helyett 3-as számot kell tennie.
Most pedig nézzük meg, hogyan kell ezt a döntést meghozni:

2 x = 2 3
x = 3

Az egyenlet megoldásához eltávolítottuk ugyanazon az alapon(vagyis kettesek) és felírta, ami maradt, ezek fokozatok. Megkaptuk a választ, amit kerestünk.

Most foglaljuk össze a megoldásunkat.

Algoritmus az exponenciális egyenlet megoldására:
1. Ellenőrizni kell ugyanaz hogy az egyenlet alapjai a jobb és a bal oldalon. Ha az indokok nem ugyanazok, akkor keressük a megoldási lehetőségeket ennek a példának a megoldására.
2. Miután az alapok ugyanazok, egyenlővé tenni fokot, és oldja meg a kapott új egyenletet.

Most oldjunk meg néhány példát:

Kezdjük egyszerűen.

A bal és a jobb oldalon lévő alapok egyenlőek a 2-es számmal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk az alapot és egyenlőségjelet adhatunk a fokaikhoz.

x+2=4 Kiderült a legegyszerűbb egyenlet.
x=4-2
x=2
Válasz: x=2

A következő példában láthatja, hogy az alapok különböznek, ezek a 3 és a 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Először is áthelyezzük a kilencet a jobb oldalra, így kapjuk:

Most ugyanazokat az alapokat kell elkészítenie. Tudjuk, hogy 9=3 2 . Használjuk az (a n) m = a nm hatványképletet.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 most már világos, hogy a bal és a jobb oldalon lévő alapok azonosak, és egyenlők hárommal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a fokokat.

3x=2x+16 kapta a legegyszerűbb egyenletet
3x-2x=16
x=16
Válasz: x=16.

Nézzük a következő példát:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Először is nézzük meg az alapokat, az alapok különböznek kettős és négyes. És egyformának kell lennünk. A négyesét az (a n) képlet szerint alakítjuk át m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

És egy a n a m = a n + m képletet is használunk:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adjuk hozzá az egyenlethez:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ugyanezen okokból adtunk egy példát. De más 10-es és 24-es számok zavarnak bennünket.Mit kezdjünk velük? Ha alaposan megnézed, láthatod, hogy a bal oldalon 2-szer ismételjük, itt a válasz - zárójelből 2-2-t tehetünk:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezést:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

A teljes egyenletet elosztjuk 6-tal:

Képzeld el, hogy 4=22:

2 2x \u003d 2 2 alap megegyezik, dobja el őket, és tegye egyenlővé a fokokat.
A 2x \u003d 2 a legegyszerűbb egyenletnek bizonyult. Elosztjuk 2-vel, kapjuk
x = 1
Válasz: x = 1.

Oldjuk meg az egyenletet:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Alakítsuk át:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kapjuk az egyenletet:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Az alapok nekünk ugyanazok, egyenlők hárommal Ebben a példában látható, hogy az első hármas kétszer (2x) fokos, mint a második (csak x). Ebben az esetben dönthet helyettesítési módszer. A legkisebb fokozatú szám helyébe a következő lép:

Ezután 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

A t egyenletben az összes fokot x-re cseréljük:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Másodfokú egyenletet kapunk. A diszkrimináns segítségével megoldjuk, így kapjuk:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Vissza a változóhoz x.

t 1-et vesszük:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

vagyis

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Egy gyökér található. A másodikat keressük, t 2-től:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Válasz: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Az oldalon a SEGÍTSÉGDÖNTÉS menüpontban felteheti érdeklődését, mi biztosan válaszolunk.

Csatlakozz egy csoporthoz

y (x) = e x, amelynek deriváltja magával a függvénnyel egyenlő.

A kitevő jelölése , vagy .

e szám

A kitevő fokának alapja az e szám. Ez egy irracionális szám. Ez megközelítőleg egyenlő
e ≈ 2,718281828459045...

Az e számot a sorozat határán keresztül határozzuk meg. Ez az ún második csodálatos határ:
.

Az e szám sorozatként is ábrázolható:
.

Kiállítói diagram

Kitevő diagram, y = e x.

A grafikon a kitevőt mutatja, e Amennyiben x.
y (x) = e x
A grafikon azt mutatja, hogy a kitevő monoton növekszik.

Képletek

Az alapképletek ugyanazok, mint az e fokú bázisú exponenciális függvénynél.

;
;
;

Tetszőleges a fokú bázisú exponenciális függvény kifejezése a kitevőn keresztül:
.

Magánértékek

Hadd y (x) = e x. Azután
.

Kitevő tulajdonságai

A kitevő egy fokszámbázisú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik e > 1 .

Meghatározási terület, értékkészlet

Kitevő y (x) = e x minden x-re definiálva.
A hatálya a következő:
- ∞ < x + ∞ .
Jelentéskészlete:
0 < y < + ∞ .

Szélsőségek, növekedés, csökkenés

A kitevő monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. Főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.

Inverz függvény

A kitevő reciproka a természetes logaritmus.
;
.

A kitevő származéka

Derivált e Amennyiben x egyenlő e Amennyiben x :
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Integrál

Komplex számok

A komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása a Euler-képletek:
,
hol van a képzeletbeli egység:
.

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

; ;
.

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

; ;
;
.

Teljesítménysorozat bővítése

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept alapján vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag ez egy téglalapként ábrázolható, amelyben az egyik oldal a salátát, a másik a vizet jelöli. E két oldal összege a borscsot jelöli. Az ilyen "borscht" téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

Hogyan lesz a salátából és a vízből borscs matematikailag? Hogyan alakulhat két szakasz összege trigonometriává? Ennek megértéséhez lineáris szögfüggvényekre van szükségünk.

A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei, akárcsak a természet törvényei, működnek, akár tudjuk, hogy léteznek, akár nem.

A lineáris szögfüggvények az összeadás törvényei. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges lineáris szögfüggvények nélkül? Megteheti, mert a matematikusok nélkülük is elboldogulnak. A matematikusok trükkje abban rejlik, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket maguk is meg tudnak oldani, és soha nem mondanak el olyan problémákat, amelyeket nem tudnak megoldani. Lát. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Más problémákat nem ismerünk, és nem is tudjuk azokat megoldani. Mi a teendő, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Továbbá mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. A mindennapi életben nagyon jól megvagyunk anélkül, hogy felbontjuk az összeget, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos tanulmányozása során az összeg kifejezésekre való kiterjesztése nagyon hasznos lehet.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szeretnek beszélni (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységük legyen. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek tömeg-, térfogat-, költség- vagy mértékegységek lehetnek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek területének különbségei, amelyek szögletes zárójelben vannak feltüntetve, és betűvel vannak jelölve. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - a leírt objektumok hatókörének különbségeit. Különböző objektumok ugyanannyi mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz a jelöléshez alsó indexeket adunk a különböző objektumok mértékegységeihez, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és hogyan változik az időben vagy a cselekvéseinkkel összefüggésben. levél W Megjelölöm a vizet a betűvel S A salátát megjelölöm a betűvel B- Borsch. Így néznek ki a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor egy adag borscht lesz belőle. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat fog kijönni. Akkor mire tanítottak minket? Megtanítottuk az egységeket a számoktól elválasztani és számokat összeadni. Igen, bármilyen szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - nem értjük, mit, nem világos, hogy miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különbség miatt a matematikusok csak az egyiken dolgoznak. Helyesebb lesz megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

És a nyuszik, a kacsák és a kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló készpénzhez. Vagyonunk összértékét pénzben fejeztük ki.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabonként kapjuk meg.

Mint látható, ugyanaz az összeadási törvény lehetővé teszi, hogy különböző eredményeket kapjon. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most láthatjuk, mi fog történni a lineáris szögfüggvények szögének különböző értékeivel.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Nulla borsch is lehet nulla saláta (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért van így, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Tetszés szerint kapcsolódhat ehhez, de ne feledje - minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, ezért dobja el a logikáját, és ostoba módon tömje össze a matematikusok által kitalált definíciókat: "nullával osztás lehetetlen", "bármely szám nullával szorozva". egyenlő nullával" , "nullapont mögött" és egyéb hülyeségekkel. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés általában elveszti értelmét: hogyan tekinthetünk számnak azt, ami nem szám. . Ez olyan, mintha azt kérdeznéd, milyen színnek tulajdonítsunk egy láthatatlan színt. Nullát adni egy számhoz olyan, mintha nem létező festékkel festenénk. Száraz ecsettel intettek, és mindenkinek azt mondták, hogy "festettünk". De elkalandozom egy kicsit.

A szög nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a vízünk. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyforma mennyiségű vízünk és salátánk van. Ez a tökéletes borscs (a szakácsok bocsássák meg, ez csak matematika).

A szög nagyobb, mint negyvenöt fok, de kisebb, mint kilencven fok. Sok vízünk van és kevés salátánk. Vegyen folyékony borscsot.

Derékszög. Van vizünk. A salátáról már csak emlékek maradtak, mivel a szöget továbbra is attól a vonaltól mérjük, amely egykor a salátát jelölte. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben tartsa meg, és igyon vizet, amíg elérhető)))

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lesznek itt.

A két barátnak részesedése volt a közös üzletben. Egyikük meggyilkolása után minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscs trigonometriájához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

Megnéztem egy érdekes videót róla Grandi sora Egy mínusz egy plusz egy mínusz egy - Numberphile. A matematikusok hazudnak. Érvelésükben nem végeztek egyenlőségi tesztet.

Ez egybecseng a ról szóló érvelésemmel.

Nézzük meg közelebbről azokat a jeleket, amelyek arra utalnak, hogy a matematikusok megcsalnak bennünket. Az okfejtés legelején a matematikusok azt mondják, hogy a sorozat összege FÜGG attól, hogy az elemek száma páros-e vagy sem. Ez egy OBJEKTÍVEN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNY. Mi történik ezután?

Ezután a matematikusok kivonják a sorozatot az egységből. Mihez vezet ez? Ez a sorozat elemeinek számának változásához vezet - a páros szám páratlan, a páratlan szám páros számmá változik. Végül is egy eggyel egyenlő elemet adtunk a sorozathoz. Minden külső hasonlóság ellenére a transzformáció előtti sorozat nem egyenlő a transzformáció utáni sorozattal. Még ha végtelen sorozatról beszélünk is, emlékeznünk kell arra, hogy a páratlan elemszámú végtelen sorozat nem egyenlő a páros számú elemű végtelen sorozattal.

Két elemszámban eltérő sorozat közé egyenlőségjelet adva a matematikusok azt állítják, hogy a sorozat összege NEM FÜGG a sorozat elemeinek számától, ami ellentmond egy OBJEKTÍVAN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNYNEK. A végtelen sorozat összegére vonatkozó további érvelés hamis, mert hamis egyenlőségen alapul.

Ha azt látja, hogy a matematikusok zárójeleket tesznek a bizonyítás során, átrendezik egy matematikai kifejezés elemeit, hozzáadnak vagy eltávolítanak valamit, akkor legyen nagyon óvatos, valószínűleg meg akarják csalni. A kártyavarázslókhoz hasonlóan a matematikusok is a kifejezés különféle manipulációival tereli el a figyelmét, hogy végül hamis eredményt adjanak. Ha nem tudod megismételni a kártyatrükköt anélkül, hogy ismernéd a csalás titkát, akkor a matematikában minden sokkal egyszerűbb: még csak nem is gyanítasz semmit a csalásról, de az összes manipuláció matematikai kifejezéssel történő megismétlése lehetővé teszi, hogy meggyőzz másokat arról, az eredmény helyességét, mint amikor Önt meggyőzte.

Kérdés a közönségtől: És a végtelen (mint az S sorozat elemeinek száma), páros vagy páratlan? Hogyan lehet megváltoztatni a paritást annak, aminek nincs paritása?

A végtelen a matematikusok számára olyan, mint a mennyek királysága a papok számára - soha senki nem járt ott, de mindenki pontosan tudja, hogyan működik ott minden))) Egyetértek, a halál után teljesen közömbös lesz, hogy páros vagy páratlan számú napot éltél. , de ... Csak egy napot hozzáadva életed elején, egy teljesen más személyt kapunk: vezetékneve, keresztneve és apaneve teljesen megegyezik, csak a születési dátum teljesen más - annak született. nap előtted.

És most a lényeghez))) Tegyük fel, hogy egy véges sorozat, amelynek paritása van, elveszíti ezt a paritást, amikor a végtelenbe megy. Ekkor egy végtelen sorozat bármely véges szakaszának paritást is veszítenie kell. Ezt nem tartjuk be. Az, hogy nem tudjuk biztosan megmondani, hogy egy végtelen sorozat elemeinek száma páros vagy páratlan, egyáltalán nem jelenti azt, hogy a paritás eltűnt. A paritás, ha létezik, nem tűnhet el nyomtalanul a végtelenbe, mint az élesebb kártya hüvelyében. Van egy nagyon jó analógia erre az esetre.

Megkérdeztél már egy órában ülő kakukktól, hogy milyen irányba forog az óramutató? Nála a nyíl az óramutató járásával ellentétes irányba forog. Lehet, hogy paradoxon hangzik, de a forgás iránya kizárólag attól függ, hogy melyik oldalról figyeljük a forgást. És így van egy kerekünk, amely forog. Nem tudjuk megmondani, hogy a forgás milyen irányban történik, hiszen a forgássík egyik oldaláról és a másik oldaláról is megfigyelhetjük. Csak arról tanúskodhatunk, hogy van forgás. Teljes analógia egy végtelen sorozat paritásával S.

Most adjunk hozzá egy második forgó kereket, amelynek forgási síkja párhuzamos az első forgó kerék forgássíkjával. Még mindig nem tudjuk pontosan megmondani, hogy ezek a kerekek melyik irányba forognak, de azt teljes bizonyossággal meg tudjuk mondani, hogy mindkét kerék ugyanabba az irányba, vagy ellenkező irányba. Két végtelen sorozat összehasonlítása SÉs 1-S, matematika segítségével megmutattam, hogy ezek a sorozatok eltérő paritásúak, és hiba egyenlőségjelet tenni közéjük. Én személy szerint hiszek a matematikában, nem bízom a matematikusokban))) Egyébként a végtelen sorozatok transzformációinak geometriájának teljes megértéséhez be kell vezetni a fogalmat "egyidejűség". Ezt le kell majd rajzolni.

2019. augusztus 7., szerda

A -ról szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. Feltéve, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-szűkítő a nyúlra. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa valós számot jelöl. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha példának vesszük a természetes számok végtelen halmazát, akkor a vizsgált példák a következőképpen ábrázolhatók:

Álláspontjuk vizuális bizonyítására a matematikusok számos különféle módszert dolgoztak ki. Én személy szerint úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a sámánok tamburás táncára. Lényegében mindannyian arra vezetnek, hogy vagy a szobák egy részét nem foglalják el, és új vendégeket telepítenek beléjük, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott véleményemet egy fantasztikus történet formájában mutattam be a Szőkéről. Mire épül az érvelésem? Végtelen számú látogató mozgatása végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután elhagytuk az első vendégszobát, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a következőbe. Az időfaktort persze lehet hülyén figyelmen kívül hagyni, de ez már a "nem hülyéknek íródott törvény" kategóriából lesz. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a "végtelen szálloda"? Az infinity fogadó olyan fogadó, amelyben mindig van szabad hely, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen „látogatók” folyosó minden szobája foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó, ahol a „vendégek” szobái vannak. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Ugyanakkor a "végtelen szállodának" végtelen sok emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok viszont nem tudnak eltávolodni a banális hétköznapi problémáktól: Isten-Allah-Buddha mindig csak egy, a szálloda egy, a folyosó csak egy. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámai között, meggyőzve minket arról, hogy lehet "lökdösni a löketlent".

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet létezik - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen mi magunk találtuk ki a számokat, a Természetben nincsenek számok. Igen, a természet remekül tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Ahogy a Természet gondolja, máskor elmondom. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz létezik. Mérlegelje mindkét lehetőséget, ahogy egy igazi tudóshoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” természetes számok egyetlen halmaza, amely nyugodtan hever egy polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs is hova venni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egy egységet és visszahelyezhetjük a polcra. Ezt követően levehetünk egy egységet a polcról, és hozzáadhatjuk a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam meg, részletesen felsorolva a halmaz elemeit. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és ugyanazt adjuk hozzá.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz van a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Egy ilyen készletet veszünk. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Íme, amit kapunk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazt hozzáadunk egy másik végtelen halmazhoz, akkor az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számláláshoz, mint a mérési vonalzót. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez már egy másik vonal lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákba ütközik, gondolja át, vajon a hamis érvelés útján jár-e, amelyet matematikusok generációi tapossanak. Hiszen a matematikaórák elsősorban a gondolkodás stabil sztereotípiáját alakítják ki bennünk, és csak ezután adnak hozzánk szellemi képességeket (vagy fordítva, megfosztanak a szabad gondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4. vasárnap

Írtam egy utószavát egy cikkhez, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Gyenge számunkra, ha a modern matematikát ugyanabban a kontextusban nézzük? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – olyan nyelvezete és konvenciói vannak, amelyek különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész ciklusát szeretném a modern matematika legnyilvánvalóbb baklövéseinek szentelni. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3. szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben megtalálható. Vegyünk egy példát.

Legyen sokunk DE négy emberből áll. Ez a halmaz "emberek" alapján alakult. Jelöljük ki ennek a halmaznak az elemeit a betűn keresztül de, a számmal ellátott alsó index a készletben szereplő egyes személyek sorszámát jelzi. Vezessünk be egy új mértékegységet, a „szexuális jellemzőt”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk DE a nemről b. Figyeljük meg, hogy a mi „emberek” készletünk a „nemekkel rendelkező emberek” készletté vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw nemi jellemzők. Most már alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: ezek közül a szexuális jellemzők közül választunk ki egyet, nem mindegy, hogy melyik férfi vagy nő. Ha az emberben megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen jel, akkor nullával. És akkor alkalmazzuk a szokásos iskolai matematikát. Nézze meg, mi történt.

Szorzás, csökkentés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfi részhalmazt bmés a nők egy részhalmaza bw. Körülbelül ugyanúgy érvelnek a matematikusok, amikor a halmazelméletet a gyakorlatban alkalmazzák. De nem engednek bele a részletekbe, hanem a kész eredményt adják nekünk – "sok ember a férfiak egy részhalmazából és a nők egy részhalmazából áll." Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy a fenti transzformációkban mennyire alkalmazta helyesen a matematikát? Biztosíthatom Önöket, hogy valójában az átalakítások helyesen vannak végrehajtva, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb szakaszainak matematikai igazolását. Ami? Majd máskor mesélek róla.

Ami a szuperhalmazokat illeti, lehetséges két halmaz egy szuperhalmazzá kombinálni, ha kiválasztunk egy olyan mértékegységet, amely e két halmaz elemeiben jelen van.

Amint látja, a mértékegységek és az általános matematika a múlté teszi a halmazelméletet. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok azt tették, amit egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Ezt a "tudást" tanítják nekünk.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáinak számítottak. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szemszögéből Zénón aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénón apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít) . Amit különösen szeretnék rámutatni, az az, hogy két pont az időben és két pont a térben két különböző dolog, amelyeket nem szabad összetéveszteni, mivel eltérő lehetőségeket biztosítanak a felfedezéshez.
A folyamatot egy példán mutatom be. Kiválasztjuk a "piros szilárd pattanásban" - ez a mi "egészünk". Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezt követően kiválasztunk egy részt az „egészből”, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így táplálják magukat azzal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a "szilárd pattanásban masnival" és egyesítsük ezeket az "egészeket" szín szerint, piros elemeket kiválasztva. Sok "pirost" kaptunk. Most egy trükkös kérdés: a kapott "masnival" és "piros" készletek ugyanazok, vagy két különböző készlet? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy legyen.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros, tömör pattanásból masnival". A formálás négy különböző mértékegység szerint zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárdság), érdesség (dudorban), díszítések (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós objektumok megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. Zárójelben kiemelve vannak a mértékegységek, amelyek szerint az "egész" kiosztásra kerül az előzetes szakaszban. Zárójelből kivesszük azt a mértékegységet, amely szerint a halmaz kialakul. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tamburás tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, „nyilvánvalósággal” érvelve, mert a mértékegységek nem szerepelnek „tudományos” arzenáljukban.

A mértékegységek segítségével nagyon egyszerűen feltörhet egy vagy több készletet egy szuperszettbe. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.

Ősidők óta szükséges volt az értékek és mennyiségek összehasonlítása a gyakorlati feladatok megoldásában. Ugyanakkor megjelentek olyan szavak, mint a több és kevesebb, magasabb és alacsonyabb, könnyebb és nehezebb, halkabb és hangosabb, olcsóbb és drágább stb., amelyek a homogén mennyiségek összehasonlításának eredményeit jelölik.

A több és a kevesebb fogalma a tárgyak megszámlálásával, a mennyiségek mérésével, összehasonlításával kapcsolatban merült fel. Például az ókori Görögország matematikusai tudták, hogy bármely háromszög oldala kisebb, mint a másik két oldal összege, és hogy a háromszög nagyobbik oldala a nagyobb szöggel szemben helyezkedik el. Arkhimédész a kör kerületének kiszámítása közben azt találta, hogy bármely kör kerülete megegyezik az átmérő háromszorosával, amelynek többlete kisebb, mint az átmérő hetede, de több mint tíz hetvenegyedik része.

Írjon szimbolikusan kapcsolatokat a számok és mennyiségek között a > és b jelek segítségével. Azok a bejegyzések, amelyekben két számot az egyik előjel köt össze: > (nagyobb, mint), Számszerű egyenlőtlenségekkel is találkoztál elemi évfolyamokon. Tudod, hogy az egyenlőtlenségek igazak vagy nem. Például a \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) érvényes numerikus egyenlőtlenség, a 0,23 > 0,235 pedig érvénytelen numerikus egyenlőtlenség.

Az ismeretleneket is magában foglaló egyenlőtlenségek igazak lehetnek az ismeretlenek egyes értékeire, míg másokra hamisak. Például a 2x+1>5 egyenlőtlenség igaz x = 3 esetén, de hamis x = -3 esetén. Egy ismeretlennel való egyenlőtlenség esetén beállíthatja a feladatot: oldja meg az egyenlőtlenséget. A gyakorlatban az egyenlőtlenségek megoldásának problémáit nem ritkábban vetik fel és oldják meg, mint az egyenletek megoldásának problémáit. Például sok gazdasági probléma a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására és megoldására redukálódik. A matematika számos ágában az egyenlőtlenségek gyakoribbak, mint az egyenletek.

Egyes egyenlőtlenségek az egyetlen segédeszközként szolgálnak egy bizonyos objektum létezésének bizonyítására vagy cáfolására, például egy egyenlet gyöke.

Numerikus egyenlőtlenségek

Összehasonlíthatja az egész számokat és a tizedesjegyeket. Ismerje az azonos nevezővel, de eltérő számlálóval rendelkező közönséges törtek összehasonlításának szabályait; ugyanazokkal a számlálókkal, de különböző nevezőkkel. Itt megtudhatja, hogyan lehet összehasonlítani bármely két számot a különbség előjelének megtalálásával.

A számok összehasonlítását széles körben alkalmazzák a gyakorlatban. Például a közgazdász összehasonlítja a tervezett mutatókat a ténylegesekkel, az orvos összehasonlítja a páciens hőmérsékletét a normál értékkel, az esztergályos a megmunkált alkatrész méreteit egy szabványhoz. Minden ilyen esetben bizonyos számokat hasonlítanak össze. A számok összehasonlítása eredményeként numerikus egyenlőtlenségek keletkeznek.

Meghatározás. Az a szám nagyobb, mint a b, ha az a-b különbség pozitív. Az a szám kisebb, mint a b, ha az a-b különbség negatív.

Ha a nagyobb, mint b, akkor ezt írják: a > b; ha a kisebb, mint b, akkor azt írják: a Így az a > b egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a - b különbség pozitív, azaz. a - b > 0. Egyenlőtlenség a Tetszőleges két a és b számra az alábbi három összefüggésből a > b, a = b, a Tétel. Ha a > b és b > c, akkor a > c.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik.
Következmény. Bármely tag átvihető az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, ha ennek a tagnak az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.
Következmény. Ha az egyenlőtlenség mindkét részét ugyanazzal a pozitív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét részét ugyanazzal a negatív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.

Tudja, hogy a numerikus egyenlőségeket tagonként lehet összeadni és szorozni. Ezután megtanulja, hogyan hajtson végre hasonló műveleteket egyenlőtlenségekkel. A gyakorlatban gyakran használják az egyenlőtlenségek tagonkénti összeadásának és szorzásának képességét. Ezek a műveletek segítenek megoldani a kifejezésértékek értékelésével és összehasonlításával kapcsolatos problémákat.

Különféle problémák megoldása során gyakran szükséges az egyenlőtlenségek bal és jobb oldali részét tagonként összeadni vagy szorozni. Néha azt mondják, hogy az egyenlőtlenségeket összeadják vagy szorozzák. Például, ha egy turista több mint 20 km-t gyalogolt az első napon, és több mint 25 km-t a második napon, akkor vitatható, hogy két nap alatt több mint 45 km-t gyalogolt. Hasonlóképpen, ha egy téglalap hossza kisebb, mint 13 cm, és szélessége kisebb, mint 5 cm, akkor vitatható, hogy ennek a téglalapnak a területe kisebb, mint 65 cm2.

E példákat figyelembe véve a következők tételek az egyenlőtlenségek összeadásáról és szorzásáról:

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek összeadásakor azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d.

Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek szorzásakor, amelyeknél a bal és a jobb rész pozitív, azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b, c > d és a, b, c, d pozitív számok, akkor ac > bd.

A > (nagyobb, mint) és 1/2, 3/4 b, c előjelű egyenlőtlenségek a > és a szigorú egyenlőtlenségekkel együtt Ugyanígy az \(a \geq b \) egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a szám nagyobb, mint vagy egyenlő b-vel, azaz és nem kisebb, mint b.

A \(\geq \) vagy a \(\leq \) jelet tartalmazó egyenlőtlenségeket nem szigorúnak nevezzük. Például a \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nem szigorú egyenlőtlenségek.

A szigorú egyenlőtlenségek minden tulajdonsága érvényes a nem szigorú egyenlőtlenségekre is. Sőt, ha szigorú egyenlőtlenségek esetén az előjeleket > ellentétesnek tekintettük, és tudja, hogy számos alkalmazott probléma megoldásához egyenlet vagy egyenletrendszer formájában kell matematikai modellt felállítani. Továbbá megtudhatja, hogy számos probléma megoldásának matematikai modelljei az ismeretlenekkel való egyenlőtlenségek. Bemutatjuk az egyenlőtlenség megoldásának fogalmát, és megmutatjuk, hogyan ellenőrizhető, hogy egy adott szám megoldása-e egy adott egyenlőtlenségre.

A forma egyenlőtlenségei
\(ax > b, \quad ax ahol a és b adott számok és x ismeretlen, az ún. lineáris egyenlőtlenségek egy ismeretlennel.

Meghatározás. Az ismeretlennel való egyenlőtlenség megoldása annak az ismeretlennek az értéke, amelynél ez az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy megállapítjuk, hogy nincs.

Az egyenleteket úgy oldotta meg, hogy a legegyszerűbb egyenletekre redukálta őket. Hasonlóképpen, az egyenlőtlenségek megoldása során hajlamosak vagyunk azokat tulajdonságok segítségével a legegyszerűbb egyenlőtlenségek formájára redukálni.

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása egy változóval

A forma egyenlőtlenségei
\(ax^2+bx+c >0 \) és \(ax^2+bx+c ahol x egy változó, a, b és c néhány szám, és \(a \neq 0 \) hívjuk másodfokú egyenlőtlenségek egy változóval.

Az egyenlőtlenség megoldása
\(ax^2+bx+c >0 \) vagy \(ax^2+bx+c \) úgy is felfogható, hogy olyan hézagokat talál, ahol az \(y= ax^2+bx+c \) függvény pozitív vagy negatív értékek Ehhez elegendő elemezni, hogy a \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) függvény grafikonja hogyan helyezkedik el a koordinátasíkban: hova irányulnak a parabola ágai - fel vagy le , hogy a parabola metszi-e az x tengelyt, és ha igen, akkor milyen pontokban.

Algoritmus egy változós másodfokú egyenlőtlenségek megoldására:
1) keresse meg a \(ax^2+bx+c\) négyzetes trinom diszkriminánsát, és nézze meg, hogy van-e gyöke a trinomnak;
2) ha a trinomiálisnak vannak gyökerei, akkor jelölje meg azokat az x tengelyen, és vázlatosan rajzoljon át a megjelölt pontokon egy parabolát, amelynek ágai a > 0-nál felfelé, vagy 0-nál lefelé, vagy 3) megkereshetők. hézagok az x tengelyen, amelyeknél a pontparabolák az x tengely felett helyezkednek el (ha megoldják az \(ax^2+bx+c >0 \) egyenlőtlenséget) vagy az x tengely alatt (ha megoldják az egyenlőtlenséget
\(ax^2+bx+c Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Vegye figyelembe a funkciót
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Ennek a függvénynek a tartománya az összes szám halmaza. A függvény nullái a -2, 3, 5 számok. Ezek a függvény tartományát \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) intervallumokra osztják ) \) és \( (5; +\infty)\)

Nézzük meg, milyen jelei vannak ennek a függvénynek az egyes jelzett intervallumokban.

Az (x + 2)(x - 3)(x - 5) kifejezés három tényező szorzata. Ezen tényezők mindegyikének előjele a figyelembe vett intervallumokban a táblázatban látható:

Általában a függvényt a képlet adja meg
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
ahol x egy változó, és x 1 , x 2 , ..., x n nem egyenlő számok. Az x 1 , x 2 , ..., x n számok a függvény nullái. Minden olyan intervallumban, amelyre a definíciós tartományt a függvény nulláival osztjuk, a függvény előjele megmarad, nullán áthaladva pedig megváltozik.

Ez a tulajdonság a forma egyenlőtlenségeinek megoldására szolgál
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ahol x 1 , x 2 , ..., x n nem egyenlő számok

Megfontolt módszer az egyenlőtlenségek megoldását intervallum módszerének nevezzük.

Mondjunk példákat az egyenlőtlenségek intervallummódszerrel történő megoldására.

Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\(x(0,5-x)(x+4) Nyilvánvaló, hogy az f(x) = x(0,5-x)(x+4) függvény nullái a \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

A függvény nulláit a valós tengelyen ábrázoljuk, és minden intervallumon kiszámítjuk az előjelet:

Kiválasztjuk azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény nullánál kisebb vagy egyenlő, és felírjuk a választ.

Válasz:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Mi történt "négyzet egyenlőtlenség"? Nem kérdés!) Ha veszed Bármi másodfokú egyenletet, és változtassa meg az előjelet benne "=" (egyenlő) bármely egyenlőtlenségi ikonnal ( > ≥ < ≤ ≠ ), másodfokú egyenlőtlenséget kapunk. Például:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Hát értitek...)

Tudatosan összekapcsoltam itt az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket. A tény az, hogy a megoldás első lépése Bármi négyzetes egyenlőtlenség - oldja meg azt az egyenletet, amelyből ez az egyenlőtlenség keletkezik. Emiatt - a másodfokú egyenletek megoldásának képtelensége automatikusan az egyenlőtlenségek teljes kudarcához vezet. Világos a tipp?) Ha van, nézze meg, hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani. Ott minden részletezve van. És ebben a leckében az egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni.

A megoldásra kész egyenlőtlenség a következőképpen alakul: bal - négyzetes trinomikus ax 2 +bx+c, jobb oldalon - nulla. Az egyenlőtlenség jele bármi lehet. Az első két példa itt található készen állnak a döntésre. A harmadik példát még elő kell készíteni.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.