a, a PP alapja felé;
magasságával.
- mit kell tudnunk, milyen adatokkal rendelkezünk?
- milyen tulajdonságai vannak a téglalap alakú paralelepipedonnak?
- itt érvényes a Pitagorasz-tétel? Hogyan?
- Van elég adat a Pitagorasz-tétel alkalmazásához, vagy más számításokra van szükség?
Átlós négyzet, egy négyzet alakú paralelepipedon (lásd a négyzet alakú paralelepipedon tulajdonságait) egyenlő annak három különböző oldalának (szélesség, magasság, vastagság) négyzeteinek összegével, és ennek megfelelően egy négyzet alakú paralelepipedon átlói egyenlőek ezt az összeget.
Emlékszem a geometria iskolai tantervére, ezt mondhatjuk: a paralelepipedon átlója egyenlő a három oldalának összegéből kapott négyzetgyökkel (ezeket a, b, c kis betűk jelölik).
Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának hossza egyenlő az oldalai négyzetösszegének négyzetgyökével.
Amennyire az iskolai tantervből tudom, 9. osztály, ha nem tévedek, és ha az emlékezet nem csal, egy téglalap alakú paralelepipedon átlója egyenlő mindhárom oldal négyzetösszegének négyzetgyökével.
az átló négyzete egyenlő a szélesség, magasság és hosszúság négyzeteinek összegével, ebből a képletből kapjuk a választ, az átló egyenlő a három különböző dimenziója összegének négyzetgyökével, betűkkel ezek jelöli ncz abc
A téglalap alakú paralelepipedon (PP) nem más, mint egy prizma, amelynek alapja egy téglalap. Egy PP esetében minden átló egyenlő, ami azt jelenti, hogy bármelyik átlóját a következő képlettel kell kiszámítani:
Egy másik definíció adható a derékszögű derékszögű koordinátarendszer figyelembevételével:
A PP átló a tér bármely pontjának sugárvektora, amelyet az x, y és z koordináták határoznak meg a derékszögű koordinátarendszerben. Ez a ponthoz tartozó sugárvektor az origóból rajzolódik ki. A pont koordinátái pedig a sugárvektor (a PP átlói) vetületei lesznek a koordinátatengelyekre. A vetületek egybeesnek ennek a paralelepipedonnak a csúcsaival.
A téglalap alakú paralelepipedon egy olyan poliéder, amely 6 lapból áll, amelyek alján egy téglalap található. Az átló olyan szakasz, amely a paralelogramma ellentétes csúcsait köti össze.
Az átló hosszának meghatározásához az a képlet, hogy az átló négyzete egyenlő a paralelogramma három dimenziójának négyzetösszegével.
Találtam egy jó diagram-táblázatot az interneten, amelyen minden megtalálható, ami a paralelepipedonban található. Van egy képlet az átló megkeresésére, amelyet d-vel jelölünk.
Van egy kép a paralelepipedon éléről, csúcsáról és egyéb fontos dolgokról.
Ha ismert egy téglalap alakú paralelepipedon hossza, magassága és szélessége (a,b,c), akkor az átló kiszámításának képlete a következőképpen néz ki:
A tanárok általában nem egy puszta képletet kínálnak diákjaiknak, hanem erőfeszítéseket tesznek annak érdekében, hogy vezető kérdéseket felteve maguk is levezethessék azt:
Általában a feltett kérdések megválaszolása után a tanulók könnyen levezethetik maguktól ezt a képletet.
A téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek. Csakúgy, mint a szemközti lapjainak átlói. Az átló hossza az egyik csúcsból kiinduló paralelogramma éleinek hosszának ismeretében számítható ki. Ez a hosszúság egyenlő az élei hosszának négyzetösszegének négyzetgyökével.
A téglatest az úgynevezett poliéderek egyike, amely 6 lapból áll, amelyek mindegyike téglalap. Az átló olyan szakasz, amely a paralelogramma ellentétes csúcsait köti össze. Ha egy téglalap alakú paralelepipedon hosszát, szélességét és magasságát rendre a-nak, b-nek, c-nek vesszük, akkor az átlójának (D) képlete így fog kinézni: D^2=a^2+b^2+c ^2.
Téglalap alakú paralelepipedon átlója szemközti csúcsait összekötő szakasz. Szóval van kocka alakú d átlóval és a, b, c oldalakkal. A paralelepipedon egyik tulajdonsága, hogy a négyzet átlós hossza d egyenlő a három dimenziójának a, b, c négyzetösszegével. Ezért a következtetés az átlós hossza könnyen kiszámítható a következő képlettel:
Is:
Hogyan lehet megtalálni a paralelepipedon magasságát?
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.
Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a mai napig folynak a viták a tudományos közösségben a paradoxonok lényegéről ... ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.
Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.
Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:
Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.
Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.
Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:
A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.
Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.
2018. július 4., szerda
A halmaz és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.
Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Ésszerű lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.
Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.
Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.
Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.
Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...
És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.
Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.
2018. március 18. vasárnap
Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.
Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.
Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.
1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.
2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.
3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.
4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.
Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.
Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. Az 12345-ös nagy számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.
Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.
A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan jelölik ki a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.
A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.
Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?
Női... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.
Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,
Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:
Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.
Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.
HARMADIK FEJEZET
POLYhedra
1. PÁRHUZAMOS ÉS PIRAMIS
A paralelepipedon lapjainak és átlóinak tulajdonságai
72. Tétel. Egy paralelepipedonban:
1)a szemközti oldalak egyenlőek és párhuzamosak;
2) mind a négy átló egy pontban metszi egymást, és ott feleződik.
1) A BB 1 C 1 C és AA 1 D 1 D lapok (80. ábra) párhuzamosak, mivel az egyik lap két metsző BB 1 és B 1 C 1 egyenese párhuzamos két egymást metsző AA 1 és A 1 egyenessel. a másik D 1 (15. §); ezek a lapok egyenlőek, mivel B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (mint a paralelogrammák szemközti oldalai) és / BB 1 C 1 = / AA 1 D 1 .
2) Vegyünk (81. ábra) néhány két átlót, például AC 1 és ВD 1, és rajzoljunk AD 1 és ВС 1 segédvonalakat.
Mivel az AB és D 1 C 1 élek rendre egyenlőek és párhuzamosak a DC éllel, egyenlőek és párhuzamosak egymással; Ennek eredményeként az AD 1 C 1 B ábra egy paralelogramma, amelyben a C 1 A és BD 1 egyenesek átlók, és egy paralelogrammában az átlók a metszéspontban ketté vannak osztva.
Vegyünk most egy ilyen átlót, például AC 1-et, egy harmadik átlóval, mondjuk B 1 D-vel. Pontosan ugyanígy bizonyíthatjuk, hogy a metszéspontban ketté vannak osztva. Következésképpen a B 1 D és AC 1 átlók, valamint az AC 1 és BD 1 átlók (amelyeket korábban vettünk) ugyanabban a pontban metszik egymást, pontosan az átló közepén.
AC 1. Végül, ha ugyanazt az AC 1 átlót vesszük a negyedik A 1 C átlóval, azt is bebizonyítjuk, hogy ezek kettészeltek. Ez azt jelenti, hogy ennek az átlópárnak a metszéspontja az AC 1 átló közepén található. Így a paralelepipedon mind a négy átlója ugyanabban a pontban metszi egymást, és ez a pont felezi őket.
73. Tétel. Téglalap alakú paralelepipedonban bármely átló négyzete (AS 1, 82. rajz) egyenlő három dimenziójának négyzetösszegével .
Az AC alap átlóját megrajzolva AC 1 C és ACB háromszögeket kapunk. Mindkettő téglalap alakú: az első, mert a paralelepipedon egyenes, és ezért a CC 1 él merőleges az alapra; a második, mert a paralelepipedon téglalap alakú, és ezért egy téglalap van az alján. Ezekből a háromszögekből a következőket találjuk:
AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 és AC 2 = AB 2 + BC 2
Ennélfogva,
AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.
Következmény.Egy téglalap alakú paralelepipedonban minden átló egyenlő.
Hasznos lesz a középiskolások számára, hogy megtanulják, hogyan oldják meg az egységes államvizsga-feladatokat egy téglalap alakú paralelepipedon térfogatának és egyéb ismeretlen paramétereinek megtalálásához. A korábbi évek tapasztalatai megerősítik azt a tényt, hogy az ilyen feladatok sok végzős számára meglehetősen nehézkesek.
Ugyanakkor a bármilyen képzettségű középiskolás diákoknak meg kell érteniük, hogyan lehet megtalálni a téglalap alakú paralelepipedon térfogatát vagy területét. Csak ebben az esetben számíthatnak versenyképes pontszámok megszerzésére az egységes matematika államvizsga eredménye alapján.
A legfontosabb pontok, amelyeket emlékezni kell
- A paralelogrammákat alkotó paralelogrammák a lapjai, oldalaik az élei. Ezen alakzatok csúcsait magának a poliédernek tekintjük.
- A téglalap alakú paralelepipedon minden átlója egyenlő. Mivel ez egy egyenes poliéder, az oldallapok téglalapok.
- Mivel a paralelepipedon egy prizma, amelynek alapja egy paralelogramma, ez az ábra a prizma összes tulajdonságával rendelkezik.
- A téglalap alakú paralelepipedon oldalsó élei merőlegesek az alapra. Ezért ezek a magasságok.
Készüljön fel az egységes államvizsgára Shkolkovóval!
Ha egyszerűbbé és a lehető leghatékonyabbá szeretné tenni óráit, válassza matematikai portálunkat. Itt minden szükséges anyagot megtalál, amire szüksége lesz az egységes államvizsgára való felkészüléshez.
A Shkolkovo oktatási projekt szakemberei azt javasolják, hogy az egyszerűtől az összetett felé haladjunk: először elméletet, alapvető képleteket és elemi problémákat adunk meg megoldásokkal, majd fokozatosan áttérünk a szakértői szintű feladatokra. Gyakorolhat például a -val.
A szükséges alapinformációkat az „Elméleti információk” részben találja. Azonnal megkezdheti a problémák megoldását a „Téglalap paralelepipedon” témában online. A „Katalógus” rész különböző nehézségi fokú gyakorlatok széles választékát mutatja be. A feladatadatbázis rendszeresen frissül.
Nézze meg, könnyen megtalálja-e most egy téglalap alakú paralelepipedon térfogatát. Elemezzen bármilyen feladatot. Ha a gyakorlat könnyű számodra, folytasd a nehezebb feladatokat. És ha bizonyos nehézségek merülnek fel, javasoljuk, hogy úgy tervezze meg a napját, hogy az ütemezése tartalmazzon órákat a Shkolkovo távoli portálon.
A geometriában a következő típusú paralelepipedonokat különböztetjük meg: téglalap alakú paralelepipedon (a paralelepipedon lapjai téglalapok); egy jobb oldali paralelepipedon (oldallapjai téglalapként működnek); ferde paralelepipedon (oldallapjai merőlegesek); a kocka egy teljesen azonos méretű paralelepipedon, és a kocka lapjai négyzetek. A párhuzamos csövek lehetnek ferde vagy egyenesek.
A paralelepipedon fő elemei, hogy a bemutatott geometriai alakzat két olyan lapja, amelyeknek nincs közös éle, egymással szemben, azok pedig szomszédosak. A paralelepipedon csúcsai, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz, egymással szemben hatnak. A paralelepipedonnak van mérete - ez három él, amelyeknek közös csúcsa van.
Az ellentétes csúcsokat összekötő szakaszt átlónak nevezzük. A paralelepipedon négy, egy pontban metsző átlója egyidejűleg ketté van osztva.
A paralelepipedon átlójának meghatározásához meg kell határozni az oldalakat és az éleket, amelyek a feladat feltételeiből ismertek. Három ismert bordával A , BAN BEN , VAL VEL rajzoljunk átlót a paralelepipedonba. A paralelepipedon azon tulajdonsága szerint, amely szerint minden szöge egyenes, az átlót meghatározzuk. Szerkesszünk átlót a paralelepipedon egyik lapjából. Az átlókat úgy kell megrajzolni, hogy a lap átlója, a paralelepipedon kívánt átlója és az ismert él háromszöget hozzon létre. A háromszög kialakítása után keresse meg ennek az átlónak a hosszát. A másik eredményül kapott háromszögben az átló a hipotenusz szerepét tölti be, így a Pitagorasz-tétel segítségével kereshető meg, amelyet a négyzetgyök alá kell venni. Így tudjuk a második átló értékét. Ahhoz, hogy a kialakított derékszögű háromszögben megtaláljuk a paralelepipedon első átlóját, meg kell találni az ismeretlen befogót is (a Pitagorasz-tétellel). Ugyanezt a példát használva keresse meg egymás után a paralelepipedonban létező fennmaradó három átlót, további derékszögű háromszögeket képező átlók konstrukciójával, és oldja meg a Pitagorasz-tétel segítségével.
A téglalap alakú paralelepipedon (PP) nem más, mint egy prizma, amelynek alapja egy téglalap. Egy PP esetében minden átló egyenlő, ami azt jelenti, hogy bármelyik átlóját a következő képlettel kell kiszámítani:
a, c - a PP alapjának oldalai;
c a magassága.
Egy másik definíció adható a derékszögű derékszögű koordinátarendszer figyelembevételével:
A PP átló a tér bármely pontjának sugárvektora, amelyet az x, y és z koordináták határoznak meg a derékszögű koordinátarendszerben. Ezt a ponthoz tartozó sugárvektort az origóból húzzuk. A pont koordinátái pedig a sugárvektor (a PP átlói) vetületei lesznek a koordinátatengelyekre.
1055;a vetületek egybeesnek ennek a paralelepipedonnak a csúcsaival.
Parallelelepiped és típusai
Ha szó szerint lefordítjuk a nevét az ógörögről, kiderül, hogy párhuzamos síkokból álló alakról van szó. A paralelepipedonnak a következő egyenértékű definíciói vannak:
- paralelogramma formájú alappal rendelkező prizma;
- poliéder, amelynek minden lapja paralelogramma.
Típusait attól függően különböztetjük meg, hogy melyik alak fekszik a tövében, és hogyan irányulnak az oldalsó bordák. Általában beszélünk ferde paralelepipedon, melynek alapja és minden lapja paralelogramma. Ha az előző nézet oldallapjai téglalapokká válnak, akkor meg kell hívni közvetlen. És négyszögletesés az alapnak is van 90 fokos szöge.
Sőt, a geometriában ez utóbbit igyekeznek úgy ábrázolni, hogy észrevehető legyen, hogy minden él párhuzamos. Itt van egyébként a fő különbség a matematikusok és a művészek között. Ez utóbbiak számára fontos, hogy a testet a perspektíva törvényének megfelelően közvetítsék. És ebben az esetben a bordák párhuzamossága teljesen láthatatlan.
A bevezetett jelölésekről
Az alábbi képletekben a táblázatban megadott jelölések érvényesek.
A ferde paralelepipedon képletei
Első és második a területekhez:
A harmadik a paralelepipedon térfogatának kiszámítása:
Mivel az alap egy paralelogramma, a terület kiszámításához a megfelelő kifejezéseket kell használni.
A téglalap alakú paralelepipedon képletei
Az első ponthoz hasonlóan - két képlet a területekhez:
És még egy a kötethez:
Első feladat
Feltétel. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon, aminek a térfogatát meg kell találni. Ismert az átló - 18 cm - és az, hogy 30, illetve 45 fokos szöget zár be az oldallap síkjával, illetve az oldaléllel.
Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához ismernie kell három derékszögű háromszög összes oldalát. Megadják az élek szükséges értékeit, amelyek alapján ki kell számítani a hangerőt.
Először ki kell találnia, hol van a 30 fokos szög. Ehhez meg kell rajzolnia az oldallap átlóját ugyanabból a csúcsból, ahonnan a paralelogramma főátlója rajzolódott. A köztük lévő szög a szükséges.
Az első háromszög, amely megadja az alap oldalainak egyik értékét, a következő lesz. Tartalmazza a szükséges oldalt és két húzott átlót. Ez téglalap alakú. Most az ellenkező láb (az alap oldala) és a hipotenusz (átlós) arányát kell használni. Egyenlő a 30º szinuszával. Ez azt jelenti, hogy az alap ismeretlen oldala az átló és a 30º vagy ½ szinuszának szorzataként lesz meghatározva. Jelölje „a” betűvel.
A második egy olyan háromszög, amely egy ismert átlót és egy élt tartalmaz, amellyel 45°-ot alkot. Szintén téglalap alakú, és ismét használhatja a láb és a hipotenusz arányát. Más szóval, oldalél az átló. Ez egyenlő a 45º koszinuszával. Ez azt jelenti, hogy a „c” az átló és a 45º koszinusz szorzataként kerül kiszámításra.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Ugyanabban a háromszögben egy másik lábat kell találnia. Erre azért van szükség, hogy azután kiszámítsuk a harmadik ismeretlent - „in”. Jelölje „x” betűvel. Könnyen kiszámítható a Pitagorasz-tétel segítségével:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Most egy másik derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk. Tartalmazza a már ismert „c”, „x” és a számolandó „b” oldalakat:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Mindhárom mennyiség ismert. Használhatja a térfogat képletét, és kiszámíthatja:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Válasz: a paralelepipedon térfogata 729√2 cm 3.
Második feladat
Feltétel. Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát. Ebben az alapon fekvő paralelogramma oldalairól ismert, hogy 3 és 6 cm, valamint hegyesszöge - 45º. Az oldalsó borda 30°-os lejtésű az alaphoz képest, és egyenlő 4 cm-rel.
Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához vegyük azt a képletet, amelyet egy ferde paralelepipedon térfogatára írtak. De mindkét mennyiség ismeretlen benne.
Az alap, azaz a paralelogramma területét egy képlet határozza meg, amelyben meg kell szorozni az ismert oldalakat és a köztük lévő hegyesszög szinuszát.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
A második ismeretlen mennyiség a magasság. Az alap feletti négy csúcs bármelyikéből lerajzolható. Megtalálható egy derékszögű háromszögből, amelyben a magasság a láb, az oldalél pedig a befogó. Ebben az esetben egy 30°-os szög az ismeretlen magassággal szemben. Ez azt jelenti, hogy használhatjuk a láb és a hypotenus arányát.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Most már minden érték ismert, és a térfogat kiszámítható:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Válasz: térfogata 18√2 cm 3.
Harmadik feladat
Feltétel. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát, ha tudjuk, hogy egyenes. Alapjának oldalai paralelogrammát alkotnak, és egyenlők 2 és 3 cm-rel A köztük lévő hegyesszög 60º. A paralelepipedon kisebb átlója megegyezik az alap nagyobb átlójával.
Megoldás. A paralelepipedon térfogatának meghatározásához az alapterülettel és magassággal rendelkező képletet használjuk. Mindkét mennyiség ismeretlen, de könnyen kiszámítható. Az első a magasság.
Mivel a paralelepipedon kisebb átlója méretben egybeesik a nagyobb alappal, ugyanazzal a d betűvel jelölhetjük őket. A paralelogramma legnagyobb szöge 120°, mivel 180°-ot alkot a hegyessel. Az alap második átlóját jelölje „x” betű. Most az alap két átlójára felírhatjuk a koszinusz tételeket:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Nincs értelme négyzetek nélkül értékeket találni, mivel később újra a második hatványra emelkednek. Az adatok behelyettesítése után a következőket kapjuk:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Most a magasság, amely egyben a paralelepipedon oldalsó éle is, a háromszög egyik lába lesz. A hipotenusz a test ismert átlója, a második láb pedig „x”. Felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Tehát: n = √12 = 2√3 (cm).
Most a második ismeretlen mennyiség az alap területe. A második feladatban említett képlet segítségével számítható ki.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Ha mindent összevonunk a térfogati képletbe, a következőt kapjuk:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Válasz: V = 18 cm 3.
Negyedik feladat
Feltétel. Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát, amely megfelel a következő feltételeknek: az alap egy négyzet, amelynek oldala 5 cm; az oldallapok rombuszok; az alap felett elhelyezkedő csúcsok egyike egyenlő távolságra van az alapon fekvő összes csúcstól.
Megoldás. Először is foglalkoznia kell az állapottal. Az első pontnál nincs kérdés a térrel kapcsolatban. A második, a rombuszokról szóló, egyértelművé teszi, hogy a paralelepipedon ferde. Ezenkívül minden éle egyenlő 5 cm-rel, mivel a rombusz oldalai azonosak. A harmadikból pedig kiderül, hogy a belőle húzott három átló egyenlő. Ez kettő az oldallapokon fekszik, az utolsó pedig a paralelepipedon belül van. És ezek az átlók egyenlőek az éllel, vagyis 5 cm hosszúak is.
A térfogat meghatározásához egy ferde paralelepipedonra írt képletre lesz szüksége. Megint nincsenek benne ismert mennyiségek. Az alap területét azonban könnyű kiszámítani, mivel ez egy négyzet.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
A magassággal egy kicsit bonyolultabb a helyzet. Három ábrán így lesz látható: egy párhuzamos csőben, egy négyszögletű piramisban és egy egyenlő szárú háromszögben. Ez utóbbi körülményt ki kell használni.
Mivel ez a magasság, ez egy láb derékszögű háromszögben. A benne lévő hipotenusz egy ismert él lesz, és a második láb egyenlő a négyzet átlójának felével (a magasság egyben a medián). És az alap átlója könnyen megtalálható:
d = √(2*52) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Válasz: 62,5 √2 (cm 3).