Ó-ó-ó-ó-ó... hát ócska, mintha magadban olvasnád a mondatot =) Viszont akkor a lazítás segít, főleg, hogy ma vettem megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, a cikk végére megőrizöm a vidám hangulatot.

Két egyenes vonal kölcsönös elrendezése

Az az eset, amikor a terem kórusban énekel. Két sor lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : emlékezzen a kereszteződés matematikai jelére, nagyon gyakran előfordul. A bejegyzés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy ilyen "lambda" szám, hogy az egyenlőségek

Tekintsünk egyeneseket, és a megfelelő együtthatókból alkossunk három egyenletet: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg -1-gyel (előjelek változtatása), és csökkentsük az egyenlet összes együtthatóját 2-vel, ugyanazt az egyenletet kapjuk: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , de.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Az azonban világos, hogy.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, vagyis a "lambda"-nak NINCS olyan értéke, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert állítunk össze:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , tehát a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati feladatokban az imént vizsgált megoldási séma használható. Egyébként nagyon hasonlít a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmushoz, amelyet a leckében megvizsgáltunk. A vektorok lineáris (nem) függésének fogalma. Vektoros alapon. De van egy civilizáltabb csomag is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, tehát a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre teszek egy követ mutatókkal a keresztútra:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kascsejhez, a Haláltalanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy azonosak. Itt a determináns nem szükséges.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, míg .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

Ily módon

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezen vektorok koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A "lambda" arányossági tényező könnyen látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta) szó szerint, pillanatok alatt megoldani a megfontolt problémát. Ebben a tekintetben nem látom okát, hogy felajánljak valamit egy önálló megoldásra, jobb, ha még egy fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan húzzunk egy adott vonallal párhuzamos vonalat?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelölje az ismeretlen sort betűvel. Mit mond erről a feltétel? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a "ce" egyenes irányítóvektora is alkalmas a "te" egyenes megszerkesztésére.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai ellenőrzés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

Az analitikus ellenőrzés a legtöbb esetben könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan rájönnek, hogy a vonalak párhuzamosak rajz nélkül.

A mai önmegoldó példák kreatívak lesznek. Mert még mindig versenyezni kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle találós kérdés szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem túl racionális megoldás is. A legrövidebb út a lecke végén van.

Dolgoztunk egy kicsit párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely jól ismert az iskolai tantervből:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Itt van neked két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer geometriai jelentése két egymást metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot:

Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit egy egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Valójában egy grafikus megoldást vettünk fontolóra lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy egy helyes és PONTOS rajz elkészítése időbe telik. Ráadásul néhány vonalat nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban lehet a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb a metszéspontot analitikus módszerrel megkeresni. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek termikus összeadás módszerét alkalmaztuk. A megfelelő készségek fejlesztéséhez látogassa meg a leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy „csináld magad” példa. Kényelmes a problémát több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.

Teljes megoldás és válasz az oktatóprogram végén:

Egy pár cipő még nem kopott el, hiszen a lecke második részéhez érkeztünk:

Merőleges vonalak. Egy pont és egy egyenes távolsága.
Szög a vonalak között

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell a megadottal párhuzamos egyenest építeni, most pedig 90 fokkal elfordul a csirkecombokon lévő kunyhó:

Hogyan rajzoljunk egy adott vonalra merőleges vonalat?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet egy ponton átmenő merőleges egyenesre!

Megoldás: Feltételezve ismert, hogy . Jó lenne megtalálni az egyenes irányvektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból állítjuk össze:

Válasz:

Hajtsa ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Vonja ki az irányvektorokat az egyenletekből és a segítségével vektorok pontszorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

Az ellenőrzést ismét könnyű verbálisan végrehajtani.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és pont.

Ez egy „csináld magad” példa. A feladatban több művelet is található, így kényelmes a megoldást pontról pontra rendezni.

Izgalmas utunk folytatódik:

Távolság ponttól vonalig

Előttünk a folyó egy egyenes sávja, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton elérjük. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A távolságot a geometriában hagyományosan a görög "ro" betűvel jelölik, például: - az "em" pont és a "de" egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Végezzük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. \u003d 1 cm (2 cella), akkor a távolság egy közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon rajz szerint:

A feladat annak a pontnak a koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom a műveletek önálló végrehajtását, azonban a megoldási algoritmust köztes eredményekkel vázolom:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges egy egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által képletek a szakasz közepének koordinátáihoz megtalálja .

Nem lesz felesleges ellenőrizni, hogy a távolság is egyenlő-e 2,2 egység.

A számítások során nehézségek merülhetnek fel, de a toronyban egy mikroszámológép sokat segít, lehetővé téve a közönséges törtek számlálását. Sokszor tanácsoltam és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy másik példa egy független megoldásra. Egy kis tipp: végtelenül sok megoldás létezik. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha saját maga próbálja kitalálni, azt hiszem, sikerült jól eloszlatnia a találékonyságát.

Szög két vonal között

Bármi legyen is a sarok, akkor a jamb:


A geometriában két egyenes közötti szöget vesszük a KISEBB szögnek, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szöget nem a metsző vonalak közötti szögnek tekintjük. És „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú karmazsin sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Orientáció. Először is alapvetően fontos a sarok "görgetésének" iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt? Úgy tűnik, meg lehet boldogulni a szög szokásos fogalmával. Az a helyzet, hogy azokban a képletekben, amelyekkel a szögeket megtaláljuk, könnyen negatív eredményt kaphatunk, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A negatív szög rajzán feltétlenül jelezni kell a tájolását (óramutató járásával megegyező irányba) nyíllal.

Hogyan lehet megtalálni a szöget két vonal között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

Megoldásés 1. módszer

Tekintsünk két egyenest általános formában egyenletekkel:

Ha egyenes nem merőleges, akkor orientált a köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője eltűnik, és a vektorok merőlegesek lesznek, az egyenesek pedig merőlegesek. Éppen ezért a megfogalmazásban a vonalak nem merőlegessége miatt fenntartással éltek.

A fentiek alapján a megoldás kényelmesen két lépésben formalizálható:

1) Számítsa ki az egyenesek irányítóvektorainak skaláris szorzatát:
tehát a vonalak nem merőlegesek.

2) A vonalak közötti szöget a következő képlettel találjuk meg:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd az ábrát). Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban megadjuk a pontos értéket, valamint a hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, tehát mínusz, rendben van. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladat feltételében az első szám egy egyenes, és a szög „csavarása” pontosan ebből indult ki.

Ha valóban pozitív szöget akarunk elérni, akkor az egyeneseket fel kell cserélni, azaz a második egyenletből kell átvenni az együtthatókat , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

\(\blacktriangleright\) A diéderszög az a szög, amelyet két félsík és az \(a\) egyenes alkot, amely ezek közös határa.

\(\blacktriangleright\) A \(\xi\) és \(\pi\) síkok közötti szög meghatározásához meg kell találnia a lineáris szöget fűszeres vagy egyenes) a \(\xi\) és \(\pi\) síkok által alkotott kétszög :

1. lépés: legyen \(\xi\cap\pi=a\) (a síkok metszésvonala). A \(\xi\) síkban megjelölünk egy tetszőleges pontot \(F\) és rajzolunk \(FA\perp a\) ;

2. lépés: rajzoljon \(FG\perp \pi\) ;

3. lépés: a TTP szerint (\(FG\) - merőleges, \(FA\) - ferde, \(AG\) - vetítés) a következőket kapjuk: \(AG\perp a\) ;

4. lépés: A \(\angle FAG\) szöget a \(\xi\) és \(\pi\) síkok által alkotott diéderszög lineáris szögének nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az \(AG\) háromszög derékszögű háromszög.
Vegye figyelembe azt is, hogy az így megszerkesztett \(AFG\) sík merőleges mind a \(\xi\) és a \(\pi\) síkra. Ezért másképpen is elmondható: síkok közötti szög\(\xi\) és \(\pi\) a \(c\in \xi\) és \(b\in\pi\) metsző egyenesek közötti szög, amelyek a és \(\xi)-re merőleges síkot alkotnak \ ) és \(\pi\) .

1. feladat #2875

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

Adott egy négyszög alakú piramis, amelynek minden éle egyenlő, és az alapja négyzet. Keresse meg a \(6\cos \alpha\) értéket, ahol \(\alpha\) a szomszédos oldallapok közötti szög.

Legyen \(SABCD\) egy adott piramis (\(S\) egy csúcs), amelynek élei egyenlőek \(a\) -val. Ezért minden oldallap egyenlő egyenlő oldalú háromszög. Keresse meg a \(SAD\) és \(SCD\) lapok közötti szöget.

Rajzoljunk \(CH\perp SD\) . Mert \(\triangle SAD=\triangle SCD\), akkor \(AH\) is \(\triangle SAD\) magassága lesz. Ezért definíció szerint \(\angle AHC=\alpha\) a \(SAD\) és \(SCD\) lapok közötti lineáris diéderszög.
Mivel az alap egy négyzet, akkor \(AC=a\sqrt2\) . Vegye figyelembe azt is, hogy \(CH=AH\) egy egyenlő oldalú háromszög magassága, amelynek oldala \(a\) , tehát \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Ezután a \(\háromszög AHC\) koszinusztétel alapján: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Válasz: -2

2. feladat #2876

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

A \(\pi_1\) és \(\pi_2\) síkok olyan szögben metszik egymást, amelynek koszinusza \(0,2\) . A \(\pi_2\) és \(\pi_3\) síkok derékszögben metszik egymást, és a \(\pi_1\) és \(\pi_2\) síkok metszésvonala párhuzamos a a \(\pi_2\) és \(\ pi_3\) síkok. Keresse meg a \(\pi_1\) és \(\pi_3\) síkok közötti szög szinuszát.

Legyen a \(\pi_1\) és \(\pi_2\) metszésvonala az \(a\) egyenes, a \(\pi_2\) és \(\pi_3\) metszésvonala a \ egyenes (b\) , a \(\pi_3\) és \(\pi_1\) metszésvonal pedig a \(c\) egyenes. Mivel \(a\parallel b\) , majd \(c\parallel a\parallel b\) (az elméleti hivatkozás „Geometria a térben” \(\rightarrow\) szakaszának tétele szerint „Bevezetés a sztereometriába, párhuzamosság").

Jelölje be a \(A\in a, B\in b\) pontokat úgy, hogy \(AB\perp a, AB\perp b\) (ez azért lehetséges, mert \(a\párhuzamos b\) ). Jegyezze fel a \(C\in c\)-t, így a \(BC\perp c\) , tehát a \(BC\perp b\) . Ezután \(AC\perp c\) és \(AC\perp a\) .
Valóban, mivel \(AB\perp b, BC\perp b\) , akkor \(b\) merőleges az \(ABC\) síkra. Mivel \(c\párhuzamos a\párhuzamos b\) , akkor a \(a\) és \(c\) egyenesek is merőlegesek az \(ABC\) síkra, és így ebből a síkból minden egyenes, különösen, a sor \ (AC\) .

Ebből következik tehát \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Kiderült, hogy \(\háromszög ABC\) téglalap alakú, ami azt jelenti \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Válasz: 0.2

3. feladat #2877

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

Adott \(a, b, c\) egyenesek, amelyek egy pontban metszik egymást, és bármelyik kettőjük közötti szög egyenlő \(60^\circ\) . Keresse meg a \(\cos^(-1)\alpha\) , ahol \(\alpha\) az \(a\) és \(c\) egyenesek által alkotott sík és a vonalak által alkotott sík közötti szög \(b\ ) és \(c\) . Válaszát fokokban adja meg.

Az egyenesek a \(O\) pontban metsszék egymást. Mivel bármelyik kettő közötti szög egyenlő \(60^\circ\) -vel, így mindhárom egyenes nem lehet ugyanabban a síkban. Jelöljünk egy \(A\) pontot az \(a\) egyenesen, és rajzoljunk \(AB\perp b\) és \(AC\perp c\) . Akkor \(\háromszög AOB=\háromszög AOC\) mint téglalap alakú hipotenúzában és hegyesszögben. Ezért \(OB=OC\) és \(AB=AC\) .
Végezzük el a \(AH\perp (BOC)\) műveletet. Ekkor a három merőleges tétel alapján \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Mivel \(AB=AC\) , akkor \(\háromszög AHB=\háromszög AHC\) mint téglalap alakú a hypotenusa és a láb mentén. Ezért \(HB=HC\) . Ezért \(OH\) ​​a \(BOC\) szög felezőpontja (mivel a \(H\) pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól).

Jegyezzük meg, hogy így megszerkesztettük a \(a\) és \(c\) egyenesek által alkotott sík által alkotott diéderszög lineáris szögét, valamint a \(b\) és \( c\) . Ez a szög \(ACH\) .

Keressük meg ezt a sarkot. Mivel a \(A\) pontot tetszőlegesen választottuk, válasszuk úgy, hogy \(OA=2\) . Ezután téglalap alakú \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Mivel \(OH\) ​​​​felező, akkor \(\angle HOC=30^\circ\) , ezért téglalap alakú \(\háromszög HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Ezután téglalapból \(\háromszög ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Válasz: 3

4. feladat #2910

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

A \(\pi_1\) és \(\pi_2\) síkok a \(l\) egyenes mentén metszik egymást, amely a \(M\) és \(N\) pontokat tartalmazza. A \(MA\) és \(MB\) szakaszok merőlegesek a \(l\) egyenesre, és a \(\pi_1\) és \(\pi_2\), illetve \(MN = 15) síkban helyezkednek el. \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Keresse meg a \(3\cos\alpha\) , ahol \(\alpha\) a \(\pi_1\) és \(\pi_2\) síkok közötti szög.

Az \(AMN\) háromszög derékszögű, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , ahonnan \ A \(BMN\) háromszög derékszögű, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , ahonnan \ Az \(AMB\) háromszög koszinusztételét írjuk: \ Akkor \ Mivel a síkok közötti \(\alpha\) szög hegyesszög, és \(\angle AMB\) tompaszögnek bizonyult, akkor \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Akkor \

Válasz: 1.25

5. feladat #2911

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) egy paralelepipedon, \(ABCD\) egy négyzet, amelynek oldala \(a\) , a \(M\) pont az \(A_1\) pontból a síkra vetett merőleges alapja \ ((ABCD)\) , sőt, \(M\) az \(ABCD\) négyzet átlóinak metszéspontja. Ismeretes, hogy \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Keresse meg az \((ABCD)\) és \((AA_1B_1B)\) síkok közötti szöget. Válaszát fokokban adja meg.

Megszerkesztjük a \(MN\)-t merőlegesen \(AB\)-ra az ábrán látható módon.

Mivel \(ABCD\) egy négyzet, amelynek oldala \(a\) és \(MN\perp AB\) és \(BC\perp AB\) , akkor \(MN\párhuzamos BC\) . Mivel \(M\) a négyzet átlóinak metszéspontja, akkor \(M\) a \(AC\) felezőpontja, ezért \(MN\) a középvonal és \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) az \(A_1N\) vetülete az \((ABCD)\) síkra, és \(MN\) merőleges az \(AB\)-ra, majd a három merőleges tétel alapján \( Az A_1N\) merőleges az \(AB \)-ra, és az \((ABCD)\) és \((AA_1B_1B)\) síkok közötti szög \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Válasz: 60

6. feladat #1854

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

Az \(ABCD\) négyzetben: \(O\) az átlók metszéspontja; \(S\) nincs a négyzet síkjában, \(SO \perp ABC\) . Határozza meg az \(ASD\) és \(ABC\) síkok közötti szöget, ha \(SO = 5\) és \(AB = 10\) .

A \(\triangle SAO\) és \(\triangle SDO\) derékszögű háromszögek két oldala egyenlő, és a köztük lévő szög (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , mert \(O\) a négyzet átlóinak metszéspontja, \(SO\) a közös oldal ASD\) egyenlő szárú. A \(K\) pont a \(AD\) felezőpontja, majd \(SK\) a magassága a \(\triangle ASD\) háromszögben, és \(OK\) a magassága a háromszögben \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) sík \(SOK\) merőleges az \(ASD\) és \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) síkra egy egyenes vonalú szög a szükséges diéderszögig.

\(\háromszög SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) egy egyenlő szárú derékszögű háromszög \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Válasz: 45

7. feladat #1855

Feladatszint: Nehezebb, mint a vizsga

Az \(ABCD\) négyzetben: \(O\) az átlók metszéspontja; \(S\) nincs a négyzet síkjában, \(SO \perp ABC\) . Határozza meg az \(ASD\) és \(BSC\) síkok közötti szöget, ha \(SO = 5\) és \(AB = 10\) .

A \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) és \(\triangle SOC\) derékszögű háromszögek két oldala és a köztük lévő szög (\(SO \perp ABC) egyenlő \) \(\jobbra \) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , mert \(O\) a négyzet átlóinak metszéspontja, \(SO\) a közös oldal \(\háromszög ASD\) és \(\háromszög BSC\) egyenlő szárú. A \(K\) pont a \(AD\) felezőpontja, majd \(SK\) a magassága a \(\triangle ASD\) háromszögben, és \(OK\) a magassága a háromszögben \ (AOD\) \(\ Jobbra nyíl\) a \(SOK\) sík merőleges az \(ASD\) síkra. Az \(L\) pont a \(BC\) felezőpontja, majd \(SL\) a magassága a \(\triangle BSC\) háromszögben, és \(OL\) a magassága a háromszögben \ (BOC\) \(\ Jobbra nyíl\) a \(SOL\) sík (más néven a \(SOK\) ) merőleges a \(BSC\) síkra. Így azt kapjuk, hogy \(\angle KSL\) egy lineáris szög, amely egyenlő a kívánt diéderszöggel.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Jobbra\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - egyenlő egyenlő szárú háromszögek magassága, amelyet a Pitagorasz-tétel segítségével találhatunk meg: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Ez látható \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) egy háromszögre \(\háromszög KSL\) az inverz Pitagorasz-tétel teljesül \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) egy derékszögű háromszög \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ\) .

Válasz: 90

A diákok felkészítése a matematika vizsgára általában az alapvető képletek megismétlésével kezdődik, beleértve azokat is, amelyek lehetővé teszik a síkok közötti szög meghatározását. Annak ellenére, hogy az iskolai tanterv keretein belül kellő részletességgel foglalkozik a geometriának ez a szakasza, sok végzősnek meg kell ismételnie az alapanyagot. A síkok közötti szög meghatározását megértve a középiskolások a probléma megoldása során gyorsan ki tudják számítani a helyes választ, és az egységes államvizsga alapján tisztességes pontszámokat szerezhetnek.

Fő árnyalatok

Annak érdekében, hogy a kétszög meghatározásának kérdése ne okozzon nehézséget, javasoljuk, hogy kövesse a megoldási algoritmust, amely segít megbirkózni a vizsga feladataival.

Először meg kell határoznia azt a vonalat, amely mentén a síkok metszik egymást.

Ezután ezen az egyenesen ki kell választani egy pontot, és rá kell rajzolni két merőlegest.

Következő lépésként meg kell találni a diéderszög trigonometrikus függvényét, amelyet a merőlegesek alkotnak. Ezt a legkényelmesebb a kapott háromszög segítségével megtenni, amelynek a sarok része.

A válasz a szög értéke vagy trigonometrikus függvénye lesz.

A vizsgára való felkészülés Shkolkovóval együtt a siker kulcsa

A vizsga letételének előestéjén történő tanulás során sok diák szembesül azzal a problémával, hogy olyan meghatározásokat és képleteket találjon, amelyek lehetővé teszik a 2 sík közötti szög kiszámítását. Az iskolai tankönyv nincs mindig kéznél pontosan akkor, amikor szükség van rá. És annak érdekében, hogy megtalálja a szükséges képleteket és példákat a helyes alkalmazásukra, beleértve a síkok közötti szög online megtalálását is, néha sok időt kell töltenie.

A "Shkolkovo" matematikai portál új megközelítést kínál az államvizsgára való felkészüléshez. A weboldalunkon található órák segítenek a tanulóknak abban, hogy maguk azonosítsák a legnehezebb szakaszokat, és pótolják a tudásbeli hiányosságokat.

Minden szükséges anyagot elkészítettünk és egyértelműen bemutattunk. Az alapvető definíciókat és képleteket az „Elméleti hivatkozás” részben mutatjuk be.

Az anyag jobb elsajátítása érdekében javasoljuk a megfelelő gyakorlatok gyakorlását is. A katalógus részben különféle bonyolultságú feladatok széles választékát mutatjuk be, például az On. Minden feladat tartalmaz egy részletes algoritmust a helyes válasz megtalálásához. Az oldalon található gyakorlatok listája folyamatosan bővül és frissül.

A két sík közötti szög meghatározásához szükséges feladatok megoldásának gyakorlása során a tanulóknak lehetőségük van bármilyen feladatot online elmenteni a „Kedvencekbe”. Ennek köszönhetően a szükséges számú alkalommal visszatérhetnek hozzá, és megbeszélhetik a megoldás előrehaladását egy iskolai tanárral vagy oktatóval.

Rövid leszek. Két egyenes közötti szög egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Így, ha sikerül megtalálni az a \u003d (x 1; y 1; z 1) és b \u003d (x 2; y 2; z 2) irányvektorok koordinátáit, megtalálhatja a szöget. Pontosabban a szög koszinusza a képlet szerint:

Nézzük meg, hogyan működik ez a képlet konkrét példákon:

Egy feladat. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában E és F pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Mivel a kocka éle nincs megadva, ezért AB = 1-et állítunk be. Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x, y, z tengelyek pedig AB, AD, illetve AA 1 mentén vannak irányítva. . Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Most keressük meg egyeneseink irányvektorainak koordinátáit.

Keresse meg az AE vektor koordinátáit! Ehhez A = (0; 0; 0) és E = (0,5; 0; 1) pontokra van szükségünk. Mivel az E pont az A 1 B 1 szakasz közepe, koordinátái megegyeznek a végek koordinátáinak számtani átlagával. Figyeljük meg, hogy az AE vektor origója egybeesik az origóval, tehát AE = (0,5; 0; 1).

Most foglalkozzunk a BF vektorral. Hasonlóképpen elemezzük a B = (1; 0; 0) és F = (1; 0,5; 1) pontokat, mert F - a B 1 C 1 szegmens közepe. Nekünk van:
BF = (1-1; 0,5-0; 1-0) = (0; 0,5; 1).

Tehát az irányvektorok készen állnak. Az egyenesek közötti szög koszinusza az irányvektorok közötti szög koszinusza, így van:

Egy feladat. Az ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszögű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, D és E pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AD és a BE egyenesek közötti szöget.

Bevezetünk egy szabványos koordinátarendszert: az origó az A pontban van, az x tengely AB, z - az AA 1 mentén. Az y tengelyt úgy irányítjuk, hogy az OXY sík egybeessen az ABC síkkal. Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Keresse meg a kívánt egyenesek irányvektorainak koordinátáit.

Először keressük meg az AD vektor koordinátáit. Tekintsük a pontokat: A = (0; 0; 0) és D = (0,5; 0; 1), mert D - az A 1 B 1 szakasz közepe. Mivel az AD vektor eleje egybeesik az origóval, így AD = (0,5; 0; 1) értéket kapunk.

Most keressük meg a BE vektor koordinátáit. A B pont = (1; 0; 0) könnyen kiszámítható. Az E ponttal - a C 1 B 1 szegmens közepe - egy kicsit bonyolultabb. Nekünk van:

Meg kell találni a szög koszinuszát:

Egy feladat. Egy ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, a K és L pontok ki vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontjai, illetőleg. Határozza meg az AK és BL egyenesek közötti szöget.

Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert a prizmához: a koordináták origóját az alsó alap közepére helyezzük, az x tengelyt az FC, az y tengelyt az AB és DE szakaszok felezőpontjain, a z tengelyt pedig a z tengelyen irányítjuk. függőlegesen felfelé. Az egységszegmens ismét egyenlő: AB = 1. Írjuk ki a számunkra érdekes pontok koordinátáit:

A K és L pont az A 1 B 1, illetve B 1 C 1 szakasz felezőpontja, így koordinátáikat a számtani átlagon keresztül találjuk meg. A pontok ismeretében megtaláljuk az AK és BL irányvektorok koordinátáit:

Most keressük meg a szög koszinuszát:

Egy feladat. Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, E és F pontok vannak jelölve - az SB és SC oldalak felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x és y tengelyek AB, illetve AD mentén, a z tengely pedig függőlegesen felfelé. Az egységszegmens egyenlő: AB = 1.

Az E és F pont az SB és SC szakasz felezőpontja, így ezek koordinátái a végek számtani átlagaként találhatók. Felírjuk a számunkra érdekes pontok koordinátáit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

A pontok ismeretében megtaláljuk az AE és BF irányvektorok koordinátáit:

Az AE vektor koordinátái egybeesnek az E pont koordinátáival, mivel az A pont az origó. Meg kell találni a szög koszinuszát:

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes párhuzamosak akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók arányosak, pl. l 1 párhuzamos l 2 akkor és csak akkor, ha párhuzamos .

Két egyenes merőleges akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

Nál nél cél vonal és sík között

Hagyja a vonalat d- nem merőleges a θ síkra;
d′− egy egyenes vetülete d a θ síkra;
Az egyenesek közötti szögek közül a legkisebb dés d– hívni fogjuk egyenes és sík közötti szög.
Jelöljük φ=( d,θ)
Ha egy d⊥θ , akkor ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− derékszögű koordinátarendszer.
Sík egyenlet:

θ: Fejsze+Által+cz+D=0

Úgy tekintjük, hogy az egyenest egy pont és egy irányvektor adja meg: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Ezután meg kell találni a vektorok közötti szöget n→ és p→, jelölje γ=( n→,p→).

Ha a γ szög<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ha a szög γ>π/2 , akkor a szükséges szög φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Akkor, egyenes és sík közötti szög képlettel lehet kiszámítani:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29. kérdés. A másodfokú forma fogalma. A másodfokú formák jel-határozottsága.

Másodfokú j (x 1, x 2, ..., x n) n valós változó x 1, x 2, ..., x n a forma összegének nevezzük
, (1)

ahol aij néhány számot együtthatónak nevezünk. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük aij = a ji.

A másodfokú formát ún érvényes, ha aij О GR. Másodfokú mátrix együtthatóiból álló mátrixnak nevezzük. A másodfokú forma (1) egy egyedi szimmetrikus mátrixnak felel meg
azaz A T = A. Ezért az (1) másodfokú alak j mátrix alakban írható ( x) = x T Ah, ahol x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

És fordítva, bármely szimmetrikus mátrix (2) egy egyedi másodfokú alaknak felel meg a változók jelöléséig.

A másodfokú alak rangja mátrixa rangjának nevezzük. A másodfokú formát ún nem degenerált, ha a mátrixa nem szinguláris DE. (emlékezzünk rá, hogy a mátrix DE nem degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa nem nulla). Ellenkező esetben a másodfokú forma degenerált.

pozitív határozott(vagy szigorúan pozitív), ha

j ( x) > 0 , bárkinek x = (x 1 , x 2 , …, x n), kívül x = (0, 0, …, 0).

Mátrix DE pozitív határozott másodfokú j ( x) pozitív határozottnak is nevezik. Ezért egy pozitív határozott másodfokú forma egy egyedi pozitív határozott mátrixnak felel meg, és fordítva.

Az (1) másodfokú alakot ún negatív határozott(vagy szigorúan negatív), ha

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Kívül x = (0, 0, …, 0).

A fentiekhez hasonlóan a negatív-definit másodfokú mátrixot negatív-definitnak is nevezik.

Ezért egy pozitívan (negatívan) határozott másodfokú j ( x) eléri a minimális (maximális) j ( X*) = 0 X* = (0, 0, …, 0).

Vegyük észre, hogy a kvadratikus alakok többsége nem előjel-határozott, azaz nem pozitív vagy nem negatív. Az ilyen másodfokú formák nemcsak a koordinátarendszer origójában tűnnek el, hanem más pontokon is.

Mikor n> 2, speciális kritériumok szükségesek a másodfokú alak előjel-határozottságának ellenőrzéséhez. Tekintsük őket.

Major Kiskorúak a másodfokú formákat minoroknak nevezzük:

vagyis ezek 1., 2., … rendű kiskorúak, n mátrixok DE, amely a bal felső sarokban található, ezek közül az utolsó egybeesik a mátrix determinánsával DE.

A pozitív meghatározottság kritériuma (Sylvester kritérium)

x) = x T Ah pozitív határozott, szükséges és elégséges, hogy a mátrix összes fő minorja DE pozitívak voltak, vagyis: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. A negatív bizonyosság kritériuma Annak érdekében, hogy a j ( x) = x T Ah ha negatív határozott, akkor szükséges és elégséges, hogy a páros rendű fő minorjai pozitívak, a páratlanok pedig negatívak legyenek, azaz: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

A cikk a síkok közötti szög megállapításáról szól. A definíció meghozatala után grafikus illusztrációt állítunk be, részletesen megvizsgáljuk a koordináták megtalálásának módszerét a módszerrel. A metsző síkok képletét kapjuk, amely tartalmazza a normálvektorok koordinátáit.

Az anyag olyan adatokat és fogalmakat fog használni, amelyeket korábban a síkról és a térbeli vonalról szóló cikkekben tanulmányoztak. Először is át kell térni az érvelésre, amely lehetővé teszi, hogy egy bizonyos megközelítést alkalmazzunk a két egymást metsző sík közötti szög meghatározásához.

Két egymást metsző γ 1 és γ 2 sík adott. A kereszteződésük a c jelölést kapja. A χ sík felépítése összefügg ezen síkok metszéspontjával. A χ sík c egyenesként halad át az M ponton. A γ 1 és γ 2 síkokat a χ sík segítségével fogjuk metszeni. Elfogadjuk a γ 1-et és χ-t metsző egyenest az a egyenesre, a γ 2-t és χ-t a b egyenesre. Azt kapjuk, hogy az a és b egyenesek metszéspontja adja az M pontot.

Az M pont elhelyezkedése nem befolyásolja az a és b metsző egyenesek közötti szöget, és az M pont azon a c egyenesen található, amelyen a χ sík áthalad.

A c egyenesre merőleges és a χ síktól eltérő χ 1 síkot kell megszerkeszteni. A γ 1 és γ 2 síkok χ 1 segítségével történő metszéspontja az a 1 és b 1 egyenesek jelölését veszi fel.

Látható, hogy χ és χ 1 megszerkesztésénél az a és b egyenesek merőlegesek a c egyenesre, majd a 1, b 1 merőlegesek a c egyenesre. Megkeresve az a és a 1 egyeneseket a γ 1 síkban a c egyenesre merőlegesen, akkor párhuzamosnak tekinthetők. Ugyanígy b és b 1 helye a γ 2 síkban a c egyenesre merőlegessel jelzi párhuzamosságukat. Ez azt jelenti, hogy a χ 1 síkot párhuzamosan kell átvinni χ-ba, ahol két egybeeső a és a 1, b és b 1 egyenest kapunk. Azt kapjuk, hogy az a és b 1 metsző egyenesek közötti szög egyenlő az a és b metsző egyenesek szögével.

Tekintsük az alábbi ábrát.

Ezt az ítéletet bizonyítja, hogy az a és b metsző egyenesek között olyan szög van, amely nem függ az M pont helyétől, vagyis a metszésponttól. Ezek a vonalak a γ 1 és γ 2 síkban helyezkednek el. Valójában az eredményül kapott szög felfogható két egymást metsző sík közötti szögnek.

Térjünk át a meglévő γ 1 és γ 2 metszősíkok közötti szög meghatározására.

1. definíció

Két egymást metsző γ 1 és γ 2 sík közötti szög nevezzük azt a szöget, amelyet az a és b egyenesek metszéspontja alkot, ahol a γ 1 és γ 2 síkok metszik a c egyenesre merőleges χ síkot.

Tekintsük az alábbi ábrát.

A meghatározás más formában is benyújtható. A γ 1 és γ 2 síkok metszéspontjában, ahol c az az egyenes, amelyen metszik egymást, jelölje meg az M pontot, amelyen keresztül húzza meg a c egyenesre merőleges a és b egyeneseket, amelyek a γ 1 és γ síkban helyezkednek el. 2, akkor az a és b egyenesek közötti szög a síkok közötti szög lesz. A gyakorlatban ez alkalmazható síkok közötti szög kialakítására.

A metszéspontban 90 foknál kisebb értékű szög alakul ki, vagyis a szög fokmértéke egy ilyen típusú intervallumon (0, 90 ]) érvényes, ugyanakkor ezeket a síkokat merőlegesnek nevezzük. ha a metszéspontban derékszög alakul ki.. A párhuzamos síkok közötti szöget nullával egyenlőnek tekintjük.

A metsző síkok közötti szög megállapításának szokásos módja további konstrukciók végrehajtása. Ez segít a pontos meghatározásában, és ezt megtehetjük a háromszög egyenlőségének vagy hasonlóságának jelei, szinuszai, szög koszinuszai.

Fontolja meg a problémák megoldását a C 2 blokk Egységes Államvizsga feladatainak példáján keresztül.

1. példa

Adott egy téglalap alakú paralelepipedon A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, ahol az A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 oldal, az E pont 4:3 arányban választja el az A A 1 oldalt. Határozzuk meg az A B C és B E D 1 síkok közötti szöget.

Megoldás

Az egyértelműség kedvéért rajzot kell készítenie. Ezt értjük

Vizuális ábrázolásra van szükség annak érdekében, hogy kényelmesebb legyen a síkok közötti szöggel dolgozni.

Meghatározzuk azt az egyenest, amely mentén az A B C és B E D 1 síkok metszik egymást. A B pont egy közös pont. Még egy közös metszéspontot kell találni. Tekintsük a D A és D 1 E egyeneseket, amelyek ugyanabban az A D D 1 síkban helyezkednek el. Elhelyezkedésük nem jelzi a párhuzamosságot, ami azt jelenti, hogy van közös metszéspontjuk.

A D A egyenes azonban az A B C síkban, a D 1 E pedig a B E D 1 síkban található. Ezért kapjuk, hogy a vonalak D Aés D 1 E közös metszéspontjuk van, ami az A B C és a B E D 1 síkra is közös. A vonalak metszéspontját jelzi D Aés D 1 E F betű. Innen azt kapjuk, hogy B F egy egyenes, amely mentén az A B C és a B E D 1 síkok metszik egymást.

Tekintsük az alábbi ábrát.

A válasz megszerzéséhez az A B C és a B E D 1 síkban elhelyezkedő egyeneseket kell megszerkeszteni egy, a B F egyenesen található és arra merőleges ponton áthaladva. Ekkor az ezen egyenesek közötti szöget az A B C és B E D 1 síkok kívánt szögének tekintjük.

Ebből látható, hogy az A pont az E pont vetülete az A B C síkra. Egy egyenest kell húzni, amely a B F egyenest derékszögben metszi az M pontban. Látható, hogy az egyenes A M az E M egyenes vetülete az A B C síkra, azokra az A M ⊥ B F merőlegesekre vonatkozó tétel alapján. Tekintsük az alábbi ábrát.

∠ A M E az A B C és B E D 1 síkok által alkotott kívánt szög. Az eredményül kapott A E M háromszögből megtalálhatjuk a szög szinuszát, koszinuszát vagy érintőjét, amely után magát a szöget, csak a két ismert oldalával. Feltétel szerint az A E hosszát így találjuk meg: az A A 1 egyenest elosztjuk az E ponttal 4:3 arányban, ami azt jelenti, hogy a vonal teljes hossza 7 rész, akkor A E \u003d 4 rész. Azt találtuk, hogy A.M.

Egy A B F derékszögű háromszöget kell figyelembe venni. Van egy A derékszögünk, amelynek magassága A M. Az A B \u003d 2 feltételből akkor a D D 1 F és A E F háromszögek hasonlósága alapján megtaláljuk az A F hosszúságot. Azt kapjuk, hogy A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Meg kell találni az A B F háromszög B F oldalának hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével. Azt kapjuk, hogy B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Az A M oldal hossza az A B F háromszög területén keresztül található. Megvan, hogy a terület egyenlő lehet S A B C = 1 2 · A B · A F és S A B C = 1 2 · B F · A M értékkel.

Azt kapjuk, hogy A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Ekkor megtaláljuk az A E M háromszög szögének érintőjének értékét.

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Az A B C és B E D 1 síkok metszéspontjával kapott kívánt szög egyenlő a r c t g 5 -tel, ekkor egyszerűsítve a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 -ot kapunk.

Válasz: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

A metsző egyenesek közötti szög megállapításának néhány esetét az O x y z koordinátasík és a koordináta módszer segítségével adjuk meg. Vizsgáljuk meg részletesebben.

Ha adott egy feladat, ahol meg kell találni a γ 1 és γ 2 metszősíkok közötti szöget, akkor a kívánt szöget α-val jelöljük.

Ekkor a megadott koordinátarendszer megmutatja, hogy megvannak a γ 1 és γ 2 metszősíkok normálvektorainak koordinátái. Ekkor jelöljük, hogy n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z a γ 1 sík normálvektora, és n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - a γ 2 sík. Tekintsük az e síkok közötti szög részletes megállapítását a vektorok koordinátái alapján.

Ki kell jelölni azt az egyenest, amely mentén a γ 1 és γ 2 síkok metszik a c betűt. A -vel egyenesen van egy M pont, amelyen keresztül rajzolunk egy c-re merőleges χ síkot. A χ sík az a és b egyenesek mentén az M pontban metszi a γ 1 és γ 2 síkot. a definícióból következik, hogy a metsző γ 1 és γ 2 síkok közötti szög egyenlő az ezekhez a síkokhoz tartozó a és b metsző egyenesek szögével.

A χ síkban félretesszük az M pontból származó normálvektorokat, és n 1 → és n 2 → jelöléssel jelöljük őket. Az n 1 → vektor az a egyenesre merőleges egyenesen, az n 2 → vektor pedig a b egyenesre merőlegesen található. Innen azt kapjuk, hogy az adott χ síkon az a egyenes normálvektora egyenlő n 1 →-vel, a b egyenesé pedig n 2 → -vel. Tekintsük az alábbi ábrát.

Innen kapunk egy képletet, amellyel a vektorok koordinátái segítségével kiszámíthatjuk a metsző egyenesek szögének szinuszát. Megállapítottuk, hogy az a és b egyenesek közötti szög koszinusza megegyezik a γ 1 és γ 2 metszősíkok koszinuszával, a cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n képletből adódik. 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , ahol az n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) és n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) az ábrázolt síkok vektorainak koordinátái.

A metsző vonalak közötti szöget a képlet segítségével számítjuk ki

α = a rc cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2. példa

Feltétel szerint egy А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedont kapunk , ahol A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, és az E pont választja el az A A 1 4: 3 oldalt. Határozzuk meg az A B C és B E D 1 síkok közötti szöget.

Megoldás

Abból a feltételből látható, hogy oldalai páronként merőlegesek. Ez azt jelenti, hogy be kell vezetni egy O x y z koordinátarendszert, amelynek csúcsa a C pontban és O x, O y, O z koordinátatengelyei vannak. Szükséges az irányt a megfelelő oldalakra helyezni. Tekintsük az alábbi ábrát.

Metsző síkok A B Cés B E D 1 szöget alkotunk, amely a 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 képlettel kereshető, ahol n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) és n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) e síkok normálvektorai. Meg kell határozni a koordinátákat. Az ábráról azt látjuk, hogy az O x y koordinátatengely egybeesik az A B C síkban, ami azt jelenti, hogy a k → normálvektor koordinátái megegyeznek az n 1 → = k → = (0, 0, 1) értékkel.

A B E D 1 sík normálvektora a B E → és B D 1 → vektorszorzat, ahol koordinátáikat a B, E, D 1 szélső pontok koordinátái határozzák meg, amelyeket a feladat feltétele alapján határozunk meg.

Azt kapjuk, hogy B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Mivel A E E A 1 = 4 3, az A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 pontok koordinátáiból E 2, 3, 4 pontokat találunk. Azt kapjuk, hogy B E → = (2, 0, 4) , B D 1 → = 2, - 3, 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

A talált koordinátákat be kell cserélni az ív koszinuszon keresztüli szög kiszámításához szükséges képletbe. Kapunk

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

A koordináta módszer hasonló eredményt ad.

Válasz: a r c cos 6 6 .

A végső feladatot megvizsgáljuk annak érdekében, hogy megtaláljuk a metsző síkok közötti szöget a síkok rendelkezésre álló ismert egyenleteivel.

3. példa

Számítsa ki a szög szinuszát, koszinuszát, valamint a két egymást metsző egyenes által alkotott szög értékét, amelyeket az O x y z koordinátarendszerben definiálunk, és a 2 x - 4 y + z + 1 = 0 és 3 y - egyenletekkel adjuk meg. z-1 = 0.

Megoldás

Az A x + B y + C z + D = 0 alakú egyenes általános egyenletének témakörének tanulmányozása során kiderült, hogy A, B, C együtthatók a normálvektor koordinátáival. Ennélfogva n 1 → = 2 , - 4 , 1 és n 2 → = 0 , 3 , - 1 adott egyenesek normálvektorai.

A metsző síkok kívánt szögének kiszámításához szükséges képletbe be kell cserélni a síkok normálvektorainak koordinátáit. Akkor azt kapjuk

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Ebből az következik, hogy a szög koszinusza cos α = 13 210 alakot ölt. Ekkor a metsző egyenesek szöge nem tompa. A trigonometrikus azonosságba behelyettesítve azt kapjuk, hogy a szög szinuszának értéke egyenlő a kifejezéssel. Kiszámoljuk és megkapjuk

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Válasz: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt