Ha egy egyenes nem egy síkban fekszik és nem párhuzamos vele, akkor metszi a síkot.
Az egyenes és a sík metszéspontjának meghatározásának feladata a következő:
1) segédsík rajzolása ( Javasoljuk, hogy olyan segédsíkot válasszunk, amely a legegyszerűbb grafikus megoldást adja a feladatra.) ezen a vonalon keresztül;
2) a segédsík és az adott sík metszésvonalának megtalálása;
3) egy adott egyenes metszéspontjának meghatározása a síkok metszésvonalával, következésképpen az adott síkkal.

1. példa: Be (250. ábra, a) a δ (δ 1 ) sík és az AB egyenes (A 1 B 1 és A 2 B 2 ) alapján; meg kell határozni a metszéspontjukat.

Ebben az esetben nem kell segédsíkot igénybe venni, mivel ez a δ sík vízszintesen vetül. A síkok vetületének tulajdonsága szerint a metszéspont vízszintes vetülete, amely a δ síkban fekszik, összeolvad a δ 1 vízszintes vetülettel.
Ezért az AB egyenes A 1 B 1 vízszintes vetülete és a δ 1 vízszintes vetület metszéspontjának K 1 pontja a K metszéspont vízszintes vetülete; a K 2 frontális vetületet úgy határozzuk meg, hogy függőleges kommunikációs vonalat húzunk addig, amíg az nem metszi az A 2 B 2 frontális vetületet.
2. példa. A On (250,b ábra) példát mutat az AB egyenes és a frontálisan kiálló δ sík metszéspontjára.

1. példa Adott: egy sík az a általános helyzetben és egy egyenes az AB általános helyzetben (A 1 B 1 A 2 B 2); meg kell találni a metszéspontjukat (251,a ábra).
Például az AB egyenesen keresztül rajzolunk valamilyen segédsíkot vízszintesen - kiállóδ sík (δ 1 ), amint az a 251b. ábrán látható; metszi az a síkot az NM (N 1 M 1, N 2 M 2) egyenes mentén, ami viszont a C (C) pontban metszi az AB egyenest (A 1 B 1 A 2 B 2) 1 C 2), amint az a (251. ábra, c) ábrán látható. A C pont az AB egyenes és az a sík metszéspontja.

Példa 2. Be (252. ábra) egy példa az AB egyenes metszéspontjának és az általános helyzet síkjának metszéspontjának megkeresésére a vízszintes h segítségével.
3. példa Adott: ABC háromszög és NM egyenes ; meg kell határozni a metszéspontjukat (253. ábra, a).
Vegyünk segédsíknak egy vízszintesen vetülő δ síkot, ekkor az og vízszintes vetület összeolvad az N 1 M 1 egyenes NM vízszintes vetülettel, és metszi a háromszög oldalainak vetületeit az E 1 és F 1 pontokban (ábra .253, b). Az E 1 F 1 szakasz a metszésvonal vízszintes vetülete lesz. Ezután megtaláljuk a metszésvonal frontális vetületét: függőleges kommunikációs vonalak segítségével E 2 és F 2 pontokat kapunk, ezeken keresztül E 2 F 2 egyenest húzunk, ami a metszésvonal frontális vetülete lesz.
Az E 2 F 2 egyenes az N 2 M 2 egyenest a K 2 pontban metszi. A K 2 pont az MN egyenes és az EF egyenes metszéspontjának frontális vetülete; ennek a pontnak a K 1 vízszintes vetületét függőleges kommunikációs vonal segítségével határozzuk meg.
A K pont (K 1 , K 2 ) lesz az adott MN egyenes metszéspontja az adott ABC háromszöggel, mint egyben hozzájuk tartozó, mert az MN egyenes metszi benne az EF egyenest az ABC háromszög síkja.

1. Feladat
Készítse el az ABC háromszög komplex rajzát a csúcsok koordinátáinak megadásával. Keresse meg a háromszög oldalainak életnagyságát, és építse fel életnagyságra. Ugyanezen koordináták segítségével készítsen vizuális képet
2. gyakorlat
A sokszög frontális vetülete és két szomszédos oldalának vízszintes vetülete szerint fejezze be a sokszög vízszintes vetületét.
Szerkesszünk egy tetszőleges háromszög vetületeit a sokszög síkjában. Szerkesszünk meg egy pontot a sokszögön kívül, de egy síkban van vele (

Hello barátok! Ma a leíró geometria témáját elemezzük - egyenes metszéspontja síkkalÉs vonal láthatóságának meghatározása.

A feladatot Bogolyubov gyűjteményéből vesszük, 1989, 63. o., var. 1. Összetett rajzot kell készítenünk egy ABC háromszögből és egy MN egyenesből a megadott koordináták szerint. Határozzuk meg az egyenes találkozási pontját (metszéspontját) az ABC átlátszatlan síkkal Határozzuk meg az egyenes látható szakaszait!

Egyenes metszéspontja síkkal

1. Az A, B és C pontok koordinátái alapján elkészítjük a háromszög és az NM egyenes komplex rajzát. A rajzolást vízszintes vetítéssel kezdjük. A vetületi pontok koordinátáit segédvonalak segítségével találjuk meg.

2. Ilyen összetett rajzot kapunk.

3. Meghatározni az egyenes és a sík metszéspontjának koordinátái tegyük a következőket.

a) Az NM egyenesen keresztül rajzoljunk egy P segédsíkot, azaz! a frontális vetületen megrajzoljuk a Pv sík nyomát, a vízszintes síkon leengedjük a Pn merőlegest - a P sík vízszintes nyomát.

b) Megtaláljuk a P sík nyomának az ABC háromszöggel való metszésvonalának frontális vetületét. Ez a d'e' szegmens. Megtaláljuk a vízszintes vetületet a kommunikációs vonalak mentén a háromszög ab (t. d) és ac (t. e) oldalainak metszéspontjáig. Összekötjük a d és e pontot.

c) A de és nm metszéspontja együtt lesz a kívánt pont vízszintes vetülete egyenes metszéspontja síkkal k.

d) Húzzunk kommunikációs egyenest k-ből a d'e'-vel való metszéspontig, megkapjuk a k' pont frontális vetületét.

e) a kommunikációs vonalak mentén megtaláljuk a k'' pont profilvetületét.

Egyenes és sík metszéspontjának koordinátái K talált. Ezt a pontot az egyenes és a sík találkozási pontjának is nevezik.

A vonal láthatóságának meghatározása

Mert vonal láthatóságának meghatározása használja a módszert versengő pontok.

Rajzunk tekintetében a versenypontok a következők lesznek:

- pontok: az a'b-hez tartozó d' és az n'm-hez tartozó e' (frontális versengés),

- pontok: bc-hez és h-hoz tartozó g tulajdonában van nm (vízszintesen versengő),

- pontok: b''c''-hez tartozó l'' és a-hoz tartozó p'' n''m'' (profil versengő).

A két versengő pont közül a legmagasabb magasságú lesz látható. A látómezőt a K pont korlátozza.

Egy d' és e' pontpár esetén a láthatóságot a következőképpen határozzuk meg: a vízszintes vetületen leeresztjük az ab és nm metszéspontra merőlegest, megtaláljuk a d és f pontokat. Látjuk, hogy az f pont y-koordinátája nagyobb, mint a d-é → az f pont látható → az nm egyenes az f’k’ szakaszon látható, a k’m’ szakaszon pedig láthatatlan.

Hasonlóan érvelünk g és h pontpár esetén is: a frontális vetületen a h' pont z-koordinátája nagyobb, mint a g'-é → a h' pont látható, g' nem → az nm egyenes látható a hk szakaszon, de nem látható a kn szakaszon.

És egy l''p'' pontpár esetén: a frontális vetületen az x koordináta nagyobb, mint a p' ponté, ami azt jelenti, hogy a profilvetületen az l'' pontot fedi → р'' látható, l'' nem → az n' 'k'' szakasz látható, k''m'' láthatatlan.

Egyenes és egy vetületi sík metszéspontjának megalkotása redukálódik egy pont második vetületének megszerkesztésére a diagramon, mivel egy pont egy vetülete mindig a vetületi sík nyomvonalán fekszik, mert minden, ami a vetületi síkban van, rávetül a sík valamelyik nyomvonalára. ábrán A 224,a az EF egyenes metszéspontját mutatja az ABC háromszög elülső vetületi síkjával (a V síkra merőlegesen) A V síkon az ABC háromszöget az a "c" szakaszba vetítjük. az egyenes vonalának, és a k "pont is ezen az egyenesen fog feküdni, és abban a pontban lesz, ahol e "f" metszéspontja egy "c". A vízszintes vetületet vetületi kapcsolati vonal segítségével építjük fel. A láthatóság egy Az ABC háromszög síkjához viszonyított egyenest az ABC háromszög és az EF egyenes vetületeinek egymáshoz viszonyított helyzete határozza meg az V síkon. A 224. ábra a látási irányát egy nyíl jelzi Az a szakasz annak az egyenesnek, amelynek frontális vetülete a háromszög vetülete felett van, látható lesz. A k ponttól balra "az egyenes vetülete a háromszög vetülete felett van, ezért ez a szakasz látható a H ​​síkon.

ábrán 224, b, az EF egyenes metszi a P vízszintes síkot. A K pont k frontális vetülete - az EF egyenes és a P sík metszéspontja - az e vetület metszéspontjában lesz. f "a Pv sík nyomával, mivel a vízszintes sík egy elülső vetületi sík. A K pont k vízszintes vetületét a vetületi összekötő egyenes segítségével találjuk meg.

Két sík metszésvonalának felépítése redukálódik arra, hogy találjunk két közös pontot e két síkban. Ez elég egy metszésvonal megszerkesztéséhez, hiszen a metszésvonal egy egyenes, az egyenest pedig két pont határozza meg. Amikor egy vetületi sík metszi az általános helyzetű síkot, a metszésvonal egyik vetülete egybeesik annak a síknak a nyomával, amely abban a vetületi síkban van, amelyre a vetületi sík merőleges. ábrán 225. ábrán látható, és az MN metszésvonal m "n" frontális vetülete egybeesik a P elülső vetületi sík Pv nyomvonalával, és az 1. ábrán. A 225b. ábrán a kl vízszintes vetület egybeesik a vízszintesen vetülő R sík nyomvonalával. A metszésvonal egyéb vetületei vetületi csatlakozóvonalak segítségével készülnek.

Egyenes és sík metszéspontjának felépítéseáltalános helyzetet (226. ábra, a) egy R segédvetítő sík segítségével végezzük, amelyet egy adott EF egyenesen húzunk át. Az R segédsík 12 metszésvonalát az ABC háromszög adott síkjával építjük, az R síkban két egyenest kapunk: EF - egy adott egyenes és 12 - egy szerkesztett metszésvonal, amelyek a K pontban metszik egymást. .

A K pont vetületeinek megtalálása az ábrán látható. 226b. A konstrukciókat a következő sorrendben hajtjuk végre.

Az EF egyenesen egy segédvízszintes R vetületi síkot húzunk, melynek R H nyoma egybeesik az EF egyenes ef vízszintes vetületével.

Az R sík 12 metszésvonalának az ABC háromszög adott síkjával 1"2" frontális vetülete vetületi vonalak segítségével épül fel, mivel a metszésvonal vízszintes vetülete ismert. Egybeesik az R sík R H vízszintes nyomával.

Meghatározzuk a kívánt K pont k" frontális vetületét, amely ezen egyenes frontális vetületének és a metszésvonal 1"2" vetületének metszéspontjában található. A pont vízszintes vetülete egy vetület segítségével készül. csatlakozási vonal.

Az egyenes láthatóságát az ABC háromszög síkjához képest a versengő pontok módszere határozza meg. Egy egyenes láthatóságának meghatározásához a vetületek homloksíkján (226. ábra, b) összehasonlítjuk a 3. és 4. pont Y koordinátáit, amelyek frontális vetületei egybeesnek. A 3. pont Y-koordinátája, amely a BC egyenesen fekszik, kisebb, mint a 4. pont Y-koordinátája, amely az EF egyenesen fekszik. Ezért a 4. pont közelebb van a megfigyelőhöz (a látás irányát nyíl jelzi), és az egyenes vetülete a látható V síkon van ábrázolva. A vonal a háromszög előtt halad el. A K" ponttól balra az egyenest az ABC háromszög síkja zárja le.

A vízszintes vetítési síkon látható láthatóságot az 1. és 5. pont Z koordinátáinak összehasonlításával mutatjuk be. Mivel Z 1 > Z 5 , az 1. pont látható. Ezért az 1. ponttól jobbra (K pontig) az EF egyenes láthatatlan.

Két sík metszésvonalának felépítéséhez általános helyzetben segédmetszősíkokat használnak. Ezt mutatja az ábra. 227 a. Az egyik síkot az ABC háromszög, a másikat az EF és MN párhuzamos egyenesek adják meg. Az adott síkokat (227. ábra, a) a harmadik segédsík keresztezi. Az építés megkönnyítése érdekében a vízszintes vagy az elülső síkokat segédsíknak kell venni. Ebben az esetben az R segédsík vízszintes sík. Az adott síkokat a 12 és 34 egyenesek mentén metszi, amelyek metszéspontjában adják azt a K pontot, amely mindhárom síkhoz tartozik, és ebből következően két adott síkhoz, vagyis az adott síkok metszésvonalán fekszik. A második pontot a második Q segédsíkkal találjuk meg. A talált két K és L pont határozza meg a két sík metszésvonalát.

ábrán A 227b. ábrán az R segédsíkot a frontális hullám adja. Az R sík 1 "2" és 3"4 metszésvonalainak az adott síkokkal való frontális vetületei egybeesnek az R sík Rv frontális nyomvonalával, mivel az R sík merőleges az V síkra, és minden, ami benne (beleértve a metszésvonalakat is) az Rv elülső nyomvonalára van vetítve. Ezen vonalak vízszintes vetületei az 1", 2", 3", 4" pontok elülső vetületeiből a metszéspontig húzott vetületi összekötő vonalak segítségével vannak megszerkesztve. a megfelelő egyenesek vízszintes vetületeivel az 1., 2., 3., 4. pontokban. Megszerkesztve a metszésvonalak vízszintes vetületeit meghosszabbítjuk addig, amíg a k pontban nem metszik egymást, amely a K pont vízszintes vetülete. a két sík metszésvonala.Ennek a pontnak a frontális vetülete az Rv nyomvonalon van.

A metszésvonalhoz tartozó második pont megszerkesztéséhez egy második Q segédsíkot húzunk, a szerkesztés megkönnyítése érdekében a Q síkot a C ponton keresztül az R síkkal párhuzamosan húzzuk át. A Q sík metszéspontja az ABC háromszög síkjával és a párhuzamos egyenesekkel adott síkkal, elég találni két pontot: c és 5, és rajtuk keresztül húzni a metszésvonalak 12 és a metszésvonalak korábban megszerkesztett vetületeivel párhuzamos egyeneseket. 34, mivel a Q ║ R sík. Ezeket az egyeneseket addig folytatva, amíg nem metszik egymást, megkapjuk az adott síkok metszésvonalához tartozó L pont l vízszintes vetületét. Az L pont l" frontális vetülete a Q v nyomon fekszik, és a vetületi kapcsolat egyenesével készül. A K és L pontok azonos nevű vetületeinek összekapcsolásával megkapjuk a kívánt metszésvonal vetületeit .

Ha felveszünk egy egyenest az egyik metsző síkban, és ennek az egyenesnek egy másik síkkal metszéspontját készítjük, akkor ez a pont ezen síkok metszésvonalához fog tartozni, mivel mindkét adott síkhoz tartozik. Ugyanígy építsük meg a második pontot is, két sík metszésvonalát találjuk meg, hiszen két pont elég egy egyenes felépítéséhez. ábrán A 228. ábra két háromszög által adott sík metszésvonalának ilyen konstrukcióját mutatja.

Ehhez a konstrukcióhoz felvesszük a háromszög egyik oldalát, és megépítjük ennek az oldalnak a metszéspontját a másik háromszög síkjával. Ha ez nem sikerül, vegye be ugyanannak a háromszögnek a másik oldalát, majd a harmadikat. Ha ez nem vezet a kívánt pont megtalálásához, akkor a második háromszög oldalainak metszéspontjait építjük fel az elsővel.

ábrán 228 megszerkesztjük az EF egyenes és az ABC háromszög síkjának metszéspontját. Ehhez az EF egyenesen keresztül egy vízszintesen vetítő S segédsíkot húzunk, és ennek a síknak az ABC háromszög síkjával való metszésvonalának 1 "2" frontális vetületét készítjük. A metszésvonal 1 "2" frontális vetülete, amely metszi az EF egyenes e "f" frontális vetületét, az M metszéspont m "frontális vetületét adja. a vetületi összekötő egyenes Az adott háromszögek síkjainak metszésvonalához tartozó második pont , - N pont - a BC egyenes metszéspontja a DEF háromszög síkjával A BC egyenesen keresztül egy front- megrajzoljuk az R vetületi síkot, és a H síkon a BC egyenes és a 34 metszésvonal vízszintes vetületeinek metszéspontja adja az n pontot - a kívánt pont vízszintes vetületét Adott háromszögek látható metszeteit versengő pontok segítségével határozzuk meg minden vetítési síkhoz külön.Ehhez válasszon ki egy pontot az egyik vetítési síkon, amely két versengő pont vetülete. A láthatóságot ezeknek a pontoknak a második vetületéből határozzuk meg koordinátáik összehasonlításával.

Például az 5. és 6. pont a bc és de vízszintes vetületek metszéspontja. A frontális vetületi síkon ezeknek a pontoknak a vetületei nem esnek egybe. A Z koordinátáikat összehasonlítva kiderül, hogy az 5. pont zárja a 6. pontot, mivel a Z 5 koordináta nagyobb, mint a Z 6 koordináta. Ezért az 5. ponttól balra a DE oldal láthatatlan.

A vetületek frontális síkján a láthatóságot a DE és BC szakaszokhoz tartozó versengő 4 és 7 pontok segítségével határozzuk meg, összehasonlítva ezek Y 4 és Y 7 koordinátáit. Mivel Y 4 > Y 7, a V síkon a DE oldal látható.

Megjegyzendő, hogy az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontjának megalkotásakor a metszéspont a háromszög síkján kívül is lehet. Ebben az esetben a metszésvonalhoz tartozó kapott pontok összekapcsolásával annak csak az a része rajzolódik ki, amely mindkét háromszöghez tartozik.

ISMÉTLŐ KÉRDÉSEK

1. Milyen koordináták határozzák meg egy pont helyzetét a V síkban?

2. Mi egy pont Y koordinátája és Z koordinátája?

3. Hogyan helyezkednek el a diagramon a H vetületek síkjára merőleges szakasz vetületei? Merőleges a V vetítési síkra?

4. Hogyan helyezkednek el az ábrán a vízszintes és a frontális vetületek?

5. Fogalmazzuk meg a fő álláspontot egy pont egyeneshez tartozásáról!

6. Hogyan lehet megkülönböztetni a metsző egyeneseket a metsző vonalaktól egy diagramon?

7. Milyen pontokat nevezünk versengőnek?

8. Hogyan állapítható meg, hogy a két pont közül melyik látható, ha a frontális vetületi síkon lévő vetületei egybeesnek?

9. Fogalmazza meg a főállást egy egyenes és egy sík párhuzamosságáról!

10. Mi az eljárás egy egyenes és egy általános helyzetben lévő sík metszéspontjának megalkotására?

11. Mi az eljárás két sík metszésvonalának felépítésére általános helyzetben?

77*. Keresse meg az AB egyenes metszéspontját a CDE háromszög által megadott síkkal (75. ábra, a).

Megoldás. Tudniillik egy egyenes metszéspontjának megtalálásához egy általános helyzetben lévő síkkal egy segédsíkot (R) kell áthúzni az egyenesen, meg kell alkotni ennek a síknak a metszéspontját egy adott (1-2) értékkel, és megtalálja

az adott és a megszerkesztett egyenesek metszéspontja (K). A K pont az egyenes és a sík kívánt metszéspontja (75. ábra, b). Segédsíkként általában vízszintesen vagy frontálisan kiálló síkot használnak.

ábrán A 75. ábrán az AB egyenesen keresztül húzott R elülső vetületi síkban annak R ϑ nyoma egy "b"-vel esik egybe. horizont. a sík nyomára nincs szükség ebben a feladatban, ezért nem látható.

Megszerkesztjük az R sík és a CDE háromszög által adott sík metszésvonalát (egy ilyen konstrukció példáját lásd a 67. feladatban). Az 1-2 egyenes felépítése után (75. ábra, c) megtaláljuk a metszéspontját az AB egyenessel - a K (k, k ") ponttal.

Az AB egyenes háromszöggel lezárt szakaszainak meghatározásához használja a pontok helyzetének elemzését a ferde vonalakon.

Például az 1. és 3. pont az ED és az AB metsző egyeneseken van. Ezeknek a pontoknak a frontális vetületei egybeesnek, azaz az 1-es és a 3-as pont egyformán kikerül a négyzetből. N. De távolságuk a tértől. V különbözik: a 3. pont távolabb van a négyzettől. V, mint az 1. pont. Ezért pl. A 3. V pont az 1. pontot zárja (a nézet irányát az S nyíl jelzi). Ezért az AB egyenes a CDE háromszög előtt halad át a K pontba. A K ponttól balra indulva az AB egyenest egy háromszög zárja le, ezért az egyenes ezen szakaszát szaggatott vonal jelzi.

Felfedni egy láthatatlan területet a horizonton. Az AB egyenes vetülete, tekintsük az AB és CD egyenesen fekvő 4. és 5. pontot.

Ha ezeket a pontokat s 1 irányba nézzük, akkor először az 5. pontot látjuk. A 4. pontot az 5. pont zárja le. Ezért az AB egyenest ebben a pontban a CDE háromszög zárja le, és vetületének k pontból pontba eső szakaszát. A 4-et szaggatott vonallal kell jelezni. Ebben az esetben a K pont a CDE háromszög kontúrján belül volt.

A metsző elemek eltérő kölcsönös helyzete esetén lehetséges olyan eset, amikor a K pont a háromszögön kívül van (75. ábra, d). Ez azt jelenti, hogy az AB egyenes metszi a CDE háromszög által adott síkot ennek a háromszögnek a körvonalán kívül. AB láthatatlanná válik a K ponton túl (balra).

78. Keresse meg az AB egyenes metszéspontjait a gúla lapjaival (76. ábra). A piramis lapjait háromszögekkel meghatározott síknak kell tekinteni.

79. Keresse meg az AB egyenes és a prizma lapjainak metszéspontjait (77. ábra). A prizma lapjait párhuzamos egyenesek által adott síknak kell tekinteni.

80*. Keresse meg az AB egyenes és a P sík metszéspontjait (78. ábra, a).

Megoldás. Áthúzzuk az AB egyenesen (78. ábra, b) az R elülső vetületi síkot (R ϑ nyoma egy "b"-vel esik egybe), és megépítjük mindkét sík metszéspontjának MN egyenesét - adott és AB-n keresztül húzva ( a konstrukció hasonló a 70. feladatban végrehajtotthoz). Az AB egyenes és a P sík metszéspontjának kívánt K(k, k") pontja MN és AB metszéspontjában van.

Ebben a feladatban az egyenes A ponttól K-ig tartó szakaszának láthatósága nyilvánvaló; bonyolultabb esetekben azonban az egyenes látható szakaszát az alapján kell meghatározni

pontpozíció elemzés. Például figyelembe véve az 1-es pontot (az AB egyenesen) és az N pontot (a Р ϑ nyomon). látjuk, hogy az 1. pont a négyzethez képest távolabb helyezkedik el. V, mint az N pont. Ezért látható a K ponthoz vezető AB egyenes. A K pont mögött az egyenest szaggatott vonal jelzi, nem látható. Hasonlóképpen meghatározzák a horizontra való láthatóságot. előrejelzések.

81. Keresse meg az AB egyenes és a P sík metszéspontját (79. ábra).

82*. Keresse meg az AB egyenes és a P sík metszéspontját (80. ábra, a).

Megoldás. Az AB egyenesen keresztül rajzolunk egy vízszintesen vetülő R síkot (az R h nyom egybeesik ab-vel), és megépítjük a P és R síkok metszésvonalát,

azonos nevű nyomaik metszéspontjának M és N pontját felhasználva (80. ábra, b és c). A kívánt pont (k, k) az MN és AB metszéspontjában található. A 80. d ábrán a K pont a W négyzet felhasználásával van megszerkesztve. Mivel a P négyzet profilvetítés (80. ábra), b).

akkor a k" profilvetület a P ω nyom és a "b" metszéspontjában fekszik. K ismeretében k"-t építünk a "b"-re és k-t ab-ra. Meghatározzuk az AB egyenes látható szakaszait. ugyanúgy, mint a 77. és 80. feladatnál.

83. Keresse meg az AB egyenes és a P sík metszéspontját (81. ábra).

84*. Keresse meg az AB egyenes metszéspontját a CDE háromszög által megadott síkkal (82. ábra, a).

Megoldás. Az AB egyenesen keresztül húzzuk (82. ábra, b és c) pl. R, párhuzamos a négyzettel. W. Az adott síkot az MN egyenes mentén metszi (m, n, m és n pontok az R ϑ és R h nyomok metszéspontjában vannak a megfelelő oldalak azonos vetületeivel

háromszög CDE). Mivel az AB és MN egyenesek profilok, ezért metszéspontjuk (K) megtalálásához a "b" és m "n" profilvetületeket készítünk. A k" vetület a"b" és m"m metszéspontjában van. A k"-ből k"-t építünk a"b"-re és k-t ab-ra.

85. Keresse meg az EF egyenes metszéspontját az ABCD négyszög által adott síkkal (83. ábra).

Két sík metszésvonala egy egyenes. Tekintsünk először egy speciális esetet (3.9. ábra), amikor az egyik metsző sík párhuzamos a vízszintes vetítési síkkal (α π 1, f 0 α X). Ebben az esetben az α síkhoz tartozó a metszésvonal párhuzamos lesz a π 1, síkkal (3.9. a ábra), azaz egybeesik a metsző síkok vízszintesével (a ≡ h ).

Ha az egyik sík párhuzamos a vetületek frontális síkjával (3.9. b ábra), akkor az ehhez a síkhoz tartozó a metszésvonal párhuzamos lesz a π 2 síkkal és egybeesik a metsző síkok elejével ( a ≡ f).

.

.

Rizs. 3.9. Az általános helyzeti sík és a síkok metszéspontjának speciális esete: a - vízszintes szint; b - frontális szint

ábrán látható egy példa egy a (AB) egyenes metszéspontjának (K) α (DEF) síkkal való megszerkesztésére. 3.10. Ehhez az a egyenest egy tetszőleges β síkba zárjuk, és meghatározzuk az α és β síkok metszésvonalát.

A vizsgált példában az AB és MN egyenesek ugyanahhoz a β síkhoz tartoznak és a K pontban metszik egymást, és mivel az MN egyenes az adott α (DEF) síkhoz tartozik, ezért a K pont egyben a β metszéspontja is. egyenesítse a (AB)-t az α síkkal. (3.11. ábra).

.

Rizs. 3.10. Egyenes és sík metszéspontjának felépítése

Egy ilyen probléma komplex rajzon történő megoldásához meg kell tudni találni egy általános helyzetben lévő egyenes metszéspontját egy általános helyzetben lévő síkkal.

Tekintsünk egy példát az AB egyenes metszéspontjának megtalálására a DEF háromszög síkjával, amely az ábrán látható. 3.11.

Az A 2 B 2 egyenes frontális vetületén keresztüli metszéspont meghatározásához egy β elülső vetületi síkot rajzoltunk, amely az M és N pontokban metszi a háromszöget. A frontális vetületi síkon (π 2) ezek a pontok: az M 2 , N 2 vetületekkel ábrázolva. Az egyenes síkhoz tartozás feltételéből a vetületek vízszintes síkján (π 1) a kapott M 1 N 1 pontok vízszintes vetületei találhatók. Az A 1 B 1 és M 1 N 1 egyenesek vízszintes vetületeinek metszéspontjában a metszéspontjuk (K 1) vízszintes vetülete alakul ki. A kommunikációs vonalnak és a vetületek frontális síkjára való tartozás feltételeinek megfelelően a metszéspont frontális vetülete (K 2) található.

.

Rizs. 3.11. Példa egyenes és sík metszéspontjának meghatározására

Az AB szakasz láthatóságát a DEF háromszöghöz képest a versengő pontok módszere határozza meg.

A π 2 síkon két NEF és 1AB pontot veszünk figyelembe. Ezen pontok vízszintes vetületei alapján megállapítható, hogy az N pont közelebb van a megfigyelőhöz (Y N >Y 1), mint az 1. pont (a látóvonal iránya párhuzamos S-vel). Következésképpen az AB egyenest, azaz az AB egyenes részét (K 1) a DEF sík zárja a π 2 síkon (a K 2 1 2 vetületét a szaggatott vonal mutatja). A láthatóságot a π 1 síkon hasonló módon állapítjuk meg.

Kérdések az önkontrollhoz

1) Mi a lényege a pontversenyzés módszerének?

2) Milyen tulajdonságait ismeri az egyenesnek?

3) Milyen algoritmussal határozható meg egy egyenes és egy sík metszéspontja?

4) Milyen feladatokat nevezünk pozíciós feladatoknak?

5) Fogalmazd meg az egyenes síkhoz tartozás feltételeit!

Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokra.