Hogyan ?
Példák megoldásokra
Ha valami hiányzik valahonnan, az azt jelenti, hogy valahol van valami
Továbbra is tanulmányozzuk a „Funkciók és grafikonok” részt, és utunk következő állomása az. Ennek a koncepciónak az aktív vitája a díszletekről szóló cikkben kezdődött, és az első leckében folytatódott függvénygrafikonok, ahol elemi függvényeket vizsgáltam, és különösen azok definíciós területeit. Ezért azt javaslom, hogy a dumák kezdjék a téma alapjaival, mivel néhány alapvető ponton nem térek ki ismét.
Feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a következő függvények definíciós tartományát: lineáris, másodfokú, köbfüggvények, polinomok, exponenciális, szinusz, koszinusz. -on vannak meghatározva (az összes valós szám halmaza). Érintőkre, arcszinuszokra, legyen szó, megbocsátok =) - a ritkább grafikonok nem jutnak azonnal eszébe.
A meghatározás köre egyszerű dolognak tűnik, és felmerül a logikus kérdés: miről fog szólni a cikk? Ebben a leckében egy függvény tartományának megtalálásának gyakori problémáit fogom megvizsgálni. Sőt, megismételjük egyenlőtlenségek egy változóval, amelynek megoldási készségére a felsőbb matematika egyéb problémáiban is szükség lesz. Az anyag egyébként mind iskolai anyag, így nem csak a diákok, hanem a tanulók számára is hasznos lesz. Az információ természetesen nem enciklopédikusnak mondható, de itt nem messziről eltalált „halott” példák, hanem sült gesztenye, amelyek valódi gyakorlati munkákból származnak.
Kezdjük egy gyors búvárkodással a témában. Röviden a lényegről: egy változó függvényéről beszélünk. Meghatározási tartománya az "x" sok jelentése, amelyekre létezik a "játékosok" jelentése. Nézzünk egy hipotetikus példát: 
Ennek a függvénynek a definíciós tartománya intervallumok uniója:
(akik elfelejtették: - egyesítés ikon). Más szóval, ha bármilyen „x” értéket veszünk az intervallumból, vagy -ból, vagy -ból, akkor minden ilyen „x”-hez lesz egy „y” érték.
Durván szólva, ahol a definíciós tartomány van, ott van a függvény grafikonja. De a félintervallum és a „tse” pont nem szerepel a definíciós területen, és ott nincs grafikon.
Hogyan lehet megtalálni egy függvény tartományát? Sokan emlékeznek a gyerekek mondókájára: „kő, papír, olló”, és ebben az esetben nyugodtan átfogalmazható: „gyökér, tört és logaritmus”. Így, ha életútja során törttel, gyökkel vagy logaritmussal találkozik, azonnal legyen nagyon-nagyon óvatos! A tangens, a kotangens, az arcszinusz, az arkoszinusz sokkal ritkábban fordul elő, ezekről is lesz szó. De először vázlatok a hangyák életéből:
Törtet tartalmazó függvény tartománya
Tegyük fel, hogy kapunk egy függvényt, amely valamilyen törtet tartalmaz. Mint tudod, nem lehet nullával osztani: , tehát azok Azok az „X” értékek, amelyek a nevezőt nullára fordítják, nem tartoznak a funkció hatókörébe.
Nem foglalkozom a legegyszerűbb funkciókkal, mint pl 
stb., hiszen mindenki tökéletesen látja azokat a pontokat, amelyek nem tartoznak bele a definíciós tartományába. Nézzünk értelmesebb törteket:
1. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Megoldás: A számlálóban nincs semmi különös, de a nevezőnek nullától eltérőnek kell lennie. Állítsuk egyenlőnek nullával, és próbáljuk meg megtalálni a „rossz” pontokat:
A kapott egyenletnek két gyöke van: 
. Adatértékek nem tartoznak a funkció hatókörébe. Valóban, helyettesítse be a vagy a függvényt, és látni fogja, hogy a nevező nullára megy.
Válasz: tartomány: 
A bejegyzés így hangzik: „a definíciós tartomány minden valós szám, kivéve az értékekből álló halmazt 
" Hadd emlékeztesselek arra, hogy a fordított perjel a matematikában logikai kivonást jelöl, a göndör zárójelek pedig halmazt. A válasz ekvivalensen felírható három intervallum uniójaként:
Akinek tetszik.
A pontokon 
funkció elviseli végtelen szünetek, és az egyenletek által adott egyenesek 
vannak függőleges aszimptoták ennek a függvénynek a grafikonjához. Ez azonban egy kicsit más téma, és a továbbiakban nem foglalkozom vele.
2. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
A feladat lényegében szóbeli, és sokan szinte azonnal megtalálják a meghatározás területét. A válasz a lecke végén található.
Egy töredék mindig „rossz” lesz? Nem. Például egy függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Bármilyen „x” értéket is vegyünk, a nevező nem megy nullára, sőt, mindig pozitív lesz: . Így ennek a függvénynek a hatóköre: .
Minden funkciója pl 
meghatározott és folyamatos tovább .
A helyzet kicsit bonyolultabb, ha a nevezőt egy másodfokú trinom foglalja el:
3. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Megoldás: Próbáljuk megkeresni azokat a pontokat, ahol a nevező nullára megy. Ennek érdekében mi döntünk másodfokú egyenlet:
A diszkrimináns negatívnak bizonyult, ami azt jelenti, hogy nincsenek valódi gyökök, és a függvényünk a teljes numerikus tengelyen definiált.
Válasz: tartomány:
4. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A megoldás és a válasz a lecke végén található. Azt tanácsolom, hogy ne lustálkodjon az egyszerű problémákkal, mert a további példákkal felhalmozódnak a félreértések.
A gyökérrel rendelkező függvény tartománya
A négyzetgyök függvény csak azokra az "x" értékekre van definiálva, amikor a radikális kifejezés nem negatív: . Ha a gyök a nevezőben található, akkor nyilvánvalóan szigorodik a feltétel: . Hasonló számítások érvényesek bármely pozitív páros fokozat gyökére: 
, azonban a gyökér már a 4. fokú in funkció tanulmányok nem emlékszem.
5. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Megoldás: a radikális kifejezésnek nem negatívnak kell lennie:
Mielőtt folytatnám a megoldást, hadd emlékeztessem Önöket az egyenlőtlenségek kezelésének alapvető szabályaira, amelyek az iskolából ismertek.
Külön odafigyelek! Most az egyenlőtlenségekkel foglalkozunk egy változóval- vagyis számunkra csak egy dimenzió a tengely mentén. Kérjük, ne keverje össze két változó egyenlőtlenségei, ahol a teljes koordinátasík geometriailag érintett. Vannak azonban kellemes egybeesések is! Tehát az egyenlőtlenségre a következő transzformációk egyenértékűek:
1) A feltételek részről részre átvihetők azok (a feltételek) megváltoztatásával jelek.
2) Az egyenlőtlenség mindkét oldala megszorozható egy pozitív számmal.
3) Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk negatív számot, akkor módosítania kell maga az egyenlőtlenség jele. Például, ha „több” volt, akkor „kevesebb” lesz; ha „kisebb vagy egyenlő”, akkor „nagyobb vagy egyenlő” lesz.
Az egyenlőtlenségben a „hármat” előjelváltással jobbra mozgatjuk (1. szabály):
Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát –1-gyel (3. szabály):
Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát (2. szabály):
Válasz: tartomány: 
A válasz egy ekvivalens kifejezéssel is leírható: „a függvény a következő helyen van definiálva”.
Geometriailag a definíciós területet az abszcissza tengely megfelelő intervallumainak árnyékolásával ábrázoljuk. Ebben az esetben:
Még egyszer emlékeztetem a definíciós tartomány geometriai jelentésére - a függvény grafikonjára 
csak az árnyékolt területen létezik, és nincs jelen itt: .
A legtöbb esetben a definíciós tartomány tisztán analitikus meghatározása megfelelő, de ha a függvény nagyon bonyolult, akkor érdemes tengelyt rajzolni és jegyzeteket készíteni.
6. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.
Ha a négyzetgyök alatt négyzetes binomiális vagy trinomiális van, a helyzet kissé bonyolultabbá válik, és most részletesen elemezzük a megoldási technikát:
7. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Megoldás: a radikális kifejezésnek szigorúan pozitívnak kell lennie, vagyis meg kell oldanunk az egyenlőtlenséget. Az első lépésben megpróbáljuk a másodfokú trinomit figyelembe venni: 
A diszkrimináns pozitív, gyökereket keresünk: 
Tehát a parabola 
két pontban metszi az abszcissza tengelyt, ami azt jelenti, hogy a parabola egy része a tengely alatt található (egyenlőtlenség), a parabola egy része pedig a tengely felett helyezkedik el (a számunkra szükséges egyenlőtlenség).
Mivel az együttható , a parabola ágai felfelé mutatnak. A fentiekből következik, hogy az egyenlőtlenség az intervallumokon teljesül (a parabola ágai felfelé mennek a végtelenbe), a parabola csúcsa pedig az x tengely alatti intervallumon található, ami megfelel az egyenlőtlenségnek:
! Jegyzet:
Ha nem érti teljesen a magyarázatokat, kérjük, rajzolja meg a második tengelyt és a teljes parabolát! Célszerű visszatérni a cikkhez és a kézikönyvhöz Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz.
Felhívjuk figyelmét, hogy magukat a pontokat eltávolítjuk (nem szerepel a megoldásban), mivel az egyenlőtlenségünk szigorú.
Válasz: tartomány:
Általában sok egyenlőtlenséget (beleértve a figyelembe vett egyenlőtlenséget is) az egyetemes old meg intervallum módszer, ismét az iskolai tananyagból ismert. De a négyzetes binomiálisok és trinomiálisok esetében véleményem szerint sokkal kényelmesebb és gyorsabb a parabola tengelyhez viszonyított helyzetének elemzése. És részletesen elemezzük a fő módszert - az intervallum módszert - a cikkben. Funkció nullák. Állandósági intervallumok.
8. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A minta részletesen kommentálja az érvelés logikáját + a második megoldási módot és az egyenlőtlenség másik fontos átalakulását, aminek ismerete nélkül a diák fél lábon sántikál..., ...hmm... talán felizgultam a lábról, valószínűbb az egyik lábujjnál. Hüvelykujj.
Meghatározható-e négyzetgyökfüggvény a teljes számegyenesen? Biztosan. Minden ismerős arc: . Vagy hasonló összeget kitevővel: . Valójában az „x” és a „ka” bármely értékére: , tehát és .
Íme egy kevésbé nyilvánvaló példa: 
. Itt a diszkrimináns negatív (a parabola nem metszi az x tengelyt), míg a parabola ágai felfelé irányulnak, így a definíciós tartomány: .
Az ellenkező kérdés: lehet-e egy függvény definíciós tartománya üres? Igen, és egy primitív példa rögtön magára utal 
, ahol a gyök kifejezés negatív bármely „x” értékre, és a definíciós tartomány: (üres halmaz ikon). Ilyen függvény egyáltalán nincs definiálva (persze a gráf is illuzórikus).
Páratlan gyökerekkel 
stb. minden sokkal jobb - itt radikális kifejezés lehet negatív. Például egy függvény a teljes számegyenesen van definiálva. A függvénynek azonban egyetlen pontja van, amely továbbra sem szerepel a definíciós tartományban, mivel a nevező nullára van állítva. Ugyanezért a funkció miatt 
pontok kizárva.
Egy függvény tartománya logaritmussal
A harmadik közös függvény a logaritmus. Példaként lerajzolom a természetes logaritmust, amely körülbelül 99 példában fordul elő 100-ból. Ha egy függvény tartalmaz logaritmust, akkor a definíciós tartománya csak azokat az „x” értékeket tartalmazza, amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget. Ha a logaritmus a nevezőben van: , akkor továbbá feltételt szabnak (a óta).
9. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Megoldás: a fentieknek megfelelően összeállítjuk és megoldjuk a rendszert: 
Grafikus megoldás bábukhoz:
Válasz: tartomány:
Még egy technikai ponton fogok elidőzni - nincs feltüntetve a skála, és a tengely mentén lévő felosztások nincsenek megjelölve. Felmerül a kérdés: hogyan készítsünk ilyen rajzokat egy jegyzetfüzetben kockás papírra? A pontok közötti távolságot cellákkal, szigorúan skála szerint kell mérni? Méretarányosan persze kanonikusabb és szigorúbb, de a helyzetet alapvetően tükröző sematikus rajz is teljesen elfogadható.
10. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
A probléma megoldásához használhatja az előző bekezdés módszerét - elemezze, hogyan helyezkedik el a parabola az x tengelyhez képest. A válasz a lecke végén található.
Mint látható, a logaritmusok területén minden nagyon hasonlít a négyzetgyökök helyzetéhez: a függvény 
(négyzetes trinom a 7. példából) az intervallumokon és a függvényen van definiálva 
(négyzetes binomiális a 6. példából) az intervallumon. Még azt mondani is kínos, hogy a típusfüggvények a teljes számsorban vannak definiálva.
Hasznos információk
: a tipikus függvény érdekes, a pont kivételével a teljes számegyenesen van definiálva. A logaritmus tulajdonsága szerint a „kettő” a logaritmuson kívül is szorozható, de ahhoz, hogy a függvény ne változzon, az „x”-et a modulusjel alá kell zárni: 
. Íme a modul egy másik „gyakorlati alkalmazása” =). Ez az, amit a legtöbb esetben meg kell tennie bontáskor még fokozat, például: 
. Ha például a fokozat alapja nyilvánvalóan pozitív, akkor nincs szükség modulusjelre, és elég a zárójelek használata: .
Az ismétlés elkerülése érdekében bonyolítsuk a feladatot:
11. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Megoldás: ebben a függvényben megvan a gyökér és a logaritmus is.
A gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie: , és a logaritmusjel alatti kifejezésnek szigorúan pozitívnak kell lennie: . Tehát meg kell oldani a rendszert:
Sokan nagyon jól tudják, vagy intuitívan sejtik, hogy a rendszermegoldásnak meg kell felelnie mindenkinek feltétel.
A parabola tengelyhez viszonyított elhelyezkedését vizsgálva arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenlőtlenséget kielégíti az intervallum (kék árnyékolás):
Az egyenlőtlenség nyilvánvalóan a „piros” félintervallumnak felel meg.
Mivel mindkét feltételnek teljesülnie kell egyidejűleg, akkor a rendszer megoldása ezen intervallumok metszéspontja. A „közös érdekek” félidőben teljesülnek.
Válasz: tartomány:
A tipikus egyenlőtlenséget, amint azt a 8. példában bemutatjuk, nem nehéz analitikusan feloldani.
A talált tartomány nem változik „hasonló funkciók” esetén, pl. 
vagy 
. Hozzáadhat néhány folyamatos függvényt is, például: , vagy így: 
, vagy akár így: . Ahogy mondani szokás, a gyök és a logaritmus makacs dolgok. Az egyetlen dolog, hogy ha az egyik függvényt „visszaállítjuk” a nevezőre, akkor a definíciós tartomány megváltozik (bár általános esetben ez nem mindig igaz). Nos, a matan elméletben erről a verbálisról... ó... vannak tételek.
12. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A rajz használata meglehetősen megfelelő, mivel a funkció nem a legegyszerűbb.
Még néhány példa az anyag megerősítésére:
13. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Megoldás: állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert: 
A cikkben már minden intézkedést megvitattunk. Ábrázoljuk az egyenlőtlenségnek megfelelő intervallumot a számegyenesen, és a második feltétel szerint szüntessünk meg két pontot:
A jelentés teljesen lényegtelennek bizonyult.
Válasz: tartomány
Egy kis matematikai szójáték a 13. példa egy változatáról:
14. példa
Keresse meg egy függvény tartományát 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Aki lemaradt, annak nincs szerencséje ;-)
A lecke utolsó részét a ritkább, de „működő” funkcióknak szenteljük:
Funkciódefiníciós területek
érintőkkel, kotangensekkel, arcszinuszokkal, arkoszinuszokkal
Ha valamelyik függvény tartalmazza a -t, akkor annak definíciós tartományából kizárva pontokat 
, Ahol Z– egész számok halmaza. Különösen, ahogy a cikkben is meg van írva Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai, a függvénynek a következő értékei vannak:
Vagyis az érintő definíciós tartománya: 
.
Ne öljünk túl sokat:
15. példa
Keresse meg egy függvény tartományát
Megoldás: ebben az esetben a következő pontok nem fognak szerepelni a definíciós tartományban:
Dobjuk a bal oldal „kettőjét” a jobb oldal nevezőjébe:
Ennek eredményeként 
:
Válasz: tartomány: 
.
Elvileg a választ felírhatjuk végtelen számú intervallum uniójaként, de a felépítés nagyon körülményes lesz:
Az analitikai megoldás teljesen összhangban van a gráf geometriai transzformációja: ha egy függvény argumentumát megszorozzuk 2-vel, akkor a grafikonja kétszer tengelyre zsugorodik. Figyelje meg, hogyan csökkent a függvény periódusa felére, és töréspontok gyakorisága megduplázódott. Tachycardia.
Hasonló történet a kotangenssel. Ha valamelyik függvény tartalmazza a -t, akkor a pontok ki vannak zárva a definíciós tartományából. Különösen az automatikus sorozatfelvétel funkcióhoz a következő értékeket vesszük fel:
Más szavakkal:
Gratulálunk, kedves olvasók!
Végre elértük trigonometrikus egyenletek megoldása. Most több olyan egyenletet fogunk megoldani, amelyek hasonlóak az Egységes Államvizsga feladatokhoz. Persze az igazi vizsgán kicsit nehezebbek lesznek a feladatok, de a lényeg ugyanaz marad.
Először nézzünk meg egy egyszerű egyenletet (korábbi leckékben már megoldottunk hasonlókat, de ezek megismétlése mindig hasznos).
$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$
Szerintem felesleges magyarázatot adni a döntésről.
$$2\cos x + 1 = 0 \text( vagy ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$
$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( or ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$
A vízszintes pontozott vonal jelzi a szinuszos egyenlet megoldása, függőleges - koszinuszos.
Így a végső megoldás felírható például így:
$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(tömb)\jobbra.$$
Trigonometrikus egyenlet ODZ-vel
$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\right) = 0.$$
Ebben a példában egy fontos különbség, hogy a nevezőben egy szinusz jelenik meg. Bár az előző leckékben már egy kicsit megoldottunk hasonló egyenleteket, érdemes az ODZ-n részletesebben elidőzni.
ODZ
`\sin x \neq 0 \Jobbra x \neq \pi k`. Amikor megjelöljük a megoldást a körön, ezt a gyöksorozatot speciálisan áttört (nyitott) pontokkal jelöljük meg, hogy megmutassuk, hogy az `x` nem vehet fel ilyen értékeket.
Megoldás
Csökkentsünk egy közös nevezőre, majd mindkét zárójelet egyenlővé tesszük nullával.
$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\right) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text( vagy ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$
$$\cos x = -1 \text( or ) \sin x=1.$$
Remélem, ezen egyenletek megoldása nem okoz nehézséget.
A gyökök sorozata - az egyenlet megoldásai - az alábbiakban piros pontokkal láthatók. Az ODZ kék színnel van jelölve az ábrán.
Így megértjük, hogy a `\cos x = -1` egyenlet megoldása nem felel meg az ODZ-nek.
A válasz csak egy gyöksorozat lesz: `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.
Másodfokú trigonometrikus egyenlet megoldása
Programunk következő pontja az másodfokú egyenlet megoldása. Nincs ebben semmi bonyolult. A lényeg az, hogy lásd a másodfokú egyenletet, és végezd el a cserét az alábbiak szerint.
$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
Legyen `t= \sin x`, akkor kapjuk:
$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$
Csináljuk a fordított cserét.
$$\sin x = \frac(2)(3) \text( or ) \sin x = -1.$$
$$\left[\begin(tömb)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(tömb) \jobbra.$$
Másodfokú egyenlet megoldása érintővel
Oldjuk meg a következő egyenletet:
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az érintő argumentum "2x", és a végső válasz megszerzéséhez el kell osztania "2"-vel. Legyen `t=\tg 2x`, akkor
$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
Fordított csere.
$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$
$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(tömb) \jobbra.$$
Most osszuk el mindkét sorozatot kettővel, hogy megtudjuk, mi az "x" valójában.
$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(tömb) \jobbra.$$
Tehát megkaptuk a választ.
Utolsó egyenlet (az érintő és a szinusz szorzata)
$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$
ODZ
Mivel az érintő olyan tört, amelynek nevezője a koszinusz, akkor az ODZ-ben azt kapjuk, hogy `\cos x \neq 0 \Jobbra x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`
Megoldás
$$\tg x =0 \text( vagy ) \sin 2x = 0.$$
Ezeket az egyenleteket könnyű megoldani. Kapunk:
$$x = \pi k \text( vagy ) 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k \text( vagy ) x = \frac(\pi k)(2).$$
Most a legérdekesebb dolog: mivel ODZ-nk volt, végre kell hajtanunk a gyökerek kiválasztását. Jelöljük a kapott gyöksorozatot egy körön. (Hogyan kell ezt megtenni, a mellékelt videóban részletesen bemutatjuk.)
Az ODZ kék színnel, az oldatok pirossal vannak jelölve. Látható, hogy a válasz `x = \pi k` lesz.
Ezzel véget is ért az ötödik lecke. Ügyeljen arra, hogy gyakorolja az egyenletek megoldását. Egy dolog általánosságban tudni a megoldás előrehaladását, egy másik dolog, ha egy konkrét probléma megoldása során tájékozódunk. Fokozatosan gyakorolja a probléma megoldásának minden elemét. Most a legfontosabb az, hogy megtanulják, hogyan kell hozzáértően dolgozni a trigonometrikus körrel, megoldásokat találni a segítségével, látni az ODZ-t és helyesen helyettesíteni a másodfokú egyenleteket.
Feladatok a képzéshez
Oldja meg az egyenleteket:
- `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0,
- "3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1 = 0",
- "2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0",
- "\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0" (az alapvető trigonometrikus azonosság alkalmazása),
- `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \right) - 3 =0`.
Ez elég. Ha kérdése van, csak kérdezzen! Nyomj egy lájkot, ha hasznos volt a munkám :)
Törtegyenletek. ODZ.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Folytatjuk az egyenletek elsajátítását. Már tudjuk, hogyan kell lineáris és másodfokú egyenletekkel dolgozni. Az utolsó nézet maradt - törtegyenletek. Vagy sokkal tiszteletteljesebben hívják őket - tört racionális egyenletek. Ez ugyanaz.
Törtegyenletek.
Ahogy a neve is sugallja, ezek az egyenletek szükségszerűen tartalmaznak törteket. De nem csak a törteket, hanem azokat a törteket, amelyeknek van nevezőben ismeretlen. Legalábbis az egyikben. Például:
Hadd emlékeztesselek arra, hogy ha a nevezők csak számok, ezek lineáris egyenletek.
Hogyan döntsünk törtegyenletek? Először is szabadulj meg a törtektől! Ezt követően az egyenlet leggyakrabban lineárissá vagy másodfokúvá változik. És akkor tudjuk, mit tegyünk... Bizonyos esetekben identitássá alakulhat át, például 5=5, vagy hibás kifejezéssé, például 7=2. De ez ritkán történik meg. Ezt az alábbiakban megemlítem.
De hogyan lehet megszabadulni a törtektől!? Nagyon egyszerű. Ugyanazok az azonos transzformációk alkalmazása.
A teljes egyenletet meg kell szoroznunk ugyanazzal a kifejezéssel. Hogy minden nevező csökkenjen! Minden azonnal könnyebb lesz. Hadd magyarázzam el egy példával. Meg kell oldanunk az egyenletet:
Hogyan tanítottak az általános iskolában? Mindent félretolunk, közös nevezőre hozzuk stb. Felejtsd el, mint egy rossz álmot! Ezt kell tennie törtek összeadásakor vagy kivonásakor. Vagy egyenlőtlenségekkel dolgozol. Az egyenletekben pedig azonnal megszorozzuk mindkét oldalt egy kifejezéssel, amely lehetőséget ad az összes nevező csökkentésére (vagyis lényegében egy közös nevezővel). És mi ez a kifejezés?
A bal oldalon a nevező csökkentéséhez szorozni kell x+2. A jobb oldalon pedig 2-vel kell szorozni, ami azt jelenti, hogy az egyenletet meg kell szorozni 2(x+2). Szorzás:
Ez a törtek gyakori szorzása, de részletesen leírom:
Felhívjuk figyelmét, hogy még nem nyitom ki a tartót (x + 2)! Tehát teljes egészében leírom:
A bal oldalon teljesen összehúzódik (x+2), jobb oldalon pedig 2. Ami kellett! Csökkentés után kapjuk lineáris az egyenlet:
És ezt az egyenletet mindenki meg tudja oldani! x = 2.
Oldjunk meg egy másik, kicsit bonyolultabb példát:
Ha emlékszünk arra, hogy 3 = 3/1, és 2x = 2x/ 1, írhatjuk:
És ismét megszabadulunk attól, amit nem igazán szeretünk - a törtektől.
Látjuk, hogy a nevező X-szel való csökkentéséhez meg kell szoroznunk a törtet (x-2). És néhány nem akadály számunkra. Nos, szorozzuk. Minden bal oldali és minden jobb oldal:
Ismét zárójelek (x-2) Nem árulom el. Úgy dolgozom a zárójel egészével, mintha egy szám lenne! Ezt mindig meg kell tenni, különben semmi sem csökken.
A mély elégedettség érzésével csökkentjük (x-2)és tört nélküli egyenletet kapunk vonalzóval!
Most nyissuk meg a zárójeleket:
Hasonlókat hozunk, mindent áthelyezünk a bal oldalra, és megkapjuk:
De előtte megtanulunk más problémákat is megoldani. A kamatra. Ez egyébként egy gereblye!
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Különféle problémák megoldása során nagyon gyakran kell azonos kifejezéstranszformációkat végrehajtanunk. De előfordul, hogy bizonyos átalakítások bizonyos esetekben elfogadhatók, de más esetekben nem. Az ODZ jelentős segítséget nyújt a folyamatban lévő átalakítások elfogadhatóságának ellenőrzésében. Nézzük ezt részletesebben.
A megközelítés lényege a következő: az eredeti kifejezéshez tartozó változók ODZ-jét összehasonlítjuk az azonos transzformációk eredményeként kapott kifejezés változóinak ODZ-jével, és az összehasonlítási eredmények alapján megfelelő következtetéseket vonunk le.
Általában az identitásátalakítások képesek
- ne befolyásolja a DL-t;
- az ODZ terjeszkedéséhez vezet;
- az ODZ szűküléséhez vezet.
Illusztráljunk minden esetet egy példával.
Tekintsük az x 2 +x+3·x kifejezést, ennek a kifejezésnek az x változó ODZ-je az R halmaz. Most végezzük el a következő azonos transzformációt ezzel a kifejezéssel - hasonló kifejezéseket mutatunk be, aminek eredményeként x 2 +4·x alakot ölt. Nyilvánvalóan ennek a kifejezésnek az x változója is egy R halmaz. Így az elvégzett átalakítás nem változtatott a DZ-n.
Menjünk tovább. Vegyük az x+3/x−3/x kifejezést. Ebben az esetben az ODZ-t az x≠0 feltétel határozza meg, amely megfelel a (−∞, 0)∪(0, +∞) halmaznak. Ez a kifejezés is tartalmaz hasonló kifejezéseket, amelyek redukálása után az x kifejezéshez jutunk, amelyre az ODZ R. Amit látunk: a transzformáció eredményeként az ODZ kibővült (az eredeti kifejezés x változójának ODZ-jéhez a nulla szám került).
Továbbra is meg kell fontolni egy példát az elfogadható értékek tartományának szűkítésére az átalakítások után. Vegyük a kifejezést 
. Az x változó ODZ-jét az (x−1)·(x−3)≥0 egyenlőtlenség határozza meg, megoldására alkalmas például a következő eredmény: (−∞, 1]∪∪; szerkesztve S. A. Telyakovsky. - 17- szerk. - M.: Oktatás, 2008. - 240 pp.: ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Shakirova G. G. (MAOU 9. számú líceum)
1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:
2. „Matematika” újság 46.15. 1998.
3. „Matematika” újság 2002. 15. sz.
4. „Matematika” újság 2002. 17. sz.
5. F. P. Yaremchuk, P. A. Rudchenko „Algebra és elemi függvények” kézikönyv Kijev: „Naukova Dumka”; 1976;
7. Az OGE előkészítésének gyűjteménye. Tipikus tesztfeladatok, 9. évfolyam, "EXAMEN" kiadó, Moszkva 2016.
8. Algebrai tankönyv 9. évfolyamnak, A. G. Mordkovich, N. P. Nikolaev, MNEMOZINA kiadó, Moszkva 2010.
Ez a cikk a fő mű absztrakt bemutatása. A tudományos munka teljes szövege, pályázatok, illusztrációk és egyéb kiegészítő anyagok elérhetők a „Start in Science” III. Nemzetközi Diákok Tudományos Kutató- és Alkotómunkái Versenyének honlapján az alábbi linken: https://www.school- science.ru/0317/7/29329
Úgy gondolom, hogy a matematika a világ egyik legfontosabb tudománya. Az ember számára a tudomány és a technológiai fejlődés növekedésével összefüggésben válik különös jelentőségre. Életében minden embernek meglehetősen összetett számításokat kellett végeznie, számítástechnikát kell használnia, meg kellett találnia és alkalmaznia a szükséges képleteket, elsajátította a geometriai mérési technikákat, de az ember nem mindig veszi figyelembe az eredményt befolyásoló összes feltételt. Pontosan emiatt jelenik meg az ODZ állapota.
Ez a téma azért érdekelt, mert nem teljesen értettem az ODZ megtalálásának értelmét és fontosságát, ami miatt egyes feladatoknál nem fordítottam kellő figyelmet az ODZ fontosságára, és „háború” alakult ki köztem és ODZ között.
Ugyanakkor matematikai szempontból az ODZ megtalálása egyáltalán nem kötelező, sokszor szükségtelen, sőt néha lehetetlen – és mindezt a megoldás károsodása nélkül. És az ODZ-vel fennálló helyzet miatt „háború” keletkezik.
Bizonyos típusú egyenletek és egyenlőtlenségek problémáinak megoldása során szembesültem azzal a ténnyel, hogy bizonyos feltételek vagy nem feleltek meg, vagy bizonyos értékeket szabtak rájuk, és később rájöttem, hogy valóban van egy bizonyos terület, ahol a megengedett a feladatok és egyenletek feltételeit kielégítő értékek egyes típusokat bővítenek.
Ha durva összehasonlítást adunk egy teniszlabdának és egy függvénynek (egyenlőtlenség, egyenlet vagy probléma), akkor a labda héja és a külső feltételek a mi ODZ-nk, és a labda padlóról való lepattanása a megoldás a függvényre ( egyenlőtlenség, egyenlet vagy probléma). Akkor azt mondhatjuk, hogy ha ennek a labdának a héját eltörjük (vagy egyszerűbben eltépjük), akkor a labda már nem fog olyan jól pattanni, mint korábban, vagyis ha eltörjük az ODZ-t, akkor nem lesz megoldás.
Témám relevanciája abban rejlik, hogy az ember a probléma megoldása során nem figyel a kisebb feltételekre. Adhat analógiát bizonyos matematikai feladatok megoldásával is, ahol az ODZ feltételét nem veszik figyelembe, és ez befolyásolja a megoldás eredményét. Sok ilyen feladat van az OGE második részében, ami kudarchoz vezethet a vizsgán.
Bizonyítsd be a DL fontosságát.
1. Ismertesse az ODZ tulajdonságait és jelentését az életünkben.
2. Elemezzen különféle módszereket a DL-t érintő példák megoldására.
Kutatási módszerek:
- elméleti kutatás (irodalomelemzés, forráskeresés);
- a DL fő feladatainak és fogalmainak elemzése;
- ODZ indukciós módszer (a tényekből való következtetés a hipotézisemre)
- valódi kutatás (problémamegoldás embercsoporttal).
Gyakorlati rész:
Kutatások végzése egyszerű problémák, egyenletek megoldására, a kutatás leírása.
Hipotézis:
Az ODZ a függvényekben, problémákban, egyenlőtlenségekben és egyenletekben előforduló különféle feltételek következménye.
A kialakulás története
Nos, ássuk be az ODZ kialakulásának történetét.
A többi matematikai fogalmhoz hasonlóan a függvény fogalma természetesen nem jelent meg azonnal, hanem hosszú fejlődési utat járt be. Pierre Fermat Introduction and Study of Planar and Solid Places (1679-ben jelent meg) című könyve kijelenti: „Ha egy végső egyenletben két ismeretlen mennyiség van, ott van egy hely.” Ahogy sejthető, funkcionális függőségről és annak grafikus ábrázolásáról beszélünk (a „hely” Fermat-ban vonalat jelent). A vonalak egyenletek szerinti tanulmányozása R. Descartes Geometriájában (1637) szintén a két változó mennyiség közötti kölcsönös függés világos megértését jelzi. Ez már a funkció fogalmának teljesen egyértelmű elsajátítását jelzi. Ezt a fogalmat geometriai és mechanikai formában is megtaláljuk I. Newtonnál. Maga a „funkció” kifejezés azonban csak 1692-ben jelenik meg először G. Leibniznél, ráadásul nem egészen a mai felfogásában. G. Leibniz egy görbéhez (például annak pontjainak abszcisszájához) kapcsolódó különféle szegmenseket függvénynek nevezi. Az első nyomtatott kurzusban, L'Hopital (1696) „Infinitezimálok elemzése görbe vonalak ismeretéhez” című művében a „függvény” kifejezés nem használatos. A függvény első definíciója, amely közel áll a modernhez, I. Bernoulliban található (1718-ban): „A függvény egy változóból és egy állandóból álló mennyiség.” Ez a nem teljesen világos meghatározás azon az elgondoláson alapul, hogy egy függvényt analitikai képlettel adjunk meg.
Ennek eredményeként jutottam el egy függvény ODZ definíciójához. Az Y függvény definíciós tartománya (megengedett értékei) annak az X független változónak az értékkészlete, amelyre ez a függvény definiálva van, azaz a független változó változási tartománya (argumentum).
A matematikusok nagyon régóta képesek egyenleteket és egyenletrendszereket megoldani. Az Alexandriai Diophantusból (3. század) származó görög matematikus "Aritmetikája" még nem tartalmazta az algebra szisztematikus bemutatását, de számos, egyenletalkotással megoldott feladatot tartalmazott. A következő feladatot tartalmazza: „Keress két számot a 20-as összegük és a 96-os szorzatuk alapján.”
Annak érdekében, hogy megvédje magát egy általános formájú másodfokú egyenlet megoldásától, amely az egyik szám betűvel történő megjelöléséhez vezet, és amelynek megoldását még nem tudták, Diophantus 10 + x és 10 ismeretlen számokat jelölt. - x (modern jelöléssel), és hiányos másodfokú egyenletet kapott 100 - x2 = 96, amelyre csak a pozitív gyök 2 volt alkalmas.
A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémákat az i.sz. 5. század óta találtak indiai matematikusok munkáiban.
A másodfokú egyenleteket Muhammad al-Khwarizmi (787-850) „A rövid könyv az algebra és az almukabala számításáról” című értekezésében osztályozzák. 6 féle másodfokú egyenletet vizsgál és old meg (geometriai formában), amelyek mindkét oldalon csak pozitív együtthatós tagokat tartalmaznak. Ebben az esetben csak az egyenletek pozitív gyökereit vettük figyelembe.
Leonty Filippovich Magnitsky (1669-1739) leghíresebb orosz „Aritmetika” tankönyvében sok probléma volt a másodfokú egyenletekkel kapcsolatban. Íme az egyik közülük:
„Egy bizonyos tábornok 5000 emberrel akar csatát kezdeni, és úgy, hogy kétszer annyian legyenek elöl, mint az oldalon. Mekkora csata lesz ez a csata elöl és oldalt?”, azaz hány katonát kell elölre és hányat a fejükre hátul helyezni, hogy a fronton lévő katonák száma 2-szer nagyobb, mint a „fejük hátsó részében” elhelyezkedő katonák száma?
Az ókori babiloni szövegekben (Kr. e. 3000-2000) vannak olyan problémák is, amelyeket ma másodfokú egyenleteket tartalmazó egyenletrendszerek segítségével oldanak meg. Íme az egyik közülük:
„A két négyzetem területeit összeadtam: . A második négyzet oldala egyenlő az első oldalával, plusz még 5."
A megfelelő rendszer a modern jelölésekkel így néz ki:
És csak a 17. században, Descartes, Newton és más matematikusok munkája után, a másodfokú egyenletek megoldása öltötte modern formáját.
Úgy tűnik számomra, hogy érdekli a válasz arra a kérdésre: „Miért írtam meg a függvények és egyenlőtlenségek keletkezésének történetét?” A válasz nagyon egyszerű. Az ODZ csak a függvényekben, problémákban, egyenlőtlenségekben és egyenletekben előforduló különféle feltételek következménye.
ODZ egyenlőtlenségekben és egyenletekben
Tört racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor:
Az 1-től 9-ig terjedő ismeretek nem teszik lehetővé, hogy 0-val osztjak. „Nem lehet 0-val osztani, mert lehetetlen semmit elosztani az ürességgel” – mondták nekem a tanárok az általános iskolában.
Irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása:
|
Egyenletek
|
Egyenlőtlenségek
|
Tanulmány
Kutatást végeztem annak kiderítésére, hogy a tanulók milyen gyakran veszik figyelembe a DL-t a feladatok, egyenletek, egyenlőtlenségek stb. megoldása során. Ehhez kiválasztottam 4 feladatot, amelyeket magam oldottam meg, majd 35 kilencedikesnek ajánlottam fel, ebből az első háromban. nem kellett figyelembe venni az ODZ-t, a negyedikben pedig kötelező. A kutatómunka célja annak bizonyítása volt, hogy az emberek nem fordítanak kellő figyelmet a DL-re.
A kilencedikeseknek javasolt feladatok:
1) Egy autóbusz 60 km/h sebességgel indult el A pontból B pontba. Egy órával később egy autó követte őt a B pontba, majd 4 órával később utolérte a buszt a B pontban (Ugyanakkor érkeztünk). Mekkora az autó sebessége?
2) (x+3)2+10=(x-2)2
3) 1/(x-2) = x-4
A feladatok ellenőrzése során rájöttem, hogy a megoldások bizonyos szempontok szerint feloszthatók.
A megoldások kiválasztásának kritériumai és az azokban szereplő személyek száma:
Minden feladatot teljesített - 5 fő; ODZ-t írt 4 feladatban, de 1 feladatban - 2 fő, 2 példában - 8 fő, 3 példában - 3 fő hibázott; 17 ember nem írt ODZ-t a 4. példában. Főbb hibák:
- Megfeledkeznek fogyatékosságukról (leírták, de elfelejtették figyelembe venni);
- A DZ rosszul lett összeállítva;
- Az egyenleteket helytelenül szorozták meg;
- Ne használjon megfelelő rövidített szorzóképleteket;
- Zavaros jelek (*, +, -,:);
- Nem minden példa.
- Megfeledkeznek a jelek megváltoztatásáról, amikor egyenrangúakon keresztül továbbítanak;
És arra jutottam, hogy a 9. osztályos tanulók mintegy fele sajnos nem vette figyelembe, vagy rosszul írta le a DL-t a leadott feladatokban, aminek következtében hibázott.
Hol fordul elő az ODZ a való életben?
Valójában olyan gyakran találkozunk DL-feltételekkel, hogy egyszerűen nem vesszük észre őket. Például amikor vásárol valamit; hatások meghatározásával különböző külső hőmérsékleteken.
A tanulmány 1. példája (probléma) lehet egy valós helyzet modellje, de túl általános (egy busz vagy autó sem tud állandó sebességgel haladni különböző tényezők miatt, mint például az aszfalt minősége az úton, szögek és a fordulatok száma, a benzin mennyisége stb.). Íme egy jobb példa:
200 rubelt kaptunk a macskaeledelért, ami zsákonként 18 rubel, és egy fehér kaját, amiért 24 rubel. Ki kell számolnunk, hány rubelt költünk élelmiszerre. Vegyük X-et a zacskó élelmiszerek számának.
ODZ: x ≥ 0,
x = (200-24)/18,
x = 9 (a maradék 14).
Ez azt jelenti, hogy 9 zacskó élelmiszert veszünk 14 rubel egyenleggel, ami megfelel a teljes juttatásunknak.
Opcionális DL
Amint azt saját tapasztalataim alapján láttam, sokszor nem szükséges DL-t feltüntetni a példákban, pedig az OGE-ben és az Egységes Államvizsgán a feladatokhoz éppen a DL feltüntetése szükséges, különben kevesebb pontot kapsz. Ez látható a tanulmány 1. és 2. feladatának példáján. És valóban, ezeknek a számoknak a megoldása során észrevesszük, hogy az elfogadható értékek tartománya elhagyható, mivel ennek hiánya semmilyen módon nem befolyásolja a választ. De nagyon gyakran ilyen esetekben a jól végzett munkát C-re értékelték.
Az ODZ keresése gyakran csak többletmunka, amelyet könnyedén megtehet. Sok más példa is felhozható itt. Jól ismertek, ezért kihagyom. A fő megoldás az ekvivalens transzformációk, amikor az egyik egyenletből a másikba, azaz egy egyszerűbbre lépünk.
Csapdák példái
Az egyenleteket vagy egyenlőtlenségeket használó feladatok között vannak csapdaproblémák (olyan feladatok, amelyekben a DL kegyetlen tréfát tud játszani veled). Köztudott, hogy az eredeti ODZ-t megváltoztató átalakítások eredményeként helytelen döntéseket hozhatunk. Adhat példát a 3. és 4. feladatra egy kutatási cikkből, de itt van egy másik példa az ilyen egyenletekre:
Az ODZ-ből x ≥ 5 (mivel a kifejezés gyöke nem lehet negatív). Mivel a jobb oldalon van egy pozitív kifejezés, ez azt jelenti, hogy x - 5 > 2x - 1. Az utolsó egyenlőtlenséget megoldva x-et kapunk< -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
Következtetés
Összefoglalva az összes kutatómunka néhány eredményét, magabiztosan állíthatom, hogy a DL egyenletek és egyenlőtlenségek néhány feltétele hasonló. Az ODD, amint bebizonyítottam, a való életben is előfordul, és nagyon gyakran; Megmutattam azt is, hogy nincs univerzális válasz arra a kérdésre, hogy „minden példában fel kell tüntetni a DL-t?” nem az iskolai tanfolyamon.
Bebizonyítottam a hipotézisemet is, amely így hangzott: „Az ODD valójában a függvényekben, problémákban, egyenlőtlenségekben és egyenletekben előforduló különféle feltételek következménye.”
Minden alkalommal, amikor meg akarja érteni, mit csinál, és nem mechanikusan cselekszik, felmerül a kérdés: melyik megoldást a legjobb választani, különösen, hogy keresse az ODZ-t vagy sem? Úgy gondolom, hogy munkám során részben megválaszoltam ezt a kérdést.
Az ODZ rögzítésének oka nyilvánvalónak tűnik, de az emberek továbbra is vonakodnak az ODZ felvételétől. És akárhány különböző előadás, tankönyvi magyarázat és tanári magyarázat, a háború, bármi legyen is, még nem ért véget, és nem is fog véget érni, ami megerősíti a téma aktualitását és fontosságát.
De szeretném mindenkinek azt tanácsolni, hogy mindig vegye figyelembe a DL-t, mivel nem mindig lehet azonnal azt mondani, hogy egy bizonyos feladatban nincs fogás.
Az általam bemutatott jelentést nem csak a diákok, hanem a tanárok is használhatják a DLC fontosságának magyarázatára.
Bibliográfiai link
Severov O. S. HÁBORÚ A DDZ ELLEN // Nemzetközi iskolai tudományos közlemény. – 2017. – 5-1. – 84-87. o.;URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=400 (Hozzáférés dátuma: 2019.02.09.).