Az egységnyi hosszúságú szegmenst már az ókori matematikusok is tudták: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.

Irracionálisak a következők:

Irracionalitás-bizonyító példák

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis törtként van ábrázolva, ahol és egész számok. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

.

Ebből az következik, hogy még, tehát páros és . Hadd hol az egész. Azután

Ezért még, ezért páros és . Ezt kaptuk és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Ezért az eredeti feltevés téves volt, és irracionális szám.

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tegyük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként ábrázolva, ahol és egész számok. óta, és pozitívnak vehető. Azután

De ez egyértelmű, furcsa. Ellentmondást kapunk.

e

Történelem

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr. e. 7. században, amikor Manawa (i.e. 750 körül - ie 690 körül) megállapította, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen.

Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasusnak (Kr. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki egy pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idejében azt hitték, hogy egyetlen hosszegység létezik, amely kellően kicsi és oszthatatlan, ami annyi, hogy bármely szegmensben egész szám szerepel. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója egész számú egységnyi szakaszt tartalmaz, akkor ennek a számnak egyszerre párosnak és páratlannak kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:

• Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, ahol aÉs b a lehető legkisebbnek választottuk.
• A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
• Mivel a² egyenletes, a párosnak kell lennie (mivel a páratlan szám négyzete páratlan lenne).
• Amennyiben a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
• Mivel a páros, jelölje a = 2y.
• Azután a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tehát b akkor egyenletes b még.
• Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.

A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kifejezhetetlen), de a legendák szerint Hippasust nem fizették meg kellő tiszteletben. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, „mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a doktrínát, amely szerint az univerzumban lévő összes entitás egész számokra és azok arányaira redukálható. " Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a püthagorasz matematika számára, megsemmisítve az egész elmélet alapjául szolgáló feltételezést, miszerint a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Lásd még

Megjegyzések

Numerikus rendszerek
Számolás készletek	Egész számok ()

A számok, különösen a természetes számok megértése az egyik legrégebbi matematikai „készség”. Sok civilizáció, még a modern civilizációk is, bizonyos misztikus tulajdonságokat tulajdonítottak a számoknak a természet leírásában betöltött nagy jelentősége miatt. Bár a modern tudomány és a matematika nem erősíti meg ezeket a "mágikus" tulajdonságokat, a számelmélet jelentősége tagadhatatlan.

A történelem során először sok természetes szám jelent meg, majd hamarosan törteket és pozitív irracionális számokat adtak hozzájuk. A valós számok halmazának ezen részhalmazai után a nulla és a negatív számokat vezették be. Az utolsó halmaz, a komplex számok halmaza csak a modern tudomány fejlődésével jelent meg.

A modern matematikában a számokat nem történelmi sorrendben vezetik be, bár ahhoz egészen közel.

Természetes számok $\mathbb(N)$

A természetes számok halmazát gyakran $\mathbb(N)=\lkapcsos zárójel 1,2,3,4... \rkapcsos $ jelöléssel jelölik, és gyakran nullával töltik ki a $\mathbb(N)_0$ jelölésére.

A $\mathbb(N)$ összeadás (+) és szorzás ($\cdot$) műveleteket definiál a következő tulajdonságokkal bármely $a,b,c\mathbb(N)$-ban:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ a $\mathbb(N)$ halmaz összeadás és szorzás alatt zárva van
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutativitás
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asszociativitás
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ eloszlás
5. $a\cdot 1=a$ a szorzás semleges eleme

Mivel a $\mathbb(N)$ halmaz tartalmaz egy semleges elemet a szorzáshoz, de nem az összeadáshoz, ha ehhez a halmazhoz nullát adunk, akkor a halmaz tartalmaz egy semleges elemet az összeadáshoz.

Ezen a két műveleten kívül a $\mathbb(N)$ halmazban a "kisebb, mint" ($

1. $a b$ trichotómia
2. ha $a\leq b$ és $b\leq a$, akkor $a=b$ antiszimmetria
3. ha $a\leq b$ és $b\leq c$, akkor $a\leq c$ tranzitív
4. ha $a\leq b$, akkor $a+c\leq b+c$
5. ha $a\leq b$, akkor $a\cdot c\leq b\cdot c$

Egész számok $\mathbb(Z)$

Példák egész számokra:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Az $a+x=b$ egyenlet megoldása, ahol $a$ és $b$ ismert természetes számok, $x$ pedig ismeretlen természetes szám, egy új művelet – a kivonás(-) – bevezetését igényli. Ha van egy $x$ természetes szám, amely kielégíti ezt az egyenletet, akkor $x=b-a$. Ennek az egyenletnek azonban nem feltétlenül van megoldása a $\mathbb(N)$ halmazon, ezért gyakorlati megfontolások megkövetelik a természetes számok halmazának oly módon történő kiterjesztését, hogy egy ilyen egyenlet megoldásait is magában foglalja. Ez egész számok halmazának bevezetéséhez vezet: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Mivel a $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logikus, hogy a korábban bevezetett $+$ és $\cdot$ műveletek és a $ 1 reláció. $0+a=a+0=a$ létezik egy semleges elem a kiegészítésekhez
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $-a$ ellentétes szám van $a$-hoz

5. Ingatlan:
5. ha $0\leq a$ és $0\leq b$, akkor $0\leq a\cdot b$

A $\mathbb(Z) $ halmaz is zárva van a kivonás alatt, azaz $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionális számok $\mathbb(Q)$

Példák racionális számokra:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Tekintsük most az $a\cdot x=b$ alakú egyenleteket, ahol $a$ és $b$ ismert egész számok, $x$ pedig ismeretlen. A megoldáshoz be kell vezetni az osztási műveletet ($:$), és a megoldás $x=b:a$, azaz $x=\frac(b)(a)$ lesz. Ismét felmerül a probléma, hogy a $x$ nem mindig tartozik a $\mathbb(Z)$-hoz, ezért az egész számok halmazát ki kell bővíteni. Így bevezetjük a $\mathbb(Q)$ racionális számok halmazát $\frac(p)(q)$ elemekkel, ahol $p\in \mathbb(Z)$ és $q\in \mathbb(N) $. A $\mathbb(Z)$ halmaz egy részhalmaz, amelyben minden elem $q=1$, tehát $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ és az összeadás és szorzás műveletei is érvényesek erre a halmazra a következő szabályokhoz, amelyek megőrzik az összes fenti tulajdonságot a $\mathbb(Q)$ halmazon is:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

A felosztást így kell beírni:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

A $\mathbb(Q)$ halmazon az $a\cdot x=b$ egyenletnek egyedi megoldása van minden $a\neq 0$-ra (nincs definiálva nullával való osztás). Ez azt jelenti, hogy van egy inverz $\frac(1)(a)$ vagy $a^(-1)$ elem:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

A $\mathbb(Q)$ halmaz sorrendje a következő módon bővíthető:
$\frac(p_1)(q_1)

A $\mathbb(Q)$ halmaznak van egy fontos tulajdonsága: bármely két racionális szám között végtelenül sok más racionális szám található, ezért nincs két szomszédos racionális szám, ellentétben a természetes és egész számok halmazával.

Irracionális számok $\mathbb(I)$

Példák irracionális számokra:
$\sqrt(2) \kb. 1,41422135...$
$\pi \kb. 3,1415926535...$

Mivel bármely két racionális szám között végtelenül sok más racionális szám van, könnyen levonható téves következtetés, hogy a racionális számok halmaza olyan sűrű, hogy nem szükséges tovább bővíteni. Még Pythagoras is elkövetett egyszer ilyen hibát. Kortársai azonban már cáfolták ezt a következtetést, amikor a $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) egyenlet megoldásait tanulmányozták a racionális számok halmazán. Egy ilyen egyenlet megoldásához be kell vezetni a négyzetgyök fogalmát, majd ennek az egyenletnek a megoldása $x=\sqrt(2)$ alakú. A $x^2=a$ típusú egyenletnek, ahol $a$ egy ismert racionális szám és $x$ egy ismeretlen, nem mindig van megoldása a racionális számok halmazára, és ismét szükség van a készlet bővítéséhez. Irracionális számok halmaza keletkezik, és ehhez a halmazhoz olyan számok tartoznak, mint a $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$....

Valós számok $\mathbb(R)$

A racionális és irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. Mivel a $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, ismét logikus azt feltételezni, hogy a bevezetett aritmetikai műveletek és relációk megtartják tulajdonságaikat az új halmazon. Ennek formális bizonyítása nagyon nehéz, ezért a valós számok halmazán az aritmetikai műveletek és relációk fent említett tulajdonságait axiómaként vezetjük be. Az algebrában egy ilyen objektumot mezőnek nevezünk, így a valós számok halmazát rendezett mezőnek mondjuk.

Ahhoz, hogy a valós számok halmazának meghatározása teljes legyen, be kell vezetni egy további axiómát, amely megkülönbözteti a $\mathbb(Q)$ és $\mathbb(R)$ halmazokat. Tegyük fel, hogy $S$ a valós számok halmazának nem üres részhalmaza. A $b\in \mathbb(R)$ elemet a $S$ felső korlátjának nevezzük, ha $\forall x\in S$ teljesíti a $x\leq b$ követelményt. Ekkor a $S$ halmazt felülről korlátosnak mondjuk. A $S$ halmaz legkisebb felső határát felső értéknek nevezzük, és $\sup S$ jelöléssel jelöljük. Az alsó korlát, az alatta határolt halmaz és az infinum $\inf S$ fogalma hasonlóképpen kerül bevezetésre. Most a hiányzó axióma a következőképpen van megfogalmazva:

A valós számok halmazának bármely nem üres és felülről korlátos részhalmazának van felsőbbsége.
Az is bebizonyítható, hogy a valós számok fent definiált mezője egyedi.

Komplex számok$\mathbb(C)$

Példák komplex számokra:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ ahol $i = \sqrt(-1)$ vagy $i^2 = -1$

A komplex számok halmaza minden rendezett valós számpár, azaz $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, amelyeken az összeadás és a A szorzást a következőképpen határozzuk meg:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Számos módja van a komplex számok írásának, ezek közül a leggyakoribb a $z=a+ib$, ahol $(a,b)$ egy valós számpár, a $i=(0,1)$ szám pedig képzeletbeli egységnek nevezzük.

Könnyen kimutatható, hogy $i^2=-1$. A $\mathbb(R)$ halmaznak a $\mathbb(C)$ halmazra való kiterjesztése lehetővé teszi a negatív számok négyzetgyökének meghatározását, ami a komplex számok halmazának bevezetését indokolta. Az is könnyen kimutatható, hogy a $\mathbb(C)$ halmaznak a $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ egy részhalmaza mindennek megfelel a valós számok axiómái, így $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ vagy $R\subset\mathbb(C)$.

A $\mathbb(C)$ halmaz algebrai szerkezete az összeadás és szorzás műveletei tekintetében a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. összeadás és szorzás kommutativitása
2. összeadás és szorzás asszociativitása
3. $0+i0$ - semleges elem az összeadáshoz
4. $1+i0$ - semleges elem a szorzáshoz
5. a szorzás az összeadáshoz képest disztributív
6. Egyetlen inverz elem van az összeadáshoz és a szorzáshoz is.

Irracionális szám definíciója

Az irracionális számok azok a számok, amelyek decimális jelöléssel végtelen nem periodikus tizedes törtek.

Így például a természetes számok négyzetgyökének felvételével kapott számok irracionálisak, és nem természetes számok négyzetei. De nem minden irracionális számot kapunk négyzetgyök kinyerésével, mert az osztással kapott "pi" szám is irracionális, és nem valószínű, hogy megkapja, ha egy természetes számból próbálja kivonni a négyzetgyököt.

Irracionális számok tulajdonságai

A végtelen tizedes törtben írt számokkal ellentétben csak az irracionális számokat írjuk nem periodikus végtelen tizedes törtben.
Két nemnegatív irracionális szám összege végül racionális szám lehet.
Az irracionális számok olyan Dedekind-szakaszokat határoznak meg a racionális számok halmazában, amelyek alsó osztályában nincs legnagyobb szám, a felsőben pedig nincs kisebb.
Bármely valódi transzcendentális szám irracionális.
Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális.
Az irracionális számok halmaza a vonalon sűrűn van összerakva, és bármelyik két szám között van egy irracionális szám.
Az irracionális számok halmaza végtelen, megszámlálhatatlan és a 2. kategória halmaza.
Ha bármilyen aritmetikai műveletet végzünk racionális számokon, kivéve a 0-val való osztást, az eredménye racionális szám lesz.
Ha racionális számot adunk egy irracionális számhoz, az eredmény mindig irracionális szám lesz.
Irracionális számok összeadásakor racionális számot kaphatunk.
Az irracionális számok halmaza nem páros.

A számok nem irracionálisak

Néha meglehetősen nehéz megválaszolni azt a kérdést, hogy egy szám irracionális-e, különösen olyan esetekben, amikor a szám tizedes tört vagy numerikus kifejezés, gyök vagy logaritmus formájában van.

Ezért nem lesz felesleges tudni, hogy mely számok nem irracionálisak. Ha követjük az irracionális számok definícióját, akkor már tudjuk, hogy a racionális számok nem lehetnek irracionálisak.

Az irracionális számok nem:

Először is minden természetes szám;
Másodszor, egész számok;
Harmadszor: közönséges törtek;
Negyedszer, különböző vegyes számok;
Ötödször, ezek végtelen periodikus tizedes törtek.

A fentieken kívül a racionális számok bármely kombinációja, amelyet számtani műveletek előjelei hajtanak végre, például +, -, , :, nem lehet irracionális szám, mivel ebben az esetben két racionális szám eredménye is racionális szám legyen.

Most nézzük meg, hogy melyik szám irracionális:

Tudsz arról, hogy létezik egy rajongói klub, ahol ennek a titokzatos matematikai jelenségnek a rajongói új információkat keresnek Piről, és megpróbálják megfejteni a rejtélyét? Bárki, aki fejből tud bizonyos számú Pi-számot a tizedesvessző után, tagja lehet ennek a klubnak;

Tudtad, hogy Németországban az UNESCO védelme alatt áll a Castadel Monte palota, melynek arányainak köszönhetően ki lehet számítani a Pi-t. Frigyes király egy egész palotát szentelt ennek a számnak.

Kiderült, hogy megpróbálták felhasználni a Pi számot a Bábel-torony építésekor. De nagy sajnálatunkra ez a projekt összeomlásához vezetett, mivel akkoriban a Pi értékének pontos kiszámítását nem vizsgálták kellőképpen.

Kate Bush énekesnő új korongján felvett egy „Pi” című dalt, amely százhuszonnégy számot szólaltat meg a híres 3, 141 számsorozatból ... ..

Maga az irracionális szám fogalma úgy van elrendezve, hogy a „racionálisnak lenni” tulajdonság tagadásával definiálható, így az ellentmondásos bizonyítás itt a legtermészetesebb. Lehetséges azonban a következő érvelés.

Miben különböznek az alapvetően racionális számok az irracionális számoktól? Mindkettő tetszőleges pontossággal közelíthető racionális számokkal, de a racionális számoknál létezik "nulla" pontosságú közelítés (maga a szám), de az irracionális számok esetében ez már nem így van. Próbáljunk meg játszani vele.

Először is meg kell jegyeznünk egy ilyen egyszerű tényt. Legyen $%\alpha$%, $%\beta$% két pozitív szám, amelyek $%\varepsilon$% pontossággal közelítik egymást, azaz $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Mi történik, ha megfordítjuk a számokat? Hogyan változtatja meg ez a pontosságot? Könnyen belátható, hogy $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alfa\ béta),$$, amely szigorúan kevesebb lesz, mint $%\varepsilon$% $%\alpha\beta>1$% esetén. Ez az állítás független lemmának tekinthető.

Most tegyük $%x=\sqrt(2)$%, és legyen $%q\in(\mathbb Q)$% a $%x$% szám racionális közelítése $%\varepsilon$% pontossággal. Tudjuk, hogy $%x>1$%, és ami a $%q$% közelítést illeti, megköveteljük, hogy a $%q\ge1$% egyenlőtlenség teljesüljön. Minden $%1$%-nál kisebb szám esetén a közelítés pontossága rosszabb lesz, mint magának a $%1$%-nak, ezért ezeket nem vesszük figyelembe.

Adjunk hozzá $%1$% minden egyes $%x$%, $%q$% számhoz. Nyilvánvalóan a közelítés pontossága változatlan marad. Most megvan a $%\alpha=x+1$% és a $%\beta=q+1$%. Áttérve a reciprokokra és a "lemmát" alkalmazva arra a következtetésre jutunk, hogy a közelítésünk pontossága javult, és szigorúan kevesebb, mint $%\varepszilon$%. A szükséges $%\alpha\beta>1$% feltétel még margóval is teljesül: valójában tudjuk, hogy $%\alpha>2$% és $%\beta\ge2$%, amiből arra következtethetünk, hogy a pontosság legalább $%4$%-kal javul, azaz nem haladja meg a $%\varepsilon/4$%-ot.

És itt van a lényeg: feltétel szerint $%x^2=2$%, azaz $%x^2-1=1$%, ami azt jelenti, hogy $%(x+1)(x-1) =1$%, azaz a $%x+1$% és a $%x-1$% számok fordítottak egymáshoz. És ez azt jelenti, hogy a $%\alpha^(-1)=x-1$% a $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% (racionális) szám közelítése lesz a pontosság szigorúan kisebb, mint $%\varepsilon$%. Marad a $%1$% hozzáadása ezekhez a számokhoz, és kiderül, hogy a $%x$%, azaz a $%\sqrt(2)$%, egy új racionális közelítéssel egyenlő: $%\beta ^(- 1)+1$%, azaz $%(q+2)/(q+1)$%, "javított" pontossággal. Ezzel be is fejeződik a bizonyítás, mivel a racionális számoknak, mint fentebb megjegyeztük, van egy "abszolút pontos" racionális közelítésük $%\varepszilon=0$%-os pontossággal, ahol a pontosság elvileg nem növelhető. És ez sikerült is, ami a számunk irracionalitásáról beszél.

Valójában ez az érv azt mutatja meg, hogyan lehet konkrét racionális közelítéseket készíteni $%\sqrt(2)$% számára, egyre jobb pontossággal. Először a $%q=1$% közelítést kell alkalmaznunk, majd ugyanazt a helyettesítési képletet kell alkalmazni: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ez a folyamat a következőket eredményezi: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ és így tovább.

Példa:
A \(4\) egy racionális szám, mert felírható így: \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) azért is racionális, mert \(\frac(157304)(10000000)\) alakban írható fel;
\(0,333(3)…\) - és ez egy racionális szám: \(\frac(1)(3)\) ;
A \(\sqrt(\frac(3)(12))\) racionális, mivel \(\frac(1)(2)\) alakban ábrázolható. Valójában végrehajthatunk egy transzformációs láncot \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

irracionális szám olyan szám, amely nem írható fel törtként egész számlálóval és nevezővel.

Lehetetlen, mert az végtelen törtek, sőt nem periodikusak is. Ezért nincsenek olyan egész számok, amelyek egymással elosztva irracionális számot adnának.

Példa:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) egy irracionális szám;
\(π≈3,1415926… \) irracionális szám;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) egy irracionális szám.

Példa (Feladat az OGE-től). Melyik kifejezés értéke racionális szám?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Megoldás:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) szintén lehetetlen egy számot egész számokkal törtként ábrázolni , ezért a szám irracionális.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nem maradt gyök, a szám könnyen ábrázolható törtként, például \(\frac(-5)(1)\) , tehát racionális.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - a gyökér nem kinyerhető - a szám irracionális.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) is irracionális.