Korlátozza a matematikai elemzést. Számítsa ki a függvénykorlátokat online

Határkeresési feladatok megoldása Ha a határértékek megállapításával kapcsolatos feladatokat old meg, emlékezzen néhány határértékre, hogy ne számítsa ki őket minden alkalommal. Ezeket az ismert határokat kombinálva a 4. §-ban megjelölt tulajdonságok felhasználásával új határértékeket találunk. Az egyszerűség kedvéért bemutatjuk a leggyakrabban előforduló határértékeket: Határértékek 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), ha f (x) folytonos x a Ha ismert, hogy a függvény folytonos, akkor a határérték keresése helyett a függvény értékét számítjuk ki. Példa 1. Keresse meg a lim-et (x*-6l:+ 8). Mivel a többtagú X->2 tagfüggvény folytonos, ezért lim (x*-6x4-8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 2. példa. lim -G. . Először megkeressük a nevező határát: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nem egyenlő X-Y1 nullával, ami azt jelenti, hogy alkalmazhatjuk a 4. tulajdonság 4. pontját, majd az x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. az X X nevező nullával egyenlő, ezért a 4. § 4. tulajdonsága nem alkalmazható. Mivel a számláló állandó szám, és a nevező [x2x) -> -0 x - - 1 esetén, akkor a teljes tört korlátlanul növekszik abszolút érték, azaz lim " 1 X - * - - 1 x* + x Példa 4. Keresse meg lim\-ll*"!"" "A nevező határa nulla: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, tehát X tulajdonság 4 4. § nem alkalmazható. De a számláló határértéke is egyenlő nullával: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Tehát a számláló és a nevező határértéke egyidejűleg nulla. A 2-es szám azonban mind a számláló, mind a nevező gyöke, így a tört x-2 különbséggel csökkenthető (Bezout tétele szerint). Valójában x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" tehát xr- - f- 6 g x-3 -1 1 5. példa. Keresse meg a lim xn értéket (n egész szám, pozitív). X -val Van xn = X* X . . X, n-szer Mivel minden tényező korlátlanul nő, a szorzat is korlátlanul nő, azaz lim xn = oo. x oo 6. példa: lim xn(n egész szám, pozitív). X -> - CO Van xn = x x... x. Mivel minden tényező abszolút értékben nő, miközben negatív marad, így páros fok esetén a szorzat korlátlanul nő, miközben pozitív marad, azaz lim *n = + oo (páros n esetén). *-* -о Páratlan fok esetén a szorzat abszolút értéke nő, de negatív marad, azaz lim xn = - oo (n páratlan esetén). p -- 00 7. példa Keresse meg a lim értéket . x x-*- co * Ha m>pu akkor felírhatjuk: m = n + kt ahol k>0. Ezért xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu A 6. példához jutottunk. Ha ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Itt a számláló állandó marad, a nevező pedig abszolút értékben nő, így lim -ь = 0. X - *oo X* Javasoljuk, hogy emlékezzen a példa eredményére a következő formában: A hatványfüggvény minél gyorsabban nő, minél nagyobb a kitevő. $хв_Зхг + 7 8. példa: Keresse meg a lim g L -г-= értéket Ebben a példában x-*® «J* "Г bХ -ох-о és a számláló és a nevező korlátlanul növekszik. Osszuk el a számlálót és a nevezőt is. nevezője x legnagyobb hatványával, azaz xb-n, akkor 3 7_ Példa 9. Keresse meg a lira-t... Transzformációkat végrehajtva kapjuk a lírát... ^ = lim X CO + 3 7 3 Mivel lim -5 = 0, lim - , = 0 , akkor az rad-*® X X-+-CD X nevező határértéke nulla, míg a számláló határértéke 1. Ebből következően a teljes tört korlát nélkül növekszik, azaz t 7x hm X-+ yu Példa 10. lim keresése Számítsuk ki a nevező S határértékét, ne feledjük, hogy a cos*-függvény folytonos: líra (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Ekkor x->- S lim (l-fsin*) 15. példa: lim keresése *<*-e>2 és lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; mivel (Λ;-a)2 mindig nem negatívan és korlát nélkül növekszik x-szel, akkor x - ±oo esetén az új z-*oc változó. Ezért qt £-t kapunk<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (lásd az 5. §-hoz fűzött megjegyzést). g -*■ co Hasonlóképpen lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, mivel x ± oo g m - (x- a)z korlátlanul csökken, mint x ->±oo (lásd a §-hoz fűzött megjegyzést

Továbbra is elemezzük a határok elméletére adott kész válaszokat, és ma csak arra az esetre koncentrálunk, amikor egy függvény változója vagy egy sorozatban lévő szám a végtelenbe hajlik. A végtelenbe hajló változó határértékének kiszámítására már korábban is kaptunk utasítást, itt csak az egyedi esetekre térünk ki, amelyek nem mindenki számára nyilvánvalóak és egyszerűek.

35. példa: Van egy tört formájú sorozatunk, ahol a számláló és a nevező gyökfüggvényeket tartalmaz.
Meg kell találnunk azt a határt, amikor a szám a végtelenbe hajlik.
Itt nem kell felfedni a számláló irracionalitását, csak alaposan elemezzük a gyökereket, és találjuk meg, hol található a szám magasabb hatványa.
Az elsőben a számláló gyöke n^4 szorzó, azaz n^2 kivehető a zárójelekből.
Tegyük ugyanezt a nevezővel is.
Ezután értékeljük a radikális kifejezések jelentését, amikor a határértékre lépünk.

Nullával osztást kaptunk, ami az iskolai tanfolyamon hibás, de a határig való átmenetben elfogadható.
Csak olyan módosítással, amely „megbecsüli, merre tart a függvény”.
Ezért nem minden tanár tudja helyesen értelmezni a fenti jelölést, bár megérti, hogy a kapott eredmény nem fog változni.
Nézzük a választ az elmélet szerint a tanárok követelményei szerint összeállítva.
Az egyszerűsítés kedvéért csak a fő kiegészítőket értékeljük a gyökér alatt

Továbbá a számlálóban a hatvány egyenlő 2-vel, a nevezőben 2/3, ezért a számláló gyorsabban nő, ami azt jelenti, hogy a határ a végtelenbe hajlik.
Elője n^2, n^(2/3) tényezőitől függ, tehát pozitív.

36. példa Tekintsünk egy példát az exponenciális függvények felosztásának korlátjára. Kevés gyakorlati példa van erre, így nem minden diák látja könnyen, hogyan kell feltárni a felmerülő bizonytalanságokat.
A számláló és a nevező maximális tényezője 8^n, és ezzel egyszerűsítjük

Ezután értékeljük az egyes kifejezések hozzájárulását
A 3/8 kifejezések nullára hajlanak, ahogy a változó a végtelenbe megy, mivel a 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

37. példa A faktoriális sorozat határát úgy tárjuk fel, hogy a faktoriálist felírjuk a számláló és a nevező legnagyobb közös tényezőjére.
Ezután csökkentjük, és a határértéket a számlálóban és a nevezőben lévő számmutatók értéke alapján értékeljük.
Példánkban a nevező gyorsabban növekszik, így a határ nulla.

Itt a következőt használjuk

faktoriális tulajdon.

38. példa A L'Hopital-szabályok alkalmazása nélkül összehasonlítjuk a változó maximális mutatóit a tört számlálójában és nevezőjében.
Mivel a nevező tartalmazza a 4>2 változó legmagasabb kitevőjét, gyorsabban növekszik.
Ebből arra következtetünk, hogy a függvény határértéke nullára hajlik.

39. példa Feltárjuk az infinity osztva a végtelen alak sajátosságait, ha a tört számlálójából és nevezőjéből eltávolítjuk az x^4-et.
A határértékre való átlépés eredményeként a végtelent kapjuk.

40. példa Van polinomok felosztása, meg kell határoznunk a határt, mivel a változó a végtelen felé hajlik.
A számlálóban és a nevezőben szereplő változó legmagasabb foka 3, ami azt jelenti, hogy a határ létezik, és egyenlő az aktuálisval.
Vegyük ki az x^3-at, és hajtsuk végre az áthaladást a határig

41. példa: Van egy szingularitásunk a végtelen hatványáig.
Ez azt jelenti, hogy a zárójelben lévő kifejezést és magát a mutatót a második fontos határ alá kell vinni.
Írjuk fel a számlálót, hogy kiemeljük a nevezővel azonos kifejezést benne.
Ezután egy olyan kifejezésre lépünk, amely egy plusz egy kifejezést tartalmaz.
A fokozatot az 1/(term) tényezővel kell megkülönböztetni.
Így megkapjuk a törtfüggvény határértékének hatványának kitevőjét.

A szingularitás értékeléséhez a második határértéket használtuk:

42. példa: Van egy szingularitásunk a végtelen hatványáig.
Ennek feltárásához a függvényt a második figyelemre méltó határig kell csökkenteni.
Ennek módját a következő képlet mutatja be részletesen

Nagyon sok hasonló problémát találhatsz. Lényege, hogy a kitevőben megkapjuk a kívánt fokszámot, és ez egyenlő a zárójelben lévő tag inverz értékével egynél.
Ezzel a módszerrel megkapjuk a kitevőt. A további számítás a kitevő fokhatárának kiszámítására redukálódik.
Itt az exponenciális függvény a végtelenbe hajlik, mivel az érték nagyobb, mint egy e=2,72>1.

43. példa A tört nevezőjében van egy végtelen mínusz végtelen típusú bizonytalanság, ami valójában egyenlő a nullával való osztással.
A gyöktől való megszabaduláshoz szorozunk a konjugált kifejezéssel, majd a négyzetek különbségének képletével írjuk át a nevezőt.
A végtelen bizonytalanságát elosztjuk a végtelennel, így a változót a legnagyobb mértékben kivesszük és vele redukáljuk.
Ezután értékeljük az egyes tagok hozzájárulását, és megkeressük a függvény határát a végtelenben

Állandó szám A hívott határ sorozatok(x n ), ha bármely tetszőlegesen kis pozitív számraε > 0 van egy N szám, amelynek minden értéke megvan x n, amelyre n>N, kielégíti az egyenlőtlenséget

|x n - a|< ε. (6.1)

Írd le a következőképpen: vagy x n → a.

A (6.1) egyenlőtlenség ekvivalens a kettős egyenlőtlenséggel

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ami azt jelenti, hogy a pontok x n, valamilyen n>N számból kiindulva, az intervallumon belül (a-ε, a+ ε ), azaz essen bármilyen kicsiε -pont szomszédsága A.

Egy határértékkel rendelkező sorozatot hívunk konvergens, másképp - divergens.

A függvénykorlát fogalma a sorozatkorlát fogalmának általánosítása, mivel a sorozat határértéke egy egész argumentum x n = f(n) függvényének határértékének tekinthető. n.

Legyen adott az f(x) függvény és legyen a - határpont ennek a függvénynek a definíciós tartománya D(f), azaz. olyan pont, amelynek bármely szomszédsága a D(f) halmaz azon pontjait tartalmazza a. Pont a tartozhat vagy nem a D(f) halmazba.

1. definíció.Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha bármely (x n ) argumentumérték sorozathoz, amely arra hajlik A, a megfelelő sorozatok (f(x n)) azonos A határértékkel rendelkeznek.

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határértékének meghatározásával Heine szerint, vagy " sorozatnyelven”.

2. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha egy tetszőleges, tetszőlegesen kis ε pozitív szám megadásával, találhatunk ilyen δ-t>0 (ε-től függően), ami mindenkinek szól x, fekveszám ε-környékei A, azaz Mert x, kielégítve az egyenlőtlenséget
0 < x-a< ε , az f(x) függvény értékei benne lesznekAz A szám ε-szomszédsága, azaz.|f(x)-A|< ε.

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határának meghatározásával Cauchy szerint, vagy „az ε - δ nyelven “.

Az 1. és 2. definíció egyenértékű. Ha az f(x) függvény x →a rendelkezik határ, egyenlő A-val, ezt a formában írjuk

. (6.3)

Abban az esetben, ha az (f(x n)) sorozat korlátlanul nő (vagy csökken) bármely közelítési módszernél x a határodig A, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény rendelkezik végtelen határ,és írd be a következő formában:

Olyan változót (azaz sorozatot vagy függvényt), amelynek határértéke nulla, hívunk végtelenül kicsi.

Olyan változót hívunk, amelynek határértéke egyenlő a végtelennel végtelenül nagy.

A gyakorlatban a határérték megtalálásához a következő tételeket használjuk.

1. tétel . Ha minden határ létezik

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Megjegyzés. Olyan kifejezések, mint 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - bizonytalanok például két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség aránya, és az ilyen típusú határ megtalálását „bizonytalanságok feltárásának” nevezzük.

2. tétel. (6.7)

azok. konstans kitevővel a hatvány alapján lehet a határig menni, különösen, ;

(6.8)

(6.9)

3. tétel.

(6.10)

(6.11)

Ahol e » 2,7 - természetes logaritmus alapja. A (6.10) és (6.11) képleteket elsőnek nevezzük csodálatos határés a második figyelemre méltó határ.

A (6.11) képlet következményeit a gyakorlatban is alkalmazzák:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

különösen a határérték,

Ha x → a és egyben x > a, majd írjon x-et→a + 0. Ha konkrétan a = 0, akkor a 0+0 szimbólum helyett +0-t írjon. Hasonlóképpen, ha x→a és egyben x a-0. Számok és ennek megfelelően hívják jobb határÉs bal határ funkciókat f(x) azon a ponton A. Ahhoz, hogy az f(x) függvénynek legyen határa x→a szükséges és elégséges ahhoz, hogy . Meghívjuk az f(x) függvényt folyamatos azon a ponton x 0 ha limit

. (6.15)

A (6.15) feltétel a következőképpen írható át:

azaz a függvény előjele alatti határértékre való áthaladás akkor lehetséges, ha az adott pontban folytonos.

Ha a (6.15) egyenlőség sérül, akkor ezt mondjuk nál nél x = x o funkció f(x) Megvan rés Tekintsük az y = 1/x függvényt. Ennek a függvénynek a definíciós tartománya a halmaz R, kivéve x = 0. Az x = 0 pont a D(f) halmaz határpontja, hiszen annak bármely szomszédságában, pl. bármely, a 0 pontot tartalmazó nyitott intervallumban vannak D(f) pontok, de ez maga nem tartozik ebbe a halmazba. Az f(x o)= f(0) érték nincs definiálva, így az x o = 0 pontban a függvénynek megszakadása van.

Meghívjuk az f(x) függvényt folyamatos a jobb oldalon a ponton x o ha a határ

És folyamatos a bal oldalon a ponton x o, ha a határ

Egy függvény folytonossága egy pontban xo egyenlő a folytonosságával ezen a ponton jobbra és balra egyaránt.

Annak érdekében, hogy a függvény folytonos legyen a pontban xo, például a jobb oldalon először is szükség van arra, hogy legyen véges határérték, másodszor, hogy ez a határ egyenlő legyen f(x o-val). Ezért, ha e két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a függvénynek megszakadása lesz.

1. Ha a határ létezik, és nem egyenlő f(x o-val), akkor ezt mondják funkció f(x) azon a ponton x o rendelkezik az első típusú szakadás, vagy Ugrás.

2. Ha a határ az+∞ vagy -∞ vagy nem létezik, akkor azt mondják, hogy in pont xo a függvénynek megszakadása van második fajta.

Például y függvény = cot x x x→ +0 határértéke +∞, ami azt jelenti, hogy az x=0 pontban van egy második típusú szakadás. y = E(x) függvény (egész része x) a teljes abszcisszákkal rendelkező pontokon az első típusú megszakadások vagy ugrások vannak.

Olyan függvényt hívunk, amely az intervallum minden pontjában folytonos folyamatos V . A folytonos függvényt tömör görbe ábrázolja.

Valamely mennyiség folyamatos növekedésével kapcsolatos számos probléma a második figyelemre méltó határhoz vezet. Ilyen feladatok például: a kamatos kamat törvénye szerinti betétek növekedése, az ország népességének növekedése, a radioaktív anyagok bomlása, a baktériumok elszaporodása stb.

Mérlegeljük példa Ya. I. Perelman, amely a szám értelmezését adja e a kamatos kamat problémájában. Szám e van egy határ . A takarékpénztárakban évente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Ha gyakrabban történik a csatlakozás, akkor gyorsabban növekszik a tőke, hiszen nagyobb összeg vesz részt a kamatképzésben. Vegyünk egy tisztán elméleti, nagyon leegyszerűsített példát. Legyen 100 deniert elhelyezve a bankban. egységek évi 100% alapján. Ha a kamatpénz csak egy év múlva kerül az állótőkéhez, akkor erre az időszakra 100 den. egységek 200 pénzegységre fog alakulni. Most pedig lássuk, mivé lesz 100 denize. egységek, ha félévente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Hat hónap után 100 den. egységek 100-ra nő× 1,5 = 150, és további hat hónap múlva - 150-nél× 1,5 = 225 (den. egység). Ha az év 1/3-án történik a csatlakozás, akkor egy év múlva 100 den. egységek 100 lesz× (1 +1/3) 3" 237 (den. egység). A kamatpénz hozzáadásának feltételeit 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Aztán 100 denből. egységek egy év múlva ez lesz:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. egység),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. egység),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. egység).

A kamatfelszámítás feltételeinek korlátlan csökkentésével a felhalmozott tőke nem növekszik a végtelenségig, hanem közelít egy körülbelül 271-nek megfelelő határt. Az évi 100%-os letétbe helyezett tőke nem nőhet 2,71-szeresnél nagyobb mértékben, még akkor sem, ha a felhalmozott kamat. minden másodpercben hozzáadták a fővároshoz, mert a határ

Példa 3.1.Egy számsorozat határértékének definíciójával bizonyítsuk be, hogy az x n =(n-1)/n sorozatnak 1-gyel egyenlő határa van.

Megoldás.Ezt bizonyítanunk kell, bármi is legyenε > 0, függetlenül attól, hogy mit veszünk, van egy természetes N szám, amelyre minden n N-re érvényes az egyenlőtlenség|x n -1|< ε.

Vegyünk bármely e > 0-t. Mivel ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, akkor N megtalálásához elegendő az 1/n egyenlőtlenséget megoldani< e. Ezért n>1/e és ezért N felfogható 1/ egész részének e , N = E(1/e ). Ezzel bebizonyítottuk, hogy a határ .

3. példa.2 . Keresse meg egy közös tag által adott sorozat határát .

Megoldás.Alkalmazzuk az összegtétel határértékét, és keressük meg az egyes tagok határértékét. Amikor n→ ∞ az egyes tagok számlálója és nevezője a végtelenbe hajlik, és nem tudjuk közvetlenül alkalmazni a hányadoshatártételt. Ezért először átalakítjuk x n, az első tag számlálóját és nevezőjét osztva ezzel n 2, a második pedig bekapcsolva n. Ezután a hányados határát és az összegtétel határát alkalmazva azt kapjuk, hogy:

Példa 3.3. . Megtalálja .

Megoldás. .

Itt a fokhatártételt használtuk: egy fok határa egyenlő az alap határának fokával.

3. példa.4 . Megtalálja ( ).

Megoldás.A különbség határtételének alkalmazása lehetetlen, mivel bizonytalanságunk van az alakot illetően ∞-∞ . Alakítsuk át az általános képletet:

3. példa.5 . Az f(x)=2 1/x függvény adott. Bizonyítsd be, hogy nincs határ.

Megoldás.Használjuk egy függvény határértékének 1. definícióját egy sorozaton keresztül. Vegyünk egy sorozatot ( x n ), amely 0-hoz konvergál, azaz. Mutassuk meg, hogy az f(x n)= érték eltérően viselkedik a különböző sorozatoknál. Legyen x n = 1/n. Nyilván akkor a határ Most válasszunk mint x n egy közös tagú sorozat x n = -1/n, amely szintén nullára hajlik. Ezért nincs határ.

3. példa.6 . Bizonyítsd be, hogy nincs határ.

Megoldás.Legyen x 1 , x 2 ,..., x n ,... sorozat, amelyre
. Hogyan viselkedik az (f(x n)) = (sin x n) sorozat különböző x n → ∞ esetén

Ha x n = p n, akkor sin x n = sin p n = 0 mindenre nés a határ Ha
x n =2 p n+ p /2, akkor sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 mindenre nés ezért a határ. Tehát nem létezik.

Widget a határértékek online kiszámításához

A felső ablakban a sin(x)/x helyett írjuk be azt a függvényt, amelynek határértékét szeretnénk megtalálni. Az alsó ablakban írja be azt a számot, amelyre x hajlik, majd kattintson a Számítás gombra, és kapja meg a kívánt határt. Ha pedig a találati ablakban rákattint a jobb felső sarokban a Lépések megjelenítése elemre, akkor részletes megoldást kap.

A függvények bevitelének szabályai: sqrt(x) - négyzetgyök, cbrt(x) - kockagyök, exp(x) - kitevő, ln(x) - természetes logaritmus, sin(x) - szinusz, cos(x) - koszinusz, tan (x) - érintő, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arcszinusz, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangens. Jelek: * szorzás, / osztás, ^ hatványozás, helyette végtelenség Végtelenség. Példa: a függvényt sqrt(tan(x/2)) formában kell megadni.

A fenti cikkből megtudhatod, hogy mi a limit és mivel eszik - ez NAGYON fontos. Miért? Lehet, hogy nem érti, mik a determinánsok, és sikeresen megoldja őket; előfordulhat, hogy egyáltalán nem érti, mi az a származék, és „A”-val találja meg őket. De ha nem érti, mi a határ, akkor a gyakorlati feladatok megoldása nehéz lesz. Szintén jó ötlet lenne megismerkedni a mintamegoldásokkal és a tervezési javaslataimmal. Minden információ egyszerű és hozzáférhető formában jelenik meg.

Ennek a leckének a céljaira a következő tananyagokra lesz szükségünk: Csodálatos határokÉs Trigonometrikus képletek. Az oldalon megtalálhatóak. A legjobb, ha kinyomtatja a kézikönyveket - ez sokkal kényelmesebb, és emellett gyakran offline módban kell hivatkoznia rájuk.

Mi olyan különleges a figyelemre méltó korlátokban? Ezekben a határértékekben az a figyelemreméltó, hogy a híres matematikusok legnagyobb elméi bizonyították őket, és a hálás leszármazottaknak nem kell szörnyű korlátoktól szenvedniük trigonometrikus függvények, logaritmusok, hatványok halomával. Vagyis a határok megtalálásakor elméletileg igazolt, kész eredményeket fogunk használni.

Számos csodálatos korlát létezik, de a gyakorlatban az esetek 95%-ában a részidős hallgatóknak két csodálatos korlátja van: Az első csodálatos határ, Második csodálatos határ. Meg kell jegyezni, hogy ezek történelmileg kialakult nevek, és amikor például „az első figyelemre méltó határról” beszélnek, akkor ez egy nagyon konkrét dolgot ért, és nem valami, a plafonról vett véletlenszerű határt.

Az első csodálatos határ

Tekintsük a következő határértéket: (a „ő” natív betű helyett a görög „alfa” betűt fogom használni, ez az anyag bemutatása szempontjából kényelmesebb).

A határok megtalálására vonatkozó szabályunk szerint (lásd a cikket Korlátok. Példák megoldásokra) megpróbálunk nullát behelyettesíteni a függvénybe: a számlálóban nullát kapunk (a nulla szinusza nulla), a nevezőben pedig nyilván nulla is van. Így a forma bizonytalanságával állunk szemben, amit szerencsére nem kell nyilvánosságra hozni. A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy:

Ezt a matematikai tényt ún Az első csodálatos határ. Nem fogok elemző bizonyítást adni a határnak, de megvizsgáljuk annak geometriai jelentését a leckében. végtelenül kicsi függvények.

A gyakorlati feladatokban gyakran másként is elrendezhetők a funkciók, ez nem változtat semmit:

- ugyanaz az első csodálatos határ.

De a számlálót és a nevezőt nem tudod magad átrendezni! Ha az alakban határértéket adunk meg, akkor azt ugyanabban a formában kell megoldani anélkül, hogy bármit átrendeznénk.

A gyakorlatban nem csak változó, hanem elemi függvény vagy komplex függvény is működhet paraméterként. Az egyetlen fontos dolog az, hogy nullára hajlamos.

Példák:
, , ,

Itt , , , , és minden rendben van - az első csodálatos határ érvényes.

De a következő bejegyzés eretnekség:

Miért? Mivel a polinom nem nullára, hanem ötre hajlik.

Egyébként egy gyors kérdés: mi a határ? ? A válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban nem minden olyan zökkenőmentes, szinte soha nem ajánlják fel egy diáknak, hogy oldjon meg egy ingyenes limitet és kapjon könnyű bérletet. Hááát... írom ezeket a sorokat, és eszembe jutott egy nagyon fontos gondolat - elvégre jobb, ha fejből emlékezünk a „szabad” matematikai definíciókra, képletekre, ez felbecsülhetetlen segítséget jelenthet a tesztben, amikor a kérdés „kettő” és „három” között kell dönteni, és a tanár úgy dönt, hogy feltesz egy egyszerű kérdést a tanulónak, vagy felajánl egy egyszerű példa megoldását („talán még tudja, mit?!”).

Térjünk át gyakorlati példákra:

1. példa

Találd meg a határt

Ha szinust észlelünk a határban, akkor ennek azonnal el kell gondolkodnia az első figyelemreméltó határérték alkalmazásának lehetőségéről.

Először megpróbáljuk behelyettesíteni a 0-t a határjel alatti kifejezésbe (ezt gondolatban vagy piszkozatban tesszük):

Tehát bizonytalan a forma feltétlenül jelezze döntés meghozatalában. A határjel alatti kifejezés hasonló az első csodálatos határhoz, de ez nem pontosan az, hanem a szinusz alatt van, hanem a nevezőben.

Ilyenkor az első figyelemre méltó határt magunknak kell megszerveznünk, mesterséges technikával. A gondolatmenet a következő lehetne: „a szinusz alatt van, ami azt jelenti, hogy a nevezőbe is be kell jutnunk.”
És ez nagyon egyszerűen történik:

Vagyis a nevezőt ebben az esetben mesterségesen megszorozzuk 7-tel, és elosztjuk ugyanazzal a héttel. Most a felvételünk ismerős formát öltött.
Ha a feladatot kézzel készítjük, célszerű egy egyszerű ceruzával megjelölni az első figyelemre méltó határt:

Mi történt? Valójában a bekarikázott kifejezésünk egységgé alakult, és eltűnt a műben:

Most már csak meg kell szabadulni a háromszintes töredéktől:

Aki elfelejtette a többszintű törtek egyszerűsítését, kérjük, frissítse a kézikönyvben található anyagot Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz .

Kész. Végső válasz:

Ha nem szeretne ceruzajeleket használni, akkor a megoldást így írhatja le:

“

Használjuk az első csodálatos határt

“

2. példa

Találd meg a határt

Ismét egy törtet és egy szinust látunk a határban. Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

Valóban van bennünk bizonytalanság, és ezért meg kell próbálnunk megszervezni az első csodálatos határt. A leckében Korlátok. Példák megoldásokra figyelembe vettük azt a szabályt, hogy ha bizonytalanságunk van, akkor a számlálót és a nevezőt faktorizálnunk kell. Itt ugyanarról van szó, a fokozatokat szorzatként (szorzóként) ábrázoljuk:

Az előző példához hasonlóan ceruzával körberajzoljuk a figyelemre méltó határértékeket (itt kettő van belőlük), és jelezzük, hogy ezek hajlamosak egységet alkotni:

Valójában kész a válasz:

A következő példákban nem fogok művészetet csinálni a Paintben, arra gondolok, hogyan kell helyesen elkészíteni a megoldást egy jegyzetfüzetben - már érted.

3. példa

Találd meg a határt

A határjel alatti kifejezésben nullát cserélünk:

Bizonytalanság merült fel, amelyet nyilvánosságra kell hozni. Ha van érintő a határértékben, akkor azt szinte mindig a jól ismert trigonometrikus képlet segítségével alakítják át szinuszra és koszinuszra (egyébként a kotangenssel is nagyjából ugyanezt teszik, lásd módszertani anyagot Forró trigonometrikus képletek Az oldalon Matematikai képletek, táblázatok és referenciaanyagok).

Ebben az esetben:

A nulla koszinusza egyenlő eggyel, és könnyű megszabadulni tőle (ne felejtsd el megjelölni, hogy egyre hajlamos):

Így ha a limitben a koszinusz SZORZÓ, akkor durván fogalmazva egységgé kell alakítani, ami eltűnik a szorzatban.

Itt minden egyszerűbbnek bizonyult, szorzások és osztások nélkül. Az első figyelemre méltó határ is eggyel változik, és eltűnik a termékben:

Ennek eredményeként a végtelent kapjuk, és ez megtörténik.

4. példa

Találd meg a határt

Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

A bizonytalanságot megkapjuk (a nulla koszinusza, mint emlékszünk, egyenlő eggyel)

A trigonometrikus képletet használjuk. Írd fel! Valamilyen oknál fogva nagyon gyakoriak az e képletet használó korlátok.

Vigyük át az állandó tényezőket a határ ikonon túlra:

Szervezzük meg az első csodálatos határt:

Itt csak egy figyelemre méltó határunk van, amely eggyé válik, és eltűnik a termékben:

Szabaduljunk meg a háromemeletes szerkezettől:

A limit valóban megoldott, jelezzük, hogy a maradék szinusz nullára hajlik:

5. példa

Találd meg a határt

Ez a példa bonyolultabb, próbálja meg kitalálni saját maga:

Egyes határok egy változó megváltoztatásával az 1. figyelemre méltó határig csökkenthetők, erről kicsit később olvashatsz a cikkben A határértékek megoldásának módszerei.

Második csodálatos határ

A matematikai elemzés elméletében bebizonyosodott, hogy:

Ezt a tényt ún második csodálatos határ.

Referencia: irracionális szám.

A paraméter nemcsak változó, hanem összetett függvény is lehet. Csak az a fontos, hogy a végtelenbe törekedjen.

6. példa

Találd meg a határt

Ha a határjel alatti kifejezés fokban van, ez az első jele annak, hogy meg kell próbálnia alkalmazni a második csodálatos határt.

De először, mint mindig, megpróbálunk egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a kifejezésbe, ennek elvét a leckében tárgyaljuk. Korlátok. Példák megoldásokra.

Könnyen észrevehető, hogy mikor fok alapja , kitevője pedig , azaz bizonytalan a forma:

Ez a bizonytalanság pontosan megmutatkozik a második figyelemre méltó határ segítségével. De, mint gyakran megtörténik, a második csodálatos határ nem egy ezüsttálcán fekszik, és mesterségesen kell megszervezni. A következőképpen érvelhet: ebben a példában a paraméter a , ami azt jelenti, hogy az indikátorban is rendszerezni kell. Ehhez az alapot hatványra emeljük, és hogy a kifejezés ne változzon, hatványra emeljük:

Ha a feladatot kézzel végezzük, ceruzával jelöljük:

Szinte minden készen van, az iszonyatos fokozatból szép levél lett:

Ebben az esetben magát a limit ikont mozgatjuk a jelzőre:

7. példa

Találd meg a határt

Figyelem! Ez a fajta korlátozás nagyon gyakran előfordul, kérjük, nagyon figyelmesen tanulmányozza ezt a példát.

Próbáljunk meg egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a határjel alatti kifejezésbe:

Az eredmény a bizonytalanság. De a második figyelemre méltó határ a forma bizonytalanságára vonatkozik. Mit kell tenni? Átalakítanunk kell a fokozat alapját. Így okoskodunk: a nevezőben van , ami azt jelenti, hogy a számlálóban is rendszereznünk kell.

A limitek kiszámításakor figyelembe kell venni az alábbi alapvető szabályokat:

1. A függvények összegének (különbségének) határa egyenlő a tagok határainak összegével (különbségével):

2. A függvények szorzatának határa egyenlő a tényezők határainak szorzatával:

3. Két függvény arányának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek arányával:

4. A konstans tényező a határjelen túl vehető:

5. Egy állandó határértéke megegyezik magával az állandóval:

6. Folyamatos funkcióknál a határ- és funkciószimbólumok felcserélhetők:

Egy függvény határértékének megtalálását úgy kell kezdeni, hogy az értéket behelyettesítjük a függvény kifejezésébe. Sőt, ha 0 vagy ¥ számértéket kapunk, akkor a kívánt határértéket megtaláltuk.

2.1. példa. Számítsa ki a határértéket.

Megoldás.

A , , , , , alakú kifejezéseket hívjuk bizonytalanságok.

Ha az alak bizonytalanságot kap, akkor a határ meghatározásához át kell alakítani a függvényt úgy, hogy felfedje ezt a bizonytalanságot.

Az alakbizonytalanságot általában akkor kapjuk meg, ha megadjuk két polinom arányának határát. Ebben az esetben a határérték kiszámításához ajánlatos a polinomokat faktorozni és közös tényezővel csökkenteni. Ez a szorzó a határértéken nulla x .

2.2. példa. Számítsa ki a határértéket.

Megoldás.

Behelyettesítve bizonytalanságot kapunk:

Számoljuk össze a számlálót és a nevezőt:

;

Csökkentsük egy közös tényezővel és kapjuk meg

Az alak bizonytalanságát akkor kapjuk, ha két polinom arányának határát adjuk meg. Ebben az esetben a kiszámításához ajánlatos mindkét polinomot elosztani x felsőfokon.

2.3. példa. Számítsa ki a határértéket.

Megoldás. A ∞ behelyettesítésekor az alak bizonytalanságát kapjuk, így a kifejezés összes tagját elosztjuk x 3.

Itt figyelembe veszik, hogy .

Gyököket tartalmazó függvény határértékeinek számításakor ajánlatos a függvényt a konjugáltjával megszorozni és elosztani.

2.4. példa. Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Amikor határértékeket számítanak ki az alak vagy (1) ∞ bizonytalanságának feltárására, gyakran az első és a második figyelemre méltó határértéket használják:

Valamely mennyiség folyamatos növekedésével kapcsolatos számos probléma a második figyelemre méltó határhoz vezet.

Tekintsük Ya. I. Perelman példáját, amely értelmezi a számot e a kamatos kamat problémájában. A takarékpénztárakban évente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Ha gyakrabban történik a csatlakozás, akkor gyorsabban növekszik a tőke, hiszen nagyobb összeg vesz részt a kamatképzésben. Vegyünk egy tisztán elméleti, nagyon leegyszerűsített példát.

Legyen 100 deniert elhelyezve a bankban. egységek évi 100% alapján. Ha a kamatpénz csak egy év múlva kerül az állótőkéhez, akkor erre az időszakra 100 den. egységek 200 pénzegységre fog alakulni.

Most pedig lássuk, mivé lesz 100 denize. egységek, ha félévente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Hat hónap után 100 den. egységek nő 100 × 1,5 = 150, és további hat hónap múlva - 150 × 1,5 = 225 (den. egység). Ha az év 1/3-án történik a csatlakozás, akkor egy év múlva 100 den. egységek 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. egység) lesz.

A kamatpénz hozzáadásának feltételeit 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Aztán 100 denből. egységek egy év múlva ez lesz:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. egység),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. egység),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. egység).

2.5. példa. Számítsa ki egy függvény határértékét

Megoldás.

2.6. példa. Számítsa ki egy függvény határértékét .

Megoldás. Behelyettesítve a bizonytalanságot kapjuk:

A trigonometrikus képlet segítségével a számlálót szorzattá alakítjuk:

Ennek eredményeként azt kapjuk

Itt a második figyelemre méltó határt vesszük figyelembe.

Példa 2.7. Számítsa ki egy függvény határértékét

Megoldás.

Az alak bizonytalanságának feltárásához használhatja a L'Hopital-szabályt, amely a következő tételen alapul.

Tétel. Két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányának határa megegyezik deriváltjaik arányának határával

Vegye figyelembe, hogy ez a szabály egymás után többször is alkalmazható.

Példa 2.8. megtalálja

Megoldás. Helyettesítéskor bizonytalan a forma . A L'Hopital szabályát alkalmazva azt kapjuk

A funkció folytonossága

A függvény fontos tulajdonsága a folytonosság.

Meghatározás. A funkció figyelembe van véve folyamatos, ha az argumentum értékének kismértékű változása a függvény értékének kismértékű változását vonja maga után.

Matematikailag ezt a következőképpen írják le: mikor

A és alatt a változók növekményét értjük, vagyis a következő és előző értékek különbségét: , (2.3. ábra)

2.3 ábra – Változók növekedése

A pontban folytonos függvény definíciójából az következik, hogy . Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy három feltétel teljesül:

Megoldás. A funkció miatt a lényeg megszakadásra gyanús, nézzük meg ezt és keressünk egyoldalú határokat

Ennélfogva, , azt jelenti - töréspont

Függvény származéka