Egy anyagi pont mozgásának pályája a sugárvektoron keresztül

Elfelejtve a matematikának ezt a részét, emlékezetem szerint egy anyagi pont mozgásegyenletei mindig is a mindannyiunk számára ismert függőséggel voltak ábrázolva. y(x), és a feladat szövegét elnézve kicsit megdöbbentem, amikor megláttam a vektorokat. Kiderült, hogy létezik egy anyagi pont pályájának ábrázolása a segítségével sugár-vektor- egy vektor, amely megadja egy pont helyzetét a térben valamely előre rögzített ponthoz képest, amelyet origónak nevezünk.

Az anyagi pont pályájának képletét a sugárvektoron kívül ugyanígy írjuk le orts- egységvektorok i, j, k esetünkben egybeesik a koordinátarendszer tengelyeivel. És végül vegyünk egy példát egy anyagi pont pályájának egyenletére (kétdimenziós térben):

Mi az érdekes ebben a példában? A pontmozgás pályáját szinuszok és koszinuszok adják meg, mit gondol, hogyan fog kinézni a gráf az y(x) ismert ábrázolásában? „Valószínűleg valami hátborzongató” – gondoltad, de nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik! Próbáljuk meg felépíteni az y(x) anyagi pont pályáját, ha az a fent bemutatott törvény szerint mozog:

Itt vettem észre a koszinusz négyzetét, ha bármelyik példában látja a szinusz vagy koszinusz négyzetét, ez azt jelenti, hogy alkalmaznia kell az alapvető trigonometrikus azonosságot, amit meg is tettem (második képlet) és átalakítottam a koordináta képletet y hogy a szinusz helyett a változási képletet cseréljük be x:

Ennek eredményeként egy pont szörnyű mozgástörvénye közönségesnek bizonyult parabola amelynek ágai lefelé irányulnak. Remélem, érti a hozzávetőleges algoritmust az y(x) függőség megalkotására a sugárvektoron keresztüli mozgásábrázolásból. Most pedig térjünk át fő kérdésünkre: hogyan lehet megtalálni egy anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektorát, valamint ezek moduljait.

Anyagpont sebességvektor

Mindenki tudja, hogy egy anyagi pont sebessége a pont által egységnyi idő alatt megtett távolság értéke, vagyis a mozgástörvény képletének deriváltja. A sebességvektor megtalálásához fel kell venni a deriváltot az idő függvényében. Nézzünk egy konkrét példát a sebességvektor megtalálására.

Példa a sebességvektor megtalálására

Van egy anyagi pont elmozdulásának törvénye:

Most meg kell vennie ennek a polinomnak a deriváltját, ha elfelejtette, hogyan történik ez, akkor itt van. Ennek eredményeként a sebességvektor így fog kinézni:

Minden könnyebbnek bizonyult, mint gondoltad, most keressük meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát a fent bemutatott törvény szerint.

Hogyan találjuk meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát

Pontgyorsulási vektor ez egy vektormennyiség, amely egy pont sebességének moduljának és irányának időbeli változását jellemzi. A példánkban szereplő anyagi pont gyorsulási vektorának megtalálásához a deriváltot kell venni, de a fent bemutatott sebességvektor képletből:

Pontsebességvektor modulusa

Most keressük meg egy anyagi pont sebességvektorának modulusát. A 9. osztálytól tudjuk, hogy egy vektor modulusa a hossza, derékszögű derékszögű koordinátákban egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével. És honnan kéred a fent kapott sebességvektorból, hogy vegyük a koordinátáit? Minden nagyon egyszerű:

Most elég csak a feladatban megadott időt helyettesíteni, és egy adott számértéket kapni.

Gyorsulási vektor modulusa

Ahogy a fent leírtakból (és a 9. osztályból) megértetted, a gyorsulásvektor moduljának megtalálása ugyanúgy történik, mint a sebességvektor modulé: a négyzetgyököt kivonjuk a vektor négyzeteinek összegéből. koordináták, minden egyszerű! Nos, itt van egy példa neked:

Mint látható, egy anyagi pont gyorsulása a fent megadott törvény szerint nem függ az időtől, és állandó nagysága és iránya.

További példák a sebesség- és gyorsulásvektor megtalálásának problémájára

És itt találhat példákat a fizika egyéb problémáinak megoldására. És azoknak, akik nem egészen értik, hogyan kell megtalálni a sebesség- és gyorsulásvektort, álljon itt még néhány példa a hálózatból minden extra magyarázat nélkül, remélem, segítenek.

Ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a megjegyzésekben.

Öt perc:Egy pont mozgásának törvényét az egyenletek adják meg

x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2*t 2

Keresse meg egy pont koordinátáit a 0, 0,5 s, 1 s, 1,5 s, 2 s időpontokhoz. Jelölje be a pont helyzetét az X-Y koordinátarendszerben, rajzoljon pályát, határozza meg a pont sebességét (|v|) az idő függvényében.

Az (1.3) képletből az következik, hogy bármely mozgás sebessége ábrázolható három egyenes vonalú mozgás sebességének összeadásával az X, Y és Z koordinátatengelyek mentén, azaz. bármely összetett mozgás ábrázolható egyenes vonalú mozgások összegeként (a mozgások szuperpozíciójának elve). Ezzel az elvvel határozzuk meg például az első kozmikus sebesség értékét, pl. akkora, a földfelszínnel párhuzamos sebességgel kell rendelkeznie egy testnek, hogy soha ne essen le a földre. A probléma a következő módon oldható meg. Egy test mozgása a Föld felszíne mentén két mozgás összegeként ábrázolható: egyenletes vízszintes mozgás v dobási sebességgel és a test szabadesése a földfelszín felé g gyorsulással (szabadesés gyorsulása).

Egy kis ideig Dt a test a Föld sugarára merőlegesen haladva elhalad A pontból B. pontba (lásd 1.9. ábra). Ebben az esetben a sugárvektor egy kis β szögben elfordul. Ugyanezen idő alatt a test sebessége növekszik ∆v=g∆t a Föld sugara mentén, azaz. a sebességvektor is el fog forogni valamilyen szöggel. Ahhoz, hogy a test tovább mozogjon a földfelszín mentén, ennek a szögnek egybe kell esnie a test sugárvektorának elfordulási szögével. Ezért a sebességvektor forgásszöge egyben a β szög is. Tegyük egyenlőségjelet az elmozdulás háromszögéből és a sebesség háromszögéből kapott β érintővel:

(1.7)

Ezt követően fejezzük ki a sebesség értékét:

Amint az az első kozmikus sebesség kifejezésének levezetéséből látható, bármely test, amely ezzel a sebességgel mozog a Föld körül, megváltoztatja a sebesség irányát az állandó földre zuhanás következtében. és ez a változás oda vezet, hogy a sebességvektor mindig párhuzamos a földfelszínnel.

Az állandó sebességvektorral történő mozgást egyenletesnek nevezzük. Általánosságban elmondható, hogy a sebesség mind nagyságrendben, mind irányban változik.

A sebességváltozás mértékének jellemzésére bevezetjük a fogalmat gyorsulás. A gyorsulás a sebesség növekedésének egy végtelenül kicsi időintervallumon belüli aránya ehhez az intervallumhoz, azaz. a sebesség deriváltja az idő függvényében

A gyorsulásvektor a koordinátatengelyek mentén is kiterjeszthető:

A gyorsulási vektor modulja egyenlő:

. (1.11)

Az (1.9)-be behelyettesítve a sebesség kifejezését a test sugárvektorának deriváltjaként, megkapjuk a gyorsulás kifejezését a sugárvektor időhöz viszonyított második deriváltja formájában:

Példa. Egy mozgó pont sugárvektorát a következő kifejezés adja meg:

Határozza meg a mozgás természetét, sebességét és gyorsulását!

A mozgás természetének meghatározásához kiszámítjuk a sugárvektor modulusát:

Így amikor a pont mozog |r|-const. Megállapíthatjuk, hogy ez egy R sugarú kör mentén történő mozgás, amelynek középpontja az origóban van.

Számítsa ki a pont sebességét:

Sebesség modul:

A sebesség modulusa sem változik az időben, ezért állandó modulo sebességű körben történő mozgásról van szó.

Határozzuk meg egy pont gyorsulását:

Összehasonlítva egy pont sugárvektorának és gyorsulásának képleteit, azt látjuk, hogy ellentétes irányú vektorokat fejeznek ki. Ha a sugárvektor a pálya középpontjából a pontba irányul, akkor a gyorsulásvektor a pontból a pálya közepébe irányul. Ebben az esetben a gyorsítási modul nem változik az időben, és egyenlő |a|=Rω 2 . Számítsuk ki a sebesség- és gyorsulásvektorok skaláris szorzatát:

Ezért ebben a példában a sebesség- és gyorsulásvektorok merőlegesek egymásra.

Általános esetben a sebesség- és gyorsulásvektorok valamilyen szöget alkotnak. Célszerű a gyorsulásvektort két komponensre bontani. Az egyik párhuzamos (vagy antiparallel) a sebességvektorral, és ún érintő gyorsulási komponens. A másik merőleges a sebességvektorra, az ún Normál gyorsulási komponens. A gyorsulás érintőleges összetevője a sebességmodul változását, a normál komponens pedig a sebesség irányának változását fejezi ki. A fent tárgyalt példában a gyorsulás érintőleges összetevője nulla. Ennek eredményeként a sebesség csak irányban változik, modulja változatlan marad.

Általános esetben a teljes gyorsulási modult a Pitagorasz-tétel határozza meg:

1.3. A forgómozgás kinematikája, a szögsebesség vektora, egy pont lineáris és szögsebessége kapcsolata, szöggyorsulás vektora.

A körkörös mozgás egy privát, de nagyon gyakori mozgástípus. Ehhez olyan további kinematikai jellemzőket vezetnek be, mint szögsebesség - ωÉs szöggyorsulás - ε.

A w szögsebesség értékét a dj szög növekedésének arányaként határozzuk meg, amellyel a pont sugárvektora dt idő alatt elfordul ehhez az időintervallumhoz, azaz.

Ez egy nagyon természetes meghatározás. Az (1.18) szerint azonban mind a forgásszöget, mind a szögsebességet vektormennyiségként határoztuk meg. A jövőben látni fogjuk, hogy a szögmennyiségek ilyen meghatározása nagyon kényelmesnek és produktívnak bizonyul. A forgásszögvektor irányát a jobb oldali csavar szabálya határozza meg: ha a jobb oldali csavart pozitív szögnövekmény irányába forgatjuk, akkor a csavar transzlációs mozgása jelzi a szögnövekmény vektorának irányát.

Hasonló meghatározással már ma is találkoztunk a vektorszorzat definíciójában. Valóban, ha egy kör mentén mozgó pont sugárvektorának növekedését fejezzük ki, amikor az egy ∆φ szögben elfordul, akkor a következő képletet kapjuk

(1.19)

A lineáris sebességvektort, amikor egy pont ω szögsebességű kör mentén mozog, az (1.19) alapján határozzuk meg.

> Átlagos vektorsebesség: grafikus értelmezés

átlagsebesség vektormennyiség szerint: definíció, a test átlagsebességének megállapítása, a vektorsebesség mértékegysége, képlet és számítás.

Átlagos vektorsebesség– pozícióváltás a mozgás során.

Tanulási feladat

• Értse az állandó sebességet és a fizikai.

Főbb pontok

• Az átlagsebességet úgy számítják ki, hogy a teljes elmozdulást osztják a menetidővel.
• Az átlagos sebesség semmit sem mond arról, hogy mi történik egy tárggyal két pont között.
• Az átlagos vektorsebesség abban különbözik a skaláristól, hogy figyelembe veszi a mozgás irányát és az általános helyzetváltozást.

Term

A vektorsebesség egy olyan mennyiség, amely a pozíció változásának sebességét jelzi időben vagy irányban.

Ha a mindennapi életről beszélünk, akkor a vektort és a skaláris sebességet egyszerűen sebességnek nevezzük, és nincs különbség. De a fizikában jól láthatóak. A skaláris sebességnek csak nagysága van, míg a vektoros átlagsebesség irányt ad a nagysághoz.

Az átlagos skaláris sebesség a teljes utazási idő alatt megtett távolságot jelenti. A vektor a pozíció változása a mozgás teljes ideje alatt.

Vátlag = Δx/t

A sebesség SI mértékegysége m/s, de lehet km/h, mph, cm/s is. Tegyük fel, hogy egy utasnak a vonaton 5 másodpercbe telt -4m megmozdulása (a negatív előjel hátrafelé mozgást jelez). Ezután az átlagos vektorsebesség:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 m/s.

Ez az adat azonban semmit sem mond arról, hogy mi történt az objektummal a két pont között. Nem fogjuk tudni megtudni, hogy megállt-e vagy visszatért. A részletek kiderítéséhez kisebb időintervallumokban kell elmélyednie.

Nézzünk egy másik példát, hogy egyértelmű határvonalat húzzunk a vektor- és skalársebesség között. Tegyük fel, hogy egy kis téglalapban találod magad. Ön 3 méterrel északra, 4 méterrel keletre, 3 méterrel délre és 4 méterrel nyugatra halad. Mindez fél percig tartott. A skalár számítása a teljes távolság (3 + 4 + 3 + 4 = 14 m) megtételével kezdődik, innentől kezdve - 14/30 = 0,47 m/s.

A vektor azonban idővel reagál az elmozdulásra. Visszaért a kiindulási ponthoz, tehát az eltolás = 0. Ezért az átlagos vektorsebesség 0 m/s.

(1 értékelések, átlag: 5,00 5-ből)

A sebesség egy vektormennyiség, amely nemcsak a részecske mozgási sebességét jellemzi egy pálya mentén, hanem azt is, hogy a részecske milyen irányban mozog az egyes időpillanatokban.

Átlagsebesség idővel tól től t1 előtt t2 egyenlő az ezen idő alatti mozgás és az időintervallum arányával, amely alatt ez a mozgás megtörtént:

Azt a tényt, hogy ez az átlagsebesség, megjegyezzük, ha az átlagértéket szögletes zárójelbe tesszük:<...>, mint fent.

Az átlagsebességvektor fenti képlete az átlagérték általános matematikai definíciójának egyenes következménye<f(x)> tetszőleges függvény f(x) az intervallumon [ a,b]:

Igazán

Az átlagsebesség túl durva lehet a mozgásra jellemző. Például az átlagsebesség egy rezgésperiódus alatt mindig nulla, függetlenül ezeknek a rezgések természetétől, azon egyszerű okból, hogy egy periódus alatt - a periódus definíciója szerint - egy rezgő test visszatér a kiindulási pontjára, és ezért egy perióduson belüli elmozdulás mindig nulla. Emiatt és számos más okból bevezetik a pillanatnyi sebességet - az adott pillanatban érvényes sebességet. A jövőben a pillanatnyi sebességre utalva egyszerűen írjuk: „sebesség”, kihagyva a „pillanatnyi” vagy „egy adott időpillanatban” szavakat, ha ez nem vezethet félreértésekhez. t a nyilvánvaló dolgot kell tennünk: ki kell számítanunk az arány határát, amikor az időintervallum arra hajlik t2 – t1 nullára. Nevezzük át: t1 = tÉs t 2 \u003d t +és írd át a felső relációt így:

Sebesség az időben t egyenlő az időbeli mozgás és az időintervallum arányának határával, amely alatt ez a mozgás megtörtént, amikor az utóbbi nullára hajlik

Rizs. 2.5. A pillanatnyi sebesség meghatározásához.

Jelenleg nem foglalkozunk ennek a határnak a létezésével, feltételezve, hogy létezik. Figyeljük meg, hogy ha van véges elmozdulás és véges időintervallum, akkor és ezek határértékei: egy végtelenül kicsi elmozdulás és egy végtelen kicsi időintervallum. Tehát a sebesség definíciójának jobb oldala

nem más, mint egy tört - a -vel való osztás hányadosa, így az utolsó arány átírható, és gyakran használják az alakban

A derivált geometriai jelentése szerint a sebességvektor a pálya minden pontjában tangenciálisan irányul a pályára ezen a ponton a mozgási irányában.

Videó 2.1. A sebességvektor tangenciálisan irányul a pályára. Élező kísérlet.

Bármely vektor kiterjeszthető egy bázisban (a bázis egységvektorainál, más szóval olyan egységvektoroknál, amelyek meghatározzák a tengelyek pozitív irányát ÖKÖR,OY,oz rendre a , , vagy jelölést használjuk). Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a megfelelő tengelyekre. A következő fontos: a vektorok algebrájában bebizonyosodott, hogy a bázis tekintetében a bővülés egyedi. Bővítsük ki valamely mozgó anyagpont sugárvektorát a bázis szempontjából

Figyelembe véve a , , derékszögű egységvektorok állandóságát, ezt a kifejezést az idő függvényében megkülönböztetjük.

Másrészt a sebességvektor alapja szerinti bővülésnek van formája

az utolsó két kifejezést összehasonlítva, figyelembe véve bármely vektor kiterjesztésének egyediségét a bázis szempontjából, a következő eredményt kapjuk: a sebességvektor vetületei a derékszögű tengelyekre megegyeznek a megfelelő koordináták időbeli deriváltjaival, van

A sebességvektor modulusa az

Vegyünk még egy fontos kifejezést a sebességvektor modulusára.

Már megjegyezték, hogy az érték || egyre kevésbé különbözik a megfelelő útvonaltól (lásd 2. ábra). Ezért

és a határban (>0)

Más szóval, a sebesség modulusa a megtett távolság deriváltja az idő függvényében.

Végül nálunk van:

A sebességvektor átlagos modulusa, meghatározása a következő:

A sebességvektor moduljának átlagértéke megegyezik a megtett távolság és az út megtételének idővel való arányával:

Itt s(t1,t2)- időbeli út tól t1 előtt t2és ennek megfelelően s(t0,t2)- időbeli út tól t0 előtt t2És s(t0,t2)- időbeli út tól t0 előtt t1.

Az átlagsebesség vektora, vagy egyszerűen az átlagsebesség, mint fent, az

Vegye figyelembe, hogy először is ez egy vektor, annak modulja - az átlagos sebességvektor modulja nem tévesztendő össze a sebességvektor moduljának átlagos értékével. Általános esetben nem egyenlőek: az átlagos vektor modulusa egyáltalán nem egyenlő ennek a vektornak az átlagos modulusával. Két művelet: a modul számítása és az átlag számítása általában nem cserélhető fel.

Vegyünk egy példát. Hagyja, hogy a pont egy irányba mozogjon. ábrán 2.6. grafikonon mutatja az általa megtett utat s abban az időben (a kezdeti időre 0 előtt t). A sebesség fizikai jelentését felhasználva ezzel a grafikonnal keresse meg azt az időpillanatot, amikor a pillanatnyi sebesség megegyezik a pont mozgásának első másodperceiben érvényes átlagos haladási sebességgel.

Rizs. 2.6. A test pillanatnyi és átlagos sebességének meghatározása

Sebességmodulus egy adott időpontban

lévén az út deriváltja az idő függvényében, egyenlő a függőségi gráfhoz való ringatási szögegyütthatóval az időpillanatnak megfelelő pontig t*. A sebesség átlagos modulja egy időszakra től 0 előtt t* ugyanannak a gráfnak a kezdetnek megfelelő pontjain átmenő szekáns meredeksége t = 0és vége t = t* időintervallum. Meg kell találnunk egy ilyen pillanatot az időben t* amikor mindkét lejtő azonos. Ehhez a koordináták origóján keresztül egy egyenest húzunk, amely érinti a pályát. Amint az ábrán látható, ennek az egyenesnek az érintkezési pontja utca)és ad t*. Példánkban azt kapjuk