A síkbeli mozgásban részt vevő merev test tetszőleges pontjának gyorsulása a pólus gyorsulásának és e pontnak a pólus körüli forgó mozgásban bekövetkező gyorsulásának geometriai összegeként kereshető.

Ennek az álláspontnak a bizonyítására használjuk az ivarzás összetett mozgási gyorsulásainak összeadásának tételét. Vegyük a pontot. A mozgó koordinátarendszert a pólussal együtt előre mozgatjuk (1.15 a ábra). Ekkor a relatív mozgás a pólus körüli forgás lesz. Ismeretes, hogy a Coriolis-gyorsulás hordozható transzlációs mozgás esetén nulla, ezért

Mert transzlációs mozgásban minden pont gyorsulása azonos és egyenlő a pólus gyorsulásával, van .

Kényelmes egy körben mozgó pont gyorsulását a centripetális és a forgási összetevők összegeként ábrázolni:

.

Ennélfogva

A gyorsulási összetevők irányait az 1.15 a ábra mutatja.

A relatív gyorsulás normál (centripetális) komponensét a képlet határozza meg

Értéke egyenlő: A vektort az AB szakasz mentén az A pólusra irányítjuk (a körüli forgásközéppont ).

Rizs. 1. 15. Tétel a gyorsulások összeadásáról (a) következményei (b)

A relatív gyorsulás érintőleges (rotációs) komponensét a képlet határozza meg

.

Ennek a gyorsulásnak a nagyságát a szöggyorsuláson keresztül találjuk meg. A vektor a szöggyorsulás irányában merőleges az AB-re (gyorsított mozgás esetén a szögsebesség irányába, lassú mozgás esetén pedig az ellenkező forgásirányba).

A teljes relatív gyorsulás nagyságát a Pitagorasz-tétel határozza meg:

.

Egy lapos alakzat bármely pontjának relatív gyorsulási vektora egy képlettel meghatározott szöggel tér el a kérdéses pontot a pólussal összekötő egyenestől.

Az 1.15 b ábra azt mutatja, hogy ez a szög a test minden pontjában azonos.

A gyorsulási tétel következménye.

Egy lapos alakzaton egy egyenes szakasz pontjainak gyorsulási vektorainak végei ugyanazon az egyenesen fekszenek, és a pontok távolságával arányos részekre osztják.

Ennek az állításnak a bizonyítása az ábrából következik:

.

A test síkbeli mozgása közbeni pontjainak gyorsulásának meghatározására szolgáló módszerek megegyeznek a sebességek meghatározására szolgáló megfelelő módszerekkel.

Azonnali gyorsulási központ

Egy mozgó alak síkjában az idő bármely pillanatában van egyetlen pont, amelynek gyorsulása nulla. Ezt a pontot pillanatnyi gyorsulási központnak (ICC) nevezik.

A bizonyítás a pont helyzetének meghatározására szolgáló módszerből következik. Vegyük az A pontot pólusnak, feltéve, hogy a gyorsulása ismert. Egy lapos alak mozgását transzlációs és forgási részekre bontjuk. A gyorsulás összeadás tételével felírjuk a kívánt pont gyorsulását és egyenlővé tesszük nullával.

Ebből következik, hogy , azaz a Q pont relatív gyorsulása egyenlő az A pólus nagyságrendű gyorsulásával, és az ellenkező irányba irányul. Ez csak akkor lehetséges, ha a relatív gyorsulás dőlésszöge és az A pólus gyorsulása a Q pontot az A pólussal összekötő egyeneshez képest megegyezik.

, , .

Példák az MCU megtalálására.

Tekintsük az MCU helyzetének megtalálásának módjait.

1. számú példa: , , ismertek (1.16 a ábra).

A szög meghatározása . A pont ismert gyorsulásának irányából a szöggyorsulás irányába (azaz gyorsított forgásnál forgásirányba, lassú forgásnál ellentétes irányba) bezárunk egy szöget, és sugarat alkotunk. A megszerkesztett sugáron ábrázolunk egy AQ hosszúságú szakaszt.

Rizs. 1. 16. Példák az MCU megtalálására: 1(a) példa, 2(b) példa

2. példa Két A és B pont gyorsulása ismert: és (1.16. b ábra).

Az egyik ismert gyorsulású pontot pólusnak vesszük, a másik pont relatív gyorsulását geometriai szerkezetekkel határozzuk meg. Méréssel megtaláljuk a szöget, és ebben a szögben sugarakat vonunk le ismert gyorsulásokból. E sugarak metszéspontja az MCU. A szöget a gyorsulási vektoroktól ugyanabban az irányban kell leválasztani, mint a relatív gyorsulásvektor és a BA egyenes közötti szöget.

Megjegyzendő, hogy az MCS és az MCS a test különböző pontjai, és az MCS gyorsulása nem egyenlő nullával és az MCS sebessége nem egyenlő nullával (1.17. ábra).

Rizs. 1. 17. Az MCC és az MCU helyzete a görgő csúszás nélküli gördülése esetén

Azokban az esetekben, amikor a pontok gyorsulásai párhuzamosak egymással, az MCU megtalálásának a következő speciális esetei lehetségesek (1.17. ábra).

Rizs. 1. 18. Az MCU megtalálásának speciális esetei:
a) két pont gyorsulása párhuzamos és egyenlő; b) két pont gyorsulása ellentétes; c) két pont gyorsulása párhuzamos, de nem egyenlő

STATIKA

BEVEZETÉS A STATIKÁBA

Statika alapfogalmak, terjedelemük

A statika a mechanikának az anyagi testek egyensúlyi feltételeit vizsgáló ága, amely magában foglalja az erők tanát.

Ha az egyensúlyról beszélünk, emlékeznünk kell arra, hogy „minden pihenés, minden egyensúly relatív, csak az egyik vagy másik meghatározott mozgásforma vonatkozásában van értelme”. Például a Földön nyugvó testek vele együtt mozognak a Nap körül. Pontosabban és helyesebben relatív egyensúlyról kell beszélni. Szilárd, folyékony és gáznemű, deformálható testek egyensúlyi feltételei eltérőek.

A legtöbb mérnöki szerkezet alacsony deformációjú vagy merevnek tekinthető. Absztrakcióval bevezethetjük az abszolút merev test fogalmát: amelynek pontjai közötti távolságok az időben nem változnak.

Egy abszolút merev test statikájában két probléma oldódik meg:

· erők összeadása és az erőrendszer legegyszerűbb formája;

· egyensúlyi feltételek meghatározása.

Az erők eltérő fizikai természetűek, gyakran tisztázatlanok egészen a végéig és jelenleg is. Newton nyomán az erőt mennyiségi modellként fogjuk felfogni, az anyagi testek kölcsönhatásának mértékét.

Newton erőmodelljét három fő jellemző határozza meg: a nagyság, a hatás iránya és alkalmazásának pontja. Kísérletileg bebizonyosodott, hogy az így bevitt mennyiség vektortulajdonságokkal rendelkezik. Részletesebben a statika axiómáiban tárgyaljuk őket. A GOST szerint használt SI-mértékegységek nemzetközi rendszerében az erő mértékegysége newton (N). Az erők képe és jelölése a 2.1 a ábrán látható

A bármely testre (vagy testrendszerre) ható erők halmazát erőrendszernek nevezzük.

Szabadnak nevezzük azt a testet, amely nem kapcsolódik más testekhez, és amely bármely irányban mozgást adhat.

Egyenértékűnek nevezzük azt az erőrendszert, amely teljesen helyettesít egy másik, egy szabad testre ható erőrendszert anélkül, hogy a mozgási vagy nyugalmi állapotot megváltoztatná.

Rizs. 2. 1. Alapfogalmak az erőkről

Azt az erőrendszert, amelynek hatására egy test nyugalomban lehet, nullával egyenértékűnek vagy kiegyensúlyozottnak nevezzük.

Egy erőrendszerrel egyenértékű erőt eredőjének nevezünk. Az eredő nem mindig létezik, például az ábrán látható esetben nem létezik.

Egy, az eredővel egyenlő nagyságú, de vele ellentétes erőt kiegyenlítésnek nevezünk az eredeti erőrendszerre (2.1. b ábra).

Az egyik test részecskéi között ható erőket belsőnek, a más testekből ható erőket külsőnek nevezzük.

A statika axiómái

Egy lapos alak síkbeli mozgását tekintve a transzlációs mozgás összegének, amelyben az ábra minden pontja A gyorsulással A pólussal mozog és forog

e pólus körüli mozgással egy képletet kapunk egy lapos alak bármely B pontjának gyorsulásának meghatározására

a B =		egy A +		aBA =		a A + a BAv +	egy BAc.
Itt egy						gyorsulás	A pólusok; a		Gyorsulás

a B pont forgó mozgása az A pólus körül, amely, mint egy test fix tengely körüli forgása esetén, vektoriális

forgási gyorsulásból a BA in és centro-

gyors gyorsulás a BA c . Ezeknek a gyorsulásoknak a moduljait a képletek határozzák meg

szöggyorsító modul. Az a BA in forgási gyorsulás az AB szakaszra merőlegesen az ε nyíl irányába, a BA c centripetális gyorsulás pedig a B ponttól az A pólusig tartó AB egyenes mentén irányul (12. ábra). A B pont a BA teljes gyorsulásának modulusát az A pólushoz viszonyítva, az a BA BA c feltétel miatt a következő képlettel számítjuk ki

12. ábra A B pont gyorsulásának meghatározása

Az A pólus segítségével.

Az a B gyorsulás megtalálása a (2.18) képlet segítségével

használata javasolt elemzési módszer. Ebben a módszerben egy derékszögű derékszögű koordinátarendszert vezetünk be (Bxy rendszer a 12. ábrán), és kiszámítjuk a Bx , a By vetületeket.

a kívánt gyorsulás a (2.18) egyenlőség jobb oldalán szereplő gyorsulási vetületek algebrai összegeként:

(a be

(a c

a cosα

ts;

(a be

(a c

sinα

ahol α az a A vektor közötti szög

és a Bx tengely. A talált szerint

A síkfigura pontjainak gyorsulásának meghatározására leírt módszer olyan feladatok megoldására alkalmazható, amelyekben az A pólus mozgása és az ábra elfordulási szöge meg van adva.

(2.14) egyenletek. Ha nem ismert a forgásszög időfüggősége, akkor az ábra adott helyzetéhez meg kell határozni a pillanatnyi szögsebességet és a pillanatnyi szöggyorsulást. Meghatározásuk módszereit tovább tárgyaljuk a 2. feladat példáiban.

Vegyük észre azt is, hogy egy síkidom pontjainak gyorsulásának meghatározásakor használhatjuk azonnali gyorsulási központ– olyan pont, amelynek gyorsulása adott időpontban nulla. A pillanatnyi gyorsulási középpont használata azonban meglehetősen munkaigényes módszerekkel jár a pozíció megtalálására, ezért ajánlott egy lapos alakzat pontjainak gyorsulását a képlet segítségével meghatározni.

2.4 2. feladat Lapos szerkezet pontjainak sebességének és gyorsulásának meghatározása

Mechanizmusokat (lásd 5. o.) laposnak nevezünk, ha minden pontja azonos vagy párhuzamos síkban mozog, ellenkező esetben a mechanizmusokat térbelinek nevezzük.

nym.

BAN BEN A 2.1bolygókerekes fogaskerekek,

a 2.2 feladatban - forgattyús mechanizmusok, és a feladatban

2.3, a fent említett két típuson kívül más típusú mechanizmusok mozgását is tanulmányozzuk. A legtöbb vizsgált mechanizmus az mechanizmusok egy szabadságfokkal,

amelyben az összes láncszem mozgásának meghatározásához egy láncszem mozgástörvényét kell beállítani.

Feladat 2.1

Bolygószerkezetben (13. ábra) az OA = 0,8 (m) hosszúságú 1-es hajtókar az ábra síkjára merőleges, rögzített O tengely körül forog a törvény szerint.

ϕ OA (t) = 6t − 2t 2 (rad). Az A pontban a hajtókar elfordíthatóan össze van kötve

az r = 0,5 (m) sugarú 2 tárcsa középpontjával, amely belső kapcsolatban áll egy álló 3 kerékkel, koaxiálisan

hajtókar OA. A 2. korongon t 1 = 1 (s) időpontban egy B pont van megadva, amelynek helyzetét az AB = 0,5 (m) távolság és az α = 135° szög határozza meg. (Adott időpontban az α szöget a tengely tengelyétől az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük, ha α > 0, vagy ellenkező irányban

α < 0).

13. ábra Bolygómechanizmus és módszer a B pont helyzetének beállítására.

Határozzuk meg a t 1 időpontban

1) a B pont sebességét kétféleképpen: a 2. korong pillanatnyi sebességközéppontjának (IVC) és az A pólusnak a felhasználásával;

2) a B pont gyorsítása az A pólus segítségével.

1) A B pont sebességének meghatározása.

Először egy grafikus ábrázolást kell készítenie

mechanizmus egy kiválasztott léptékben (például az ábra 1 cm-e - 0,1 m az OA szegmens és az r sugár), és mutasd meg a B pont meghatározott helyzetét (14. ábra).

14. ábra B pont sebességének meghatározása a P pillanatnyi sebességközéppont és az A pólus segítségével.

Az OA hajtókar adott forgási törvénye szerint megtaláljuk a 2. tárcsa A középpontjának sebességét. Meghatározzuk a hajtókar szögsebességét adott időpontban t 1 = 1 (c):

ω OA = ϕ ! OA = (6 t −				6 - 4 t ;	ω OA (t 1) = 2 (rad/s).

A kapott ω OA (t 1 ) érték pozitív, ezért az ω OA ívnyilat az óramutató járásával ellentétes irányba, azaz a ϕ szög pozitív irányába irányítjuk.

A sebességmodul kiszámítása

v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0,8 = 1,6 (m/s)

és konstruáljuk meg a v A sebességvektort az OA-ra merőlegesen az ω OA ívnyíl irányában.

az ω OA ívnyilat és a v A vektort ellenkező irányba húzzuk, és a modulus alapján számítjuk ki v A

ω OA (t 1 ) .

A 2. tárcsa pillanatnyi sebességközéppontja (P pont) a 3. kerékkel való érintkezési pontján található (lásd az 5. bekezdést a 34. oldalon). Határozzuk meg a korong ω pillanatnyi szögsebességét a v A talált sebességértékből:

ω = v A / AP = v A / r = 1,6 / 0,5 = 3,2 (rad / s)

és ábrázolja az ívnyi nyilát az ábrán (14. ábra).

A B pont sebességének MCS segítségével történő meghatározásához a BP távolságot a koszinusztétel segítségével találjuk meg az ABP háromszögből:

BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =

0,5 2 + 0,52 - 2 0,52 (- 2 / 2) ≈ 0,924 (m).

A sebesség v B abszolút értékben egyenlő

v B = ω PB = 3,2 0,924 ≈ 2,956 (m/s)

és a РВ szakaszra merőlegesen az ω ívnyíl felé irányul.

Ugyanez a v B vektor megtalálható az A pólus használatával a (2.15) képlet segítségével: v B = v A + v BA. Mozgassuk a v A vektort a B pontba, és alkossuk meg a v BA vektort az AB szakaszra merőlegesen és az ω ívnyíl felé irányítva. Modul

hogy a v A és v BA vektorok közötti szög 45°. Ekkor a (2.16) képlet segítségével megtaláljuk

vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =

1,6 2 + 1,62 + 2 1,62 ( 2/2) ≈ 2,956 (m/s).

Az ábrán a v B vektornak egybe kell esnie a paralelogramma átlójával, amelynek oldalai a v A és v BA vektorok. Ez a v A, v B és v BA vektorok megszerkesztésével érhető el a kiválasztottban

normál léptékben (például az ábrán 1 cm 0,5 m/s-nak felel meg). Vegye figyelembe, hogy a vizsgált példában megadott skálák egymástól függetlenül változtathatók és hozzárendelhetők.

2). A B pont gyorsulásának meghatározása.

A B pont gyorsulását a (2.18) képlet határozza meg az A pólus segítségével, amelynek gyorsulása az érintőleges és normál gyorsulások vektorösszege:

a B = a A + a BA in + a BA c = a τ A + a A n + a BA in + a BA c.

Az OA hajtókar adott forgási törvényét felhasználva megtaláljuk a szöggyorsulását:

ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (rad / s 2 ).

A kapott ε OA érték negatív, ezért az ε OA ívnyilat az óramutató járásával megegyező irányba irányítjuk, majd

negatív irányú, és a további számításoknál ezt az értéket vesszük modulo.

Az A pólus érintőleges és normálgyorsulásának moduljait adott t 1 időpontban a (2.11) képlet segítségével találjuk meg:

a τ A = ε OA OA = 4 0,8 = 3,2 (m/s 2); a n A = ω OA 2 OA = 22 0,8 = 3,2 (m/s 2).

Az a τ A tangenciális gyorsulás az OA hajtókarra merőlegesen az ε OA ívnyíl felé irányul, az a A n normálgyorsulás pedig A pontból O pontba a hajtókar szögsebességének bármely irányában (15. ábra). Az a A teljes gyorsulást nem kell meghatározni.

15. ábra B pont gyorsulásának meghatározása A pólus segítségével.

ω = v A / r = ω OA (OA / r).
	definíció szerint szögletes	gyorsulás	lemez (ha
OA/r = const) egyenlő
ε = ω ! =	ω! OA (OA / r) = ε OA (OA / r) = −	4 (0.8 / 0.5) =	− 6,4 (rad/s 2 ).

az ε szögnyilat az ω ívnyíl ellentétes irányba irányítjuk.

Számítsuk ki a B pont forgási és centripetális gyorsulásának moduljait az A pólushoz viszonyítva a képletekkel

a BAв						AB =	6,4 0,5 = 3,2 (m/s2);
egy BAc						2 AB =	3,22 0,5 = 5,12 (m/s2).

A BA be vektor merőleges az AB szakasz felé

ív nyíl ε, és vektor a BA c - a B pontból az A pólusba

A B pont gyorsulását az Axy koordinátarendszer tengelyére vonatkozó vetületeiből kapjuk:

a Bx = (a τ A ) x +					(a An ) x + (a BAв ) x + (a BAс ) x =
	0 − a n A −			egy BA in cos 45" +			egy BAc	cos 45" =
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	− 1,84 (m/s2);
a By = (a τ A ) y +					(a An ) y + (a BAв ) y + (a BAс ) y =
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45"	− a BA c cos 45" =
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	− 9,08 (m/s2).
Modul a B =		aBx2			a By2	≈ 9,27 (m/s2).
					gyorsulás		a τ A ,	a A n ,	a BA in , a BA q szükséges

ábrázoljuk a kiválasztott léptékben, és a talált vetületek szerint állítsuk össze az a B vektort ugyanabban a léptékben (15. ábra).

A 2.1. feladat önálló elvégzésének kiinduló adatait a 2. oldali táblázat tartalmazza. 44.

				Merev test kinematika
		ϕ OA (t), rad				α, fok	t 1 , s
		t2 + 3t
		8t – 3t2
		t2 - 4t
		3t – 2t2
		2t2 - t
		4t – t2
		2t2 - 6t
		2t – 3t2
		3t2 - 4t
		8t – 2t2
		4t2 - 6t
		3t – 4t2
		4t2 - 2t
		6t – t2
		2t2 - 4t
		4t – 3t2
		2t2+t
		4t – 2t2
		3t2 - 10t
		t – 2t2
		3t2 + 2t
		6t – 3t2
		3t2 - 8t
		2t – 4t2

3. előadás Merev test síkpárhuzamos mozgása. Sebesség és gyorsulás meghatározása.

Ez az előadás a következő kérdéseket fedi le:

1. Merev test síkpárhuzamos mozgása.

2. Síkpárhuzamos mozgás egyenletei.

3. A mozgás felosztása transzlációs és rotációs.

4. Egy síkidom pontjai sebességének meghatározása.

5. Tétel egy test két pontjának sebesség-vetületeiről.

6. Egy síkidom pontjai sebességének meghatározása a pillanatnyi sebességközéppont segítségével.

7. Sebesség meghatározásával kapcsolatos feladatok megoldása.

8. Sebességterv.

9. Síkfigura pontjainak gyorsulásainak meghatározása.

10. Gyorsulási feladatok megoldása.

11. Azonnali gyorsulási központ.

E kérdések tanulmányozása a jövőben szükséges a merev test síkmozgásának dinamikájához, az anyagi pont relatív mozgásának dinamikájához, a „Gépek és mechanizmusok elmélete” és a „Gépalkatrészek” tudományágak problémáinak megoldásához. .

Merev test síkpárhuzamos mozgása. A síkpárhuzamos mozgás egyenletei.

A mozgás felosztása transzlációs és rotációs

Egy merev test síkbeli párhuzamos (vagy sík) mozgását úgy nevezzük, hogy minden pontja párhuzamosan mozog valamilyen rögzített síkkal P(28. ábra). A síkmozgást a mechanizmusok és gépek számos része hajtja végre, például egy gördülő kerék az út egyenes szakaszán, egy hajtókar a forgattyús-csúszka szerkezetben stb. A sík-párhuzamos mozgás speciális esete a forgó mozgás egy merev test egy rögzített tengely körül.

28. ábra 29. ábra

Tekintsük a szakaszt S valamilyen sík testei Oxy, párhuzamos a síkkal P(29. ábra). Síkpárhuzamos mozgásnál a test minden pontja egy egyenesen fekszik MM', merőleges az áramlásra S, azaz repülőgépek P, mozogni ugyanúgy.

Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy az egész test mozgásának tanulmányozásához elegendő megvizsgálni, hogyan mozog a síkban Óóó szakasz S ez a test vagy valami lapos alak S. Ezért a következőkben egy test síkbeli mozgása helyett egy síkidom mozgását fogjuk figyelembe venni S síkjában, azaz. a repülőben Óóó.

ábra helyzete S a repülőben Óóó az ábrára rajzolt bármely szakasz helyzete határozza meg AB(28. ábra). Viszont a szegmens helyzete AB koordináták ismeretében határozható meg x A és y Egy pont Aés a szög, amely a szakasz AB tengellyel alkot x. Pont A, amelyet az ábra helyzetének meghatározásához választottunk ki S, a továbbiakban pólusnak nevezzük.

Amikor egy nagyságrendet mozgat x A és y A és változni fog. Ismerni a mozgás törvényét, vagyis az alak helyzetét a síkban Óóó bármikor ismernie kell a függőségeket

A folyamatban lévő mozgás törvényét meghatározó egyenleteket egy síkbeli alakzat mozgásegyenleteinek nevezzük. Ezek egyben egy merev test sík-párhuzamos mozgásának egyenletei is.

A mozgásegyenletek közül az első kettő határozza meg azt a mozgást, amelyet az ábra végezne, ha =const; ez nyilván egy transzlációs mozgás lesz, amelyben az ábra minden pontja ugyanúgy mozog, mint a pólus A. A harmadik egyenlet határozza meg azt a mozgást, amelyet az ábra végezne, ha és, azaz. amikor a pólus A mozdulatlan; ez lesz az alak forgása a pólus körül A. Ebből arra következtethetünk, hogy általános esetben egy lapos alak mozgása a síkjában transzlációs mozgásból állónak tekinthető, amelyben az alakzat minden pontja ugyanúgy mozog, mint a pólus Aés e pólus körüli forgó mozgásból.

A vizsgált mozgás fő kinematikai jellemzői a transzlációs mozgás sebessége és gyorsulása, amely megegyezik a pólus sebességével és gyorsulásával, valamint a pólus körüli forgómozgás szögsebessége és szöggyorsulása.

Pontok sebességének meghatározása síkidomon

Megállapították, hogy egy lapos alak mozgása transzlációs mozgásból áll, amelyben az alak minden pontja a pólus sebességével mozog Aés e pólus körüli forgó mozgásból. Mutassuk meg, hogy bármely pont sebessége M az ábra geometriailag azokból a sebességekből alakul ki, amelyeket a pont az egyes mozgásokban kap.

Valójában bármely pont helyzete Mábrák a tengelyekhez viszonyítva vannak meghatározva Óóó sugárvektor (30. ábra), ahol a pólus sugárvektora A, - a pont helyzetét meghatározó vektor M a pólussal együtt mozgó tengelyekhez képest A transzlációsan (az ábra mozgása ezekhez a tengelyekhez képest a pólus körüli forgás A). Akkor

Pontok sebességének meghatározása síkidomon

Megállapították, hogy egy lapos alak mozgása transzlációs mozgásból áll, amelyben az alak minden pontja sebességgel mozog pólusok Aés e pólus körüli forgó mozgásból. Mutassuk meg, hogy bármely pont sebessége M Az ábra geometriailag azokból a sebességekből alakul ki, amelyeket a pont az egyes mozgásokban kap.

Valójában bármely pont helyzete Mábrák a tengelyekhez viszonyítva vannak meghatározva Óóó sugárvektor(3. ábra), ahol - a pólus sugárvektora A , - a pont helyzetét meghatározó vektor M a tengelyekhez képest, a rúddal együtt mozog A transzlációsan (az ábra mozgása ezekhez a tengelyekhez képest a pólus körüli forgás A). Akkor

Az eredményül kapott egyenlőségben a mennyiséga pólus sebessége A; azonos méretű sebességgel egyenlő , melyik pont Mórakor fogadja, azaz a tengelyekhez képest, vagy más szóval, amikor egy figura egy rúd körül forog A. Így az előző egyenlőségből valóban az következik

Sebesség , melyik pont M egy figura pólus körüli forgatásával kapjuk A :

ahol ω - az ábra szögsebessége.

Így bármely pont sebessége M A lapos alak geometriailag egy másik pont sebességének összege A, figyelembe véve a pólus, és a sebesség, hogy a pont M az ábra e pólus körüli elforgatásával kapott. Modul és sebesség irányamegtaláljuk a megfelelő paralelogramma megszerkesztésével (4. ábra).

3. ábra 4. ábra

Tétel a test két pontjának sebességének vetületeiről

Egy síkidom (vagy egy síkkal párhuzamosan mozgó test) pontjainak sebességének meghatározása általában meglehetősen bonyolult számításokat igényel. Azonban számos más, gyakorlatilag kényelmesebb és egyszerűbb módszer is beszerezhető egy alak (vagy test) pontjainak sebességének meghatározására.

5. ábra

Ezen módszerek egyikét a tétel adja meg: egy merev test két pontjának sebességének vetületei az ezeken a pontokon áthaladó tengelyre egyenlők egymással. Nézzünk meg néhány két pontot AÉs BAN BEN lapos alak (vagy test). Pontot véve A pólusonként (5. ábra), azt kapjuk. Ennélfogva az egyenlőség mindkét oldalát a mentén irányított tengelyre vetítjük AB, és tekintettel arra, hogy a vektormerőleges AB, találunk

és a tétel bebizonyosodott.

Pontok sebességének meghatározása síkidomon a pillanatnyi sebességközéppont segítségével.

Egy másik egyszerű és vizuális módszer egy lapos alak (vagy egy síkban mozgó test) pontjainak sebességének meghatározására a pillanatnyi sebességközéppont fogalmán alapul.

Pillanatnyi sebességközéppont egy lapos alak pontja, amelynek sebessége egy adott pillanatban nulla.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ha az alak mozog progresszíven, akkor egy ilyen pont az idő minden pillanatában tlétezik, és ráadásul az egyetlen. Hadd egy pillanatra t pontokat AÉs BAN BEN a lapos figuráknak van sebességükÉs , nem párhuzamosak egymással (6. ábra). Aztán pont R, a merőlegesek metszéspontjában fekszik Ahh vektorhozÉs BAN BEN b vektorhoz , és a pillanatnyi sebesség középpontja lesz azóta. Valóban, ha ezt feltételezzük, akkor a sebesség vetületi tételével a vektormerőlegesnek kell lennie és AR(mert) És VR(mert), ami lehetetlen. Ugyanebből a tételből kitűnik, hogy ebben az időpillanatban az ábra egyetlen más pontjának sem lehet nullával egyenlő sebessége.

6. ábra

Ha most az idő pillanatában a lényeget vesszük R a pólus mögött, akkor a pont sebessége A akarat

mert . Hasonló eredményt kapunk az ábra bármely más pontjára is. Következésképpen egy lapos alak pontjainak sebességét egy adott időpillanatban úgy határozzuk meg, mintha az alak mozgása a pillanatnyi sebességközéppont körüli forgás lenne. Ahol

Az egyenlőségekből az is következikegy lapos ábra pontjai arányosak az MCS-től való távolságukkal.

A kapott eredmények a következő következtetésekhez vezetnek.

1. A pillanatnyi sebességközéppont meghatározásához csak a sebesség irányait kell ismerniÉs néhány két pont AÉs BAN BEN lapos alak (vagy ezeknek a pontoknak a pályája); a pillanatnyi sebességközéppont a pontokból szerkesztett merőlegesek metszéspontjában található AÉs BAN BEN ezeknek a pontoknak a sebességére (vagy a pályák érintőire).

2. Egy lapos alak bármely pontjának sebességének meghatározásához ismernünk kell bármely pont sebességének nagyságát és irányát. Aábra és másik pontjának sebességi iránya BAN BEN. Ezután a pontokból való visszaállítás AÉs BAN BEN merőlegesekÉs , konstruáljuk meg a pillanatnyi sebességközéppontot Rés az iránybaHatározzuk meg az ábra forgásirányát. Ezek után tudván, keressük a sebességetbármely ponton M lapos alak. Irányított vektormerőleges RM az ábra forgásirányában.

3. Szögsebességegy lapos alak minden adott időpillanatban egyenlő az ábra bármely pontja sebességének és a pillanatnyi sebességközépponttól való távolságának arányával R :

Tekintsünk néhány speciális esetet a pillanatnyi sebességközéppont meghatározására.

a) Ha a síkpárhuzamos mozgást úgy hajtjuk végre, hogy az egyik hengeres test csúszás nélkül gördül egy másik álló test felületén, akkor a pont R egy álló felületet érintő gördülő test (7. ábra) egy adott pillanatban a csúszás hiánya miatt nullával egyenlő (), és ezért a sebességek pillanatnyi középpontja. Ilyen például a sínen gördülő kerék.

b) Ha a pontok sebessége AÉs BAN BEN lapos alakok párhuzamosak egymással, és a vonal AB nem merőleges(8. a. ábra), akkor a sebességek pillanatnyi középpontja a végtelenben van, és minden pont sebessége párhuzamos. Ráadásul a sebességvetületekre vonatkozó tételből az következik azaz ; minden más pontra hasonló eredményt kapunk. Ebből következően a vizsgált esetben az ábra összes pontjának sebessége egy adott időpillanatban nagyságban és irányban egyaránt egyenlő egymással, azaz. az ábra pillanatnyi transzlációs sebességeloszlású (a testnek ezt a mozgásállapotát pillanatnyi transzlációsnak is nevezik). Szögsebességtest ebben a pillanatban, látszólag egyenlő nullával.

7. ábra

8. ábra

c) Ha a pontok sebessége AÉs BAN BEN lapos alakok párhuzamosak egymással és egyben a vonallal AB merőleges, akkor a pillanatnyi sebességközéppont Rábrán látható konstrukció határozza meg, b. Az arányokból következik a konstrukciók igazságossága. Ebben az esetben, az előzőektől eltérően, a központ megtalálásához R Az útbaigazítás mellett a sebességmodulokat is ismerni kell.

d) Ha ismert a sebességvektorValamikor BAN BENábra és annak szögsebessége, akkor a pillanatnyi sebességközéppont helyzete R, merőlegesen fekvő(8. ábra, b), megtalálható mint.

Sebesség meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása.

A szükséges kinematikai jellemzők (egy test szögsebessége vagy pontjainak sebessége) meghatározásához ismerni kell bármely pont sebességének nagyságát és irányát, valamint egy másik keresztmetszeti pont sebességének irányát. ezt a testet. A megoldást ezen jellemzők meghatározásával kell kezdeni a probléma adatai alapján.

A vizsgált mechanizmust abban a helyzetben kell ábrázolni a rajzon, amelyhez a megfelelő jellemzőket meg kell határozni. A számítás során emlékezni kell arra, hogy a pillanatnyi sebességközéppont fogalma egy adott merev testre vonatkozik. Egy több testből álló mechanizmusban minden nem transzlációs mozgó testnek saját pillanatnyi sebességközéppontja van egy adott időpillanatban Rés szögsebessége.

1. példaEgy tekercs alakú test középső hengerével egy álló sík mentén gördül úgy, hogy(cm). A henger sugarai:R= 4 tömegmédia r= 2 cm (9. ábra). .

9. ábra

Megoldás.Határozzuk meg a pontok sebességét A, BÉs VAL VEL.

A pillanatnyi sebességközéppont a tekercs és a sík érintkezési pontjában van.

Speedpole VAL VEL .

Tekercs szögsebessége

Pontsebességek AÉs BAN BEN merőlegesek az ezeket a pontokat a pillanatnyi sebességközépponttal összekötő egyenes szakaszokra. Sebesség:

2. példaSugárkerék R= 0,6 m gördülések csúszás nélkül az út egyenes szakaszán (9.1. ábra); középpontjának C sebessége állandó és egyenlőv c = 12 m/s. Határozza meg a kerék szögsebességét és a végek sebességét! M 1 , M 2 , M 3 , M 4 függőleges és vízszintes kerékátmérő.

9.1. ábra

Megoldás. A kerék síkkal párhuzamos mozgást végez. A kerékfordulatszám pillanatnyi középpontja a vízszintes síkkal való érintkezési M1 pontban található, azaz.

Kerék szögsebesség

Keresse meg az M2, M3 és M4 pontok sebességét!

Példa3 . Radius autó hajtókerék R= 0,5 m-es tekercsek csúszással (csúszással) az autópálya egyenes szakaszán; középpontjának sebessége VAL VELállandó és egyenlőv c = 4 m/s. A kerékfordulatszám pillanatnyi középpontja a ponton van R a távolságon h = 0,3 m-re a gördülő síktól. Határozza meg a kerék szögsebességét és a pontok sebességét! AÉs BAN BEN függőleges átmérője.

9.2. ábra

Megoldás.Kerék szögsebesség

Pontok sebességének meghatározása AÉs BAN BEN

4. példaHatározza meg a hajtórúd szögsebességét! ABés a pontok sebessége BAN BEN és C forgattyús mechanizmus (9.3. ábra, A). A hajtókar szögsebessége adott O.A.és méretek: ω OA = 2 s -1, O.A. =AB = 0,36 m, AC= 0,18 m.

A) b)

9.3. ábra

Megoldás. Crank O.A.forgó mozgást végez, hajtókar AB- sík-párhuzamos mozgás (9.3. ábra, b).

A pont sebességének meghatározása A link O.A.

Pont sebessége BAN BEN vízszintesen irányítva. A pontok sebességének irányának ismerete AÉs BAN BENösszekötő rúd AB, határozza meg pillanatnyi sebességközéppontjának - pontjának helyzetét R AV.

Link szögsebesség ABés a pontok sebessége BAN BENés C:

5. példa.Kernel AB végeit egymásra merőleges egyenesek mentén csúsztatja úgy, hogy szögben sebesség (10. ábra). Rúd hossza AB = l. Határozzuk meg a vég sebességét Aés a rúd szögsebessége.

10. ábra

Megoldás.Egy pont sebességvektorának irányát nem nehéz meghatározni A függőleges egyenes vonal mentén csúszva. Akkormerőlegesek metszéspontjában vanés (10. ábra).

Szögsebesség

Pont sebessége A :

És a rúd középpontjának sebessége VAL VEL, például merőlegesen irányítva egyenlő:

Sebesség terv.

Legyen ismert egy test sík szakaszának több pontjának sebessége (11. ábra). Ha ezeket a sebességeket egy adott pontból egy skálán ábrázoljuk RÓL RŐLés összeköti a végüket egyenes vonalakkal, kapsz egy képet, amelyet sebességtervnek neveznek. (A képen) .

11. ábra

Sebességterv tulajdonságai.

a) A sebességsíkon lévő háromszögek oldalai merőlegesek ide vonatkozó egyenesen a test síkján.

Igazán, . De ami a sebességet illeti. Eszközökés merőleges AB, ebből adódóan.Pontosan ugyanaz.

b) A sebességterv oldalai arányosak a test síkjának megfelelő egyenes szakaszaival.

Mert, akkor ebből az következik, hogy a sebességterv oldalai arányosak a test síkján lévő egyenes szakaszokkal.

Ezeket a tulajdonságokat kombinálva megállapítható, hogy a sebességterv hasonló a megfelelő test alakhoz, és ahhoz képest 90˚-kal el van forgatva a forgásirányban, a sebességterv ezen tulajdonságai lehetővé teszik a testpontok sebességének grafikus meghatározását.

6. példa.A 12. ábra a méretezés mechanizmusát mutatja. Ismert szögsebesség link OA.

12. ábra

Megoldás.Sebességterv készítéséhez ismerni kell egy pont sebességét és legalább egy másik sebességvektorának irányát. Példánkban meghatározhatjuk a pont sebességét A : és vektorának iránya.

13. ábra

Tegye félre (13. ábra) a ponttól O skálázniA csúszka sebességvektorának iránya ismert BAN BEN– vízszintes. A pontból merítjük a sebességtervet RÓL RŐL közvetlenéna sebesség irányába, ahol a pontnak kell lennieb, amely meghatározza ennek a pontnak a sebességét BAN BEN. Mivel a sebességterv oldalai merőlegesek a mechanizmus megfelelő láncszemeire, akkor a ponttól A húzz egy egyenest merőlegesen AB az egyenes metszéspontja előtt én. A metszéspont határozza meg a pontotb, és innen ered a pont sebessége BAN BEN : . A sebességterv második tulajdonsága szerint az oldalai hasonlóak egy mechanizmus láncszemeihez. Pont VAL VEL oszt AB felére, ami azt jelenti Val vel meg kell osztani A bfélbe. Pont Val vel meghatározza a sebességtervben a sebesség nagyságát és irányát(Ha Val vel ponthoz csatlakozni RÓL RŐL).

Sebességpontok E egyenlő nullával, tehát a pont e a sebességtervön egybeesik a ponttal RÓL RŐL.

Következő, legyenÉs . Megrajzoljuk ezeket a vonalakat, és megtaláljuk a metszéspontjukatd.Vonalszakasz O d meghatározza a sebességvektort.

7. példa.A tagoltban négyszeműOABC hajtókarO.A.cm egyenletesen forog egy tengely körül RÓL RŐL szögsebességgelω = 4 s -1 és hajtókar segítségével AB= 20 cm a hajtókar elfordulását okozza Nap a tengely körül VAL VEL(13.1. ábra, A). Határozza meg a pontok sebességét! AÉs BAN BEN, valamint a hajtórúd szögsebességeit ABés forgatja Nap.

A) b)

13.1. ábra

Megoldás.Pont sebessége A hajtókar O.A.

Pontot véve A a pólus mögött hozzunk létre egy vektoregyenletet

Ahol

Ennek az egyenletnek a grafikus megoldását a 13.1. ábra mutatja ,b(sebességterv).

A kapott sebességterv segítségével

A hajtórúd szögsebessége AB

Pont sebessége BAN BEN a test két pontjának sebességének az őket összekötő egyenesre való vetületeire vonatkozó tétel segítségével

B és a hajtókar szögsebessége NE

Egy síkidom pontjainak gyorsulásának meghatározása

Mutassuk meg, hogy bármely pont gyorsulása M egy lapos alakzat (valamint a sebesség) azokból a gyorsulásokból áll, amelyeket a pont ennek az alaknak a transzlációs és forgó mozgása során kap. Pont pozíció M a tengelyekhez képest RÓL RŐL xy (lásd 30. ábra) határozzuk meg sugárvektor- vektor közötti szögés egy szegmens MA(14. ábra).

Így bármely pont gyorsulása M lapos figura geometriailag egy másik pont gyorsulásából áll össze A, pólusnak vesszük, és a gyorsulást, ami a lényeg M az ábra e pólus körüli elforgatásával kapott. A gyorsulás modulja és iránya, a megfelelő paralelogramma megszerkesztésével találjuk meg (23. ábra).

Azonban a számítás és a gyorsulás Valamikor A ez a szám jelenleg; 2) egy másik pont pályája BAN BEN figurák. Egyes esetekben az ábra második pontjának pályája helyett elegendő a pillanatnyi sebességközéppont helyzetét ismerni.

A feladatok megoldása során a testet (vagy mechanizmust) abban a helyzetben kell ábrázolni, amelyhez a megfelelő pont gyorsulását meg kell határozni. A számítás azzal kezdődik, hogy a probléma adatai alapján meghatározzuk a pólusnak vett pont sebességét és gyorsulását.

Megoldási terv (ha egy lapos alakzat egyik pontjának sebessége és gyorsulása, valamint az ábra másik pontjának sebessége és gyorsulása adott):

1) Határozza meg a sebességek pillanatnyi középpontját úgy, hogy egy sík alak két pontjának sebességére merőlegeseket készít!

2) Határozza meg az ábra pillanatnyi szögsebességét!

3) Határozzuk meg a pólus körüli pont centripetális gyorsulását, ami nullával egyenlő az összes gyorsulástagnak az ismert gyorsulási irányra merőleges tengelyre vetített vetületeinek összegével.

4) Határozza meg a forgási gyorsulás modulusát úgy, hogy az összes gyorsulástag vetületének összegét nullával egyenlővé teszi az ismert gyorsulási irányra merőleges tengelyre.

5) Határozza meg egy lapos alak pillanatnyi szöggyorsulását a talált forgási gyorsulásból!

6) Határozza meg egy pont gyorsulását egy sík ábrán a gyorsuláseloszlási képlet segítségével!

A feladatok megoldása során alkalmazhatja a „egy abszolút merev test két pontjának gyorsulási vektorainak vetületeire vonatkozó tételt”:

„Egy abszolút merev, síkkal párhuzamos mozgást végző test két pontjának gyorsulási vektorának vetületei egy egyenesre, a két ponton átmenő egyeneshez képest elforgatva, ennek a testnek a mozgássíkjában szöget bezárvaa szöggyorsulás irányában egyenlőek.”

Ezt a tételt akkor célszerű alkalmazni, ha egy abszolút merev testnek csak két pontjának a gyorsulása ismert, mind nagyságrendben, mind irányban, ennek a testnek csak a gyorsulási vektorainak irányai ismertek (a test geometriai méretei nem ismertek), nem ismertekÉs – ennek megfelelően ennek a testnek a szögsebesség és szöggyorsulás vektorainak vetületei a mozgássíkra merőleges tengelyre, ennek a testnek a pontjainak sebességei nem ismertek.

Három további ismert módszer létezik egy lapos alak pontjainak gyorsulásának meghatározására:

1) A módszer egy abszolút merev test sík-párhuzamos mozgásának törvényeinek kétszeri időbeni differenciálásán alapul.

2) A módszer egy abszolút merev test pillanatnyi gyorsulási középpontjának felhasználásán alapul (az abszolút merev test pillanatnyi gyorsulási középpontját az alábbiakban tárgyaljuk).

3) A módszer egy abszolút merev test gyorsítási tervének alkalmazásán alapul.

Mutassuk meg, hogy bármely pont gyorsulása M egy lapos alakzat (valamint a sebesség) azokból a gyorsulásokból áll, amelyeket a pont ennek az alaknak a transzlációs és forgó mozgása során kap. Pont pozíció M a tengelyekhez képest Oxy(lásd a 30. ábrát) a sugárvektor határozza meg, ahol . Akkor

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán az első tag a pólus gyorsulása A, a második tag pedig azt a gyorsulást határozza meg, amelyet m pont kap, amikor az ábra a pólus körül forog A. ennélfogva,

Az értékét, mint egy forgó merev test egy pontjának gyorsulását a következőképpen határozzuk meg

ahol és az ábra szögsebessége és szöggyorsulása, valamint a vektor és a szakasz közötti szög MA(41. ábra).

Így bármely pont gyorsulása M lapos figura geometriailag egy másik pont gyorsulásából áll össze A, pólusnak vesszük, és a gyorsulást, ami a lényeg M az ábra e pólus körüli elforgatásával kapott. A gyorsulás modulját és irányát a megfelelő paralelogramma megszerkesztésével találjuk meg (23. ábra).

A 23. ábrán látható paralelogrammával történő számítás azonban bonyolítja a számítást, mivel először meg kell találni a szög értékét, majd az és a vektorok közötti szöget, ezért a feladatok megoldásánál célszerűbb a helyettesítés a vektort érintő- és normálkomponenseivel, és jelenítse meg formában

Ebben az esetben a vektor merőlegesen irányul AM forgásirányban, ha gyorsított, és forgás ellen, ha lassú; a vektor mindig a ponttól elfelé irányul M a rúdra A(42. ábra). Számszerűen

Ha a pólus A nem egyenesen mozog, akkor a gyorsulása az érintő és a normálkomponens összegeként is ábrázolható, akkor

41. ábra 42. ábra

Végül, amikor a lényeg M görbe vonalúan mozog és a pályája ismert, akkor helyettesíthető az összeggel.

Önellenőrző kérdések

A merev test milyen mozgását nevezzük síkbelinek? Mondjon példákat síkmozgást végrehajtó mechanizmuselemekre!

Milyen egyszerű mozgások alkotják egy merev test síkbeli mozgását?

Hogyan határozható meg egy test tetszőleges pontjának sebessége síkmozgásban?

A merev test melyik mozgását nevezzük síkpárhuzamosnak?

Komplex pontmozgás

Ez az előadás a következő kérdéseket fedi le:

1. Összetett pontmozgás.

2. Relatív, hordozható és abszolút mozgások.

3. Sebességösszeadás tétel.

4. Gyorsulási összeadás tétel. Coriolis gyorsulás.

5. Merev test összetett mozgása.

6. Hengeres fogaskerekek.

7. Transzlációs és forgó mozgások hozzáadása.

8. Helikális mozgás.

E kérdések tanulmányozása a jövőben szükséges a merev test síkmozgásának dinamikájához, az anyagi pont relatív mozgásának dinamikájához, a „Gépek és mechanizmusok elmélete” és a „Gépalkatrészek” tudományágak problémáinak megoldásához. .