belügyi igazgatóhelyettes________________ Jóváhagyom

Sz._____ Dátum 14.10.02

Tantárgy geometria

Osztály 10

Az óra témája:Két sík egymáshoz viszonyított helyzete. Párhuzamos síkok jele

Az óra céljai: ismertesse meg a síkok párhuzamosságának fogalmát, tanulmányozza a sík párhuzamosságának jelét és a párhuzamos síkok tulajdonságait

Az óra típusa: új tananyag elsajátítása

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezeti mozzanat.

A tanulók köszöntése, az osztály órára való felkészültségének ellenőrzése, a tanulók figyelmének megszervezése, az óra általános céljainak és tervének feltárása.

2. Új koncepciók, cselekvési módszerek kialakítása.

A két síkot únpárhuzamos, ha nincsenek közös pontjaik, pl. ha α = α (20. ábra).

1. tétel. Egy nem síkban fekvő ponton keresztül csak egy sík húzható párhuzamosan az adott síkkal.

Bizonyíték. Legyen adott egy repülőgépA és az A pont, A A . Repülőn A vegyünk két metsző vonalata és b : A , b , A = B (21. ábra) Ezután az 1. Tétel (2.§, 2.1. pont) a ponton keresztülA egyenes vonalakat tudsz húzniA 1 És b 1 oly módon, hogy A 1 || A És b 1 || b Tehát az axióma szerintIIIcsak egy repülő van , metsző vonalakon halad átA 1 És b 1 . Most már meg kell mutatni, hogy α, azaz α = .

Ez ne így legyen, pl. síkok metszik egymást egy egyenesben c.Akkor legalább az egyik sorA vagyb nem párhuzamos a vonallalVal vel. A határozottság kedvéért tételezzük felA Val vel ÉsA Val vel = S.

Ennélfogva,a 1 c és csakúgy, mint a 2. Tétel bizonyítása a 2. §-ból, megvana 1 c= VAL VEL, azok.A 1 a = C.

Ez ellentmond annak, hogy a, ||A . Ezért α = α . A tétel bebizonyosodott.

2. tétel. Ha két párhuzamos síkot metszünk egy harmadik síkkal, akkor a metszésvonalaik párhuzamosak, azaz α, a = α, b = => A|| b(rizs.22 ).

Tehát a térben két sík kétféleképpen helyezhető el egymással:

a síkok egyenes vonalban metszik egymást;

a síkok párhuzamosak.

Párhuzamos síkok jele

3. tétel. Ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két egyenesével, akkor ezek a síkok párhuzamosak.

4. tétel. A párhuzamos síkok által határolt párhuzamos egyenesek szakaszai egyenlőek,egymás között.

3. Alkalmazás. A készségek és képességek kialakulása.

Célok: Annak biztosítása, hogy a tanulók alkalmazzák azokat az ismereteket és cselekvési módszereket, amelyekre szükségük van az SR-hez, feltételek megteremtése a tanulók számára, hogy azonosítsák a tanultak alkalmazásának egyéni módjait. 24. oldal No. 87,88,89,90(1)

4.Házi feladat információs szakasz.

Célok: Annak biztosítása, hogy a tanulók megértsék a házi feladat elkészítésének célját, tartalmát és módszereit 22 p3 90.

5. A lecke összegzése.

Cél: Minőségi értékelést adni az osztály és az egyes tanulók munkájáról.

6. Reflexiós szakasz.

7. kérdés.

A térben két sík lehet egymással párhuzamos, és adott esetben egybeeshet egymással, vagy metszi egymást. Az egymásra merőleges síkok az egymást metsző síkok speciális esetei, és az alábbiakban lesz szó róla.

Párhuzamos síkok. A síkok akkor párhuzamosak, ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két metsző egyenesével. Különböző feladatok megoldása során gyakran szükséges egy adott A ponton keresztül, egy adott α síkkal párhuzamos β síkot rajzolni.

ábrán. 81 α síkot két egymást metsző a és b egyenes határozza meg. A szükséges β síkot az a1 és b1 egyenesek határozzák meg, amelyek párhuzamosak a-val és b-vel, és átmennek egy adott A1 ponton.

Metsző síkok. Két sík metszésvonala egy egyenes, amelynek megszerkesztéséhez elegendő két mindkét síkra közös pontot, vagy egy pontot és a síkok metszésvonalának irányát meghatározni.

Mielőtt megvizsgálnánk két sík metszésvonalának megszerkesztését, elemezzünk egy fontos és segédproblémát: megkeressük egy általános egyenes és a vetületi sík metszéspontjának K pontját.

Legyen például adott egy a egyenes és egy vízszintesen vetülő α sík (82. ábra). Ekkor a kívánt pont K1 vízszintes vetületének egyszerre kell feküdnie az α sík α1 vízszintes vetületén és az a egyenes a1 vízszintes vetületén, azaz. az a1 és az α1 metszéspontjában (83. ábra). A K pont K2 frontális vetülete a vetületi kapcsolat vonalán és az a egyenes a2 frontális vetületén található.

Most nézzük meg a metsző síkok egyik speciális esetét, amikor az egyik kivetül.

ábrán. A 84. ábra az ABC háromszög által meghatározott általános helyzetsíkot és a vízszintesen vetülő α síkot mutatja. Keressünk két közös pontot ennek a két síknak. Nyilvánvaló, hogy az ∆ABC és α síkok közös pontjai az ABC háromszög AB és BC oldalainak metszéspontjai az α vetületi síkkal. Az ilyen D és E pontok felépítése mind a térrajzon (84. ábra), mind a diagramon (85. ábra) a fent tárgyalt példa után nem okoz nehézséget.

A D és E pontok azonos vetületeinek összekapcsolásával megkapjuk az ∆ ABC sík és az α sík metszésvonalának vetületeit.

Így az adott síkok metszésvonalának D1E1 vízszintes vetülete egybeesik az α vetületi sík vízszintes vetületével - annak α1 vízszintes nyomaival.

Nézzük most az általános esetet. Legyen két α és β általános sík adott a térben (86. ábra). A metszésvonaluk megszerkesztéséhez, amint fentebb megjegyeztük, meg kell találni két közös pontot mindkét síkban.

Ezen pontok meghatározásához az adott síkokat két segédsík metszi. Ilyen síknak célszerűbb a kiálló síkokat és különösen a vízszintes síkokat venni. ábrán. A 86. ábrán a γ szint első segédsíkja metszi ezeket a síkokat a h és h1 vízszintesek mentén, amelyek meghatározzák az 1 pontot, amely közös az α és β síkkal. Ezt a pontot a h2 és h3 vízszintes egyenesek metszéspontja határozza meg, amelyek mentén a δ segédsík metszi ezeket a síkokat.

Nem kevesebb, mint 1, tehát legalább 1 elem különbözik nullától. Legyen 1 és 2 metszéspontja, közös egyenesük van, közös rendszerük van, nem párhuzamosak, de konzisztensek, ami azt jelenti. Legyen 1 és 2 párhuzamos: , . Ha a koordinátarendszer derékszögű, akkor ezek normálvektorok. Két vektor közötti szög koszinusza:

Két sík merőlegességének szükséges és elégséges feltétele:

Vagy

20. Különféle módok egy vonal meghatározására a térben. Egyenes és lapos. 2 sor a térben. Két egyenes közötti szög. Megjegyzés. Egy térbeli egyenes nem határozható meg egyetlen egyenlettel. Ehhez két vagy több egyenletrendszerre van szükség. Az első lehetőség, hogy egyenleteket állítsunk össze egy térbeli egyenesre, ha ezt az egyenest két, az egyenletek által megadott nem párhuzamos sík metszéspontjaként képzeljük el. A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 és A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0, ahol együtthatók A 1 , B 1 , C 1És A 2 , B 2 , C 2 nem arányos: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1=0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0 Sok feladat megoldásánál azonban célszerűbb az egyenes más egyenleteit használni, amelyek explicit formában tartalmazzák a ponton áthaladó egyenes egyenleteit М 0 (x 0 , y 0 , z 0) párhuzamos a vektorral a =(l,m,n).Definíció. Minden, egy adott egyenessel párhuzamos nem nulla vektort annak nevezünk útmutató vektor.Bármely pontra M(x,y,z), adott egyenesen, vektoron fekszik M 0 M = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0) kollineáris az irányvektorral A . Ezért a következő egyenlőségek érvényesek:

hívott kanonikus egyenletek egyenesen a térben. Különösen, ha egy két ponton áthaladó egyenes egyenleteit kell megszereznie: M 1 (x 1, y 1, z 1) És M 2 (x 2, y 2, z 2), egy ilyen egyenes irányvektorát vektornak tekinthetjük M 1 M 2 = {x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1), és a (8.11) egyenletek a következőt öltik:

- két adott ponton átmenő egyenes egyenletei. Ha az egyenletekben szereplő egyenlő törtek mindegyikét egy bizonyos paraméternek vesszük t, beszerezheti az ún az egyenes paraméteres egyenletei:

. Ahhoz, hogy az egyenletekről egy egyenes kanonikus vagy parametrikus egyenletére térjünk át, meg kell találni ennek az egyenesnek az irányvektorát és a hozzá tartozó bármely pont koordinátáit. Az egyenes irányvektora mindkét síkra merőleges a normálokra, ezért kollineáris a vektorszorzatukra. Ezért választhatunk [ n 1 n 2 ] vagy bármely arányos koordinátákkal rendelkező vektor. Egy adott egyenesen fekvő pont megkereséséhez tetszőlegesen megadhatja annak egyik koordinátáját, a másik kettőt pedig az egyenletek közül úgy választva ki, hogy az együtthatójuk determinánsa ne legyen nulla.

Az egyenesek közötti szög. Az egyenes és a sík közötti szög. Az egyenesek közötti szög a térben egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Ezért ha két egyenest az alak kanonikus egyenlete ad meg

És
A köztük lévő szög koszinuszát a következő képlet segítségével találhatjuk meg:

. Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei szintén az irányvektoraik megfelelő feltételeire redukálódnak:

- párhuzamosság feltétele,

- vonalak merőlegességének feltétele. A kanonikus egyenletek által megadott egyenes közötti φ szög

és az általános egyenlettel meghatározott sík Axe + By + Cz + D= 0, az egyenes irányvektora és a sík normálja közötti ψ szög komplementerének tekinthető. Akkor

Az egyenes és a sík párhuzamosságának feltétele a vektorok merőlegességének feltétele n És A : Al + Bm + Cn= 0, a az egyenes és a sík merőlegességének feltétele– ezen vektorok párhuzamosságának feltétele: A/l = B/m = C/n.

21. ellipszis kanonikus egyenlete. Tulajdonságok. egy olyan egyenes, amelyet néhány derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 kanonikus egyenlet határoz meg, feltéve, hogy a≥b>0. Az egyenletből az következik, hogy az ellipszis minden pontjára │x│≤ a és │у│≤ b. Ez azt jelenti, hogy az ellipszis egy téglalapban fekszik, amelynek 2a és 2b oldala van. Az ellipszisnek a kanonikus koordinátarendszer tengelyeivel (a, 0), (-a, 0), (0, b) és (0, -b) koordinátákkal rendelkező metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. ellipszis. Az a és b számokat fél-nagy, illetve fél-melléktengelynek nevezzük. C1. A kanonikus koordinátarendszer tengelyei az ellipszis szimmetriatengelyei, a kanonikus rendszer kezdete pedig a szimmetriaközéppontja. Az ellipszis megjelenését legkönnyebben egy a sugarú körhöz hasonlítjuk, amelynek középpontja pont az ellipszis középpontja: x 2 + y 2 = a 2. Minden olyan x-re, hogy I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Kanonikus hiperbola egyenlet. Tulajdonságok. Hiperbolának neveztük azt az egyenest, amelyet egy bizonyos derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 kanonikus egyenlet határoz meg. Ebből az egyenletből világos, hogy a hiperbola minden pontjára │ x│≥a, azaz a hiperbola minden pontja a 2a szélességű függőleges sávon kívül esik. A kanonikus koordinátarendszer abszcissza tengelye a hiperbolát az (a, 0) és (-a, 0) koordinátájú pontokban metszi, amelyeket a hiperbola csúcsainak nevezünk. Az y tengely nem metszi a hiperbolát. Így a hiperbola két nem kapcsolódó részből áll. Ezeket ágainak nevezik. Az a és b számokat a hiperbola valós, illetve képzeletbeli féltengelyének nevezzük. Hiperbola esetén a kanonikus koordinátarendszer tengelyei a szimmetriatengelyek, a kanonikus rendszer origója pedig a szimmetria középpontja A hiperbola alakjának vizsgálatához megtaláljuk a metszéspontját egy tetszőleges, az origón áthaladó egyenessel . Az egyenes egyenletét y = kx alakba vesszük, hiszen már tudjuk, hogy az x = 0 egyenes nem metszi a hiperbolát. A metszéspontok abszcisszáit az x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1 egyenletből találjuk meg. Ezért ha b 2 – a 2 k 2 >0, akkor x = ± ab / √b 2 – a 2 k 2 . Ez lehetővé teszi a metszéspontok (ab/u, abk/u) és (-ab/u, -abk/u) koordinátáinak megadását, ahol u = (b 2 - a 2 to 2) 1/2.

Az y = bx/a és y = -bx/a egyenletekkel rendelkező egyeneseket a kanonikus koordinátarendszerben hiperbola aszimptotáinak nevezzük. C2. A hiperbola pontja és az aszimptoták közötti távolságok szorzata állandó és egyenlő a 2 b 2 /(a 2 + b 2) értékkel. C3. Ha egy pont úgy mozog egy hiperbola mentén, hogy az abszcisszája abszolút értékben korlátlanul növekszik, akkor a pont és az egyik aszimptota távolsága nullára hajlik. Vezessük be a c számot úgy, hogy c 2 =a 2 +b 2 és c > 0. A hiperbola fókuszpontjai a kanonikus (c, 0) és (-c, 0) koordinátájú F 1 u F 2 pontok. koordináta-rendszer. Az e = c/a arányt, mint egy ellipszis esetében, excentricitásnak nevezzük. A hiperbola e > 1. C4. A hiperbolán lévő tetszőleges M (x, y) pont és az egyes gócok távolsága a következőképpen függ az x abszcisszától: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M │=│a +ex│. C5. Ahhoz, hogy az M pont egy hiperbolán feküdjön, szükséges és elegendő, hogy a fókuszpontok távolságának különbsége abszolút értékben egyenlő legyen a 2a hiperbola valós tengelyével. A hiperbola irányítói a kanonikus koordinátarendszerben az x=a/ , x=-a/ egyenletekkel meghatározott egyenesek. C6. Ahhoz, hogy egy pont hiperbolán feküdjön, szükséges és elegendő, hogy a fókusz távolságának és a megfelelő irányvonal távolságának aránya egyenlő legyen az excentricitással. Az M 0 (x 0,y 0) pontban lévő hiperbola érintőjének egyenlete a következőképpen alakul: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. A hiperbola érintője az M 0 (x 0,y 0) pontban az ezt a pontot a fókuszokkal összekötő szakaszok közötti szög felezője.

23. Parabola kanonikus egyenlete. Tulajdonságok. elneveztük az egyenest, amelyet valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az y 2 = 2рх kanonikus egyenlet határoz meg, feltéve, hogy p > 0. Az egyenletből következik, hogy a parabola minden pontjára x≥0. Egy parabola halad át a kanonikus koordináta-rendszer origóján. Ezt a pontot a parabola csúcsának nevezzük. A parabola fókusza a kanonikus koordinátarendszerben (p/ 2, 0) koordinátákkal rendelkező F pont. A parabola irányítópontja a kanonikus koordinátarendszerben az x = -p/2 egyenletű egyenes. C1. A parabolán fekvő M (x, y) pont és a fókusz távolsága r=x+p/2. C2. Ahhoz, hogy az M pont egy parabolán feküdjön, szükséges és elegendő, hogy egyenlő távolságra legyen a fókusztól és az irányítóponttól, ettől a parabolától. A parabolához e = 1 excentricitás tartozik. Ezen konvenció értelmében az r/d=e képlet igaz ellipszisre, hiperbolára és parabolára. Vezessük le a parabola érintőjének egyenletét a rajta fekvő M 0 (x 0 ,y 0) pontban, alakja yy 0 = p(x+x 0). C3 A parabola érintője az Mo pontban a Mo-t a fókuszponttal összekötő szakasz és az ebből a pontból a parabola tengelye irányában kiinduló sugár által bezárt szög felezőpontja.

24. Algebrai egyenesek. Az algebrai egyenesek egy síkon való meghatározása azt jelenti, hogy valamilyen F(x,y)=0 alakú algebrai egyenletet és egy kör affin koordinátarendszerét a síkon, majd azokat és csak azokat az M(x,y) koordinátákat, amelyeknek a koordinátái kielégítik az egyenletet. adott egyenletre vonatkoznak. Hasonlóképpen állítjuk be az F(x,y,z)=0(z) formájú algebrai egyenleteket, 3 változóval és egy bizonyos OXYZ koordinátarendszerrel. azok az F(x,y,z )=0(z) pontok a sík egyenlete. Ugyanakkor úgy gondoljuk, hogy két egyenlet ugyanazt az egyenest vagy felületet definiálja, stb., stb., amikor az egyik egyenlet a másikból egy bizonyos lambda 0 numerikus tényezővel való megszorzással adódik.

25. Az algebrai felület fogalma. Tetszőleges ponthalmazok tanulmányozása egy hatalmas feladat. Definíció: Az algebrai felület olyan pontok halmaza, amelyek valamilyen derékszögű koordinátarendszerben megadhatók a +...+ =0 alakú egyenlettel, ahol az összes kitevő. nem negatív egész számok az összegek közül a legnagyobb (természetesen itt az egyenletben ténylegesen szereplő összegek közül a legnagyobbra gondolunk, azaz feltételezzük, hogy hasonló tagok behozatala után van legalább egy olyan tag, amelynek nem nulla együtthatója van. olyan kitevőösszeggel rendelkezik.) + + ,…., + + az egyenlet foka, valamint az algebrai felület sorrendje Ez a definíció különösen azt jelenti, hogy egy gömb, amelynek egyenlete a derékszögű téglalapban van koordinátarendszer alakja ( +( +( = , egy másodrendű algebrai felület. Tétel. Egy p rendű algebrai felület bármely derékszögű koordinátarendszerben megadható +…+ =0 rendű egyenlettel p.

26. 2. rendű hengeres felületek. Adjunk a P síknak valami másodrendű egyenest és egy csomó d párhuzamos egyenest úgy, hogy bármely d-re, amely nem párhuzamos P-vel, akkor a csomó azon egyeneseihez tartozó φ halmaza, amelyek a csomópontot metszik a γ egyenest irányítónak nevezzük, a φ-t metsző egyeneseket pedig generátorok. Vezessük le egy hengeres felület egyenletét az affin koordináta-rendszerhez viszonyítva. Legyen valamilyen K egy bizonyos P síkban, melynek egyenlete F(x,y) = 0, az a(a 1 a 2 a 3) d irányban párhuzamos a-val. Az M(x,y,z) pont valamilyen generatrixon fekszik, és N(x'y'o) ennek a generatrixnak a metszéspontja a P síkkal. Az MN vektor kollineáris lesz ta-val, ezért MN=ta, x '=x+ a 1 t; y’=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t tehát t= -z/a 3, akkor x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . Most már világos hogy az F(x,y)=0 egyenlet egy henger egyenlete az Oy tengellyel párhuzamos generátorokkal, és az F(y,z)=0 az Ox tengellyel párhuzamos generátorokkal Speciális eset: Legyen az egyenes a párhuzamos legyen (o,z), ezért a 1 = 0 a 2 =0 a 3 ≠0 F(x,y)=0, tehát annyi másodrendű sor, ahány henger: 1. Elliptikus henger x. 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. Hiperbolikus henger x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Parabola henger y 2 =2πx 4. Metsző síkpár x 2 /a 2 -. y 2 /b 2 =0 5. Párhuzamos síkpár x 2 /a 2 =1

27. 2. rendű kanonikus felületek. Egy olyan felületet, amelyen van egy M o pont, amelynek az a tulajdonsága, hogy minden M o ≠M ponttal együtt tartalmaz egy egyenest (M o M), az ilyen felületet kanonikusnak vagy kúpnak nevezzük. M o a kúp csúcsa, az egyenesek pedig a generátorai. Egy F(x,y,z)=0 függvényt homogénnek nevezünk, ha F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), ahol φ(t) t függvénye. Tétel. Ha F(x,y,z) egy homogén függvény, akkor az egyenlettel definiált felület egy kanonikus felület, amelynek origója csúcsa. Doc. Legyen adott egy affin koordináta-rendszer, és ebből egy F(x,y,z)=0 középpontú kanonikus egyenlet. Tekintsünk egy egyenletet, amelynek csúcsa az O pontban M(x,y,z)=0, akkor az F-ből származó bármely OM pont M 1 (tx,ty,tz) alakú lesz a kanonikus felületen. M o M(x,y,z), mivel kielégíti a felületet, akkor F(tx,ty,tz)=0 egy homogén függvény φ(t) F(x,y,z)=0 tehát a felület kánoni. A 2. rendű görbék az x 2 +y 2 -z 2 =0/ síkok véges felületének metszete. Kanonikus felületek síkokkal történő vágásakor a metszetben a következő egyeneseket kapjuk: a) ponton átmenő sík, ill. összevont vonalpár és egy metsző egyenes pár. B) a sík nem megy át a kúp csúcsán, ezért a metszetben vagy ellipszist, hiperbolát vagy parabolát kapunk.

28. Forgásfelületek. Adjunk meg egy derékszögű keretet 3 dimenziós térben. A P sík átmegy Oz-on, γ az Ozy síkban van megadva, az xOy=φ γ szög pedig u=f(z) alakú. Vegyünk egy M pontot a γ-ból az Oxyz referenciahoz képest. γ – γM körülírt körét γ-ból minden M ponton leképezésnek nevezzük. A forgási tengelyen átmenő sík forgásfelületének szakaszát meridiánnak nevezzük. A sík forgási felületének a forgástengelyre merőleges szakaszát párhuzamosnak nevezzük. A forgásfelület egyenlete x 2 +y 2 =f 2 (z) – a forgásfelület egyenlete. 1) Ha a φ=0 szög, akkor γ az xOz síkban van, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ az xOy síkban van és egyenlete y=g(x), akkor y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ az yOz síkban van, és egyenlete z=h(y), akkor z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Ellipszoidok. Az a felület, amelyet egy ellipszis szimmetriatengelyei körüli forgatásával kapunk. Az e 3 vektort először az ellipszis kistengelye, majd a nagytengely mentén irányítva megkapjuk az ellipszis szintjét a következő formákban: . A képlet alapján a megfelelő forgásfelületek szintjei lesznek = 1 (a>c). Az ilyen szintű felületeket összenyomott (a) és visszahúzott (b) forgásellipszoidoknak nevezzük.

Minden egyes M (x, y, z) pontot eltolunk egy tömörített forgásellipszoidon az y=0 síkra úgy, hogy a pont és a sík közötti távolság állandó λ arányban csökkenjen minden pontra.<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , ahol b=λa. Azt a felületet, amelynek valamilyen derékszögű koordinátarendszerben ez az egyenlete van, ellipszoidnak (c) nevezzük. Ha véletlenül kiderül, hogy b=c, akkor ismét egy forradalmi ellipszoidot kapunk, de már megnyúlt. Az ellipszoid, akárcsak a forradalom ellipszoidja, amelyből származik, zárt korlátos felület. Az egyenletből jól látható, hogy a kanonikus koordinátarendszer origója az ellipszoid szimmetriaközéppontja, a koordinátasíkok pedig a szimmetriasíkjai. Az x 2 +y 2 +z 2 =a 2 gömbből az y=0 és z =0 síkra λ=b/a és μ=c/a arányban összenyomva ellipszoidot kaphatunk.

30. Hiperboloidok.A forradalom egylapos hiperboloidja a hiperbola olyan tengely körüli forgásfelülete, amely nem metszi azt. A képlet szerint megkapjuk ennek a felületnek az egyenletét (48. ábra). Egy lapos elforgatású hiperboloidnak az y=0 síkra való összenyomásakor egy egylapos hiperboloidot kapunk ur . Az egylapos hiperboloid érdekes tulajdonsága az egyenes vonalú generátorok jelenléte. Így nevezik azokat az egyeneseket, amelyeknek minden pontja a felszínen fekszik. Az azonos nemű hiperboloid minden pontján keresztül két egyenes vonalú generátor halad át, amelyek szintjeit a következőképpen kaphatjuk meg. A (8) egyenlet átírható így . Tekintsünk egy egyenest a μ =λ, λ =μ (9) egyenletekkel, ahol λ és μ néhány szám (λ 2 +μ 2 ≠0). Az egyenes minden pontjának koordinátái mindkét egyenletet kielégítik, így a (8) egyenletet is, amelyet tagonkénti szorzással kapunk. Ezért bármi is legyen λ és μ, a (9) egyenletű egyenes egy egylapos hiperboloidon fekszik. Így a (9) rendszer egyenes vonalú generátorok családját határozza meg. Ha egy hiperbolával együtt elforgatjuk az aszimptotáit, akkor azok egy jobb oldali körkúpot írnak le, amelyet a forradalom hiperboloidjának aszimptotikus kúpjának neveznek. Amikor egy fordulathiperboloidot összenyomnak, aszimptotikus kúpja egy általános egylapos hiperboloid aszimptotikus kúpjává préselődik.

Kétlapos hiperboloid. A kétlapos fordulathiperboloid egy hiperbola elforgatásával kapott felület az azt metsző tengely körül. A képlet szerint megkapjuk a forradalom kétlapos hiperboloidjának ur-e-jét Ennek a felületnek az y=0 síkra való összenyomása eredményeként egy ur értékű felületet kapunk (12). Egy olyan felületet, amelynek valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben (12) alakú egyenlete van, kétlapos hiperboloidnak nevezzük (49. ábra). A hiperbola két ága itt a felszín két egymással nem összefüggő részének („üregének”) felel meg. Egy kétlapos hiperboloid aszimptotikus kúpját ugyanúgy határozzuk meg, mint egy egylapos hiperboloid esetében.

31. Paraboloidok.Elliptikus paraboloid. Az x 2 =2pz parabolát a szimmetriatengelye körül elforgatva egy x 2 +y 2 =2pz szintű felületet kapunk. A forradalom paraboloidjának hívják. Az y=0 síkra való összenyomás a forgásparaboloidot felületté alakítja, melynek szintje 2z (14) alakra csökken. Azt a felületet, amelynek valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben ilyen szintje van, elliptikus paraboloidnak nevezzük. Hiperbolikus paraboloid. Az ur-e (14) analógiájára ur-e-t írhatunk Azt a felületet, amelynek valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben ilyen szintje van, hiperbolikus paraboloidnak nevezzük. Egy hiperbolikus paraboloid z= x 2 /a 2 - y 2 /b 2 kanonikus egyenletéből az következik, hogy az Oxz és Oyz síkok szimmetriasíkok. Az Oz tengelyt a hiperbolikus paraboloid tengelyének nevezzük. A hiperbolikus paraboloid és a z=h síkok metszéspontjának egyenesei h > 0 esetén a hiperbolák x 2 /a *2 - y 2 /b *2. =1 féltengelyekkel a * = a√h , b * =b√h , és h esetén<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Komplex számok. Komplex szám algebrai alakja. A komplex szám z = x + iу formájú kifejezés, ahol x és y valós számok, i pedig képzeletbeli egység. Az x számot a z szám valós részének nevezzük, és Re(z)-nek jelöljük, az y számot pedig a z szám képzeletbeli része, és Im(z)-vel jelöljük. A z = x + iy és z = x - iy számokat konjugáltnak nevezzük. Két z 1 = x 1 + iу 1 és z 2 = x 2 + iу 2 komplex számot egyenlőnek nevezünk, ha valós és képzetes részeik egyenlőek. Különösen i 2 =-1. A komplex számok halmazán végzett aritmetikai műveletek meghatározása a következőképpen történik. 1. Összeadás: z 1+ z 2 =x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2); 2.Kivonás: z 1 -z 2 =x 1 -x 2 +i(y 1 -y 2); 3. Szorzás: z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1); Osztás: z 1 /z 2 =((x 1 x 2 +y 1 y 2)+i(x 2 y 1 - x 1 y 2))/x 2 2 +y 2 2. Képviselni a c.ch. pontként szolgálnak az Oxy koordinátasíkon. Egy síkot komplexnek nevezzük, ha minden számot z = x + iу a z(x, y) síkon egy ponthoz van rendelve, és ez a megfeleltetés egy az egyhez. Az Ox és Oy tengelyeket, amelyeken a z=x+0i=x valós számok és a z=0+iy=iy tisztán képzeletbeli számok találhatók, valós, illetve imaginárius tengelyeknek nevezzük.

33. Komplex szám trigonometrikus alakja. Moivre képlete. Ha valódi xés képzeletbeli y fejezzük ki egy komplex szám részeit modulussal r = | z| és j(x=r cosj,y=r sinj) argumentum, akkor tetszőleges komplex szám z, a nulla kivételével beírható trigonometrikus forma z=r(cosj+isinj). A trigonometrikus forma jellemzői: 1) az első tényező egy nem negatív szám, r³0; 2) ugyanazon argumentum koszinuszát és szinuszát írják; 3) a képzeletbeli egységet megszorozzuk sinj-vel. Hasznos is lehet jelzésértékű komplex számok írási formája, amely szorosan kapcsolódik a trigonometriához az Euler-képlet révén: z=re i j. Ahol e i j a kitevő kiterjesztése összetett kitevő esetén. Egy képlet, amely lehetővé teszi egy trigonometrikus formában ábrázolt komplex szám hatványra emelését. Moivre képlete alakja: z= n =r n (cosnj+isin nj), ahol r a modulus, j pedig egy komplex szám argumentuma.

34. Műveletek polinomokon. Euklidész algoritmusa. Az n-edik fokú egyenlet általános alakja: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Meghatározzák az együtthatók halmazát. (a 0,a 1,…,a n -1, a n) tetszőleges komplex számok. Tekintsük az (1) bal oldalát: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -edik fokú polinomok. Két f(x) és g(x) polinomot akkor tekintünk egyenlőnek vagy azonosnak, ha az együtthatók azonos hatványokon egyenlők. Bármely polinomot együtthatók halmaza határoz meg.

Határozzuk meg az összeadás és szorzás műveleteit polinomokon: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 + b 1 x+…+b s x s n3s; f(x)+g(x)=c0+c1x+…+cnxn-1 +cn; c i =a i +b i, ha i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 + d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 = a 0 b 0; d 1 =a 0 b 1 + a 0 b 1; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0. A polinomok szorzatának foka egyenlő az összeggel, és a műveletek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k +b k)+c k =a k +(b k +c k); 3) . Az f(x) polinomot inverznek (x) nevezzük, ha f(x)* (x)=1. Polinomok halmazában az osztási művelet nem lehetséges. Az euklideszi térben létezik egy algoritmus a polinom maradékával való osztásra. f(x) és g(x) létezik r(x)És q(x) egyértelműen meghatározni. ; ; f(x)=g(x);; . Jobb oldali végzettség £ fok g(x), és a bal oldal foka innen innen - ellentmondáshoz jutottunk. Bebizonyítjuk a tétel első részét: . Szorozzuk meg g(x) egy polinommal úgy, hogy a vezető együtthatókat megszorozzuk.

Után k lépések.

; ; alacsonyabb végzettséggel rendelkezik q(x). Polinom q(x) - hányadosa f(x), a r(x) -a részleg maradéka. Ha f(x)És g(x) akkor legyenek valós együtthatók q(x)És r(x)- szintén érvényes.

35.Polinomok osztója. GCD. Legyen két nem nulla f(x) és j(x) polinom komplex együtthatóval. Ha a maradék nulla, akkor f(x) osztható j(x)-el, ha j(x) osztója f(x)-nek. A j(x) polinom tulajdonságai: 1) A j(x) polinom osztója lesz f(x)-nek, ha létezik Y(x) és f(x)= j(x)* Y(x) (1). j(x) osztó, Y(x) hányados. Legyen Y(x) teljesül (1), akkor az előző tételből Y(x) hányados, a maradék pedig 0. Ha (1) teljesül, akkor j(x) osztó, tehát j(x)<= степени f(x). A polinom oszthatóságának alapvető tulajdonságai: 1) ; 2 f(x) és g(x) elosztjuk j(x)-el, majd osztjuk j(x)-el; 3) ha ; 4) ha f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) minden polinom osztható bármely nulla fokú f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c polinommal; 6) ha f(x):j(x), akkor f(x):cj(x); 7) A cf(x) polinom, és csak ezek lesznek osztói a j(x) polinomnak, és ugyanolyan fokú, mint f(x); 8)f(x):g(x) és g(x):f(x), akkor g(x)=cf(x); 9) Az f(x) és cf(x) egyikének bármely osztója, c¹0 osztója lesz a másiknak. Meghatározás: Legnagyobb közös osztó (GCD). A j(x) polinomot f(x) és g(x) gcd-jének nevezzük, ha mindegyiket osztja. A nulla fokú polinomok mindig gcd és másodprímek. Az f(x) és g(x) nem nulla polinomok GCD-jét d(x)-nek nevezzük, ami közös osztó, és osztható e polinomok bármely más osztójával és közösével. GCD f(x) és g(x)= (f(x):g(x)). Algoritmus a GCD megtalálására: Legyen a g(x) fok<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x) + r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-GCD. Bizonyítsuk be. r k (x) osztója r k -1 (x)-nek® ő osztója r k -2-nek (x)…® ő osztója g(x)-nek® ő osztója f(x-nek). g(x)g 1 (x) osztva r k-vel (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) osztva r k-vel (x)® r 1 (x) osztva r k-vel (x) )® r 2 (x) osztva r k (x)®… q k (x): r k (x) osztva r k (x).

Két sík közötti szög. Körülmények párhuzamosság és merőlegesség két repülőgép:
legyen adott két Q 1 és Q 2 sík:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0

A síkok közötti szög az e síkok által alkotott kétszögek egyike.

Ha a síkok merőlegesek, akkor azok normálisak is, azaz. . De akkor, pl.

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. A kapott egyenlőség két sík merőlegességének feltétele.

Ha a síkok párhuzamosak, akkor a normáljaik is párhuzamosak lesznek. De akkor, mint ismeretes, a vektorok koordinátái arányosak: . Az az ami két sík párhuzamosságának feltétele.

A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete.

Az egyenesek közötti szög. Az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.

Ezen egyenesek közötti félszög az S 1 és S 2 irányvektorok közötti szög.

Az L 1 és L 2 egyenesek közötti hegyesszög meghatározásához a képlet jobb oldalán lévő számlálót modulo-ra kell venni.

Ha az L 1 és L 2 sorok merőleges, akkor ebben és csak ebben az esetben van cos =0. ezért a tört számlálója = 0, azaz. =0.

Ha az L 1 és L 2 sorok párhuzamos, akkor S 1 és S 2 irányvektoruk párhuzamos. ezért ezeknek a vektoroknak a koordinátái arányosak: .

Feltétel, amely mellett két egyenes egy síkban van:

=0.

Ha ez a feltétel teljesül, akkor az egyenesek vagy ugyanabban a síkban fekszenek, azaz vagy metszik egymást.

Egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete.

Az egyenes és a sík közötti szög. Egyenes és sík párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.

Adjuk meg a síkot az Ax + By + Cz + D=0 egyenlettel, az L egyenest pedig az egyenletekkel . Az egyenes és a sík közötti szög a két szomszédos szög bármelyike, amelyet egy egyenes és annak a síkra való vetülete alkot. Jelöljük a sík és az egyenes közötti szöggel.

.

Ha az L egyenes párhuzamos a Q síkkal, akkor az n és S vektorok merőlegesek, és ezért, i.e.

0 az párhuzamosság feltétele egyenes és sík.

Ha az L egyenes merőleges a Q síkra, akkor az n és S vektorok párhuzamosak. Ezért az egyenlőség

Vannak merőlegességi feltételek egyenes és sík.

Egy egyenes és egy sík metszéspontja. Az egyenes síkhoz tartozás feltétele:

Tekintsük az egyenest és sík Ах + By + Cz + D=0.

Az egyenlőségek egyidejű végrehajtása:

Ax 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 vannak egyenes síkhoz tartozás feltétele.

Ellipszis.

A pontok geometriai lokuszát, azon távolságok összegét, amelyektől a sík két rögzített pontja (általában fókuszpontoknak nevezzük) állandó, az ún. ellipszis.

Ha a koordinátatengelyek úgy helyezkednek el, hogy Ox átmegy az F 1 (C,0) és F 2 (-C,0) fókuszokon, és O(0,0) egybeesik az F 1 F 2 szakasz felezőpontjával, akkor F 1 M+ F 2 M mentén kapjuk:

az ellipszis kanonikus szintje ,

b2=-(c2-a2).

a és b az ellipszis féltengelyei, a a fő, a b a melléktengely.

Különcség. , (ha a>b)

(Ha egy

Az excentricitás az ellipszis domborúságát jellemzi.

Az ellipszis excentricitása: 0.

A =0 eset csak akkor fordul elő, ha c = 0, és ez egy kör esete - ez egy nulla excentricitású ellipszis.

Igazgatónők (D) A pontok geometriai lokuszát, az ellipszis egy pontja és az ellipszis ezen pontja és a fókusz közötti távolságok arányát állandó és egyenlő -vel. igazgatónők. .

Megjegyzés: egy körnek nincs irányítója.

Hiperbola.

A pontok geometriai lokuszát, a távolságok különbségének modulusát, amelytől a sík két rögzített pontja állandó, az ún. túlzás.

A hiperbola kanonikus egyenlete:
, Ahol .

A hiperbola egy másodrendű vonal.

A hiperbolának 2 aszimptotája van: és

Hiperbolának hívják egyenlő oldalú, ha a féltengelyei egyenlők. (a=b). Kanonikus egyenlet:

Különcség– a fókuszpontok távolságának a hiperbola valós tengelyéhez viszonyított aránya:

Mivel c>a hiperbola esetén a hiperbola excentricitása >1.

Az excentricitás jellemzi a hiperbola alakját: . Egy egyenlő oldalú hiperbola excentricitása egyenlő.

Igazgatónők- egyenes.

Fókuszsugarak: És .

Vannak hiperbolák, amelyeknek közös aszimptotái vannak. Az ilyen hiperbolákat ún konjugált.

Parabola.

Parabola– a sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott ponttól, amelyet fókusznak nevezünk, és egy adott egyenest, amelyet irányítónak nevezünk.

Távolság a fókusztól az irányvonalig - parabola paraméter(p>0).- félfokális átmérő.

A parabola egy másodrendű sor.

M(x,y) a parabola tetszőleges pontja. Kössük össze az M pontot az F-vel, és rajzoljunk az irányítóra merőleges MN szakaszt. A parabola definíciója szerint MF=MN. A 2 pont távolságának képletével a következőket kapjuk: => = =>

=>

A parabola kanonikus egyenlete:
y 2 = 2 képpont.

Ellipszoid.

Vizsgáljuk meg az egyenlettel definiált felületet:

Tekintsük egy felületnek az xOy síkkal párhuzamos síkjait. Az ilyen síkok egyenletei: z=h, ahol h tetszőleges szám. A szakaszban kapott egyenest két egyenlet határozza meg:

Vizsgáljuk meg a felületet:

A) ha akkor A felületnek a z = h síkokkal való metszésvonala nem létezik.

B) ha , akkor a metszésvonal két pontra (0,0,с) és (0,0,-с) degenerálódik. A z = c, z = - c sík érinti az adott felületet.

C) ha , akkor az egyenletek átírhatók a következőképpen: , mint látható, a metszésvonal egy ellipszis, melynek féltengelyei a1 = , b1 = . Ebben az esetben minél kisebb h, annál nagyobbak a féltengelyek. n=0-nál érik el legmagasabb értéküket. a1=a, b1=b. Az egyenletek a következő formában lesznek:

A figyelembe vett metszetek lehetővé teszik a felület zárt ovális felületként való ábrázolását. A felületet ellipszoidnak nevezzük, ha bármely féltengely egyenlő, akkor a háromtengelyű ellipszoid fordulatú ellipszoid, ha a=b=c, akkor gömb.

Hiperboloid és kúp.

Az axióma értelmében: két közös ponttal rendelkező síknak van közös egyenese - a síkok elrendezésének csak két esete lehetséges: 1) a síkok közös egyenessel rendelkeznek, azaz metszik egymást; 2) a síknak nincs egyetlen közös pontja, az ilyen síkokat párhuzamosnak nevezzük. A párhuzamos síkok létezése a következő konstrukcióból következik. Vegyünk a síkban (331. ábra) tetszőleges két a és b metsző egyenest.

Az X síkhoz nem tartozó M ponton keresztül az adatokkal párhuzamos a, illetve b egyeneseket húzzuk. Mutassuk meg, hogy az ezeket az egyeneseket tartalmazó sík párhuzamos a síkkal. Valójában, ha ezek a síkok egy bizonyos c egyenes mentén metszik egymást, akkor ez a síkhoz tartozó egyenes az a egyenesek legalább egyikével metszne, és egy ilyen metszéspont lenne ezek egyikének a metszéspontja. vonalak a síkkal. Ezalatt mindkét egyenes párhuzamos a síkkal. Így a síkok metszéspontjának feltételezése ellentmondáshoz vezet. Ezért a síkok párhuzamosak. ez arra utal

Párhuzamos síkok jele. Ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két metsző egyenesével, akkor a síkok párhuzamosak.