Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра.

На плоскости функция задает семейство кривых зависящих от параметра. Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. , , , , , , ).

Параллельный перенос

Пример . Для каждого значения параметра определить число решений уравнения.

Решение . Построим график функции.

Рассмотрим. Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ . Если, то решений нет;

если, то 3 решения;

если, то 2 решения;

если, 4 решения.

Поворот

Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение . Рассмотрим функцию и. График второй функции - это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 2).

Дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно. Угловой коэффициент касательной равен. Легко находится из системы

Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при.

Ответ . .

Пример . При каких уравнение имеет решение?

Решение . Рассмотрим функцию. Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на. Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые, которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число, а ОВ -- .

Ответ . При уравнение имеет 1 решение;

при остальных значениях параметра решений нет.

Гомотетия. Сжатие к прямой

Пример . Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

Решение . Имеем. Рассмотрим функцию. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами, второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше, то есть. Заметим, что есть.

Ответ . или.

Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения , содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

1. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x : .

2. В координатной плоскости x Oa строим график функции.

3. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции, б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

4. Если поставлена задача найти значения x , то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость. Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т . д. (см. , , ).

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение . Переходим к равносильной системе

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Ответ . При уравнение имеет два корня.

Пример . Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение . Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что, и - корни исходного уравнения лишь при условии. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости. На рисунке 5 искомый график - объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ . При, или, или.

ЛЕКЦИЯ 6-7. Элементы аналитической геометрии.

Поверхности и их уравнения.

Пример 1.

Сфера

Пример 2.

F(x,y,z)=0 (*),

Это - уравнение поверхности

Примеры :

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

Плоскость.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Рассмотрим плоскость в пространстве. Пусть М 0 (x 0 , y 0 , z 0) – данная точка плоскости Р, а - вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

(1) – векторное уравнение плоскости.

В координатной форме:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку .

Общее уравнение плоскости.

Раскроем скобки в (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 или

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Полученное уравнение плоскости линейно , т.е. уравнение 1 степени относительно координат x, y, z. Поэтому плоскость – поверхность первого порядка .

Утверждение : Всякое уравнение, линейное относительно x, y, z задает плоскость.

Любая плоскость м.б. задана уравнением (3), которое называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения.

а) D=0: Ax + By + Cz = 0. Т.к. координаты точки О(0, 0, 0) удовлетворяют этому уравнению, то заданная им плоскость проходит через начало координат.

б) С=0: Ax + By + D = 0. В этом случае нормальный вектор плоскости , поэтому плоскость, заданная уравнением параллельна оси OZ.

в) С=D=0: Ax + By = 0. Плоскость параллельна оси OZ (т.к. С=0) и проходит через начало координат (т.к. D=0). Значит, она проходит через ось OZ.

г) В=С=0: Ax + D = 0 или . Вектор , т.е. и . Следовательно, плоскость параллельна осям OY и OZ, т.е. параллельна плоскости YOZ и проходит через точку .

Самостоятельно рассмотреть случаи: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Т.к. все четыре точки принадлежат плоскости, то данные векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:

Получили уравнение плоскости, проходящей через три точки в векторной форме.

В координатной форме:

(7)

Если раскрыть определитель, то получим уравнение плоскости в виде:

Ax + By + Cz + D = 0.

Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (1,-1,0);

М 2 (-2,3,1) и М 3 (0,0,1).

, (x - 1)·3 - (y + 1)(-2) + z·1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть дано общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и D ≠ 0, т.е. плоскость не проходит через начало координат. Разделим обе части на –D: и обозначим: ; ; . Тогда

получили уравнение плоскости в отрезках .

где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) и С(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 , или 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Пример 2. Найти величины отрезков, которые отсекает плоскость

4x – y – 3z – 12 = 0 на осях координат.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Нормальное уравнение плоскости.

Пусть дана некоторая плоскость Q. Из начала координат проведем перпендикуляр ОР к плоскости. Пусть заданы |ОР|=р и вектор : . Возьмем текущую точку M(x, y, z) плоскости и вычислим скалярное произведение векторов и : .

Если спроектировать точку М на направление , то попадем в точку Р. Т.о., получим уравнение

(9).

Задание линии в пространстве.

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух поверхностей. Пусть точка M(x, y, z), лежащая на линии L, принадлежит как поверхности Р1, так и поверхности Р2. Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям обеих поверхностей. Поэтому под уравнением линии L в пространстве понимают совокупность двух уравнений, каждое из которых является уравнением соответствующей поверхности:

Линии L принадлежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям в (*). Позже мы рассмотрим и другие способы задания линий в пространстве.

Пучок плоскостей.

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

.

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем , что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:

Следовательно, плоскость, описываемая уравнением (1) или (2) принадлежит пучку.

2. Можно доказать и обратное : всякая плоскость, проходящая через прямую L, описывается уравнением (1) при соответствующем выборе параметра л.

Пример 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + y + 5z – 1 = 0 и 2x + 3y – z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Записываем уравнение пучка: x + y + 5z – 1 + л(2x + 3y – z + 2) = 0. Для нахождения л учтем, что М Р:

Всякую поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, обладающим некоторым свойством, общим для всех точек.

Пример 1.

Сфера – множество точек, равноудаленных от данной точки С (центра). С(x 0 ,y 0 ,z 0). По определению |СМ|=R или или . Данное уравнение выполняется для всех точек сферы и только для них. Если x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, то .

Аналогичным образом можно составить уравнение любой поверхности, если выбрана система координат.

Пример 2. x=0 – уравнение плоскости YOZ.

Выразив геометрическое определение поверхности через координаты ее текущей точки и собрав все слагаемые в одной части, получим равенство вида

F(x,y,z)=0 (*),

Это - уравнение поверхности , если координаты всех точек поверхности удовлетворяют данному равенству, а координаты точек, не лежащих на поверхности, не удовлетворяют.

Т.о., каждой поверхности в выбранной системе координат соответствует свое уравнение. Однако, не каждому уравнению вида (*) соответствует поверхность в смысле определения.

Примеры :

2x – y + z – 3 = 0 (плоскость)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – координаты ни одной точки не удовлетворяют.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – единственная точка (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – прямая (ось OZ).

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

.

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

,

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz .

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz . Так как любая точка, лежащая на оси Oz , имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0 , получим 4z - 8 = 0 или z = 2 . Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2) . Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

.

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

.

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему

Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :

,

или после деления знаменателей на -2:

,