Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Решение :

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):

Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I)

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

Значит, общий предел существует.

Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции , и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.

Общий предел существует.

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ : функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция .

Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:

I) Исследуем на непрерывность точку

2) Найдём односторонние пределы:

Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела : в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .

Вычислим правосторонний предел:

И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на:

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

II) Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим левосторонний предел:

Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .

По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число , даёт «плюс бесконечность»: .

Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число :

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:

Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 9

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.

Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде:

Исследуем функцию на непрерывность.

1) Функция не определена в точке .

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).

Пример 5: Решение : каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке

Как найти область определения функции?

Примеры решений

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции . Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций .

Лекция 4.

Непрерывность функций

1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Пусть функция y =f (x ) определена в точке х 0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y =f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Таким образом, условие непрерывности функции y =f (x ) в точке х 0 состоит в том, что:

Так как
, то равенство (32) можно записать в виде

(33)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (x ) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x ) вместо аргумента х подставить его предельное значение х 0 .

lim sin x =sin(lim x );

lim arctg x =arctg (lim x ); (34)

lim lоg x =lоg (lim x ).

Задание. Найти предел: 1)
; 2)
.

Дадим определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Т.к. условия
и
одинаковы (рис.4), то равенство (32) принимает вид:

или
.

Определение 2. Функция y =f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она определена в точке х 0 и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задание. Исследовать на непрерывность функцию y =2х 2 1.

Свойства функций, непрервных в точке

1. Если функции f (x ) и φ (x ) непрерывны в точке х 0 , то их сумма
, произведение
и частное
(при условии
) являются функциями, непрерывными в точке х 0 .

2. Если функция у =f (x ) непрерывна в точке х 0 и f (x 0)>0, то существует такая окрестность точки х 0 , в которой f (x )>0.

3. Если функция у =f (u ) непрерывна в точке u 0 , а функция u=φ (x ) непрерывна в точке u 0 =φ (x 0 ), то сложная функция y =f [φ (x )] непрерывна в точке х 0 .

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y =f (x ) называется непрерывной в интервале (a ; b ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y =f (x ) называется непрерывной на отрезке [a ; b ], если она непрерывна в интервале (a ; b ), и в точке х =а непрерывна справа (т.е.
), а в точке x =b непрерывна слева (т.е.
).

3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если х =х 0  точка разрыва функции y =f (x ), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

Пример.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва первого рода функции y =f (x ), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е.
и
. При этом:

Величину |A 1 -A 2 | называют скачком функции в точке разрыва первого рода. ▲

▼Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва второго рода функции y =f (x ), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. ▲

Задание. Найти точки разрыва и выяснить их тип для функций:

1)
; 2)
.

4. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).

Теорема 2. Пусть функции u =φ (x ) непрерывна в точке х 0 , а функция y =f (u ) непрерывна в точке u =φ (x 0 ). Тогда сложная функция f (φ (x )), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х 0 .

Теорема 3. Если функция y =f (x ) непрерывна и строго монотонна на [a ; b ] оси Ох , то обратная функция у =φ (x ) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c ;d ] оси Оу.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y =f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах неравные значения f (a )=A и f (b )=B ,
, то каково бы ни было число С , заключённое между А и В, найдётся точка
такая, что f (c )=C .

Геометрически теорема очевидна. Для любого числа С , заключённого между А и В , найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что f (С )=C . Прямая у =С пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция y =f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка [a ; b ] найдётся хотя бы одна точка с , в которой функция y =f (x ) обращается в нуль: f (c )=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох .

Эта статья - о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение .

Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение , тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле - для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой . Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Непрерывность функции и точки разрыва функции

✪ 15 Непрерывная функция

✪ Непрерывные функции

✪ Математический анализ, 5 урок, Непрерывность функции

✪ Непрерывная случайная величина. Функция распределения

Субтитры

Определение

Если «поправить» функцию f {\displaystyle f} в точке устранимого разрыва и положить f (a) = lim x → a f (x) {\displaystyle f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)} , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» возникает, если

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) {\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)} .

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty } или lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty } . [ ]

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в R n , n>1

Для функций f: R n → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} и f: C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация сходная.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в R {\displaystyle \mathbb {R} } считается скачком, в пространствах бóльших размерностей - существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке a {\displaystyle a} , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция f {\displaystyle f} непрерывна в точке a {\displaystyle a} и f (a) > 0 {\displaystyle f(a)>0} (или f (a) < 0 {\displaystyle f(a)<0} ), то f (x) > 0 {\displaystyle f(x)>0} (или f (x) < 0 {\displaystyle f(x)<0} ) для всех x {\displaystyle x} , достаточно близких к a {\displaystyle a} .
• Если функции f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} непрерывны в точке a {\displaystyle a} , то функции f + g {\displaystyle f+g} и f ⋅ g {\displaystyle f\cdot g} тоже непрерывны в точке a {\displaystyle a} .
• Если функции f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} непрерывны в точке a {\displaystyle a} и при этом g (a) ≠ 0 {\displaystyle g(a)\neq 0} , то функция f / g {\displaystyle f/g} тоже непрерывна в точке a {\displaystyle a} .
• Если функция f {\displaystyle f} непрерывна в точке a {\displaystyle a} и функция g {\displaystyle g} непрерывна в точке b = f (a) {\displaystyle b=f(a)} , то их композиция h = g ∘ f {\displaystyle h=g\circ f} непрерывна в точке a {\displaystyle a} .

Глобальные

• компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции f {\displaystyle f} , непрерывной на отрезке , является отрезок [ min f , max f ] , {\displaystyle [\min f,\ \max f],} где минимум и максимум берутся по отрезку [ a , b ] {\displaystyle } .
• Если функция f {\displaystyle f} непрерывна на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } и f (a) ⋅ f (b) < 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} то существует точка в которой f (ξ) = 0 {\displaystyle f(\xi)=0} .
• Если функция f {\displaystyle f} непрерывна на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } и число φ {\displaystyle \varphi } удовлетворяет неравенству f (a) < φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi или неравенству f (a) > φ > f (b) , {\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),} то существует точка ξ ∈ (a , b) , {\displaystyle \xi \in (a,b),} в которой f (ξ) = φ {\displaystyle f(\xi)=\varphi } .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна .
• Монотонная функция на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами f (a) {\displaystyle f(a)} и f (b) {\displaystyle f(b)} .
• Если функции f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} непрерывны на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } , причем f (a) < g (a) {\displaystyle f(a) и f (b) > g (b) , {\displaystyle f(b)>g(b),} то существует точка ξ ∈ (a , b) , {\displaystyle \xi \in (a,b),} в которой f (ξ) = g (ξ) . {\displaystyle f(\xi)=g(\xi).} Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку .

Примеры

Элементарные функции

Эта функция непрерывна в каждой точке x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} .

Точка является точкой разрыва первого рода , причём

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) {\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)} ,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

f (x) = { 1 , x ⩾ 0 0 , x < 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0 {\displaystyle x=0} , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 {\displaystyle x=0} существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения .

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

f (x) = { 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

является примером непрерывной слева функции на всей области определения .

Функция Дирихле

f (x) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}

Непрерывность функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке: lim

f(x) = f(x0), (1)

т.е. " O(f(x0)) $ O(x0) : x О O(x0) Ю f(x) О O(f(x0)) .

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде: lim

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x0 - приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0) - соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале .

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел lim

Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)

Непрерывность сложной функции

Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.

Локальные свойства непрерывных функций

Теорема 3 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность O(x0), в которой f(x) ограничена.

Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.

Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то существует окрестность точки x0, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x0).

Классификация точек разрыва

Условие (1) непрерывности функции f(x) в точке x0 равносильно условию f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

где f(x 0 − 0) = lim

f(x) и f(x0 + 0) = lim

f(x) - односторонние пределы функции f(x) в точке x0.

При нарушении условия (3) точка x0 называется точкой разрыва функции f(x). В зависимости от вида нарушения условия (3) точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом:

1. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), то точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x) (рис. 1).

Замечание. В точке x0 функция может быть не определена.

2. Если в точке x0 существуют односторонние пределы f(x0 − 0), f (x0 + 0) и

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), то точка x0 называется точкой разрыва с конечным скачком функции f(x) (рис.2).

Замечание. В точке разрыва с конечным скачком значение функции может быть любым, а может быть и не определено.

Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов f(x0 − 0) и

3. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0), f (x0 + 0) равен бесконечности или не существует, то
x0 называется точкой разрыва 2–го рода (рис. 3).

Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 − 0), f (x0 + 0) равен бесконечности, то прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Определение . Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение . Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство.

Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х0.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие –M £ f(x) £ M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х1Î и x2Î таких, что

ïх2 – х1ï< D

верно неравенство ïf(x2) – f(x1)ï < e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Определение непрерывности

Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если: у f () рр

1) функция f(x) определена в точке a,

2) имеет конечный предел при x→ a 2) имеет конечный предел при x→ a,

3) этот предел равен значению функции в этой точке:

Непрерывность на промежутке

Функция f (x) называется непрерывной на промежутке X, если у f () рр ру

Она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Утверждение. Всеэлементарные функции непрерывны в

Области их определения.

Ограниченная функция (bounded function)

Функцияназывается ограниченной наотрезке , если

существуетчисло M такое, что длявсех x ∈ выполняется

неравенство:| f(x)| ≤ M.

Две теоремы Вейерштрасса

ПерваятеоремаВейерштрасса . Если функция f (x р р рр фу f (

непрерывнанаотрезке , тоонаограниченанаэтомотрезке

ВтораятеоремаВейерштрасса. Еслифункция f(x

непрерывнанаотрезке , тоонадостигаетнаэтомотрезк

наименьшегозначения m инаибольшегозначения M.

Теорема Больцано-Коши

Если функция f (x) непрерывнанаотрезке изначенияна фу f () рр р

концахэтогоотрезка f(a) и f(b) имеютпротивоположныезнаки,

товнутриотрезканайдетсяточка c∈ (a,b) такая, что f (c) = 0. ур р () f ()