Matrice, osnovni pojmovi.

Matrica je pravokutna tablica A, formirana od elemenata određenog skupa i koja se sastoji od m redaka i n stupaca.

Kvadratna matrica - gdje je m=n.

Red (vektor reda) - matrica se sastoji od jednog reda.

Kolona (vektor kolone) - matrica se sastoji od jedne kolone.

Transponovana matrica - Matrica dobijena iz matrice A zamjenom redova kolonama.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi koji nisu na glavnoj dijagonali jednaki nuli.

Akcije na matrice.

1) Množenje i dijeljenje matrice brojem.

Proizvod matrice A i broja α naziva se matrica Axα, čiji se elementi dobijaju iz elemenata matrice A množenjem brojem α.

Primjer: 7xA, , .

2) Množenje matrice.

Operacija množenja dvije matrice uvodi se samo za slučaj kada je broj stupaca prve matrice jednak broju redova druge matrice.

Primjer: ,, AhV= .

Svojstva množenja matrice:

A*(B*C)=(A*B)*C;

A * (B + C) = AB + AC

(A+B)*C=AC+BC;

a(AB) = (aA)B,

(A+B) T =A T +B T

(AB) T =B T A T

3) Sabiranje, oduzimanje.

Zbir (razlika) matrica je matrica čiji su elementi, odnosno zbir (razlika) elemenata originalnih matrica.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Pitanje 2.

Kontinuitet funkcija u tački, na intervalu, na segmentu. Tačke prekida funkcije i njihova klasifikacija.

Funkcija f(x), definirana u susjedstvu određene tačke x 0, naziva se kontinuiranom u tački x 0 ako su granica funkcije i njena vrijednost u ovoj tački jednaki, tj.

Funkcija f(x) naziva se kontinuiranom u tački x 0 ako za bilo koji pozitivan broj e>0 postoji broj D>0 takav da za bilo koji x koji zadovoljava uvjet

nejednakost istinita .

Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u tački x = x 0 ako je prirast funkcije u tački x 0 infinitezimalna vrijednost.

f(x) =f(x 0) +a(x)

gdje je a(x) infinitezimalna na x®x 0.

Svojstva kontinuiranih funkcija.

1) Zbir, razlika i proizvod funkcija kontinuiranih u tački x 0 je funkcija kontinuirana u tački x 0.

2) Kvocijent dvije neprekidne funkcije je neprekidna funkcija pod uvjetom da g(x) nije jednak nuli u tački x 0.

3) Superpozicija kontinuiranih funkcija je kontinuirana funkcija.

Ovo svojstvo se može napisati na sljedeći način:

Ako su u=f(x),v=g(x) kontinuirane funkcije u tački x = x 0, tada je funkcija v=g(f(x)) također kontinuirana funkcija u ovoj tački.

Funkcija f(x) se zove kontinuirano u intervalu(a,b), ako je kontinuiran u svakoj tački ovog intervala.

Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu.

Funkcija koja je kontinuirana na intervalu je ograničena na ovaj interval, tj. uslov –M  f(x)  M je zadovoljen na segmentu.

Dokaz ovog svojstva zasniva se na činjenici da je funkcija koja je neprekidna u tački x 0 ograničena u određenom njenom susjedstvu, a ako segment podijelite na beskonačan broj segmenata koji su "kontraktirani" na tačku x 0, tada se formira određena okolina tačke x 0.

Funkcija koja je kontinuirana na segmentu uzima najveću i najmanju vrijednost na njemu.

One. postoje vrijednosti x 1 i x 2 takve da je f(x 1) = m, f(x 2) = M, i

m  f(x)  M

Zabilježimo ove najveće i najmanje vrijednosti koje funkcija može uzeti segment nekoliko puta (na primjer, f(x) = sinx).

Razlika između najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu naziva se oscilacija funkcije na intervalu.

Funkcija koja je kontinuirana na intervalu preuzima sve vrijednosti između dvije proizvoljne vrijednosti na ovom intervalu.

Ako je funkcija f(x) kontinuirana u tački x = x 0, tada postoji neka okolina tačke x 0 u kojoj funkcija zadržava svoj predznak.

Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i ima vrijednosti suprotnih predznaka na krajevima segmenta, tada postoji tačka unutar ovog segmenta u kojoj je f(x) = 0.

Ova tema će pokriti operacije kao što su dodavanje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom i transponovanje matrice. Svi simboli koji se koriste na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.

Sabiranje i oduzimanje matrica.

Zbir $A+B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ naziva se matrica $C_(m \times n) =(c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline( 1,n) $.

Slična definicija je uvedena za razliku matrica:

Razlika između $A-B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times n)=( c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1, n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oznaka "$i=\overline(1,m)$" znači da parametar $i$ varira od 1 do m. Na primjer, notacija $i=\overline(1,5)$ označava da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Vrijedi napomenuti da su operacije sabiranja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, sabiranje i oduzimanje matrica su operacije koje su intuitivno jasne, jer u suštini znače samo zbrajanje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.

Primjer br. 1

Date su tri matrice:

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \desno); \;\; F=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(niz) \desno). $$

Da li je moguće pronaći matricu $A+F$? Pronađite matrice $C$ i $D$ ako je $C=A+B$ i $D=A-B$.

Matrica $A$ sadrži 2 reda i 3 stupca (drugim riječima, veličina matrice $A$ je $2\puta 3$), a matrica $F$ sadrži 2 reda i 2 stupca. Veličine matrica $A$ i $F$ se ne poklapaju, pa ih ne možemo dodati, tj. operacija $A+F$ nije definirana za ove matrice.

Veličine matrica $A$ i $B$ su iste, tj. Podaci matrice sadrže jednak broj redaka i stupaca, tako da je operacija sabiranja primjenjiva na njih.

$$ C=A+B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)+ \left(\begin(niz ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \right)=\\= \left(\begin(niz) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(niz) \desno) $$

Nađimo matricu $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)- \left(\begin(niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(niz) \desno)$.

Množenje matrice brojem.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ brojem $\alpha$ je matrica $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdje je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Jednostavno rečeno, množenje matrice određenim brojem znači množenje svakog elementa date matrice tim brojem.

Primjer br. 2

Matrica je data: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Pronađite matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ i $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin( niz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(niz) \desno)= \left(\begin(niz) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno). $$

Oznaka $-A$ je skraćena notacija za $-1\cdot A$. To jest, da biste pronašli $-A$ potrebno je da pomnožite sve elemente matrice $A$ sa (-1). U suštini, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $A$ promijeniti u suprotno:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)= \ lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $3\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno);\; -5\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno);\; -A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \right)$.

Proizvod dvije matrice.

Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nejasna. Stoga ću prvo navesti opštu definiciju, a zatim ćemo detaljno analizirati šta to znači i kako s njim raditi.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ sa matricom $B_(n\times k)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times k )=(c_( ij))$, za koji je svaki element $c_(ij)$ jednak zbiru proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog reda matrice $A$ po elementima j -ti stupac matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pogledajmo množenje matrice korak po korak koristeći primjer. Međutim, odmah treba napomenuti da se sve matrice ne mogu pomnožiti. Ako želimo da pomnožimo matricu $A$ sa matricom $B$, onda prvo moramo biti sigurni da je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $B$ (takve se matrice često nazivaju ugovoren). Na primjer, matrica $A_(5\times 4)$ (matrica sadrži 5 redova i 4 stupca) ne može se pomnožiti sa matricom $F_(9\times 8)$ (9 redova i 8 stupaca), jer je broj kolona matrice $A $ nije jednako broju redova matrice $F$, tj. $4\neq 9$. Ali možete pomnožiti matricu $A_(5\times 4)$ sa matricom $B_(4\times 9)$, pošto je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $ B$. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ bit će matrica $C_(5\times 9)$, koja sadrži 5 redova i 9 stupaca:

Primjer br. 3

Zadate matrice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (niz) \desno)$ i $ B=\left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) $. Pronađite matricu $C=A\cdot B$.

Prvo, hajde da odmah odredimo veličinu matrice $C$. Pošto matrica $A$ ima veličinu $3\puta 4$, a matrica $B$ ima veličinu $4\puta 2$, tada je veličina matrice $C$: $3\puta 2$:

Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $A$ i $B$, trebali bismo dobiti matricu $C$, koja se sastoji od tri reda i dva stupca: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(niz) \desno)$. Ako označavanje elemenata postavlja pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje matričnih elemenata. Naš cilj: pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $C$.

Počnimo s elementom $c_(11)$. Da biste dobili element $c_(11)$, potrebno je pronaći zbir proizvoda elemenata prvog reda matrice $A$ i prve kolone matrice $B$:

Da biste pronašli sam element $c_(11)$, potrebno je da pomnožite elemente prvog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima prve kolone matrice $B$, tj. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sumiramo dobijene rezultate:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Nastavimo s rješenjem i nađimo $c_(12)$. Da biste to učinili, morat ćete pomnožiti elemente prvog reda matrice $A$ i drugog stupca matrice $B$:

Slično kao i kod prethodnog, imamo:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Svi elementi prvog reda matrice $C$ su pronađeni. Pređimo na drugi red, koji počinje elementom $c_(21)$. Da biste ga pronašli, morat ćete pomnožiti elemente drugog reda matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Sljedeći element $c_(22)$ nalazimo množenjem elemenata drugog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Da biste pronašli $c_(31)$, pomnožite elemente trećeg reda matrice $A$ sa elementima prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

I konačno, da biste pronašli element $c_(32)$, morat ćete pomnožiti elemente trećeg reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima druge kolone matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Svi elementi matrice $C$ su pronađeni, ostaje samo da napišemo da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( niz) \desno)$ . Ili, da napišem u potpunosti:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno). $$

Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno)$.

Inače, često nema razloga da se detaljno opiše lokacija svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(niz) \desno) =\lijevo (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da je u opštem slučaju $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za neke vrste matrica koje se nazivaju permutable(ili commuting), jednakost $A\cdot B=B\cdot A$ je tačna. Upravo na osnovu nekomutativnosti množenja treba da naznačimo kako tačno množimo izraz određenom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, izraz "pomnožite obje strane jednakosti $3E-F=Y$ matricom $A$ na desnoj strani" znači da želite da dobijete sljedeću jednakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponirana u odnosu na matricu $A_(m\times n)=(a_(ij))$ je matrica $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente koji su $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednostavno rečeno, da biste dobili transponiranu matricu $A^T$, trebate zamijeniti stupce u originalnoj matrici $A$ odgovarajućim redovima prema ovom principu: postojao je prvi red - postojat će prvi stupac ; postojao je drugi red - bit će drugi stupac; postojao je treći red - postojaće i treći stupac i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $A_(3\times 5)$:

Prema tome, ako je originalna matrica imala veličinu $3\puta 5$, tada transponovana matrica ima veličinu $5\puta 3$.

Neka svojstva operacija nad matricama.

Ovdje se pretpostavlja da su $\alpha$, $\beta$ neki brojevi, a $A$, $B$, $C$ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji sa prva četiri.

Definicija. Matrica je skup brojeva koji čini pravokutnu tablicu koja se sastoji od m redaka i n stupaca

Ukratko, matrica se označava na sljedeći način:

gdje su elementi ove matrice, i broj reda, j broj kolone.

Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca ( m = n), tada se matrica zove kvadrat n-ti red, a inače – pravougaona.

Ako m= 1 i n > 1, tada dobijamo jednorednu matricu

koji se zove vektor reda , ako m>1 i n=1, tada dobijamo matricu sa jednim stupcem

koji se zove vektor kolone .

Poziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi osim onih na glavnoj dijagonali jednaki nuli dijagonala.

Poziva se dijagonalna matrica čiji su glavni dijagonalni elementi jednaki jedan pojedinačno, označeno sa E.

Poziva se matrica koja se dobije iz date zamene njenog reda kolonom sa istim brojem transponovano ovome. Indicirano.

Dvije matrice su jednake ako su elementi na istim mjestima međusobno jednaki, odnosno ako

pred svima i I j(u ovom slučaju, broj redova (kolona) matrica A I B trebao bi biti isti).

1°. Zbir dvije matrice A=(a ij) I B=(b ij) sa istim iznosom m linije i n kolone se naziva matrica C=(c ij), čiji su elementi određeni jednakošću

Zbir matrica je označen sa C=A+B.

Primjer.

20 . Matrični proizvod A=(a ij) po broju λ je matrica u kojoj je svaki element jednak proizvodu odgovarajućeg elementa matrice A po broju λ :

λA=λ (a ij)=(λa ij), (i=1,2…,m ; j=1,2…,n).

Primjer.

trideset . Matrični proizvod A=(a ij), imajući m linije i k kolone, po matrici B=(b ij), imajući k linije i n kolone se naziva matrica C=(c ij), imajući m linije i n kolone čiji element c ij jednak zbiru proizvoda elemenata i th red matrice A I j th kolona matrice B, to je

U ovom slučaju, broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redova matrice B. U suprotnom proizvod je nedefinisan. Proizvod matrica je označen A*B=C.

Primjer.

Za proizvod matrica, jednakost između matrica ne vrijedi A* B I B* A, u opštem slučaju jedan od njih ne može biti definisan.

Množenjem kvadratne matrice bilo kojeg reda s odgovarajućom matricom identiteta se matricu ne mijenja.

Primjer. Neka, onda prema pravilu množenja matrice imamo

,

odakle to zaključujemo

Determinante i njihova svojstva.

Neka je data kvadratna matrica trećeg reda:

Definicija. Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici (1) je broj označen simbolom

i definisane jednakošću

Da biste zapamtili koji su proizvodi na desnoj strani jednakosti (2) uzeti sa znakom “+”, a koji sa znakom “-”, korisno je koristiti sljedeće pravilo trokuta.

Primjer.

Formulirajmo osnovna svojstva za determinante trećeg reda, iako su one svojstvene determinantama bilo kojeg reda.

1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi i stupci zamijene, tj.

2. Preuređivanje dva stupca ili dva reda determinante je ekvivalentno množenju sa -1.

3. Ako determinanta ima dva identična stupca ili dva identična reda, onda je jednaka nuli.

4. Množenje svih elemenata jednog stupca ili jednog reda determinante bilo kojim brojem λ je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem λ .

5. Ako su svi elementi određene kolone ili nekog reda determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

6. Ako su elementi dva stupca ili dva reda determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

7. Ako svaki element n kolona ( n-ti red) determinante je zbir dva člana, tada se determinanta može predstaviti kao zbir dvije determinante, od kojih je jedna u n-ta kolona ( n-ti red) sadrži prvi od navedenih pojmova, a drugi - drugi; elementi na preostalim pozicijama su isti za sve tri determinante.

Na primjer,

8 0 . Ako elementima određene kolone (reda) determinante dodamo odgovarajuće elemente druge kolone (reda), pomnožene bilo kojim zajedničkim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.

Na primjer,

Minor određenog elementa determinante naziva se determinanta dobijena iz date determinante precrtavanjem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

Na primjer, sporedni element A 1 kvalifikant Δ je determinanta drugog reda

Algebarski komplement nekog elementa determinante je minor ovog elementa pomnožen sa (-1) str, Gdje R- zbir brojeva reda i kolone na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

Ako je, na primjer, element A 2 su na raskrsnici 1. kolone i 2. reda, zatim za nju R=1+2=3 a algebarski komplement je

9 0 . Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg stupca ili reda i njihovih algebarskih komplementa.

100 . Zbir proizvoda elemenata bilo kojeg stupca ili reda determinante sa algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata drugog stupca ili drugog reda jednak je nuli.

Postavlja se pitanje: da li je moguća kvadratna matrica A izabrati neku matricu tako da množenjem matrice sa njom A kao rezultat, dobiti matricu identiteta E, takva matrica se zove inverzna matrici A.

Definicija. Matrica se naziva inverzna kvadratnoj matrici A ako.

Definicija. Kvadratna matrica se naziva nesingularnom ako je njena determinanta različita od nule. Inače, kvadratna matrica se naziva singularna.

Svaka nesingularna matrica ima inverz.

Elementarne matrične transformacije su:

zamjena dva paralelna reda matrice;

množenje svih elemenata matrice brojem koji nije nula;

dodajući svim elementima matričnog niza odgovarajuće elemente paralelnog niza, pomnožene istim brojem.

Matrix IN, dobijeno iz matrice A koristeći elementarne transformacije se zove ekvivalentan matrica.

Za nesingularnu kvadratnu matricu

inverzna matrica trećeg reda A-1 se može izračunati korištenjem sljedeće formule

ovdje je Δ determinanta matrice A,A ij – algebarski dodaci elemenata a ij matrice A.

Element reda matrice se zove ekstremno , ako je različit od nule i svi elementi niza lijevo od njega su jednaki nuli. Matrica se zove stupio , ako je najudaljeniji element svake linije desno od najudaljenijeg elementa prethodne linije. Na primjer:

Nije stupio; - iskoračio.

Matrix dimenzija je pravougaona tabela koja se sastoji od elemenata smeštenih u m linije i n kolone.

Elementi matrice (prvi indeks i− broj reda, drugi indeks j− broj kolone) mogu biti brojevi, funkcije itd. Matrice se označavaju velikim slovima latinice.

Matrica se zove kvadrat, ako ima isti broj redaka kao i broj kolona ( m = n). U ovom slučaju broj n se naziva red matrice, a sama matrica se naziva matrica n-th red.

Elementi sa istim indeksima formu glavna dijagonala kvadratnu matricu i elemente (tj. koji imaju zbir indeksa jednak n+1) − bočna dijagonala.

Single matrica je kvadratna matrica čiji su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a preostali elementi jednaki 0. Označava se slovom E.

Zero matrica− je matrica čiji su svi elementi jednaki 0. Nulta matrica može biti bilo koje veličine.

Na broj linearne operacije na matricama vezati:

1) dodavanje matrice;

2) množenje matrica brojem.

Operacija sabiranja matrice definirana je samo za matrice iste dimenzije.

Zbir dvije matrice A I IN zove se matrica WITH, čiji su svi elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrice A I IN:

.

Matrični proizvod A po broju k zove se matrica IN, čiji su svi elementi jednaki odgovarajućim elementima ove matrice A, pomnoženo brojem k:

Operacija množenje matrice uvodi se za matrice koje zadovoljavaju uvjet: broj stupaca prve matrice jednak je broju redova druge.

Matrični proizvod A dimenzije na matricu IN dimenzija se naziva matrica WITH dimenzije, element i-ti red i jčiji je stupac jednak zbiru proizvoda elemenata i th red matrice A na odgovarajuće elemente j th kolona matrice IN:

Proizvod matrica (za razliku od proizvoda realnih brojeva) ne poštuje komutativni zakon, tj. Uglavnom A IN IN A.

1.2. Odrednice. Svojstva determinanti

Koncept determinante uvodi se samo za kvadratne matrice.

Determinanta matrice drugog reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu

.

Determinanta matrice 3. reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu:

Prvi od pojmova sa znakom “+” je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice (). Preostala dva sadrže elemente koji se nalaze na vrhovima trouglova sa osnovom paralelnom sa glavnom dijagonalom (i). Znak "-" uključuje proizvode elemenata sekundarne dijagonale () i elemenata koji tvore trouglove sa bazama paralelnim sa ovom dijagonalom (i).

Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda naziva se pravilo trougla (ili Sarrusovo pravilo).

Svojstva determinanti Pogledajmo primjer determinanti trećeg reda.

1. Prilikom zamjene svih redova determinante kolonama sa istim brojevima kao i redovi, determinanta ne mijenja svoju vrijednost, tj. redovi i kolone determinante su jednaki

.

2. Kada se dva reda (kolone) preurede, determinanta mijenja svoj predznak.

3. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) nule, tada je determinanta 0.

4. Zajednički faktor svih elemenata reda (kolone) može se uzeti izvan znaka determinante.

5. Odrednica koja sadrži dva identična reda (kolone) jednaka je 0.

6. Determinanta koja sadrži dva proporcionalna reda (kolone) jednaka je nuli.

7. Ako svaki element određenog stupca (reda) determinante predstavlja zbir dva člana, tada je determinanta jednaka zbroju dvije determinante od kojih jedna sadrži prve članove u istom stupcu (redu), a druga sadrži drugu. Preostali elementi obje determinante su isti. dakle,

.

8. Odrednica se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi druge kolone (reda) dodaju elementima bilo kojeg od njenih stupaca (redova), pomnožene istim brojem.

Sljedeće svojstvo determinante vezano je za koncepte mola i algebarskog komplementa.

Minor element determinante je determinanta dobijena iz date precrtavanjem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

Na primjer, manji element determinante naziva se determinanta.

Algebarski komplement determinantni element naziva se njegov minor pomnožen sa, gdje i− broj reda, j− broj kolone na čijem se presjeku element nalazi. Algebarski komplement se obično označava. Za determinantni element 3. reda, algebarski komplement

9. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) sa njihovim odgovarajućim algebarskim komplementama.

Na primjer, determinanta se može proširiti na elemente prvog reda

,

ili drugu kolonu

Svojstva determinanti koriste se za njihovo izračunavanje.

Imajte na umu da elementi matrice ne mogu biti samo brojevi. Zamislimo da opisujete knjige koje se nalaze na vašoj polici. Neka vaša polica bude uredna i sve knjige na strogo određenim mjestima. Tabela, koja će sadržavati opis vaše biblioteke (po policama i redoslijedu knjiga na polici), također će biti matrica. Ali takva matrica neće biti numerička. Još jedan primjer. Umjesto brojeva postoje različite funkcije, ujedinjene nekom ovisnošću. Rezultirajuća tabela će se takođe zvati matrica. Drugim riječima, matrica je bilo koji pravokutni sto sastavljen od homogena elementi. Ovdje i dalje ćemo govoriti o matricama sastavljenim od brojeva.

Umjesto zagrada, uglaste zagrade ili ravne dvostruke okomite linije koriste se za pisanje matrica

(2.1*)

Definicija 2. Ako u izrazu(1) m = n, onda pričaju o tome kvadratna matrica, i ako , onda oh pravougaona.

Ovisno o vrijednostima m i n, razlikuju se neke posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrica je ona odrednica ili odrednica, koji se sastoji od matričnih elemenata i označava se

Očigledno, D E =1; .

Definicija 3. Ako , zatim matrica A pozvao nedegenerisan ili nije posebno.

Definicija 4. Ako detA = 0 , zatim matrica A pozvao degenerisati ili poseban.

Definicija 5. Dvije matrice A I B su pozvani jednaka i pisati A = B ako su iste dimenzije i njihovi odgovarajući elementi su jednaki, tj..

Na primjer, matrice i su jednake, jer jednake su veličine i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Ali matrice se ne mogu nazvati jednakim, iako su determinante obje matrice jednake, a veličine matrica iste, ali nisu svi elementi koji se nalaze na istim mjestima jednaki. Matrice su različite jer imaju različite veličine. Prva matrica je veličine 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6 i sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ali se nalaze na različitim mjestima u svakoj matrici. Ali matrice su jednake, prema definiciji 5.

Definicija 6. Ako popravite određeni broj stupaca matrice A i isti broj redova, tada elementi na preseku naznačenih kolona i redova formiraju kvadratnu matricu n- reda, čija je odrednica pozvao minor k – matrica th reda A.

Primjer. Zapišite tri minora drugog reda matrice