Teorija granica- jedan od dijelova matematičke analize koji jedni mogu savladati, dok drugi imaju poteškoća u izračunavanju granica. Pitanje pronalaženja granica je prilično općenito, budući da postoje desetine tehnika granice rješenja razne vrste. Ista ograničenja mogu se naći i korištenjem L'Hopitalovog pravila i bez njega. Dešava se da vam planiranje niza beskonačno malih funkcija omogućava brzo postizanje željenog rezultata. Postoji skup tehnika i trikova koji vam omogućavaju da pronađete granicu funkcije bilo koje složenosti. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja koje se najčešće susreću u praksi. Ovdje nećemo iznositi teoriju i definiciju granice; postoji mnogo izvora na internetu gdje se o tome raspravlja. Stoga, pređimo na praktične proračune, ovdje je vaše "Ne znam! Ne mogu! Nisu nas učili!"
Izračunavanje granica korištenjem metode zamjene
Primjer 1. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rješenje: Primjeri ove vrste mogu se teoretski izračunati korištenjem uobičajene zamjene
Ograničenje je 18/11.
Nema ništa komplikovano ili mudro u takvim granicama – zamenili smo vrednost, izračunali je i zapisali granicu kao odgovor. Međutim, na osnovu takvih ograničenja, svi se uče da prije svega treba zamijeniti vrijednost u funkciju. Nadalje, granice postaju složenije, uvodeći koncept beskonačnosti, neizvjesnosti i slično.
Granica s neizvjesnošću poput beskonačnosti podijeljene sa beskonačnošću. Tehnike otkrivanja nesigurnosti
Primjer 2. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=beskonačnost).
Rješenje: Zadana je granica polinoma oblika podijeljenog polinomom, a varijabla teži beskonačnosti 
Jednostavna zamjena vrijednosti za koju varijablu treba pronaći da bi se pronašle granice neće pomoći, dobijamo nesigurnost oblika beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću.
Prema teoriji granica, algoritam za izračunavanje granice je pronalaženje najvećeg stepena "x" u brojniku ili nazivniku. Zatim, brojnik i nazivnik se pojednostavljuju na njega i nalazi se granica funkcije
Budući da vrijednost teži nuli kada se varijabla približi beskonačnosti, one se zanemaruju ili upisuju u konačni izraz u obliku nula 
Odmah iz prakse možete dobiti dva zaključka koji su nagovještaj u proračunima. Ako promenljiva teži beskonačnosti i stepen brojioca je veći od stepena nazivnika, onda je granica jednaka beskonačnosti. Inače, ako je polinom u nazivniku višeg reda nego u brojniku, granica je nula.
Granica se može napisati u formulama poput ove: 
Ako imamo funkciju u obliku običnog polja bez razlomaka, onda je njena granica jednaka beskonačnosti 
Sljedeća vrsta ograničenja tiče se ponašanja funkcija blizu nule.
Primjer 3. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Rješenje: Ovdje nema potrebe uklanjati vodeći faktor polinoma. Upravo suprotno, potrebno je pronaći najmanji stepen brojnika i nazivnika i izračunati granicu 
x^2 vrijednost; x teži nuli kada varijabla teži nuli, pa se zanemaruju pa dobijamo 
da je granica 2,5.
Sada znaš kako pronaći granicu funkcije oblika, podijelite polinom polinomom ako varijabla teži beskonačnosti ili 0. Ali ovo je samo mali i lak dio primjera. Iz sljedećeg materijala naučit ćete kako otkriti nesigurnosti u granicama funkcije.
Granica sa nesigurnošću tipa 0/0 i metode za njeno izračunavanje
Svi se odmah sjete pravila da se ne može dijeliti sa nulom. Međutim, teorija granica u ovom kontekstu implicira infinitezimalne funkcije.
Pogledajmo nekoliko primjera radi jasnoće.
Primjer 4. Pronađite granicu funkcije
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rješenje: Kada vrijednost varijable x = -1 zamenimo u nazivnik, dobijamo nulu, a isto dobijemo u brojiocu. Tako da imamo nesigurnost oblika 0/0.
Suočavanje s takvom neizvjesnošću je jednostavno: potrebno je faktorizirati polinom, odnosno odabrati faktor koji pretvara funkciju u nulu. 
Nakon proširenja, granica funkcije može se napisati kao 
To je cijela metoda za izračunavanje granice funkcije. Isto radimo ako postoji granica polinoma oblika podijeljenog polinomom.
Primjer 5. Pronađite granicu funkcije
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Rješenje: Direktna zamjena pokazuje
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
šta imamo tip 0/0 nesigurnosti.
Podijelimo polinome sa faktorom koji uvodi singularnost 
Postoje nastavnici koji uče da polinome 2. reda, odnosno tipa „kvadratnih jednačina“ treba rješavati preko diskriminanta. Ali stvarna praksa pokazuje da je to duže i zbunjujuće, pa se riješite funkcija unutar granica navedenog algoritma. Dakle, zapisujemo funkciju u obliku jednostavnih faktora i izračunavamo je u limitu 
Kao što vidite, nema ništa komplikovano u izračunavanju takvih ograničenja. Dok proučite granice, znate kako dijeliti polinome, barem prema programu koji ste već trebali položiti.
Među zadacima na tip 0/0 nesigurnosti Postoje neke u kojima morate koristiti skraćene formule za množenje. Ali ako ih ne znate, onda dijeljenjem polinoma monomom možete dobiti željenu formulu.
Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rješenje: Imamo nesigurnost tipa 0/0. U brojiocu koristimo skraćenu formulu množenja 
i izračunajte potrebnu granicu 
Metoda za otkrivanje nesigurnosti množenjem njenim konjugatom
Metoda se primjenjuje na granice u kojima iracionalne funkcije stvaraju nesigurnost. Brojnik ili imenilac se pretvara u nulu u tački računanja i ne zna se kako pronaći granicu.
Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Rješenje: Predstavimo varijablu u formuli ograničenja
Prilikom zamjene dobijamo nesigurnost tipa 0/0.
Prema teoriji granica, način da se zaobiđe ovo svojstvo je da se iracionalni izraz pomnoži njegovim konjugatom. Da bi se osiguralo da se izraz ne promijeni, nazivnik mora biti podijeljen istom vrijednošću 
Koristeći pravilo razlike kvadrata, pojednostavljujemo brojnik i izračunavamo granicu funkcije
Pojednostavljujemo pojmove koji stvaraju singularnost u limitu i vršimo zamjenu
Primjer 8. Pronađite granicu funkcije
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rješenje: Direktna zamjena pokazuje da granica ima singularnost oblika 0/0. 
Za proširenje množimo i dijelimo konjugatom brojnika 
Zapisujemo razliku kvadrata
Pojednostavljujemo pojmove koji uvode singularnost i nalazimo granicu funkcije
Primjer 9. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Rješenje: Zamijenite dva u formulu 
Dobijamo nesigurnost 0/0.
Imenilac se mora pomnožiti konjugiranim izrazom, a u brojniku kvadratna jednačina mora biti riješena ili faktorirana, uzimajući u obzir singularnost. Pošto je poznato da je 2 korijen, nalazimo drugi korijen koristeći Vietin teorem
Dakle, zapisujemo brojilac u obliku 
i zamijenite ga u granicu
Smanjenjem razlike kvadrata oslobađamo se singulariteta u brojniku i nazivniku
Na ovaj način možete se riješiti singularnosti u mnogim primjerima, a primjenu treba zabilježiti gdje god se data razlika korijena pretvori u nulu tokom zamjene. Druge vrste ograničenja odnose se na eksponencijalne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritme, posebne granice i druge tehnike. Ali o tome možete pročitati u dolje navedenim člancima o ograničenjima.
Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i sa čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumete šta su determinante i uspešno ih rešavate; možda uopšte ne razumete šta je derivacija i nalazite ih sa „A“. Ali ako ne razumijete što je granica, onda će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije su predstavljene u jednostavnom i pristupačnom obliku.
A za potrebe ove lekcije trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Wonderful Limits I Trigonometrijske formule. Mogu se naći na stranici. Najbolje je odštampati priručnike - to je mnogo zgodnije, a osim toga, često ćete morati da ih koristite van mreže.
Šta je tako posebno u izuzetnim granicama? Izvanredna stvar u vezi s ovim granicama je to što su ih dokazali najveći umovi poznatih matematičara, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s gomilom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.
Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, vanredni studenti imaju dvije divne granice: Prva divna granica, Druga divna granica. Treba napomenuti da su to istorijski ustaljeni nazivi, a kada se, na primjer, govori o „prvoj izuzetnoj granici“, pod tim se misli na sasvim konkretnu stvar, a ne na neku nasumično uzetu granicu sa plafona.
Prva divna granica
Uzmite u obzir sljedeću granicu: (umjesto izvornog slova “he” koristit ću grčko slovo “alpha”, ovo je pogodnije sa stanovišta predstavljanja materijala).
Prema našem pravilu za pronalaženje granica (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo da zamenimo nulu u funkciju: u brojiocu dobijamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku, očigledno, takođe postoji nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme, koju, na sreću, ne treba otkrivati. U toku matematičke analize, dokazano je da:
Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću davati analitički dokaz granice, ali ćemo pogledati njeno geometrijsko značenje u lekciji o beskonačno male funkcije.
Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:
- ista prva divna granica.
Ali ne možete sami preurediti brojilac i imenilac! Ako je ograničenje dato u obliku , onda se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja bilo čega.
U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija ili složena funkcija može djelovati kao parametar. Važno je samo da teži nuli.
primjeri:
, , 
, 
ovdje , , , 
, i sve je dobro - prva divna granica je primjenjiva.
Ali sljedeći unos je hereza:
Zašto? Pošto polinom ne teži nuli, teži petici.
Usput, kratko pitanje: koja je granica? 
? Odgovor možete pronaći na kraju lekcije.
U praksi nije sve tako glatko, gotovo nikada se studentu ne ponudi da riješi besplatni limit i dobije laku prolaz. Hmmm... Pišem ove redove i pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - uostalom, bolje je pamtiti "besplatne" matematičke definicije i formule napamet, to može biti od neprocjenjive pomoći u testu, kada će pitanje bude odlučeno između „dva“ i „tri“, a nastavnik odlučuje da učeniku postavi neko jednostavno pitanje ili ponudi da reši jednostavan primer („možda on(i) još uvek zna šta?!“).
Idemo dalje na razmatranje praktičnih primjera:
Primjer 1
Pronađite granicu
Ako primijetimo sinus u granici, onda bi nas to odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve izvanredne granice.
Prvo, pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (to radimo mentalno ili u nacrtu):
Dakle, imamo nesigurnost forme obavezno naznačite u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice je sličan prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.
U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu izvanrednu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezonovanje bi moglo biti sljedeće: “ispod sinusa imamo , što znači da i mi trebamo ući u nazivnik.”
A to se radi vrlo jednostavno:
To jest, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli sa istim sedam. Sada je naš snimak poprimio poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu izvanrednu granicu jednostavnom olovkom:
Šta se desilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz se pretvorio u jedinicu i nestao u radu: 
Sada ostaje samo da se riješimo trospratne frakcije: 
Ko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više nivoa, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski kurs matematike .
Spreman. Konačan odgovor:
Ako ne želite koristiti oznake olovkom, rješenje se može napisati ovako:
“
Iskoristimo prvu divnu granicu 
“
Primjer 2
Pronađite granicu
Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:
Zaista, imamo neizvjesnost i stoga moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja uzeli smo u obzir pravilo da kada imamo neizvjesnost, moramo faktorizirati brojnik i imenilac. Ovdje je ista stvar, stepene ćemo predstaviti kao proizvod (množitelje):
Slično kao u prethodnom primjeru, crtamo olovkom oko izuzetnih granica (ovdje su dvije) i pokazujemo da teže jedinstvu:
Zapravo, odgovor je spreman:
U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako ispravno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.
Primjer 3
Pronađite granicu
Zamjenjujemo nulu u izraz ispod predznaka granice:
Dobivena je nesigurnost koju treba otkriti. Ako postoji tangenta u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu (usput, oni rade približno istu stvar s kotangensom, pogledajte metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tabele i referentni materijali).
U ovom slučaju:
Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedan):
Dakle, ako je u granici kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo rečeno, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u proizvodu.
Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez ikakvih množenja i dijeljenja. Prva izuzetna granica se također pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:
Kao rezultat, dobija se beskonačnost i to se dešava.
Primjer 4
Pronađite granicu
Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:
Dobije se nesigurnost (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)
Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti u obzir! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu su vrlo česta.
Pomaknimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:
Organizirajmo prvu divnu granicu:
Ovdje imamo samo jedno izuzetno ograničenje koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:
Oslobodimo se trospratne strukture:
Granica je zapravo riješena, ukazujemo da preostali sinus teži nuli:
Primjer 5
Pronađite granicu 
Ovaj primjer je komplikovaniji, pokušajte sami shvatiti:
Neka ograničenja se mogu svesti na 1. izuzetnu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.
Druga divna granica
U teoriji matematičke analize dokazano je da:
Ova činjenica se zove druga divna granica.
referenca: 
je iracionalan broj.
Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.
Primjer 6
Pronađite granicu
Kada je izraz ispod graničnog znaka u stepenu, ovo je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.
Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz, princip po kojem se to radi govori se u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.
Lako je primijetiti da kada baza stepena je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:
Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često dešava, druga divna granica ne leži na srebrnom tacni, i treba je veštački organizovati. Možete razmišljati na sljedeći način: u ovom primjeru parametar je , što znači da također trebamo organizirati u indikatoru. Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a da se izraz ne promijeni, dižemo je na stepen:
Kada je zadatak završen rukom, olovkom označavamo:
Skoro sve je spremno, strašni stepen se pretvorio u lepo pismo:
U ovom slučaju premjestimo samu ikonu ograničenja na indikator:
Primjer 7
Pronađite granicu
Pažnja! Ova vrsta ograničenja se javlja vrlo često, molimo vas da pažljivo proučite ovaj primjer.
Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod predznaka granice:
Rezultat je neizvjesnost. Ali druga izuzetna granica odnosi se na nesigurnost forme. sta da radim? Moramo da konvertujemo osnovu stepena. Mi razmišljamo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .
Prilikom izračunavanja limita treba uzeti u obzir sljedeća osnovna pravila:
1. Granica zbira (razlike) funkcija jednaka je zbiru (razlici) granica pojmova:
2. Granica proizvoda funkcija jednaka je proizvodu granica faktora:
3. Granica omjera dvije funkcije jednaka je omjeru granica ovih funkcija:
.
4. Konstantni faktor se može uzeti izvan graničnog znaka:
.
5. Granica konstante jednaka je samoj konstanti:
6. Za kontinuirane funkcije, simboli ograničenja i funkcije mogu se zamijeniti:
.
Pronalaženje granice funkcije treba započeti zamjenom vrijednosti u izraz za funkciju. Štaviše, ako se dobije numerička vrijednost 0 ili ¥, onda je željena granica pronađena.
Primjer 2.1. Izračunajte granicu.
Rješenje.
.
Izrazi oblika , , , , , nazivaju se neizvjesnosti.
Ako dobijete nesigurnost oblika , tada da biste pronašli granicu morate transformirati funkciju tako da otkrijete ovu nesigurnost.
Nesigurnost oblika se obično dobija kada se da granica omjera dva polinoma. U ovom slučaju, da bi se izračunala granica, preporučuje se faktorisanje polinoma i smanjenje za zajednički faktor. Ovaj množitelj je nula na graničnoj vrijednosti X .
Primjer 2.2. Izračunajte granicu.
Rješenje.
Zamjenom dobivamo nesigurnost:
.
Razložimo brojilac i imenilac:
;
Smanjimo za zajednički faktor i dobijemo
.
Nesigurnost oblika se dobija kada je granica omjera dva polinoma data na . U ovom slučaju, da biste ga izračunali, preporučuje se da se oba polinoma podijele sa X u višem stepenu.
Primjer 2.3. Izračunajte granicu.
Rješenje. Prilikom zamjene ∞ dobijamo nesigurnost oblika , pa sve članove izraza podijelimo sa x 3.
.
Ovdje se uzima u obzir da .
Prilikom izračunavanja granica funkcije koja sadrži korijene, preporučuje se da se funkcija pomnoži i podijeli s konjugatom.
Primjer 2.4. Izračunajte limit
Rješenje.
Prilikom izračunavanja granica za otkrivanje nesigurnosti oblika ili (1) ∞, često se koriste prva i druga izuzetna granica:
Mnogi problemi povezani sa kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge izuzetne granice.
Razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, koji daje tumačenje broja e u problemu složene kamate. U štedionicama se na osnovni kapital godišnje dodaje novac od kamata. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer je veći iznos uključen u formiranje kamate. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer.
Neka se u banci položi 100 deniera. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata doda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do ovog perioda 100 den. jedinice pretvoriće se u 200 novčanih jedinica.
Sada da vidimo u šta će se 100 denize pretvoriti. jedinica, ako se novac od kamata dodaje osnovnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest meseci, 100 den. jedinice će porasti za 100 × 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godine 100 den. jedinice pretvoriće se u 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. jedinice).
Povećaćemo uslove za dodavanje kamate na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Onda od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jedinica),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jedinica),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jedinice).
Uz neograničeno smanjenje uslova za dodavanje kamate, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici od približno 271. Kapital položen na 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako se obračunata kamata su dodavani u glavni grad svake sekunde jer
Primjer 2.5. Izračunajte granicu funkcije
Rješenje.
Primjer 2.6. Izračunajte granicu funkcije 
.
Rješenje. Zamjenom dobijamo nesigurnost:
.
Koristeći trigonometrijsku formulu, pretvaramo brojnik u proizvod:
Kao rezultat dobijamo
Ovdje se uzima u obzir druga izuzetna granica.
Primjer 2.7. Izračunajte granicu funkcije
Rješenje.
.
Da biste otkrili nesigurnost oblika ili, možete koristiti L'Hopitalovo pravilo, koje se zasniva na sljedećoj teoremi.
Teorema. Granica omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija
Imajte na umu da se ovo pravilo može primijeniti nekoliko puta zaredom.
Primjer 2.8. Nađi
Rješenje. Prilikom zamjene imamo neizvjesnost oblika . Primjenjujući L'Hopitalovo pravilo, dobijamo
Kontinuitet funkcije
Važno svojstvo funkcije je kontinuitet.
Definicija. Funkcija se razmatra kontinuirano, ako mala promjena vrijednosti argumenta povlači za sobom malu promjenu vrijednosti funkcije.
Matematički se ovo piše na sljedeći način: kada 
Pod i podrazumijeva se prirast varijabli, odnosno razlika između narednih i prethodnih vrijednosti: , (Slika 2.3)
 Slika 2.3 – Prirast varijabli |
Iz definicije funkcije kontinuirane u tački slijedi da 
. Ova jednakost znači da su ispunjena tri uslova: 
Rješenje. Za funkciju tačka je sumnjiva za diskontinuitet, hajde da proverimo ovo i nađemo jednostrane granice
dakle, 
, znači - tačka prekida
Derivat funkcije
Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica različitih tipova. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.
Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. U 19. vijeku živio je Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, posebno definiciju granice. Mora se reći da je ovaj isti Cauchy bio, jeste i bit će u noćnim morama svih studenata fizičko-matematičkih odsjeka, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a svaka teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:
1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.
Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.
Dakle, koja je granica?
I samo primjer zašto čupavoj baki....
Svaki limit se sastoji od tri dijela:
1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi “X teži jedan”. Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, mjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .
Sam snimak 
glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."
Pogledajmo sljedeće važno pitanje - šta znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I šta uopće znači "stremiti"?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Napravimo niz: prvo , zatim , , …, 
, ….
Odnosno, izraz „x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se beskonačno približavaju jedinstvu i praktično se s njim poklapaju.
Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:
Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.
Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!
Primjer sa beskonačnosti:
Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.
Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , 
, …
Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:
Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.
Još jedan primjer sa beskonačnošću:
Ponovo počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije: 
Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:
I još jedan niz primjera:
Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:
, , , , 
, , , , 
,
Ako negdje sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako onda , , .
Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je pogrešan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.
Obratite pažnju i na sledeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato sa velikim brojem na vrhu, ili čak sa milionom: , onda je svejedno 
, jer će prije ili kasnije "X" poprimiti takve gigantske vrijednosti da će milion u poređenju sa njima biti pravi mikrob.
Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?
1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.
2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr 
, , itd.
Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome
primjer:
Izračunajte limit 
Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neku tehniku rješenja, koju ćemo sada razmotriti.
Kako riješiti limite ovog tipa?
Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu: 
Vodeća snaga u brojiocu je dva.
Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen: 
Najviši stepen nazivnika je dva.
Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.
Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i imenilac najvećim stepenom.
Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.
Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?
Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.
Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.
Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način: 
Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.
Naravno, ne morate ništa od ovoga, ali tada će vam, možda, nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Da li ti treba?
Primjer 2
Pronađite granicu 
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu: 
Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:
Podijelite brojilac i imenilac sa
Primjer 3
Pronađite granicu 
Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2
Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:
Podijelite brojilac i imenilac sa
Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.
Stoga, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj, nula ili beskonačnost.
Granice sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje
Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.
Primjer 4
Riješiti limit 
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak: 
U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.
Opšte pravilo: ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika , onda da se otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.
Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i pročitajte nastavni materijal Vruće formule za školski kurs matematike. Inače, najbolje ga je odštampati, potrebno je vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.
Dakle, riješimo našu granicu 
Faktori brojilac i imenilac
Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu: 
Prvo nalazimo diskriminanta:
I kvadratni korijen toga: .
Ako je diskriminanta velika, na primjer 361, koristimo kalkulator; funkcija vađenja kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.
! Ako se korijen ne izvuče u cijelosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku došlo do greške u kucanju.
Zatim nalazimo korijene: 
ovako:
Sve. Brojilac je faktorizovan.
Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.
Očigledno, može se skratiti na:
Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:
Naravno, na testu, testu ili ispitu rješenje nikada nije opisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:
Rastavimo brojilac na faktore. 
Primjer 5
Izračunajte limit 
Prvo, "finiš" verzija rješenja
Razložimo brojilac i imenilac.
Brojač:
imenilac: 
, 
Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvadili 2 iz zagrada, a zatim koristili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.
Rješenje ograničenja online funkcija. Pronađite graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunajte krajnji vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i još mnogo toga se može učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućavamo vam da brzo i precizno pronađete ograničenja funkcija na mreži. Vi sami unosite varijablu funkcije i granicu kojoj ona teži, a naš servis za Vas obavlja sve proračune, dajući tačan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje granice na mreži možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađeno ograničenje funkcije će sadržavati ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaženja ograničenja na mreži, dovoljno je naznačiti funkciju i tačku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate rezultat dobiven sa rješavanje ograničenja na mreži na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite greške i administrativne greške. Ili nam možete u potpunosti vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje granice funkcije. Dozvoljavamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojevnog niza i www.site izračunat će vrijednost limit online na plus ili minus beskonačnost.
Jedan od osnovnih koncepata matematičke analize je ograničenje funkcije I granica sekvence u tački i u beskonačnosti, važno je biti u stanju ispravno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je doneta ograničenja na mreži u roku od nekoliko sekundi, odgovor je tačan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje sa prelazak do granice, granice se koriste u gotovo svim oblastima više matematike, pa je korisno imati server pri ruci online limit rješenja, što je stranica.