Keling, avval aylana va aylana o'rtasidagi farqni tushunib olaylik. Bu farqni ko'rish uchun ikkala raqam nima ekanligini ko'rib chiqish kifoya. Bu bitta markaziy nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi cheksiz sonli nuqta. Ammo, agar doira ham ichki bo'shliqdan iborat bo'lsa, u aylanaga tegishli emas. Ma’lum bo‘lishicha, aylana ham uni chegaralab turuvchi aylana (o-aylana (g)lik), ham aylana ichidagi son-sanoqsiz nuqtalardir.
Doira ustida yotgan har qanday L nuqta uchun OL=R tengligi amal qiladi. (OL segmentining uzunligi aylana radiusiga teng).
Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti akkord.
To'g'ridan-to'g'ri aylananing markazidan o'tadigan akkord diametri bu doira (D). Diametrni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: D=2R
Atrof formula bilan hisoblanadi: C=2\pi R
Doira maydoni: S=\pi R^(2)
aylana yoyi uning ikkita nuqtasi orasida joylashgan qismi deb ataladi. Bu ikki nuqta aylananing ikkita yoyini belgilaydi. CD akkord ikkita yoyni ajratadi: CMD va CLD. Xuddi shu akkordlar bir xil yoylarga bo'linadi.
Markaziy burchak ikki radius orasidagi burchakdir.
yoy uzunligi formuladan foydalanib topish mumkin:
- Darajalardan foydalanish: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Radian o'lchovidan foydalanish: CD = \alpha R
Akkordga perpendikulyar bo'lgan diametr akkord va uning yoylarini ikkiga bo'ladi.
Agar aylananing AB va CD akkordalari N nuqtada kesishsa, u holda N nuqta bilan ajratilgan akkordlar segmentlarining ko'paytmalari bir-biriga teng bo'ladi.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Aylanaga teginish
Aylanaga teginish Doira bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqni chaqirish odatiy holdir.
Agar chiziqning ikkita umumiy nuqtasi bo'lsa, u deyiladi sekant.
Agar siz aloqa nuqtasida radius chizsangiz, u aylanaga teginishga perpendikulyar bo'ladi.
Keling, bu nuqtadan doiramizga ikkita teginish chizamiz. Ma’lum bo‘lishicha, tangenslarning segmentlari bir-biriga teng bo‘ladi va aylananing markazi shu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida joylashgan bo‘ladi.
AC=CB
Endi biz nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizamiz. Biz tangens segment uzunligining kvadrati uning tashqi qismi bo'yicha butun sekant segmentining mahsulotiga teng bo'lishini olamiz.
AC^(2) = CD \cdot BC
Xulosa qilishimiz mumkin: birinchi sekantning butun son segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasi ikkinchi qismning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasiga teng.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Aylanadagi burchaklar
Markaziy burchak va u tayangan yoyning daraja o'lchovlari tengdir.
\angle COD = \chashka CD = \alpha ^(\circ)
Yozilgan burchak choʻqqisi aylanada boʻlgan va tomonlarida akkordlar boʻlgan burchak.
Yoyning o'lchamini bilib, uni hisoblashingiz mumkin, chunki u bu yoyning yarmiga teng.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Diametrga asoslanib, yozilgan burchak, tekis.
\ burchak CBD = \ burchak CED = \ burchak SAPR = 90 ^ (\ doira)
Xuddi shu yoyga tayangan chizilgan burchaklar bir xil.
Xuddi shu akkordga asoslangan chizilgan burchaklar bir xil yoki ularning yig'indisi 180 ^ (\circ) ga teng.
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\ burchak ADB = \ burchak AEB = \ burchak AFB
Xuddi shu doirada bir xil burchakli va berilgan asosli uchburchaklarning uchlari joylashgan.
Aylana ichida cho'qqisi bo'lgan va ikkita akkord orasida joylashgan burchak, berilgan va vertikal burchaklar ichidagi aylananing yoylarining burchak kattaliklari yig'indisining yarmiga tengdir.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \chap (\chashka DmC + \chashka AlB \o'ng)
Cho'qqisi aylanadan tashqarida bo'lgan va ikki sekant orasida joylashgan burchak, burchak ichidagi aylananing yoylarining burchak kattaliklaridagi farqning yarmiga tengdir.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \chap (\chashka DmC - \chashka AlB \o'ng)
Chizilgan doira
Chizilgan doira ko'pburchakning yon tomonlariga tegib turgan doiradir.
Ko'pburchak burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada uning markazi joylashgan.
Har bir ko'pburchakda aylana chizilmasligi mumkin.
Chizilgan doira bilan ko'pburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S=pr,
p - ko'pburchakning yarim perimetri,
r - chizilgan aylananing radiusi.
Bundan kelib chiqadiki, chizilgan doira radiusi:
r = \frac(S)(p)
Qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi, agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, bir xil bo'ladi. Va aksincha: agar qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi bir xil bo'lsa, aylana qavariq to'rtburchak ichiga yozilgan.
AB+DC=AD+BC
Har qanday uchburchakda aylana chizish mumkin. Faqat bitta singl. Shaklning ichki burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada bu chizilgan doiraning markazi yotadi.
Chizilgan doira radiusi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
r = \frac(S)(p) ,
Bu erda p = \ frac (a + b + c) (2)
Cheklangan doira
Agar ko'pburchakning har bir tepasidan aylana o'tsa, bunday aylana deyiladi ko'pburchak atrofida chegaralangan.
Cheklangan aylananing markazi ushbu rasmning tomonlari perpendikulyar bissektrisalarining kesishgan nuqtasida bo'ladi.
Radiusni ko'pburchakning istalgan 3 ta uchi bilan aniqlangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblash orqali topish mumkin.
Quyidagi shart mavjud: aylana to'rtburchak atrofida faqat uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180^( \circ) ga teng bo'lsagina o'ralgan bo'lishi mumkin.
\ burchak A + \ burchak C = \ burchak B + \ burchak D = 180^ (\doira)
Har qanday uchburchakning yonida aylana va bitta va faqat bittasini tasvirlash mumkin. Bunday aylana markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalari kesishgan nuqtada joylashgan bo'ladi.
Cheklangan doira radiusini quyidagi formulalar bilan hisoblash mumkin:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,
S - uchburchakning maydoni.
Ptolemey teoremasi
Nihoyat, Ptolemey teoremasini ko'rib chiqing.
Ptolemey teoremasida aytilishicha, diagonallarning ko'paytmasi chizilgan to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga tengdir.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Ta'rif. aylana- aylana markazi deb ataladigan berilgan nuqtadan masofa doimiy qiymat bo'lgan, aylananing radiusi deb ataladigan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami.
Doira tenglamasini chiqaramiz. Nuqta radiusli aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin 
. Biz kelib chiqishi aylananing markaziga to'g'ri keladigan to'rtburchaklar koordinatalar tizimini kiritamiz 
. Bu holda, nuqta 
koordinatalariga ega 
. Doira ta'rifi bo'yicha 
. Sharti bilan; inobatga olgan holda 
, olamiz 
, yoki
.
(1.27)
(1.27) ifoda markazda joylashgan aylana tenglamasi deyiladi 
va radius 
.
Koordinatalari (1.27) tenglamani qanoatlantiradigan har qanday nuqta markazda joylashgan aylanaga tegishli ekanligini ko‘rsatamiz. 
va radius 
.
Nuqtaning koordinatalari bo'lsin 
(1.27) tenglamani qanoatlantiring. Keyin, ya'ni. 
aylanadagi nuqtadir.
O'qlarning parallel ko'chirilishi bilan nuqtaning to'rtburchaklar koordinatalarini o'zgartirish formulasini hisobga olib, biz nuqtada markazlashtirilgan doira tenglamasini olamiz. 
va radius 
:
13-Misol. Koordinatalar boshi orqali oʻtuvchi, markazi parallel chiziqlardan bir xil masofada joylashgan aylana tenglamasini yozing. 
va 
.
Qaror. Shakldagi aylana tenglamasini tuzish uchun koordinatalarini topish kerak 
uning markazi 
va radius 
. Kerakli doira chiziqlarga tegib turadi 
va 
, shuning uchun radius 
masofaning yarmiga teng 
bu chiziqlar orasida. Parallel chiziqlar orasidagi masofa bir chiziqdagi ixtiyoriy nuqtadan ikkinchi chiziqgacha bo'lgan masofaga teng. Tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqda 
, ixtiyoriy nuqtani oling 
, keyin 
. Formula (1.15) bo'yicha bizda: 
. Shunday qilib, 
. Doira markazi berilgan chiziqlardan bir xil masofada joylashganligi sababli koordinatalar 
uning markazi 
tenglikni ta’minlashi kerak 
, ya'ni. 
. Ma'lumki, aylana koordinatadan o'tadi, shuning uchun. Biz markazning koordinatalariga nisbatan tenglamalar tizimini oldik 
doiralar: 
. Uning qarorlari bo'ladi 
. Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita tenglama mavjud: 
.
1.12. Ellips
Ta'rif. Ellips - fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtadan masofalar yig'indisi o'choqlar orasidagi masofadan kattaroq doimiy qiymat bo'lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami.
Biz to'rtburchaklar koordinatalar tizimini tanlaymiz, shunda abscissa o'qi fokuslardan o'tadi 
va 
, va kelib chiqishi 
segmentning o'rtasiga to'g'ri keladi 
. Belgilamoq 
,
,
, qayerda 
,
ellips nuqtasining fokal radiuslari (nuqtadan fokuslargacha bo'lgan masofalar). Keyin fokuslar 
va 
koordinatalariga ega 
,
.
Bo'lsin 
- ellipsning ixtiyoriy nuqtasi. Bizda ... bor: 
,
. Ellipsning ta'rifidan
,
(1.29)
yoki foydalanish uchun noqulay bo'lgan ellipsning kerakli tenglamasi. Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki .Sendan beri 
, u holda biz tenglamaning ikkala tomonini kvadratga olishimiz mumkin va ekvivalent o'zgarishlardan keyin biz quyidagilarni olamiz: 
. Demak,. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz 
. Bizda ... bor: 
. Bu tenglikdan shunday xulosa kelib chiqadi
.
(1.30)
(1.30) tenglama ellipsning kanonik (eng oddiy) tenglamasi deyiladi. Bu tenglama ikkinchi tartibli tenglamadir. Shunday qilib, (1.29) tenglamani qanoatlantiradigan ellipsning istalgan nuqtasi (1.30) tenglamani ham qanoatlantiradi. Koordinatalari (1.30) tenglamani qanoatlantiradigan tekislikning barcha nuqtalari ellips nuqtalari ekanligini, ya’ni ularning koordinatalari (1.29) tenglamani qanoatlantirishini isbotlaylik.
Fokus radiusi uchun 
munosabat 
. (1.30) tenglamadan biz: 
. Shunday qilib 
, yoki 
. Xuddi shunday, biz buni topamiz 
. Demak, 
.
Ellips koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir, chunki u faqat juft darajalarni o'z ichiga oladi 
va 
, va kelib chiqishiga nisbatan. Ellipsning simmetriya o'qlari uning o'qlari deb ataladi va simmetriya markazi ellipsning markazidir.
Ellips koordinata o'qlarini nuqtalarda kesib o'tadi 
,
,
,
. Bu nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi. Da 
ellips radiusli aylanaga aylanadi 
va markazda kelib chiqadi. Ellipsning cho'qqilari o'qlarda uzunlik segmentlarini cheklaydi 
va 
, va 
(bu haqiqatdan kelib chiqadi 
).
Miqdorlar 
va 
ellipsning katta va kichik yarim o'qlari deyiladi, ellipsning o'qlari mos ravishda katta va kichik o'qlardir.
Ta'rif. Ellipsning ekssentrikligi
bu erdagi munosabat deyiladi 
- fokuslar orasidagi masofaning yarmi, 
yarim katta o‘q, ya’ni.
.
(1.31)
Sharti bilan; inobatga olgan holda 
, olamiz 
. Sifatida 
, keyin 
. Agar a 
, ya'ni ellips aylanaga yaqinlashadi, keyin 
. Agar a 
, a 
nolga moyil bo'lmaydi, keyin ellips katta o'q bo'ylab cho'ziladi. Shunday qilib, ellipsning ekssentrikligi uning katta o'q bo'ylab cho'zilish o'lchovini tavsiflaydi.
Agar ellipsning o'choqlari bo'lsa 
va 
y o'qida joylashgan, keyin bu holatda 
kattasi esa yarim mildir 
. Ellips tenglamasi ham (1.30) ko'rinishga ega, lekin 
, va uning ekssentrikligi formula bo'yicha hisoblanadi 
.
14-MISA Fokuslari koordinatsiyaga nisbatan x oʻqida simmetrik yotadigan ellipsning fokuslari orasidagi masofani bilib, tenglamasini yozing. 
va ekssentriklik 
.
Qaror. Fokuslar orasidagi masofaning yarmi 
. Ellipsning fokuslari x o'qida joylashganligi sababli, yarim katta o'q 
. (1.31) dan shunday xulosa kelib chiqadi 
. Keyin. Shunday qilib, ellips tenglamasi shaklga ega 
.
15-Misol Dan ellipsi 
. Uning yarim o'qlarini, o'choqlarini, ekssentrikligini toping.
Qaror. Ellips tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonini 45 ga bo'lamiz, olamiz 
. Shunday qilib, uning yarim o'qi 
,
. Yarim katta o'q - yarim o'q 
, shuning uchun ellipsning fokuslari y o'qida joylashgan va 
, shuning uchun fokuslar nuqtalarda joylashgan 
va 
. Ellipsning eksantrikligi markazlar orasidagi masofaning yarmining yarim asosiy o'qga nisbatiga teng, ya'ni. 
.
16-Misol To'rtburchakning maydonini hisoblang 
, ikkita cho'qqi 
va 
ellips o'choqlarida joylashgan 
, qolgan ikkitasi 
va 
uning kichik o'qining uchlariga to'g'ri keladi.
Qaror. Ellipsning kanonik tenglamasi shaklga ega 
, Shunung uchun 
,
. Shuning uchun, to'rtburchakning uchlari 
va 
tegishli koordinatalarga ega 
va 
. Cho'qqilarning koordinatalarini toping 
va 
. Sifatida 
, keyin 
,
. Olingan to'rtburchak koordinata o'qlariga va boshiga nisbatan simmetrikdir. 
, shuning uchun, 
.
Leksiya: Doira va aylana
Doira yopiq egri chiziq bo'lib, uning barcha nuqtalari markazdan bir xil masofada joylashgan.
Kundalik hayotda siz ko'pincha doira bilan uchrashgansiz. Bu soat va soniya qo'llari bilan tavsiflanadi, bu gimnastika halqasiga ega bo'lgan doira shaklidir.
Endi tasavvur qiling-a, siz qog'ozga doira chizib, uni bezashni xohladingiz.
Shunday qilib, doira bilan chegaralangan barcha bezatilgan makon doiradir.
Doira ham, doira ham ba'zi parametrlarga ega:
Markaz aylananing barcha nuqtalaridan teng masofada joylashgan nuqtadir. Doira va aylana markazi O harfi bilan ko'rsatilgan.
Radius - markazdan aylanagacha bo'lgan masofa (R).
Diametr - aylananing (d) barcha nuqtalarini bog'laydigan markazdan o'tgan chiziq. Bundan tashqari, diametri ikki radiusga teng: d = 2R.
Akkord - aylananing istalgan ikkita nuqtasini bog'laydigan chiziq segmenti. Diametr akkordning alohida holatidir.
Doira aylanasini topish uchun quyidagi formuladan foydalaning:
l=2 pR
E'tibor bering, aylana va maydon faqat berilgan doiraning radiusiga bog'liq.
Doira maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
S=pR 2.
Men sizning e'tiboringizni "Pi" raqamiga qaratmoqchiman. Bu qiymat faqat aylana yordamida topildi. Buning uchun uning uzunligi ikki radiusga bo'lingan va shu bilan "Pi" soni olingan.
Agar aylana ikkita radiusli ba'zi qismlarga bo'lingan bo'lsa, unda bunday qismlar sektorlar deb ataladi. Har bir sektor o'z daraja o'lchoviga ega - u tayanadigan yoyning daraja o'lchovi.
Yoy uzunligini topish uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak:
1. Darajalardan foydalanish:
2. Radian o'lchovidan foydalanish:
Agar biror burchakning uchi aylananing markaziga tayanib, uning nurlari aylana bilan kesishsa, bunday burchak markaziy deyiladi.
Agar ikkita akkord bir nuqtada kesishsa, ularning segmentlari proportsionaldir:
Doira- berilgan nuqtadan ma'lum masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalaridan iborat geometrik figura.
Bu nuqta (O) deyiladi doira markazi.
Doira radiusi markazni aylanadagi nuqta bilan bog‘lovchi chiziq bo‘lagi. Barcha radiuslar bir xil uzunlikka ega (ta'rifi bo'yicha).
Akkord Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti. Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri. Doira markazi har qanday diametrning o'rta nuqtasidir.
Doiradagi istalgan ikkita nuqta uni ikki qismga ajratadi. Ushbu qismlarning har biri deyiladi dumaloq yoy. Ark deyiladi yarim doira agar uning uchlarini bog'laydigan segment diametr bo'lsa.
Birlik yarim doira uzunligi bilan belgilanadi π
.
Uchlari umumiy bo'lgan ikkita aylana yoyning daraja o'lchovlari yig'indisi 360º.
Tekislikning aylana bilan chegaralangan qismi deyiladi atrofida.
aylana sektori- aylananing yoy bilan chegaralangan qismi va yoyning uchlarini aylananing markazi bilan tutashtiruvchi ikkita radius. Sektorni chegaralovchi yoy deyiladi sektor yoyi.
Umumiy markazga ega bo'lgan ikkita doira deyiladi konsentrik.
To'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita aylana deyiladi ortogonal.
To'g'ri chiziq va aylananing o'zaro joylashishi
- Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylana radiusidan kichik bo'lsa ( d), u holda chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtaga ega. Bunday holda, chiziq chaqiriladi sekant doiraga nisbatan.
- Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusiga teng bo'lsa, u holda chiziq va aylana faqat bitta umumiy nuqtaga ega. Bunday chiziq deyiladi aylanaga teginish, va ularning umumiy nuqtasi deyiladi chiziq va aylana orasidagi aloqa nuqtasi.
- Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan katta bo'lsa, u holda chiziq va doira. umumiy nuqtalari yo'q .
Markaziy va chizilgan burchaklar
Markaziy burchak aylananing markazidagi tepasi bilan burchak.
Yozilgan burchak Choʻqqisi aylana ustida yotgan va tomonlari aylana bilan kesishgan burchak.
Chizilgan burchak teoremasi
Yozilgan burchak uni kesib o'tgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi.
- Natija 1.
Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar tengdir. - Natija 2.
Yarim doira kesib o'tuvchi chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.
Kesishuvchi akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema.
Agar aylananing ikkita akkordlari kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.
Asosiy formulalar
- Atrof:
- Ark uzunligi:
- Diametri:
- Ark uzunligi:
qayerda α - aylana yoyi uzunligining daraja o'lchovi)
- Doira maydoni:
- Doiraviy sektor maydoni:
Doira tenglamasi
- To'rtburchaklar koordinatalar tizimida radiusli aylana uchun tenglama r nuqtada markazlashtirilgan C(x o; y o) quyidagi shaklga ega:
- Markazi koordinatali r radiusli aylana tenglamasi:
Ushbu maqolada matematikadan imtihonni muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan doira haqida minimal ma'lumotlar to'plami mavjud.
aylana berilgan nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalar to'plami deyiladi, bu aylananing markazi deb ataladi.
Doira ustida yotgan har qanday nuqta uchun tenglik amal qiladi (Segmentning uzunligi aylananing radiusiga teng.
Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti deyiladi akkord.
Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri doiralar () .
Atrof:
Doira maydoni:
Doira yoyi:
Doiraning ikkita nuqtasi orasiga o'ralgan qismi deyiladi yoy doiralar. Doiradagi ikkita nuqta ikkita yoyni aniqlaydi. Akkord ikkita yoyni ajratadi: va . Teng akkordlar teng yoylarga bo'linadi.
Ikki radius orasidagi burchak deyiladi markaziy burchak :
a) burchak darajalarda berilgan:
b) burchak radianlarda berilgan:
Chordga perpendikulyar diametr , bu akkordni va u ayiradigan yoylarni yarmiga ajratadi:
Agar a akkordlar va doiralar bir nuqtada kesishadi , u holda ular nuqta bilan bo'lingan akkord segmentlarining hosilalari bir-biriga teng bo'ladi:
Aylanaga teginish.
Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq deyiladi tangens doiraga. Aylana bilan ikkita umumiy nuqtasi bo'lgan chiziq deyiladi sekant.
Aylanaga qaragan tangens nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.
Agar berilgan nuqtadan aylanaga ikkita tangens o'tkazilsa, u holda tangens segmentlari bir-biriga teng va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida yotadi:
Agar berilgan nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa tangens segment uzunligining kvadrati butun sekant segmentining tashqi qismiga ko'paytmasiga teng :
Natija: bir sekantning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasi ikkinchi sekantning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasiga teng:
Aylanadagi burchaklar.
Markaziy burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchoviga teng:
Choʻqqisi aylana ustida joylashgan va tomonlarida akkordlar boʻlgan burchak deyiladi yozilgan burchak . Yozilgan burchak u kesib o'tgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi:
∠∠
Diametrga asoslangan chizilgan burchak to'g'ri burchakdir:
∠∠∠
Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar :
Xuddi shu akkordga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar teng yoki ularning yig'indisi teng
∠∠
Bazasi berilgan va uchida teng burchakli uchburchaklarning uchlari bir xil doirada yotadi:
Ikki akkord orasidagi burchak (cho'qqisi aylana ichidagi burchak) berilgan burchak ichida va vertikal burchak ichida o'ralgan aylananing yoylarining burchak kattaliklari yig'indisining yarmiga teng.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Ikki sekant orasidagi burchak (cho'qqisi aylanadan tashqarida bo'lgan burchak) burchak ichiga o'ralgan doira yoylarining burchak kattaliklarining yarim farqiga teng.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Chizilgan doira.
Doira deyiladi ko'pburchak shaklida yozilgan agar u yon tomonlariga tegsa. Chizilgan doira markazi ko'pburchak burchak bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi.
Har bir ko'pburchakni aylana ichiga yozib bo'lmaydi.
Doirani o'z ichiga olgan ko'pburchakning maydoni formuladan foydalanib topish mumkin
bu erda ko'pburchakning yarim perimetri, chizilgan doira radiusi.
Bu yerdan chizilgan doira radiusi teng
Agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi . Aksincha, agar qavariq to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'lsa, to'rtburchakda aylana chizilgan bo'lishi mumkin:
Har qanday uchburchakni doira bilan yozish mumkin va faqat bitta. Chizilgan aylana markazi uchburchakning ichki burchaklarining bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi.
Chizilgan doira radiusi
ga teng. Bu yerda 
chegaralangan doira.
Doira deyiladi ko'pburchak atrofida chegaralangan agar u ko'pburchakning barcha uchlaridan o'tsa. Cheklangan aylananing markazi ko'pburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi. Radius berilgan ko'pburchakning har qanday uchta uchi bilan aniqlangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblanadi:
Doira to'rtburchak atrofida, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng bo'lsagina, chegaralanishi mumkin. .
Har qanday uchburchakning yonida aylanani tasvirlash mumkin, bundan tashqari, faqat bitta. Uning markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida joylashgan:
Cheklangan doira radiusi formulalar bo'yicha hisoblanadi:
Uchburchak tomonlarining uzunligi qayerda, uning maydoni.
Ptolemey teoremasi
Chizilgan to'rtburchakda diagonallarning ko'paytmasi uning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng: