Tenglamalarni «o`tkazish» usuli yordamida yechish

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing

ax 2 + bx + c \u003d 0, qaerda a? 0.

Uning ikkala qismini a ga ko'paytirib, tenglamani olamiz

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

ax = y bo'lsin, bundan x = y/a; keyin tenglamaga kelamiz

y 2 + by + ac = 0,

bunga teng. Uning ildizlarini Vieta teoremasi yordamida 1 va 2 da topamiz.

Nihoyat, biz x 1 = y 1 / a va x 1 = y 2 / a ni olamiz. Ushbu usul bilan a koeffitsienti erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "o'tkazilgan", shuning uchun u "o'tkazish" usuli deb ataladi. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini topish oson bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.

* Misol.

2x 2 - 11x + 15 = 0 tenglamasini yechamiz.

Qaror. Keling, 2-koeffitsientni erkin muddatga "o'tkazamiz", natijada biz tenglamani olamiz

y 2 - 11y + 30 = 0.

Vyeta teoremasiga ko'ra

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Javob: 2,5; 3.

Kvadrat tenglama koeffitsientlarining xossalari

LEKIN. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin, bu yerda a? 0.

1) Agar a + b + c \u003d 0 (ya'ni, koeffitsientlar yig'indisi nolga teng bo'lsa), x 1 \u003d 1,

Isbot. Tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'ling? 0, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Vyeta teoremasiga ko'ra

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 = 1*c/a.

Shart bo'yicha a - b + c = 0, bundan b = a + c. Shunday qilib,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

bular. x 1 \u003d -1 va x 2 \u003d c / a, buni m isbotlash kerak edi.

* Misollar.
1) 345x 2 - 137x - 208 = 0 tenglamani yechamiz.

Qaror. a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) bo'lgani uchun, keyin

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Javob: 1; -208/345.

2) 132x 2 - 247x + 115 = 0 tenglamani yeching.

Qaror. a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0) bo'lgani uchun, keyin

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Javob: 1; 115/132.

B. Agar ikkinchi koeffitsient b = 2k juft son bo'lsa, u holda ildiz formulasi

* Misol.

3x2 - 14x + 16 = 0 tenglamani yechamiz.

Qaror. Bizda: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalar yechimi". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishgan edik va endi biz bilan tanishamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u umumiy shaklda qanday yozilishini muhokama qilamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, unga tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x o'zgaruvchi, a , b va c ba'zi sonlar, a esa noldan farq qiladi.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Olingan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 +b x + c=0 va a koeffitsienti birinchi yoki katta yoki x 2 da koeffitsient, b ikkinchi koeffitsient yoki x da koeffitsient, c esa erkin a'zo deb ataladi.

Masalan, 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5 , ikkinchi koeffitsient −2 , erkin had −3 . E'tibor bering, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, 5 x 2 +(− emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamaning qisqa shakli qo'llaniladi. 2 )x+(−3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamaning yozuvida aniq mavjud emas, bu esa bunday belgilarning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsienti −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab, qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 va hokazo. - qisqartirilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. Va 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday bajarilishini misol qilib olaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Qaror.

Bizga dastlabki tenglamaning ikkala qismini yetakchi koeffitsient 3 ga bo'linishini bajarish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz ushbu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ga teng, bu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 va hokazo (3) :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamani belgilashda a≠0 sharti mavjud. Bu shart a x 2 +b x+c=0 tenglama toʻliq kvadrat boʻlishi uchun zarur, chunki a=0 bilan u haqiqatda b x+c=0 koʻrinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar koeffitsientlardan kamida bittasi b , c nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bu nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamadan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 +0 x+c=0 ko'rinishini oladi va u a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 +b x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 +b x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

a x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
va c=0 bo'lganda x 2 +b x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a x 2 =0 tenglama asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, haqiqatdan ham har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik sodir bo'ladi, bu esa p≠0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmasligini bildiradi.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 \u003d 0 bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 \u003d 0 tenglamasiga ekvivalent, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglamada ham bitta ildiz nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha chiqarilishi mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar va c≠0, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqing. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirish mumkin:

c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
va uning ikkala qismini a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo'lsa) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va .

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Tenglamaning oddiy tovushli ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli boshqa x 2 ildizi bor. Ma’lumki, tenglamaga uning ildizlari o‘rniga x o‘rniga qo‘yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 − x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari natijaviy tenglikni (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 shaklida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0 , bu bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 = −x 1 . Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalentdir.

ildizlari yo'q, agar,
ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liq bo`lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqing.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9·x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomonda manfiy son olinganligi sababli, bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7=0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana bitta to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz -x 2 +9=0. Biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 \u003d -9. Endi ikkala qismni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, biz bu yoki degan xulosaga kelamiz. Yakuniy javobni yozganimizdan so'ng: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 +b x=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama ikkita x=0 va a x+b=0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, oxirgisi chiziqli va x=−b/a ildiziga ega.

Demak, a x 2 +b x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Qaror.

Qavsdan x ni chiqaramiz, bu tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lgach, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Bu tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda .
Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga erishamiz.

Biz tahlil qilganimizda, oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
bo'lsa, tenglama uning yagona ildizi ko'rinadigan , demak, , ko'rinishga ega bo'ladi;
agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Demak, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 a c ifoda belgisidir. Bu b 2 −4 a c ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga ko'ra kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga egami yoki yo'qmi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni - bir yoki ikkita degan xulosaga keladi.

Biz tenglamaga qaytamiz, uni diskriminantning yozuvidan foydalanib qayta yozamiz: . Va xulosa qilamiz:

agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki , uni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, qisqartirgandan so'ng, biz .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular ga o'xshaydi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4 a c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lganda, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga urinayotganda, bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sondan kvadrat ildizni chiqarishga duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, ularni biz olgan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamani yechishda siz darhol ularning qiymatlarini hisoblash uchun ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebrasi kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va undan keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

diskriminant formulasi yordamida D=b 2 −4 a c uning qiymatini hisoblang;
agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0 bo'lsa;
diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz faqat diskriminant nolga teng bo'lsa, formuladan ham foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz, u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmini qo‘llash misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 +2 x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Qaror.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1 , b=2 va c=−6 . Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildizlar formulasi bilan topamiz, olamiz, bu erda bajarib olingan ifodalarni soddalashtirishimiz mumkin. ildiz belgisini faktoring keyin kasrni kamaytirish:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 +6 y+2=0 tenglamani yeching.

Qaror.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5 , b=6 va c=2 . Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktab odatda darhol javobni yozadi, unda ular haqiqiy ildizlar yo'qligini ko'rsatadilar va ular murakkab ildizlarni topmaydilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4 a c kvadrat tenglamalarni x da teng koeffitsientli (yoki oddiygina 2 n ga o'xshash koeffitsient bilan) yechish imkonini beruvchi ixchamroq formulani olish imkonini beradi. , masalan, yoki 14 ln5=2 7 ln5 ). Keling, uni olib chiqaylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x + c=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Bizga ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 − a c ifodasini D 1 deb belgilang (ba'zan u D " deb ham belgilanadi). Keyin ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan ko'rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining bor yoki yo'qligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani echish uchun sizga kerak bo'ladi

D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

5 x 2 −6 x−32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , bu erda a=5 , n=−3 va c=−32 ko'rinishida qayta yozishingiz va 4-qismning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi" degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x −6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini qandaydir songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini soddalashtirishga erishdik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala qismi odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lsak, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala qismini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bo'yicha amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala qismi LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 +4 x−18=0 .

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'ling, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2·x 2 −3·x+7=0 kvadrat tenglamadan 2·x 2 +3·x−7=0 yechimga o‘tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlarning formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Shaklning Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va . Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga teng, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin haddir. Masalan, 3 x 2 −7 x+22=0 kvadrat tenglama ko‘rinishida darhol uning ildizlari yig‘indisi 7/3, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22/3 ekanligini aytish mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktorizatsiyaga misollar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamalarni onlayn yechish

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganda, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Bundan tashqari, biz bu haqiqiy raqamlar deb hisoblaymiz.
O'ylab ko'ring kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Keyin kvadrat trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar funktsiyaning grafigini tuzsak
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachon , grafik abscissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi ().
Qachon bo'lsa, grafik x o'qiga bir nuqtada () tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi ().

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

O'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:

,
qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bundan ko'rinadiki, tenglama

da amalga oshirildi
va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
(1.1) tenglamamiz bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu erdan kvadrat trinomialning omillarga bo'linishini olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta (2.1) dastlabki tenglamaning ildizidir. Bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratilganligi sababli:
,
u holda bunday ildiz ko'plik deyiladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz bor deb hisoblashadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant manfiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin

.

Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abscissa (o'q) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Shuningdek qarang:

Kvadrat tenglamalar. Diskriminant. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Muddatida kvadrat tenglama kalit so'z "kvadrat". Bu tenglamada shuni anglatadi albatta x kvadrat bo'lishi kerak. Bunga qo'shimcha ravishda, tenglamada faqat x (birinchi darajaga) va shunchaki raqam bo'lishi mumkin (yoki bo'lmasligi mumkin!) (bepul a'zo). Va ikkidan kattaroq darajada x bo'lmasligi kerak.

Matematik nuqtai nazardan, kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

Bu yerda a, b va c- ba'zi raqamlar. b va c- mutlaqo har qanday, lekin a- noldan boshqa narsa. Misol uchun:

Bu yerda a =1; b = 3; c = -4

Bu yerda a =2; b = -0,5; c = 2,2

Bu yerda a =-3; b = 6; c = -18

Xo'sh, siz tushundingiz ...

Ushbu kvadrat tenglamalarda, chapda, mavjud to'liq to'plam a'zolari. x kvadrat koeffitsient bilan a, x koeffitsienti bilan birinchi darajaga b va bepul a'zosi

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.

Agar b= 0, biz nimani olamiz? Bizda ... bor X birinchi darajada yo'qoladi. Bu nolga ko'paytirilganda sodir bo'ladi.) Masalan, shunday bo'ladi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsient bo'lsa b va c nolga teng bo'lsa, u yanada oddiyroq:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Bu juda mantiqiy.) E'tibor bering, x kvadrat barcha tenglamalarda mavjud.

Aytgancha, nima uchun a nol bo'lishi mumkin emasmi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz a nol.) Kvadratdagi X yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va bu boshqacha qilingan ...

Bu kvadrat tenglamalarning barcha asosiy turlari. To'liq va to'liqsiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni yechish oson. Formulalar va aniq oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda berilgan tenglamani standart shaklga keltirish kerak, ya'ni. ko'rinishga:

Agar tenglama allaqachon sizga ushbu shaklda berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas.) Asosiysi, barcha koeffitsientlarni to'g'ri aniqlash, a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant. Ammo u haqida quyida batafsilroq. Ko'rib turganingizdek, x ni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va c. Bular. kvadrat tenglamadan koeffitsientlar. Faqat qiymatlarni ehtiyotkorlik bilan almashtiring a, b va c Ushbu formulaga kiriting va hisoblang. O'rinbosar belgilaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

a =1; b = 3; c= -4. Bu erda biz yozamiz:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, siz xato qilolmaysizmi? Xo'sh, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar qadriyatlar belgilari bilan chalkashlikdir a, b va c. To'g'rirog'i, ularning belgilari bilan emas (qaerda chalkashlik bor?), Lekin ildizlarni hisoblash formulasiga salbiy qiymatlarni almashtirish bilan. Bu erda ma'lum raqamlar bilan formulaning batafsil yozuvi saqlanadi. Hisoblashda muammolar mavjud bo'lsa, shunday qiling!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Aytaylik, siz birinchi marta kamdan-kam hollarda javob olishingizni bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Qo'shimcha satr yozish uchun 30 soniya kerak bo'ladi va xatolar soni keskin pasayadi. Shunday qilib, biz barcha qavslar va belgilar bilan batafsil yozamiz:

Bu qadar ehtiyotkorlik bilan bo'yash juda qiyin ko'rinadi. Lekin shunchaki ko'rinadi. Urunib ko'r. Xo'sh, yoki tanlang. Qaysi biri yaxshiroq, tez yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni xursand qilaman. Biroz vaqt o'tgach, hamma narsani juda ehtiyotkorlik bilan bo'yashga hojat qolmaydi. Bu shunchaki to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, siz quyida tavsiflangan amaliy usullarni qo'llasangiz. Minuslar to'plami bilan bu yomon misol osongina va xatosiz hal qilinadi!

Ammo, ko'pincha, kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Bilasizmi?) Ha! Bu to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

Ularni umumiy formula bilan ham yechish mumkin. Bu erda nima teng ekanligini to'g'ri aniqlashingiz kerak a, b va c.

Tushundimi? Birinchi misolda a = 1; b = -4; a c? U umuman mavjud emas! Xo'sh, ha, bu to'g'ri. Matematikada bu shuni anglatadi c = 0 ! Hammasi shu. Formula o‘rniga nolni qo‘ying c, va hamma narsa biz uchun ishlaydi. Xuddi shunday, ikkinchi misol bilan. Faqat nol bizda bu yerda yo'q bilan, a b !

Lekin toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni ancha oson yechish mumkin. Hech qanday formulalarsiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Chap tomonda nima qilish mumkin? Qavslar ichidan X ni olib tashlashingiz mumkin! Keling, chiqarib olaylik.

Va bundan nima? Va agar mahsulot nolga teng bo'lsa va faqat omillardan birortasi nolga teng bo'lsa! Ishonmaysizmi? Xo'sh, unda nolga teng bo'lmagan ikkita raqamni toping, ular ko'paytirilganda nolga teng bo'ladi!
Ishlamaydi? Nimadur...
Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Hamma narsa. Bular tenglamamizning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirsak, biz 0 = 0 to'g'ri identifikatsiyani olamiz. Ko'rib turganingizdek, yechim umumiy formuladan ancha sodda. Aytgancha, qaysi X birinchi, qaysi ikkinchisi bo'lishini ta'kidlayman - bu mutlaqo befarq. Tartibda yozish oson x 1- qaysi biri kamroq bo'lsa x 2- bu ko'proq.

Ikkinchi tenglamani ham oson yechish mumkin. Biz 9 ni o'ng tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:

9 dan ildizni ajratib olish qoladi va hammasi. Oling:

shuningdek, ikkita ildiz . x 1 = -3, x 2 = 3.

Barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar shunday yechiladi. Qavslar ichidan X ni olib tashlash yoki raqamni o'ngga o'tkazish, so'ngra ildizni chiqarish orqali.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, birinchi holatda siz X dan ildizni chiqarib olishingiz kerak bo'ladi, bu qandaydir tushunarsiz, ikkinchi holatda esa qavslardan olib tashlash uchun hech narsa yo'q ...

Diskriminant. Diskriminant formulasi.

Sehrli so'z diskriminant ! Nodir o'rta maktab o'quvchisi bu so'zni eshitmagan! "Diskriminant orqali qaror qabul qiling" iborasi ishonch va ishonch bag'ishlaydi. Chunki diskriminantdan hiyla-nayrang kutishning hojati yo'q! Foydalanish oson va muammosiz.) Yechishning eng umumiy formulasini eslataman har qanday kvadrat tenglamalar:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant deb ataladi. Diskriminant odatda harf bilan belgilanadi D. Diskriminant formulasi:

D = b 2 - 4ac

Va bu ifodaning o'ziga xos xususiyati nimada? Nega u alohida nomga loyiq? Nimada diskriminantning ma'nosi? Hammasidan keyin; axiyri -b, yoki 2a bu formulada ular maxsus nom bermaydilar ... Harflar va harflar.

Gap shundaki. Ushbu formuladan foydalanib, kvadrat tenglamani yechishda mumkin faqat uchta holat.

1. Diskriminant musbat. Bu shuni anglatadiki, siz undan ildizni olishingiz mumkin. Ildiz yaxshi yoki yomon olinadimi - bu boshqa savol. Printsipial jihatdan olingan narsa muhim. Keyin kvadrat tenglamangiz ikkita ildizga ega. Ikki xil yechim.

2. Diskriminant nolga teng. Keyin sizda bitta yechim bor. Chunki numeratorga nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi. To'g'ri aytganda, bu bitta ildiz emas, balki ikkita bir xil. Ammo, soddalashtirilgan versiyada bu haqda gapirish odatiy holdir bitta yechim.

3. Diskriminant manfiy. Salbiy son kvadrat ildizni olmaydi. Ha mayli. Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Rostini aytsam, kvadrat tenglamalarning oddiy yechimi bilan diskriminant tushunchasi aslida talab qilinmaydi. Biz formuladagi koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz va hisobga olamiz. U erda hamma narsa o'z-o'zidan paydo bo'ladi va ikkita ildiz, bitta va bitta emas. Biroq, murakkabroq vazifalarni hal qilishda, bilimsiz ma'no va diskriminant formulasi yetarli emas. Ayniqsa - parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar GIA va Yagona davlat imtihonlari uchun aerobatikadir!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarni yechish usullari siz eslagan diskriminant orqali. Yoki o'rgangan, bu ham yomon emas.) Siz qanday qilib to'g'ri aniqlashni bilasiz a, b va c. Bilasizmi qanday diqqat bilan ularni ildiz formulasiga almashtiring va diqqat bilan natijani hisoblang. Bu erda kalit so'z ekanligini tushundingizmi - diqqat bilan?

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Aynan e'tiborsizlik tufayli bo'lganlar ... Buning uchun og'riqli va haqoratli ...

Birinchi qabul . Kvadrat tenglamani standart shaklga keltirishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Faraz qilaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildizlarning formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c. Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, x kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin bepul a'zo. Mana bunday:

Va yana, shoshilmang! X kvadratidan oldingi minus sizni juda xafa qilishi mumkin. Uni unutish oson... Minusdan qutuling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'rgatilgandek! Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Va endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin. O'zingiz qaror qiling. Siz 2 va -1 ildizlari bilan yakunlashingiz kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlaringizni tekshiring! Vyeta teoremasiga ko'ra. Xavotir olmang, men hammasini tushuntiraman! Tekshirish oxirgi narsa tenglama. Bular. biz ildizlarning formulasini yozganimiz. Agar (bu misolda bo'lgani kabi) koeffitsient a = 1, ildizlarni osongina tekshiring. Ularni ko'paytirish kifoya. Siz bepul muddat olishingiz kerak, ya'ni. bizning holatlarimizda -2. E'tibor bering, 2 emas, balki -2! bepul a'zo sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, demak, ular allaqachon biror joyda aralashib ketishgan. Xato qidiring.

Agar u ishlagan bo'lsa, siz ildizlarni katlashingiz kerak. Oxirgi va yakuniy tekshirish. Nisbatan bo'lishi kerak b bilan qarama-qarshi belgisi. Bizning holatda -1+2 = +1. Koeffitsient b x dan oldin joylashgan , -1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu faqat x kvadrati sof, koeffitsientli misollar uchun juda oddiy a = 1. Lekin hech bo'lmaganda bunday tenglamalarni tekshiring! Xatolar kamroq bo'ladi.

Uchinchi qabul . Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! “Tenglamalarni qanday yechish kerak? Aynilikni o‘zgartirish” darsida ko‘rsatilgandek tenglamani umumiy maxrajga ko‘paytiring. Kasrlar, xatolar bilan ishlashda, ba'zi sabablarga ko'ra, ko'tarilish ...

Aytgancha, men soddalashtirish uchun bir nechta minuslar bilan yomon misolni va'da qildim. Arzimaydi! Mana u.

Minuslarda adashmaslik uchun tenglamani -1 ga ko'paytiramiz. Biz olamiz:

Hammasi shu! Qaror qabul qilish qiziqarli!

Shunday qilib, keling, mavzuni takrorlaymiz.

Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni butun tenglamani -1 ga ko'paytirish orqali yo'q qilamiz.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan koeffitsientga ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

4. Agar x kvadrati sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechimni Vyeta teoremasi bilan osongina tekshirish mumkin. Qiling!

Endi siz qaror qabul qilishingiz mumkin.)

Tenglamalarni yechish:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Javoblar (tartibsiz):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - har qanday raqam

x 1 = -3
x 2 = 3

yechimlar yo'q

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Hammasi mos keladimi? Yaxshi! Kvadrat tenglamalar sizning bosh og'rig'ingiz emas. Birinchi uchtasi chiqdi, ammo qolganlari chiqmadimi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarda emas. Muammo tenglamalarni bir xil o'zgartirishda. Havolani ko'rib chiqing, bu foydali.

To'liq ishlamayaptimi? Yoki umuman ishlamayaptimi? Keyin 555-bo'lim sizga yordam beradi.U erda bu misollarning barchasi suyaklar bo'yicha saralangan. Koʻrsatilmoqda asosiy yechimdagi xatolar. Albatta, turli tenglamalarni yechishda bir xil o'zgarishlarni qo'llash ham tasvirlangan. Ko'p yordam beradi!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a , b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Yechishning aniq usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

Ildizlari yo'q;
Ularning aynan bitta ildizi bor;
Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq bo'lib, bu erda ildiz har doim mavjud va yagonadir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Bu formulani yoddan bilish kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminantning belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

Agar D< 0, корней нет;
Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

E'tibor bering: diskriminant negadir ko'pchilik o'ylaganidek, ularning belgilarini emas, balki ildizlarning sonini ko'rsatadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shu tarzda tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz kelishmovchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz" bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimga o'tamiz. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblay olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha xatolar formulaga manfiy koeffitsientlar kiritilganda sodir bo'ladi. Bu erda yana, yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni bo'yash - va tezda xatolardan xalos bo'ling.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Misol uchun:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bunday holda, tenglama ax 2 \u003d 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bittaga ega. ildiz: x \u003d 0.

Keling, boshqa holatlarni ko'rib chiqaylik. b \u003d 0 bo'lsin, keyin ax 2 + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Keling, uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik (−c / a ) ≥ 0 bo'lgandagina ma'noga ega bo'ladi. Xulosa:

Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (−c / a ) ≥ 0 tengsizlikni qanoatlantirsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
Agar (−c / a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisob-kitoblar umuman yo'q. Aslida, (−c / a ) ≥ 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz, bunda erkin element nolga teng. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorlarga ajratish kifoya:

Qavsdan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu erdan ildizlar paydo bo'ladi. Xulosa qilib aytganda, biz ushbu tenglamalarning bir nechtasini tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.