Лекция 6

4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.

Произведение двух квадратных матриц n -го порядка всегда определено. При этом важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:

Доказательство. Пусть

и
,

.

Составим вспомогательный определитель

.

По следствию теоремы Лапласа имеем:

.

Итак,
, покажем, что
. Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п
, прибавим к
-му столбцу. Затем первые п столбцов, умноженных соответственно на
, прибавим к
-му столбцу и т.д. На последнем шаге к
-му столбцу будут прибавлены первые п столбцов, умноженных соответственно на
. В результате получим определитель

.

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:

Итак, доказаны равенства
и
, из которых следует, что
.

4.7.Обратная матрица

Определение 1 . Пусть дана квадратная матрица А п -го порядка. Квадратную матрицу
того же порядка называют обратной к матрице А , если , где Е -единичная матрица п -го порядка.

Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А , то такая матрица единственная.

Доказательство. Допустим, что матрица
является не единственной матрицей, обратной к матрице А . Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

Рассмотрим произведение
. Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что
. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».

Определение 2 . Пусть дана матрица

.

элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А , называется присоединенной матрицей к матрице А .

Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Определение 3. Квадратная матрица А называется невырожденной , если
.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу
, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица
определяется формулой

, (1)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы А .

Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу
. Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители
и
. Эти определители связаны соотношением
. Матрицы А и
невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу
и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение

матрицы А и присоединенной к ней матрицы С .

По правилу умножения матриц элемент произведения
матриц А и С имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j - й строки равна нулю при
и определителю при
. Следовательно,

где Е – единичная матрица п -го порядка. Аналогично доказывается равенство
. Таким образом,

, а это означает, что
и матрица является обратной к матрице А . Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).

Следствие 1 . Определители матриц А и
связаны соотношением
.

Следствие 2 . Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается

равенствами
.

Следствие 3 . Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы

С связаны равенством
.

Следствие 3 вытекает из равенства
и свойства определителей, согласно которому при умножении на п- ю степень этого числа. В данном случае

откуда следует, что
.

Пример. А :

.

Решение. Определитель матрицы

отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:

,
,
,

,
,
,

,
.

Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу

.

4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.

Определение 1. Под элементарными преобразованиями над матрицей размера

понимают следующие действия.

Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.

Прибавление к любой i -й строке матрицы любой ее j - й строки, умноженной на произвольное число.

Прибавление к любому i -му столбцу матрицы любого ее j - го столбца, умноженного на произвольное число.

Перестановка строк (столбцов) матрицы.

Определение 2. Матрицы А и В будем называть эквивалентными , если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать
.

Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами :

Определение 3 . Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:

1) если i -я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то
-я строка также нулевая;

2) если первые ненулевые элементы i -й и
-й строк располагаются в столбцах с номерами k и l , то
.

Пример. Матрицы

и

являются ступенчатыми, а матрица

ступенчатой не является.

Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса . Рассмотрим матрицу А размера
. Без ограничения общности можем считать, что
. (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на , к третьей строке – первую, умноженную на и т.д.

В результате получим, что

.

Элементы в последних
строках определяются формулами:

,
,
.

Рассмотрим матрицу

.

Если все элементы матрицы равны нулю, то

и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что
(этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А , получим

соответственно,

.

Здесь
,
,
.

причем
,
, … ,
. В матрице А т строк и чтобы привести ее к ступенчатому виду указанным способом, понадобится не более т шагов. Далее процесс может оборваться на k -ом шаге в том и только в том случае, если все элементы матрицы

равны нулю. В этом случае

причем
,
, … ,
.

4.9. Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Для матрицы больших размеров отыскание обратной матрицы удобно проводить с помощью элементарных преобразований над матрицами. Этот метод состоит в следующем. Выписывают составную матрицу
и по схеме метода Гаусса выполняют над строками этой матрицы (т.е. одновременно и в матрице А и в матрице Е ) элементарные преобразования. В результате матрица А преобразуется в единичную матрицу, а матрица Е – в матрицу
.

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

.

Решение. Запишем составную матрицу
и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк в соответствии с методом Гаусса. В результате получим:

.

Из этих преобразований заключаем, что

.

4.10 Ранг матрицы.

Определение. Целое число r называется рангом матрицы А , если у нее имеется минор порядка r , отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом
.

Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров .

Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

.

Решение.

Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого

количества определителей.

Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.

Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований . Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .

Из этого определения следует формула элемента матрицы C :

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:

.

A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB .

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB .

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".

Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Свойства произведения двух матриц

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :

5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.

9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.

10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.

21. Решение совместной системы линейных уравнений.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.

24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.

25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.

26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.

28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.

30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.

33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления(без доказательства).

34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности(неизменности) порядка.

35. Общие уравнения плоскости и прямой.

36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости(в пространстве), канонические уравнения прямой.

39. Векторные уравнения прямой и плоскости.

40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.

42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

47.Определение линейного пространства. Примеры.

49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.

50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

Теорема:

Доказательство: Пусть заданы квадратные матрицы порядка n.
и
. На основании теоремы об определителе квазитреугольной матрицы (
) имеем:
порядок данной матрицы 2n. Не изменяя определителя, над матрицей порядка 2n выполним последовательно следующие преобразования: к первой строке прибавим . В результате такого преобразования на первыхn позициях первой строки будут все 0, а на вторых(во втором блоке) – будет стоять сумма произведений первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В. Проделав те же самые преобразования с 2 … n строками получим следующее равенство:

Чтобы привести правый определитель к квазитреугольному виду поменяем в нем местами 1 и 1+ n столбцы, 2 и 2+ n … n и 2 n столбцы. В результате получим равенство:

Замечание: Ясно что теорема справедлива для любого конечного числа матриц. В частности
.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

Определение: Если
матрица называется не невырожденной (неособенной). Если
то матрица называется вырожденной (особенной).

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу А. Из алгебраических дополнений элементов этой матрицы составим матрицу и транспонируем её. Получим матрицу С:
матрица С называется присоединенной по отношению к матрице А. Вычислив произведение А*С и В*С получим
Следовательно
, таким образом
если
.

Таким образом из неособенности матрицы А следует существование А -1 . С другой стороны если А имеет А -1 то матричное уравнение АХ=Е разрешимо. Следовательно
и. Объединяя полученные результаты получим утверждение:

Теорема: У квадратной матрицы над полем Р существует обратная тогда и только тогда когда она не особенная. Если обратная матрица существует то она находится по формуле:
, где С присоединенная матрица.

Замечание:

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

Определение: Миноромk-того порядка матрицы А называется определительk-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любыхkстрок и любыхkстолбцов.

Определение: Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличный от 0 миноров этой матрицы. Обозначаетсяr(A). Ясно 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

Определение: Всякий отличный от 0 минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором этой матрицы. Ясно что матрица может иметь несколько базовых миноров. Столбцы и строки которые образуют базовые миноры называются базисными.

Теорема: В производной матрице А=(а i) m , n каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов в которых расположен базисный минор(то же самое о строках).

Доказательство: Пусть r(A)=r. Выберем из матрицы один базисный минор. Для простоты предположим, что базовый минор расположен в левом верхнем углу матрицы, т.е. на первых r строках и первых r столбцах. Тогда базовый минор Mr будет иметь вид:
. Нам нужно доказать что всякий столбец матрицы А является линейной комбинацией первыхr столбцов этой матрицы, в которых расположен базисный минор, т.е. надо доказать что существуют числа λ j такие, что для любого k-того столбца матрицы А имеет место равенство: где
…
.

Припишем к базисному минору какие-нибудь k-тый столбец и s-тую строку:
т.к. если добавленная строка или

столбец входят в число базисных то определитель
, как определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами). Если добавлена строка(столбец) то
согласно определению ранга матрицы. Разложим определитель
по элементам нижней строки, получим:отсюда получаем:
где λ 1 … λ r не зависят от номера S, т.к. А Sj не зависят от элементов добавленной S-той строки. Равенство (1) и есть нужное нам равенство.(ч.т.д.)

Следствие: Если А квадратная матрица, а определительA=0 ,то один из столбцов матрицы есть линейная комбинация оставшихся столбцов, а так же одна из строк является линейная комбинация оставшихся строк.

Доказательство: Если определитель матрицыA=0, то ранг этой матрицы <=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

Для того чтобы [A] =0 необходимо и достаточно чтобы по крайней мере одна строка (столбец) являлись линейной комбинацией остальных её строк (столбцов).

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если.

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается.

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

Тогда любой элемент произведения (или), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

*=. Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Теорема. Пусть А и В - две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(d) (2n) = | A | | B | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель (d) (2n) равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В (d) (2n) проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а11; (n+2) строку, умноженную на а12 и т.д. (2n) строку, умноженную на (а) (1n) . В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (1n) = c11 ;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (2n) = c12 ;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (а) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя (d) (2n) , причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель (d) (2n) преобразуется в равный ему определитель:

(d) (2n) = | C | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Пусть A = (aij) (n x n) квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть А Î Pn. Матрицу В Î Pn будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы).Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Пусть, обратно, | A | ¹ 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

где А ij - алгебраическое дополнение к элементу а ij . Тогда

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. >

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

det A = -3 Þ обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А 11 = -3 А 21 = 0 А 31 = 6

А 12 = 0 А 22 = 0 А 32 =-3

А 13 = 1 А 23 = -1 А 33 = -1

Итак, обратная матрица имеет вид: В = =

Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы

1. Вычисляем det A.

2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен

0, считаем алгебраические дополнения.

3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.

4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Определение 1. Уравнение вида a1x1+ ....+an xn=b , где a, ... ,an - числа; x1, ... ,xn - неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.

s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.

(1)
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1). .

Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).

X = - столбец неизвестных. - столбец свободных членов.

В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).

Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α1 ,…, αn) таких, что если сделаем подстановку в (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , то мы получим числовые тождества.

Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.

Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Существует универсальный способ решения системы (1) - метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим более подробно случай, когда s = n . Существует метод Крамера решения таких систем.

Пусть d = det ,

dj - определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d ¹ 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B - матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.

Связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что является решением данной системы тогда и только тогда, когда

столбец есть решение уравнения (2).

Действительно, это утверждение означает выполнение равенства

Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств

которое означает, что - решение системы (1).

Итак, решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2). Так как определитель d матрицы А отличен от нуля, она имеет обратную матрицу А -1 . Тогда АХ = В Þ А(^-1)(АХ) = А(^-1)В Þ (А(^-1)А)Х = А(^-1)В Þ ЕХ = А(^-1)В Þ Х = А(^-1)В (3). Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, А(А(^-1)В) = (А А(^-1))В = ЕВ = В.

Поэтому Х = А(^-1)В есть единственное решение уравнения (2).

Так как ,

где А ij - алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе d, то

откуда (4).

В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя dj, который получается из определителя d после замены в нем

j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, xj = dj/ d. >

Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.