Materialul prezentat în această temă se bazează pe informațiile prezentate la tema „Fracțiuni raționale. Descompunerea fracțiilor raționale în fracții elementare (simple)”. Vă recomand cu căldură să treceți măcar peste acest subiect înainte de a trece la citirea acestui material. În plus, vom avea nevoie de un tabel de integrale nedefinite.

Permiteți-mi să vă reamintesc câțiva termeni. Au fost discutate în subiectul corespunzător, așa că aici mă voi limita la o scurtă formulare.

Raportul a două polinoame $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Fracția rațională se numește corect, dacă $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gresit.

Fracțiile raționale elementare (cele mai simple) sunt fracții raționale de patru tipuri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): show\hide

De ce este necesară condiția $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ obținem: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Deoarece $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Apropo, pentru această verificare nu este deloc necesar ca coeficientul înainte de $x^2$ să fie egal cu 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ obținem: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Deoarece $D > 0$, expresia $5x^2+7x-3$ este factorizabilă.

Pot fi găsite exemple de fracții raționale (proprie și improprie), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracții elementare. Aici ne vor interesa doar chestiunile legate de integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracții elementare de mai sus este ușor de integrat folosind formulele de mai jos. Permiteți-mi să vă reamintesc că la integrarea fracțiilor de tipurile (2) și (4), se presupune că $n=2,3,4,\ldots$. Formulele (3) și (4) necesită îndeplinirea condiției $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)

Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se face înlocuirea $t=x+\frac(p)(2)$, după care intervalul rezultat este împărțit în două. Primul va fi calculat prin introducerea sub semnul diferenţial, iar al doilea va avea forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Această integrală este luată folosind relația de recurență

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\în N\end(ecuație)

Calculul unei astfel de integrale este discutat în exemplul nr. 7 (a se vedea partea a treia).

Schema de calcul a integralelor funcțiilor raționale (fracții raționale):

1. Dacă integrandul este elementar, atunci se aplică formulele (1)-(4).
2. Dacă integrandul nu este elementar, atunci reprezentați-l ca o sumă de fracții elementare și apoi integrați folosind formulele (1)-(4).

Algoritmul de mai sus pentru integrarea fracțiilor raționale are un avantaj incontestabil - este universal. Acestea. folosind acest algoritm puteți integra orice fracție rațională. De aceea aproape toate modificările variabilelor într-o integrală nedefinită (Euler, Cebyshev, substituție trigonometrică universală) se fac în așa fel încât după această modificare să obținem o fracție rațională sub interval. Și apoi aplicați algoritmul. Vom analiza aplicarea directă a acestui algoritm folosind exemple, după ce facem o mică notă.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

În principiu, această integrală este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei. Dacă scoatem constanta $7$ din semnul integral și luăm în considerare că $dx=d(x+9)$, obținem:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pentru informații detaliate, vă recomand să vă uitați la subiect. Acesta explică în detaliu cum se rezolvă astfel de integrale. Apropo, formula este dovedită prin aceleași transformări care au fost aplicate în acest paragraf la rezolvarea ei „manual”.

2) Din nou, există două moduri: folosiți formula gata preparată sau faceți fără ea. Dacă aplicați formula, atunci ar trebui să țineți cont de faptul că va trebui eliminat coeficientul din fața lui $x$ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, să scoatem pur și simplu aceste patru dintre paranteze:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Acum este timpul să aplicați formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puteți face fără a utiliza formula. Și chiar și fără a scoate constanta $4$ din paranteze. Dacă luăm în considerare că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obținem:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicații detaliate pentru găsirea unor astfel de integrale sunt date în subiectul „Integrare prin substituție (substituție sub semnul diferențial)”.

3) Trebuie să integrăm fracția $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Această fracție are structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, unde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a vă asigura că aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, trebuie să verificați dacă este îndeplinită condiția $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Să rezolvăm același exemplu, dar fără a folosi o formulă gata făcută. Să încercăm să izolăm derivata numitorului în numărător. Ce înseamnă acest lucru? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Este expresia $2x+10$ pe care trebuie să o izolăm în numărător. Până acum numărătorul conține doar $4x+7$, dar aceasta nu va dura mult. Să aplicăm următoarea transformare la numărător:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Acum în numărător apare expresia necesară $2x+10$. Și integrala noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Să împărțim integrandu-ul în două. Ei bine, și, în consecință, integrala în sine este, de asemenea, „bifurcată”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Să vorbim mai întâi despre prima integrală, adică. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Deoarece $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atunci numărătorul integrandului conține diferența numitorului. Pe scurt, în schimb din expresia $( 2x+10)dx$ scriem $d(x^2+10x+34)$.

Acum să spunem câteva cuvinte despre a doua integrală. Să selectăm un pătrat complet la numitor: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. În plus, luăm în considerare $dx=d(x+5)$. Acum, suma integralelor pe care am obținut-o mai devreme poate fi rescrisă într-o formă ușor diferită:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Dacă în prima integrală facem înlocuirea $u=x^2+10x+34$, atunci aceasta va lua forma $\int\frac(du)(u)$ și se poate obține prin simpla aplicare a celei de-a doua formule din . În ceea ce privește integrala a doua, modificarea $u=x+5$ este fezabilă pentru aceasta, după care va lua forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Aceasta este cea mai pură a unsprezecea formulă din tabelul integralelor nedefinite. Deci, revenind la suma integralelor, avem:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Am primit același răspuns ca la aplicarea formulei, ceea ce, strict vorbind, nu este surprinzător. În general, formula este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi această integrală. Cred că cititorul atent poate avea o întrebare aici, așa că o voi formula:

Întrebarea nr. 1

Dacă aplicăm a doua formulă din tabelul de integrale nedefinite la integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atunci obținem următoarele:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

De ce nu a existat niciun modul în soluție?

Răspuns la întrebarea #1

Întrebarea este complet firească. Modulul lipsea doar pentru că expresia $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, atunci $(x+5)^2+9 > 0$ . Puteți gândi diferit, fără a utiliza selecția unui pătrat complet. Deoarece $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\in R$ (dacă acest lanț logic este surprinzător, vă sfătuiesc să vă uitați la metoda grafică de rezolvare a inegalităților pătratice). În orice caz, deoarece $x^2+10x+34 > 0$, atunci $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, adică. În loc de un modul, puteți folosi paranteze obișnuite.

Toate punctele exemplului nr. 1 au fost rezolvate, nu mai rămâne decât să notăm răspunsul.

Răspuns:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplul nr. 2

Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

La prima vedere, fracția integrandă $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este foarte asemănătoare cu o fracție elementară de al treilea tip, adică. prin $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul de $3$ în fața $x^2$, dar nu durează mult să eliminați coeficientul (să-l scoateți din paranteze). Cu toate acestea, această asemănare este evidentă. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ condiția $p^2-4q este obligatorie< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Coeficientul nostru înainte de $x^2$ nu este egal cu unu, prin urmare verificați condiția $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, prin urmare expresia $3x^2-5x-2$ poate fi factorizată. Aceasta înseamnă că fracția $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se aplică $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) la formula integrală 5x-2)dx$ nu este posibilă.

Ei bine, dacă fracția rațională dată nu este o fracție elementară, atunci trebuie reprezentată ca o sumă de fracții elementare și apoi integrată. Pe scurt, profitați de traseu. Cum se descompune o fracție rațională în fracțiuni elementare este scris în detaliu. Să începem prin factorizarea numitorului:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Prezentăm fracția subintercală sub această formă:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Acum să descompunăm fracția $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în fracțiuni elementare:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ dreapta). $$

Pentru a afla coeficienții $A$ și $B$ există două modalități standard: metoda coeficienților nedeterminați și metoda substituției valorilor parțiale. Să aplicăm metoda de substituție a valorii parțiale, înlocuind $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Deoarece au fost găsiți coeficienții, tot ce rămâne este să notăm expansiunea finală:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

În principiu, puteți lăsa această intrare, dar îmi place o opțiune mai precisă:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Revenind la integrala originală, înlocuim expansiunea rezultată în ea. Apoi împărțim integrala în două și aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplul nr. 3

Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebuie să integrăm fracția $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numătorul conține un polinom de gradul doi, iar numitorul conține un polinom de gradul trei. Deoarece gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, i.e. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tot ce trebuie să facem este să împărțim integrala dată în trei și să aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Continuarea analizei exemplelor din acest subiect se află în partea a doua.

Aici oferim soluții detaliate la trei exemple de integrare a următoarelor fracții raționale:
, , .

Exemplul 1

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici, sub semnul integral există o funcție rațională, deoarece integrandul este o fracție de polinoame. Gradul polinom al numitorului ( 3 ) este mai mică decât gradul polinomului numărătorului ( 4 ). Prin urmare, mai întâi trebuie să selectați întreaga parte a fracției.

1. Să selectăm întreaga parte a fracției. Împărțiți x 4 prin x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

De aici
.

2. Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația cubică:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Să înlocuim x = 1 :
.

1 . Împărțire cu x - 1 :

De aici
.
Rezolvarea unei ecuații pătratice.
.
Rădăcinile ecuației sunt: ​​, .
Apoi
.

3. Să descompunem fracția în cea mai simplă formă.

.

Așa că am găsit:
.
Să ne integrăm.

Răspuns

Exemplul 2

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici numărătorul fracției este un polinom de grad zero ( 1 = x 0). Numitorul este un polinom de gradul trei. Deoarece 0 < 3 , atunci fracția este corectă. Să-l împărțim în fracții simple.

1. Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația de gradul trei:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului 3 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 3, -1, -3 .
Să înlocuim x = 1 :
.

Deci, am găsit o rădăcină x = 1 . Împărțiți x 3 + 2 x - 3 pe x - 1 :

Asa de,
.

Rezolvarea ecuației pătratice:
X 2 + x + 3 = 0.
Găsiți discriminantul: D = 1 2 - 4 3 = -11. Din moment ce D< 0 , atunci ecuația nu are rădăcini reale. Astfel, am obținut factorizarea numitorului:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Să înlocuim x = 1 . Atunci x - 1 = 0 ,
.

Să înlocuim (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Să echivalăm cu (2.1) coeficienți pentru x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Să ne integrăm.
(2.2) .
Pentru a calcula a doua integrală, izolăm derivata numitorului în numărător și reducem numitorul la suma pătratelor.

;
;
.

Calculați I 2 .


.
Deoarece ecuația x 2 + x + 3 = 0 nu are rădăcini reale, atunci x 2 + x + 3 > 0. Prin urmare, semnul modulului poate fi omis.

Livram la (2.2) :
.

Răspuns

Exemplul 3

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici sub semnul integral se află o fracție de polinoame. Prin urmare, integrandul este o funcție rațională. Gradul polinomului din numărător este egal cu 3 . Gradul polinomului numitorului fracției este egal cu 4 . Deoarece 3 < 4 , atunci fracția este corectă. Prin urmare, poate fi descompus în fracții simple. Dar pentru a face acest lucru trebuie să factorizați numitorul.

1. Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația gradului al patrulea:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

Deci, am găsit o rădăcină x = -1 . Împărțire cu x - (-1) = x + 1:


Asa de,
.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația de gradul trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

Deci, am găsit o altă rădăcină x = -1 . Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii:
.

Deoarece ecuația x 2 + 2 = 0 nu are rădăcini reale, atunci obținem factorizarea numitorului:
.

2. Să descompunem fracția în cea mai simplă formă. Cautam o extindere sub forma:
.
Scăpăm de numitorul fracției, înmulțim cu (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Să înlocuim x = -1 . Apoi x + 1 = 0 ,
.

Sa facem diferenta (3.1) :

;

.
Să înlocuim x = -1 și luați în considerare că x + 1 = 0 :
;
; .

Să înlocuim (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Să echivalăm cu (3.1) coeficienți pentru x 3 :
;
1 = B + C;
.

Deci, am găsit descompunerea în fracții simple:
.

3. Să ne integrăm.


.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

În integralele 1-3 ca u Accept . Apoi n-aplicarea multiplă a formulei (19) ajungem la una din integralele tabelului

,
,
.

În integralele 4-6, la diferențiere, simplificați factorul transcendental
,
sau
, care ar trebui luat ca u.

Calculați următoarele integrale.

Exemplul 7.

Exemplul 8.

Reducerea integralelor la sine

Dacă integrand
are forma:

,
,
și așa mai departe,

apoi după ce integrăm de două ori pe părți obținem o expresie care conține integrala originală :

,

Unde
- unele constante.

Rezolvarea ecuației rezultate pentru , obținem o formulă de calcul a integralei inițiale:

.

Acest caz de aplicare a metodei de integrare pe părți se numește „ aducând integrala în sine».

Exemplul 9. Calculați integrala
.

În partea dreaptă este integrala originală . Mutându-l în partea stângă, obținem:

.

Exemplul 10. Calculați integrala
.

4.5. Integrarea celor mai simple fracții raționale proprii

Definiție.Cele mai simple fracții proprii eu , II Și III tipuri Următoarele fracții se numesc:

eu. ;

II.
; (
- număr întreg pozitiv);

III.
; (rădăcinile numitorului sunt complexe, adică:
.

Să luăm în considerare integralele fracțiilor simple.

eu.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformăm numărătorul fracției în așa fel încât să izolăm termenul din numărător
, egal cu derivata numitorului.

Să luăm în considerare prima dintre cele două integrale obținute și să facem o schimbare în ea:

În a doua integrală adăugăm numitorul unui pătrat perfect:

În cele din urmă, integrala unei fracții de al treilea tip este egală cu:

=
+
. (22)

Astfel, integrala celor mai simple fracții de tip I se exprimă prin logaritmi, tipul II - prin funcții raționale, tipul III - prin logaritmi și arctangente.

4.6.Integrarea funcţiilor fracţionale-raţionale

Una dintre clasele de funcții care au o integrală exprimată în termeni de funcții elementare este clasa funcțiilor raționale algebrice, adică funcții rezultate dintr-un număr finit de operații algebrice asupra unui argument.

Fiecare funcție rațională
poate fi reprezentat ca raport a două polinoame
Și
:

. (23)

Vom presupune că polinoamele nu au rădăcini comune.

O fracție din forma (23) se numește corect, dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, adică m< n. In caz contrar - gresit.

Dacă fracția este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor (conform regulii de împărțire a polinoamelor), prezentăm fracția ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii:

, (24)

Unde
- polinom, - o fracție proprie, și gradul polinomului
- nu mai mare de grad ( n-1).

Exemplu.

Deoarece integrarea unui polinom se reduce la suma integralelor tabulate ale unei funcții de putere, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale constă în integrarea fracțiilor raționale proprii.

S-a dovedit în algebră că fiecare fracție proprie se descompune în suma celor de mai sus protozoare fracții, a căror formă este determinată de rădăcinile numitorului
.

Să luăm în considerare trei cazuri speciale. Aici și mai departe vom presupune că coeficientul la gradul cel mai înalt al numitorului
egal cu unu =1, adicăpolinom redus .

Cazul 1. Rădăcinile numitorului, adică rădăcinile
ecuații
=0, sunt valide și distincte. Apoi reprezentăm numitorul ca produs al factorilor liniari:

iar fracția adecvată este descompusă în cele mai simple fracții ale I-gotipului:

, (26)

Unde
– nişte numere constante care se găsesc prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

Pentru a face acest lucru aveți nevoie de:

1. Aduceți partea dreaptă a expansiunii (26) la un numitor comun.

2. Echivalează coeficienții puterilor identice ale polinoamelor identice în numărătorul laturilor din stânga și din dreapta. Obținem un sistem de ecuații liniare de determinat
.

3. Rezolvați sistemul rezultat și găsiți coeficienții nedeterminați
.

Atunci integrala funcției fracțional-raționale (26) va fi egală cu suma integralelor celor mai simple fracții de tip I, calculată prin formula (20).

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie. Să factorizăm numitorul folosind teorema lui Vieta:

Apoi, funcția integrand este descompusă într-o sumă de fracții simple:

.

X:

Să scriem un sistem de trei ecuații de găsit
X pe partea stanga si dreapta:

.

Să indicăm o modalitate mai simplă de găsire a coeficienților nesiguri, numită metoda valorii parțiale.

Presupunând în egalitate (27)
primim
, Unde
. crezând
primim
. În sfârșit, crezând
primim
.

.

Cazul 2. Rădăcina numitorului
sunt valide, dar printre ele există rădăcini multiple (egale). Apoi reprezentăm numitorul ca un produs al factorilor liniari incluși în produs în măsura în care multiplicitatea rădăcinii corespunzătoare este:

Unde
.

Fracțiunea corespunzătoare se va descompune suma fracţiilor de tipurile I şi II. Să, de exemplu, - rădăcina numitorului multiplicității k, și toți ceilalți ( n- k) rădăcinile sunt diferite.

Apoi extinderea va arăta astfel:

La fel, dacă există alte rădăcini multiple. Pentru rădăcini nemultiple, expansiunea (28) include cele mai simple fracții ale primului tip.

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie. Să ne imaginăm fracția ca o sumă a celor mai simple fracții de primul și al doilea fel cu coeficienți nedeterminați:

.

Să aducem partea dreaptă la un numitor comun și să echivalăm polinoamele din numărătorii părților stângi și drepte:

În partea dreaptă vă prezentăm altele asemănătoare cu aceleași grade X:

Să scriem un sistem de patru ecuații de găsit
Și . Pentru a face acest lucru, echivalăm coeficienții la aceleași puteri X pe partea stanga si dreapta

.

Cazul 3. Printre rădăcinile numitorului
există rădăcini simple complexe. Adică, extinderea numitorului include factori de gradul doi
, nu se descompun în factori liniari reali și nu se repetă.

Apoi, în descompunerea unei fracții, fiecărui astfel de factor îi va corespunde o fracție cea mai simplă de tip III. Factorii liniari corespund celor mai simple fracții de tipul I și II.

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie.
.

.

.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

să studieze tema „Integrarea unor funcții” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Învățământul prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Integrarea unor funcții

Integrarea funcţiilor raţionale

Funcția formei
numit fracție rațională , dacă numărătorul și numitorul său sunt polinoame. Fracția rațională numit corect , dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului. Dacă gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului, atunci fracția rațională numit gresit .

Deoarece orice fracție improprie poate fi reprezentată ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii, atunci integrarea unei fracții raționale improprie se reduce la integrarea unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise.

Polinoamele sunt ușor de integrat. Să luăm în considerare integrarea fracțiilor din formă
,
care sunt numite fracții raționale simple .

.

.

Lasă numitorul
o fracție are rădăcini reale și poate fi reprezentată printr-un produs de factori de formă
. Apoi, pentru fiecare astfel de factor există o extindere a formei
. Astfel, fiecare fracție rațională adecvată poate fi reprezentat ca suma unui număr finit de fracții simple. Acest lucru se face folosind metoda coeficienților nedeterminați.

Exemplul 1 . Integrați fracția
.

Soluţie .
Să descompunăm integralul în fracții simple:

Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:
Să rezolvăm acest sistem de ecuații și să obținem ,
. Apoi

.

Integrarea unor funcții iraționale

Dacă integrandul este irațional, atunci prin schimbarea unei variabile în multe cazuri poate fi adus la o formă rațională sau la o funcție a cărei integrală este tabelată. Se numește integrarea folosind o schimbare de variabilă care aduce integrandul la formă rațională integrarea prin raționalizarea integrandului .

Integrale ale formei
sunt reduse la integrale ale funcţiilor raţionale ale argumentului t folosind substituția
, Unde k– cel mai mic multiplu comun al numerelor
.

Exemplul 2 . Găsiți integrala
.

Soluţie . Cel mai mic multiplu comun al numerelor
Și
este egal cu 6. Prin urmare, trebuie să aplicăm substituția
. Apoi

. Să descompunem funcția integrand în cele mai simple: . Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:
De aici găsim
Apoi
. Astfel, =
. Deoarece
, Acea
. Să substituim în expresia rezultată:

.

Integrale ale formei
sunt reduse la integrale ale funcțiilor raționale folosind substituția
.

Exemplul 3 . Găsiți integrala
.

Soluţie . Să efectuăm înlocuirea
:

.

Integrarea expresiilor care conțin

funcții trigonometrice

Să luăm în considerare principalele cazuri de integrare a expresiilor care conțin funcții trigonometrice.

La găsirea integralelor formei
,

,
funcții integrate din produs

intrările sunt convertite în sume folosind formulele:

Ca rezultat, integralele rezultate sunt găsite folosind metode de integrare și tabele de integrale. În acest caz, puteți utiliza formulele
Și
.

Exemplul 4 . Găsiți integrala
.

Soluţie . Să folosim prima dintre formulele de mai sus:

Integrale ale formei
poate fi găsită destul de simplu în următoarele cazuri.

Dacă m este un număr impar pozitiv, atunci puteți separa prima putere a sinusului și aplicați substituția
. Apoi
iar integrandul va fi redus la funcții de putere folosind formule trigonometrice. Dacă n este un număr impar pozitiv, atunci puteți separa prima putere a cosinusului și efectuați înlocuirea
. Apoi
iar integrandul care folosește funcții trigonometrice va fi de asemenea redus la funcții de putere.

Exemplul 5 . Găsiți integrala
.

Soluţie .

.

Exemplul 6 . Găsiți integrala
.

Soluţie .

Dacă mȘi n sunt numere pare nenegative, atunci transformarea integranților poate fi efectuată folosind formule de reducere a gradului
Și
.

Exemplul 7 . Găsiți integrala
.

Soluţie .

.

Funcția integrand este o fracție al cărei numărător este puterea sinusului, iar numitorul este puterea cosinusului sau invers. În acest caz, exponenții sunt fie ambii pare, fie ambii impari, adică. aceeași paritate.

În acest caz, dacă numărătorul este sinus, atunci cea mai potrivită substituție este
. De aici
,
,
,
.

Dacă numărătorul are cosinus, atunci este convenabil să folosiți substituția
. Apoi
,
,
,
.

Exemplul 8 . Găsiți integrala
.

Soluţie .

.

Găsirea integralelor formei
redus prin substituție
pentru a găsi integrale ale funcțiilor raționale. Substituţie
numit substituție trigonometrică universală , ceea ce duce întotdeauna la rezultate. În acest caz
,
,
,
,
.

Exemplul 9 . Găsiți integrala
.

Soluţie .
.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

sunt reduse la integrale ale funcțiilor raționale?

,

Cum se numește substituția trigonometrică universală și când este utilizată?

Sarcini pentru munca independentă

Găsiți integrale ale funcțiilor raționale:

A)
; b)
; V)
.

2) Integrați expresii care conțin funcții trigonometrice:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Integrarea funcțiilor raționale Funcție fracționară - rațională Cele mai simple fracții raționale Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Integrarea fracțiilor simple Regula generală pentru integrarea fracțiilor raționale

polinom de gradul n. Funcție fracționară - rațională O funcție fracționară - rațională este o funcție egală cu raportul a două polinoame: O fracție rațională se numește proprie dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, adică m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Funcție fracțională - rațională Reduceți o fracție improprie la forma corectă: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Cele mai simple fracții raționale Fracții raționale proprii de formă: Se numesc cele mai simple fracții raționale de tipuri. toporul A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Teorema: Orice fracție rațională proprie, al cărei numitor este factorizat: poate fi reprezentată, de altfel, într-un mod unic sub forma unei sume de fracții simple: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Să explicăm formularea teoremei folosind următoarele exemple: Pentru a afla coeficienții nesiguri A, B, C, D... se folosesc două metode: metoda comparării coeficienților și metoda a valorilor parțiale ale unei variabile. Să ne uităm la prima metodă folosind un exemplu. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Prezentați fracția ca o sumă de fracții simple: Să aducem cele mai simple fracții la un numitor comun Echivalăm numărătorii fracțiilor rezultate și inițiale Echivalăm coeficienții la aceleași puteri x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integrarea celor mai simple fracții Să găsim integralele celor mai simple fracții raționale: Să ne uităm la integrarea fracțiilor de tip 3 folosind un exemplu. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integrarea fracțiilor simpledx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integrarea fracțiilor simple O integrală de acest tip folosind substituția: se reduce la suma a două integrale: Prima integrală se calculează introducând t sub semnul diferențial. A doua integrală se calculează folosind formula de recurență: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk la dt N la dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integrarea fracțiilor simple a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 2)1 (4)1(

Regula generală pentru integrarea fracțiilor raționale Dacă fracția este improprie, atunci reprezentați-o ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii. După factorizarea numitorului unei fracții raționale propriu-zise, ​​reprezentați-o ca o sumă de fracții simple cu coeficienți nedeterminați. Aflați coeficienți nedeterminați prin metoda comparării coeficienților sau prin metoda valorilor parțiale ale unei variabile. Integrați polinomul și suma rezultată a fracțiilor simple.

Exemplu Să punem fracția în forma corectă. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 28 25 25 25 25 25 x

Exemplu Să factorizăm numitorul unei fracții proprii Să reprezentăm fracția ca sumă de fracții simple Să aflăm coeficienții nedeterminați folosind metoda valorilor parțiale ale variabilei xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Exemplu dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln