Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale– acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza; este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar ne deranjează alte numere 10 și 24. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă X.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

Introducere

1. Partea teoretică

1.1 Concepte și definiții de bază

1.3 Formula Cardano

2. Rezolvarea problemelor

Concluzie

Introducere

Ecuații. Putem spune cu siguranță că nu există o singură persoană care să nu fie familiarizată cu ele. Copiii încep să rezolve „problemele cu X” încă de la o vârstă fragedă. Mai departe mai mult. Adevărat, pentru mulți, familiaritatea cu ecuațiile se termină cu munca școlară. Celebrul matematician german Courant a scris: „De mai bine de două milenii, deținerea unor cunoștințe, nu prea superficiale, în domeniul matematicii a fost o componentă necesară a inventarului intelectual al fiecărei persoane educate”. Și printre aceste cunoștințe a fost și capacitatea de a rezolva ecuații.

Deja în antichitate, oamenii și-au dat seama cât de important era să înveți să rezolvi ecuații algebrice de forma

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + … + an = 0

la urma urmei, la ele vin multe și foarte diverse întrebări de practică și științe naturale (desigur, aici putem presupune imediat că a0 ¹ 0, deoarece altfel gradul ecuației nu este de fapt n, ci mai mic). Mulți, desigur, au avut ideea tentantă de a găsi, pentru orice grad n, formule care să exprime rădăcinile ecuației prin coeficienții ei, adică să rezolve ecuația în radicali. Cu toate acestea, „evul mediu întunecat” s-a dovedit a fi cât se poate de sumbru în raport cu problema în discuție - timp de șapte secole întregi nimeni nu a găsit formulele necesare! Abia în secolul al XVI-lea, matematicienii italieni au reușit să avanseze mai departe - să găsească formule pentru n = 3 și 4. Istoria descoperirilor lor și chiar paternitatea formulelor găsite sunt destul de obscure până în prezent și nu vom clarifica aici relații complexe între Ferro, Cardano, Tartaglia și Ferrari. Să explicăm mai bine esența matematică a materiei.

Scopul lucrării este de a explora diferite metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul trei.

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să îndepliniți o serie de sarcini:

-Analiza literaturii științifice;

-Analiza manualelor școlare;

-Selectarea exemplelor pentru rezolvare;

-Rezolvarea ecuațiilor folosind diverse metode.

Lucrarea constă din două părți. Prima discută diferite metode de rezolvare a ecuațiilor. A doua parte este dedicată rezolvării ecuațiilor în diferite moduri.

1. Partea teoretică

1 Concepte și definiții de bază

O ecuație cubică este o ecuație de gradul trei a formei:

Numărul x care transformă ecuația într-o identitate se numește rădăcină sau soluție a ecuației. Este, de asemenea, rădăcina polinomului de gradul al treilea din partea stângă a notației canonice.

Peste câmpul numerelor complexe, conform teoremei fundamentale a algebrei, o ecuație cubică are întotdeauna 3 rădăcini (ținând cont de multiplicitate).

Deoarece fiecare polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, toate cazurile posibile de compoziție a rădăcinilor unei ecuații cubice sunt limitate la cele trei descrise mai jos. Aceste cazuri sunt ușor de distins folosind discriminant

Deci, sunt posibile doar trei cazuri:

Dacă? > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale diferite.

Dacă?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Dacă? = 0, atunci cel puțin două rădăcini coincid. Acest lucru se poate întâmpla atunci când o ecuație are o rădăcină reală dublă și o altă rădăcină reală diferită; sau, toate cele trei rădăcini coincid, formând o rădăcină a multiplicității 3. Rezultanta ecuației cubice și derivata a doua a acesteia ajută la separarea acestor două cazuri: un polinom are o rădăcină de multiplicitate 3 dacă și numai dacă rezultanta specificată este, de asemenea, egală cu zero.

Rădăcinile unei ecuații cubice sunt legate de coeficienți după cum urmează:

1.2 Metode de rezolvare a ecuațiilor cubice

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice este metoda forței brute.

În primul rând, căutând, vom găsi una dintre rădăcinile ecuației. Faptul este că ecuațiile cubice au întotdeauna cel puțin o rădăcină reală, iar întreaga rădăcină a unei ecuații cubice cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber d. Coeficienții acestor ecuații sunt de obicei aleși astfel încât rădăcina dorită să se afle între numere întregi mici, cum ar fi: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Prin urmare, vom căuta rădăcina printre aceste numere și o vom verifica prin înlocuirea acesteia în ecuația. Probabilitatea de succes cu această abordare este foarte mare. Să presupunem că aceasta este rădăcina.

A doua etapă a soluției este împărțirea polinomului la binomul x - x1. Conform teoremei lui Bezout, această împărțire fără rest este posibilă, iar drept rezultat obținem un polinom de gradul doi, care trebuie egalat cu zero. Rezolvând ecuația pătratică rezultată, vom găsi (sau nu) cele două rădăcini rămase.

Rezolvarea unei ecuații binomiale cubice

Ecuația binomială cubică are forma (2)

Această ecuație este redusă la forma prin împărțirea la un coeficient A diferit de zero. Apoi, aplicați formula pentru suma abreviată a înmulțirii cuburilor:

Din prima paranteză găsim, iar trinomul pătrat are doar rădăcini complexe.

Ecuații cubice reciproce

Ecuația cubică reciprocă are forma și coeficienții B.

Să grupăm:

Evident, x=-1 este rădăcina unei astfel de ecuații, iar rădăcinile trinomului pătratic rezultat pot fi găsite cu ușurință prin discriminant.

1.3 Formula Cardano

În general, rădăcinile unei ecuații cubice se găsesc folosind formula Cardano.

Pentru ecuația cubică (1), valorile se găsesc folosind substituția: x= (2), iar ecuația se reduce la forma:

o ecuație cubică incompletă în care va lipsi termenul care conține gradul doi.

Presupunem că ecuația are numere complexe ca coeficienți. Această ecuație va avea întotdeauna rădăcini complexe.

Să notăm una dintre aceste rădăcini: . Să introducem o necunoscută auxiliară u și să considerăm polinomul f(u)=.

Să notăm rădăcinile acestui polinom cu? și?, conform teoremei lui Viette (vezi pagina 8):

Înlocuind expresia (4) în ecuația (3), obținem:

Pe de altă parte din (5): (7)

Din aceasta, adică din formulele (6), (7), rezultă că numerele sunt rădăcinile ecuației:

Din ultima ecuație:

Celelalte două rădăcini se găsesc după formula:

1.4 Formula trigonometrică Vieta

Această formulă găsește soluții pentru ecuația cubică redusă, adică o ecuație de formă

Evident, orice ecuație cubică poate fi redusă la o ecuație de forma (4) pur și simplu împărțind-o la coeficientul a. Deci, algoritmul pentru aplicarea acestei formule:

Noi calculăm

2. Calculați

3. a) Dacă, atunci calculăm

Și ecuația noastră are 3 rădăcini (reale):

b) Dacă, atunci înlocuiți funcțiile trigonometrice cu unele hiperbolice.

Noi calculăm

Apoi singura rădăcină (reala):

Rădăcini imaginare:

C) Dacă, atunci ecuația are mai puțin de trei soluții diferite:

2. Rezolvarea problemelor

Exemplul 1. Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații cubice

Aplicăm formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi:

Din prima paranteză aflăm că trinomul pătrat din a doua paranteză nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul este negativ.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Aceasta este o ecuație reciprocă. Să grupăm:

este rădăcina ecuației. Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic

Exemplul 3. Aflați rădăcinile unei ecuații cubice

Să transformăm ecuația în cea dată: înmulțim cu ambele părți și schimbăm variabila.

Termenul liber este egal cu 36. Să notăm toți divizorii săi:

Le substituim pe rând în egalitate până când obținem o identitate:

Astfel, este rădăcina. Ii corespunde

Împărțiți folosind schema lui Horner.

Coeficienți polinomi2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Primim

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic:

Evident, adică rădăcina sa multiplă este.

Exemplul 4. Aflați rădăcinile reale ale ecuației

este rădăcina ecuației. Să găsim rădăcinile trinomului pătratic.

Deoarece discriminantul este mai mic decât zero, trinomul nu are rădăcini reale.

Exemplul 5. Aflați rădăcinile ecuației cubice 2.

Prin urmare,

Înlocuiți în formula Cardano:

ia trei valori. Să le scriem.

Când avem

Când avem

Când avem

Să împărțim aceste valori în perechi, care în produs dau

Prima pereche de valori și

A doua pereche de valori și

A treia pereche de valori și

Revenind la formula Cardano

Prin urmare,

Concluzie

trinom ecuație cubică

În urma lucrărilor de curs au fost studiate diverse metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul trei, precum metoda enumerarii, formula Carano, formula Vieta, metode de rezolvare a ecuațiilor reciproce și binomiale.

Lista surselor utilizate

1)Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. „Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai colegiilor tehnice”, M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra și începuturile analizei. Manual pentru liceul clasa a IX-a, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematică: manual / V.P. Omelcenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.- 380 p.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a studia un subiect?

Specialiștii noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe teme care vă interesează.
Trimiteți cererea dvs indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

Fără ajutorul unui script, va trebui să efectuați calcule destul de complexe folosind metoda Cardano, care include cel puțin 6 pași. Calculul începe prin reducerea ecuației inițiale la forma y³ + py + q = 0 etc.

Calculul ecuațiilor de gradul trei este solicitat atunci când se rezolvă multe probleme fundamentale și aplicate matematice, fizice, statistice, de cercetare și de inginerie.

Ecuația de gradul trei online

Ecuația cubică arată astfel:

$$ x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 $$

unde a, b, c sunt coeficienți numerici pentru x.

x este o variabilă a cărei valoare, transformând polinomul cubic într-o identitate, va fi rădăcina ecuației cubice.

Pentru a rezolva o ecuație cubică online, trebuie să setați coeficienții ecuației unul câte unul.

O ecuație cubică poate avea trei rădăcini reale sau una (sau două pentru cazul degenerat) și două rădăcini complexe conjugate.

Ecuația are trei rădăcini reale dacă $$R^2< Q^3$$

$$ R $$ se găsește prin următoarea formulă:

$$ Q $$ poate fi găsit folosind formula:

Dacă $$R^2< Q^3 $$ , то уравнение имеет три действительных корня:

Dacă $$ R^2 >= Q^3 $$ , atunci ecuația are o rădăcină reală (sau două, pentru cazuri degenerate) și două conjugate complexe:

Funcția y = x³ și graficul acesteia

Să facem un tabel cu valorile funcției y = x 3: vedem că pentru x > 0 și y > 0 (cubul unui număr pozitiv este pozitiv), iar pentru x< 0 и y < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента x противоположным значением –x , тогда и функция примет противоположное значение; так как если y = x 3 , то

Aceasta înseamnă că fiecărui punct (x; y) al graficului îi corespunde un punct (–x; –y) al aceluiași grafic, situat simetric față de origine.

Astfel, originea este centrul de simetrie al graficului.

Graficul funcției y = x 3 este prezentat în figura 81. Această dreaptă se numește parabolă cubică.

În primul trimestru, parabola cubică (pentru x > 0) crește „abrupt” în sus (valoarea y „rapid” crește pe măsură ce x crește, vezi tabel); pentru valori mici ale lui x, linia „aproape” se apropie de Axa x (pentru valori „mici” valoarea x este „foarte mică”, vezi tabelul). Partea stângă a parabolei cubice (în al treilea trimestru) este simetrică față de partea dreaptă față de origine.

Un grafic bine desenat poate servi ca mijloc de aproximare a cuburilor de numere. Deci, de exemplu, punând x = 1,6, găsim din grafic y ≈ 4,1.

Pentru calculul aproximativ al cuburilor, au fost întocmite tabele speciale.

Un astfel de tabel este disponibil și în manualul lui V. M. Bradis „Tabelele matematice cu patru cifre”.

Acest tabel conține cuburi aproximative de numere de la 1 la 10, rotunjite la 4 cifre semnificative.

Structura tabelului cub și regulile de utilizare sunt aceleași cu tabelul pătrat. Cu toate acestea, atunci când un număr crește (sau scade) de 10, 100 etc. ori, cubul său crește (sau scade) de 1000, etc. Aceasta înseamnă că atunci când utilizați un tabel de cuburi, trebuie să aveți în vedere următoarea regulă de împachetare prin virgulă:

Dacă într-un număr mutați virgula în mai multe cifre, atunci în cubul acestui număr trebuie să mutați virgula în aceeași direcție prin triplul numărului de cifre.

Să explicăm asta cu exemple:

1) Calculați 2,2353. Din tabel găsim: 2,233 ≈ 11,09; adăugăm la ultima cifră o corecție de 8 pentru ultima cifră: 2,2353 ≈ 11,17.

2) Calculați (–179,8) 3 . Deoarece (–a) 3 = –a 3, găsim (179.8) 3.

Folosind tabelul, găsim 1,798 3 ≈ 5,813, deplasând punctul zecimal, obținem 179,8 3 ≈.

Aceasta înseamnă (–179,8) 3 ≈ –.

Formule aproximative. Dacă în identitate

(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α ± 3α² ± α³

numărul α este mic în comparație cu unitatea, apoi eliminând termenii cu α² și α³, obținem formule aproximative:

Folosind aceste formule, este ușor să găsiți cuburi aproximative de numere apropiate de unu, de exemplu:

1,02³ ≈ 1 + 3 * 0,02 = 1,06; cub exact: 1,061208;

1,03³ ≈ 1 + 3 * 0,03 = 1,09; cub exact: 1,092727;

0,98³ ≈ 1 – 3 * 0,02 = 0,94; cub exact: 0,941192;

0,97³ ≈ 1 – 3 * 0,03 = 0,91; cub exact: 0,912673.

Numerele cuburilor pe o riglă. Pentru numerele cuburilor, există o scară de cub K pe corpul riglei. Scara cubului este formată din trei părți: stânga, mijloc și dreapta (vezi desenul 82); fiecare dintre aceste părți reprezintă scara principală D, dar redusă cu un factor de trei.

Marcam valoarea numărului cub cu un vizor pe scara principală D și citim rezultatul pe scara cubului K.

De exemplu, 2³ = 8 (vezi diagrama 39).

Mai multe exemple de numere cube sunt date în tabelul următor. Pentru comparație, sunt date valorile cuburilor acelorași numere, calculate din tabele cu patru cifre.

Rezolvarea ecuațiilor cubice.

Orice ecuație cubică cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală, celelalte două fie sunt de asemenea reale, fie sunt o pereche conjugată complexă.

Să începem revizuirea cu cele mai simple cazuri - binomȘi returnabil ecuații. Apoi trecem la găsirea rădăcinilor raționale (dacă există). Să încheiem cu un exemplu de găsire a rădăcinilor unei ecuații cubice folosind Formula lui Cardano pentru cazul general.

Navigare în pagină.

Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni.

Ecuația binomială cubică are forma.

Această ecuație este redusă la forma prin împărțirea la un coeficient A diferit de zero. Apoi, aplicați formula pentru suma abreviată a înmulțirii cuburilor:

Din prima paranteză găsim, iar trinomul pătrat are doar rădăcini complexe.

Găsiți rădăcinile reale ale ecuației cubice.

Aplicăm formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi:

Din prima paranteză aflăm că trinomul pătrat din a doua paranteză nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul său este negativ.

Rezolvarea ecuației cubice reciproce.

Ecuația cubică reciprocă are forma în care A și B sunt coeficienți.

Evident, x = -1 este rădăcina unei astfel de ecuații, iar rădăcinile trinomului pătratic rezultat pot fi găsite cu ușurință prin discriminant.

Rezolvați ecuația cubică.

Aceasta este o ecuație reciprocă. Să grupăm:

Evident x = -1 este rădăcina ecuației.

Găsirea rădăcinilor trinomului pătratic:

Rezolvarea ecuațiilor cubice cu rădăcini raționale.

Să începem cu cel mai simplu caz, când x=0 este rădăcina ecuației cubice.

În acest caz, termenul liber D este egal cu zero, adică ecuația are forma.

Dacă scoatem x din paranteze, atunci va rămâne între paranteze un trinom pătrat, ale cărui rădăcini pot fi găsite cu ușurință fie prin discriminant, fie prin teorema lui Vieta.

Găsiți rădăcinile reale ale ecuației.

x=0 este rădăcina ecuației. Să găsim rădăcinile trinomului pătratic.

Deoarece discriminantul său este mai mic decât zero, trinomul nu are rădăcini reale.

Dacă coeficienții unei ecuații cubice sunt numere întregi, atunci ecuația poate avea rădăcini raționale.

Când, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu și modificați variabilele y = Ax:

Am ajuns la ecuația cubică dată. Poate avea rădăcini întregi, care sunt divizori ai termenului liber. Deci notăm toți divizorii și începem să-i substituim în ecuația rezultată până când obținem o egalitate identică. Divizorul la care se obține identitatea este rădăcina ecuației. Prin urmare, rădăcina ecuației inițiale este.

Aflați rădăcinile ecuației cubice.

Să transformăm ecuația la cele de mai sus: înmulțim cu ambele părți și schimbăm variabila y = 2x.

Termenul liber este de 36. Să notăm toți divizorii săi: .

Le substituim pe rând în egalitate până când obținem o identitate:

Deci y = -1 este rădăcina. Ii convine.

Tot ce rămâne este să găsim rădăcinile trinomului pătratic.

Evident, adică rădăcina sa multiplă este x=3.

Acest algoritm poate fi folosit pentru a rezolva ecuații reciproce. Deoarece -1 este rădăcina oricărei ecuații cubice reciproce, putem împărți partea stângă a ecuației originale la x+1 și găsim rădăcinile trinomului pătratic rezultat.

În cazul în care ecuația cubică nu are rădăcini raționale, se folosesc alte metode de rezolvare, de exemplu, metode specifice de factorizare a polinomului.

Rezolvarea ecuațiilor cubice folosind formula Cardano.

În general, rădăcinile unei ecuații cubice se găsesc folosind formula Cardano.

Găsiți valorile ecuației cubice. În continuare găsim și.

Înlocuim p și q rezultate în formula Cardano:

Valorile rădăcinilor cubice trebuie luate astfel încât produsul lor să fie egal. Ca rezultat, găsim rădăcinile ecuației originale folosind formula.

Să rezolvăm exemplul anterior folosind formula Cardano.

Cum se rezolvă ecuații cubice

Ecuațiile cubice au forma topor 3 + bx 2 + cx + d= 0. Metoda de rezolvare a unor astfel de ecuații este cunoscută de câteva secole (a fost descoperită în secolul al XVI-lea de către matematicienii italieni). Unele ecuații cubice sunt destul de greu de rezolvat, dar cu abordarea corectă (și un nivel bun de cunoștințe teoretice) poți rezolva chiar și cele mai dificile ecuații cubice.

Editați pași

Metoda 1 din 3:

Rezolvare folosind formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice Edit

Metoda 2 din 3:

Găsirea soluțiilor întregi folosind factorizarea Edit

Ecuații cubice

unde \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) sunt unele numere.

O ecuație cubică are întotdeauna cel puțin o rădăcină \(x_1\) .

Aceasta înseamnă că următoarele sunt întotdeauna satisfăcute: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , unde \(m, n\) sunt unele numere.

pentru orice număr \(a\) are o singură rădăcină

Soluția ecuației \(x^3=-8\) este \(x=\sqrt=-2\) .

\(>\) Ecuațiile cubice de forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) în unele cazuri pot fi rezolvate prin factorizarea părții din stânga.

Rezolvați ecuația \(5x^3-x^2-20x+4=0\) .

Să grupăm termenii din partea stângă și să-i factorizez: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2) - 4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Atunci rădăcinile acestei ecuații sunt \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) .

În unele probleme, formulele de înmulțire abreviate pot fi utile:

\(>\) Ecuațiile cubice de forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) în care nu este posibilă factorizarea părții stângi pot fi rezolvate în alt mod: selectați un rațional rădăcină, dacă există.

Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarele afirmații:

\(\blacktriangleright\) Dacă suma este \(a+b+c+d=0\) , atunci rădăcina ecuației este numărul \(1\) .

\(\blacktriangleright\) Dacă \(b+d=a+c\) , atunci rădăcina ecuației este numărul \(-1\) .

\(\blacktriangleright\) Fie \(a,b,c,d\) \(>>\) numere. Atunci, dacă ecuația are o rădăcină rațională \(\large >\) , atunci pentru aceasta va fi adevărată următoarele:

\(d\) este divizibil cu \(p\) ; \(a\) este divizibil cu \(q\) .

1. Ecuația \(7x^3+3x^2-x-9=0\) are o sumă de coeficienți egală cu \(7+3-1-9=0\), ceea ce înseamnă \(x=1\ ) este rădăcina (nu neapărat singura) a acestei ecuații.

2. Ecuația \(4.5x^3-3x^2-0.5x+7=0\) este valabilă: \(4.5-0.5=-3+7\), ceea ce înseamnă că \(x= -1\) este rădăcina acestei ecuații.

3. Ecuația \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) are coeficienți care sunt întregi, deci puteți selecta rădăcina: divizori ai termenului liber \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3 \) ; divizori ai coeficientului conducător \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . Aceasta înseamnă că combinațiile posibile de rădăcini raționale sunt: ​​\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Înlocuind fiecare număr pe rând în ecuație, ne asigurăm că \(x=\frac12\) este o rădăcină (deoarece după înlocuirea acestui număr în ecuație, se transformă într-o egalitate adevărată):

Rețineți că dacă coeficienții unei ecuații sunt numere raționale, atunci prin înmulțirea ecuației cu numitorul lor comun putem obține o ecuație echivalentă cu coeficienți întregi. De exemplu, ecuația \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) după înmulțirea cu \(6\) este redusă la o ecuație cu coeficienți întregi: \(3x^3+x+12=0\) .

Aflați rădăcina ecuației \((2x + 1)^3 = 27\) . Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează-o pe cea mai mare în răspunsul tău.

Ecuația inițială \((2x + 1)^3 = 3^3\) este de formă standard, este echivalentă cu ecuația \(2x + 1 = 3\), din care concluzionăm că \(x = 1\ ) este potrivit conform ODZ.

Aflați rădăcina ecuației \((2x + 1)^3 = -27\) . Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează-o pe cea mai mare în răspunsul tău.

ODZ: \(x\) – arbitrar. Să decidem cu privire la ODZ:

Ecuația originală \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) este de formă standard, este echivalentă cu ecuația \(2x + 1 = -3\), din care concluzionăm că \( x = -2\) – Potrivit pentru ODZ.

Aflați rădăcina ecuației \((3x + 2)^3 = -64\) . Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează-o pe cea mai mare în răspunsul tău.

ODZ: \(x\) – arbitrar. Să decidem cu privire la ODZ:

Ecuația originală \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) este de formă standard, este echivalentă cu ecuația \(3x + 2 = -4\), din care concluzionăm că \( x = -2\) – Potrivit pentru ODZ.

Aflați rădăcina ecuației \((7x + 11)^3 = 64\) . Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează-o pe cea mai mare în răspunsul tău.

ODZ: \(x\) – arbitrar. Să decidem cu privire la ODZ:

Ecuația inițială \((7x + 11)^3 = 4^3\) este de formă standard, este echivalentă cu ecuația \(7x + 11 = 4\), din care concluzionăm că \(x = -1 \) este potrivit conform ODZ.

Aflați rădăcina ecuației \((-x - 11)^3 = 216\) . Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează-o pe cea mai mare în răspunsul tău.

ODZ: \(x\) – arbitrar. Să decidem cu privire la ODZ:

Ecuația inițială \((-x - 11)^3 = 6^3\) este de formă standard, este echivalentă cu ecuația \(-x - 11 = 6\), din care concluzionăm că \(x = -17\) este potrivit pentru ODZ.

Rezolvați ecuația \(8x^3-36x^2+54x-27=0\) .

Rețineți că partea stângă este un cub al diferenței: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad \ Săgeată stânga\quad (2x-3)^3=0\quad\Săgeată stânga\quad x=\frac32.\]

Găsiți rădăcina mai mare a ecuației \(8x^3+12x^2+6x+1=0\) .

Rețineți că partea stângă este cubul sumei: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad \ Săgeată stânga\quad (2x+1)^3=0\quad\Săgeată stânga\quad x=-\frac12.\]

În cadrul examenului unificat de stat, ecuațiile cubice se găsesc atât la nivel de profil, cât și la nivel de bază. Aceasta înseamnă că fiecare elev trebuie să fie capabil să rezolve corect astfel de sarcini. Unii ar putea spune că numărul de puncte din examenul de stat unificat pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul trei este mic și nu merită să petreceți timp pe ele. E greu să fii de acord cu asta. În primul rând, fiecare punct din examenul de stat unificat este extrem de important, iar în al doilea rând, ecuațiile de gradul trei nu sunt atât de complicate dacă le acordați atenția cuvenită în timpul pregătirii. Pentru ca elevul să realizeze rapid și, cel mai important, corect astfel de sarcini, merită să folosiți resursa noastră educațională.

„Shkolkovo” este o platformă unică care permite absolvenților din Moscova și din alte regiuni cu orice nivel de cunoștințe matematice să învețe cum să rezolve ecuații cubice și să se pregătească eficient pentru susținerea examenului de stat unificat. În primul rând, vă recomandăm să începeți prin a revizui sau a studia materialul teoretic pe această temă. „Shkolkovo” prezintă în atenția studenților din Moscova și din alte orașe care se pregătesc pentru examenul de stat unificat, de fapt, manualul autorului, care prezintă în mod clar și accesibil material pe tema „Ecuații cubice”.

Pe lângă prezentarea definițiilor și formulelor de bază, veți putea să vă familiarizați cu exemple pe această temă și să învățați cum să le rezolvați. Este de remarcat faptul că specialiștii noștri au selectat opțiuni foarte interesante. Pentru ca tu să înveți cum să rezolvi cu încredere problemele de examen, ai nevoie de pregătire. Prin urmare, vă recomandăm să mergeți apoi la secțiunea „Catalog” și să începeți să lucrați independent cu ecuații de gradul trei.

X la a treia putere

Funcția este egală cu x cub

Proprietățile funcției i este egală cu x cub

Funcția egală cu x cub are următoarele proprietăți:

2. Funcția y este egală cu x crește cub de-a lungul întregii drepte numerice;

3. Domeniul de definiție al funcției y = x 3 este întreaga dreaptă numerică;

4. Setul de valori ale funcției y = x 3 este întreaga linie numerică.

Graficul funcției i este egal cu x cub

Graficul funcției y = x 3 se numește parabolă cubică:

Puteți construi singur un grafic al funcției y = x 3 chiar acum folosind un generator de grafice. În ea, selectați tipul de funcție „Putere: y = k * x n + b”, specificați valoarea „n” egală cu trei și faceți clic pe butonul „Construiți grafic”.

Funcția y = x 3 este un caz special al unei funcții de putere.

Acestea sunt proprietățile și graficul funcției i este egal cu x cub.

Ecuația cubică

Rezolvarea unei ecuații cubice folosind formula lui Vieta. Creat la cererea utilizatorului.

Forma canonică a ecuației cubice:

Vom rezolva ecuația cubică folosind formula lui Vieta.

Formula lui Vieta este o metodă de rezolvare a unei ecuații cubice de formă

Calculatorul este mai jos, iar descrierea formulei lui Vieta este dedesubt

Ecuația cubică

Apropo, din anumite motive, alte site-uri folosesc formula lui Cardano pentru a rezolva ecuații cubice, dar sunt de acord cu Wikipedia că formula lui Vieta este mai convenabilă pentru utilizare practică. Deci de ce formula Cardano este peste tot nu este clar, cu excepția cazului în care oamenii sunt prea leneși să implementeze funcții hiperbolice și funcții hiperbolice inverse. Ei bine, nu am fost leneș.

Deci, formula lui Vieta (de pe Wikipedia)

Vă rugăm să rețineți că, conform reprezentării formulei Vieta, a este al doilea coeficient, iar coeficientul înainte de x3 este întotdeauna considerat egal cu 1. Calculatorul vă permite să introduceți a ca coeficient înainte de x3, dar împarte imediat ecuația cu acesta. pentru a obține 1

Dacă S > 0, atunci calculăm:

Dacă S< 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

(pereche de rădăcini complexe)

(pereche de rădăcini complexe)

Dacă S = 0, atunci ecuația este degenerată și are mai puțin de 3 soluții diferite (a doua rădăcină a multiplicității 2):

Calculatorul funcționează folosind aceste formule. Se pare că se rezolvă corect, deși nu am verificat soluțiile cu partea imaginară. Daca ceva, scrie.

Rădăcini și grade

grad

Un grad este o expresie de forma: , unde:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. A-prior: .
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori: .

A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg

Dacă exponentul este un întreg pozitiv:

Ridicarea la puterea zero:

Dacă exponentul este un număr întreg negativ:

Notă: expresia nu este definită în cazul lui n ≤ 0. Dacă n > 0, atunci

Putere cu exponent rațional

Proprietățile grade

Rădăcină

Ecuația are două soluții: x=2 și x=-2. Acestea sunt numere al căror pătrat este 4.

Luați în considerare ecuația. Să desenăm un grafic al funcției și să vedem că această ecuație are și două soluții, una pozitivă, cealaltă negativă.

Dar în acest caz soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.

O rădăcină pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a ≥ 0. Când a< 0 - выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Rădăcină pătrată

De exemplu, . Și soluțiile ecuației, respectiv, și

Rădăcină cubă

Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: .

a n-a rădăcină

Rădăcina a-lea a unui număr este numărul a cărui --a putere este egală cu.

• Atunci dacă a< 0 корень n-ой степени из a не определен.
• Sau dacă a ≥ 0, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește a n-a rădăcină aritmetică a lui a și se notează

• Atunci ecuația are o rădăcină unică pentru oricare.

Rădăcini și grade

Un grad este o expresie a formei.

Aici - baza gradului, - exponentul.

Grad cu indicator natural

Cel mai simplu mod de a determina un grad este cu un exponent natural (adică un număr întreg pozitiv).

Expresiile „pătrat” și „cub” ne sunt de mult cunoscute.

A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși.

A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori.

A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a-l înmulți de ori:

Gradul cu un exponent întreg

Exponentul poate fi nu numai un număr natural (adică un număr întreg pozitiv), ci și egal cu zero, precum și un număr întreg negativ.

Acest lucru este valabil pentru. Expresia nu este definită.

Să definim, de asemenea, ce este un grad cu un exponent întreg negativ.

Desigur, toate acestea sunt valabile pentru, deoarece nu puteți împărți la zero.

Rețineți că atunci când este ridicată la prima putere negativă, fracția este inversată.

Exponentul poate fi nu numai un întreg, ci și o fracție, adică un număr rațional. În articolul „Mărimi numerice” am vorbit despre ce sunt numerele raționale. Acestea sunt numere care pot fi scrise ca o fracție, unde - este un număr întreg - este un număr natural.

Aici avem nevoie de un nou concept - rădăcina gradului. Rădăcinile și gradele sunt două subiecte interdependente. Să începem cu rădăcina pătrată aritmetică deja familiară.

Rădăcina pătrată aritmetică

Ecuația are două soluții: și.

Acestea sunt numere al căror pătrat este egal cu.

Cum se rezolvă ecuația?

Dacă desenăm un grafic al funcției, vom vedea că această ecuație are și două soluții, dintre care una pozitivă și cealaltă negativă.

Dar aceste soluții nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste soluții, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.

Amintiți-vă această definiție.

Rădăcina pătrată aritmetică se notează cu.

1) Rădăcina pătrată poate fi luată numai din numere nenegative

2) Expresia este întotdeauna nenegativă. De exemplu, .

Să enumerăm proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice:

Amintiți-vă că expresia nu este egală. Ușor de verificat:

Am primit un alt răspuns.

Rădăcină cubă

În mod similar, rădăcina cubă a este un număr care, atunci când este ridicat la a treia putere, dă un număr.

De exemplu, din moment ce;

Rețineți că a treia rădăcină poate fi luată atât din numere pozitive, cât și din numere negative.

Acum putem defini gradul de rădăcină pentru orice număr întreg.

Rădăcina gradului al n-lea

Rădăcina a-lea a unui număr este numărul care, atunci când este ridicat la puterea-a, produce un număr.

Rețineți că a treia, a cincea, a noua rădăcină - într-un cuvânt, orice grad impar - poate fi extrasă atât din numere pozitive, cât și din numere negative.

Rădăcina pătrată, precum și a patra, a zecea și, în general, orice putere pară poate fi extrasă numai din numere nenegative.

Deci, - un astfel de număr încât. Se dovedește că rădăcinile pot fi scrise ca puteri cu un exponent rațional. Este confortabil.

Să fim de acord imediat că baza gradului este mai mare.

O expresie prin definiție este egală.

În acest caz, este îndeplinită și condiția care este mai mare.

Să ne amintim regulile pentru a trata grade:

La înmulțirea gradelor, exponenții se adună

La împărțirea în grade, se scad exponenții

Când se ridică o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți

Să arătăm cum sunt utilizate aceste formule în sarcinile de examen de stat unificat în matematică:

Am adus totul sub rădăcina comună, am factorizat-o, am redus fracția și am extras rădăcina.

Aici am scris rădăcinile sub formă de puteri și am folosit formule pentru operațiuni cu puteri.

Sunați-ne: (apel gratuit în Rusia) (apel gratuit în Moscova)

Sau faceți clic pe butonul „Aflați mai multe” pentru a completa formularul de contact. Cu siguranță vă vom suna înapoi.

Sună acum și îți vom oferi o reducere de 25% la prima lună de curs! Apel:

Pentru funcționarea normală și confortul dumneavoastră, site-ul folosește cookie-uri. Aceasta este o practică complet normală. Continuând să utilizați portalul, sunteți de acord cu Politica noastră de confidențialitate.

Primim răspunsul: \

Ecuația de gradul trei online

Să ne uităm la două exemple de ecuații cubice pe care calculatorul de ecuații le poate rezolva cu ușurință cu o soluție detaliată:

Exemplu de ecuație cubică simplă

Primul exemplu va fi simplu:

49*x^3 – x = 0

După ce faceți clic pe „Rezolvați ecuația!”, veți primi un răspuns cu o explicație detaliată:

Având în vedere ecuația:

transforma

Să scoatem factorul comun x din paranteze

obținem ecuația

Aceasta este o ecuație a formei

folosind un discriminant.

Rădăcinile unei ecuații pătratice:

(0)^2 — 4 * (49) * (-1) = 196

Deoarece D>

Obținem răspunsul final pentru -x + 49*x^3 = 0:

Un al doilea exemplu simplu de ecuație cubică ar fi:

8 = (1/2 + 3*x)^3

Să obținem o soluție detaliată:

Având în vedere ecuația:

transforma:

Să scoatem factorul comun din paranteze

/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / ——————————— = 0 8

Ecuația cubică

partea dreaptă a ecuației este egală cu zero, atunci ecuația va avea o soluție dacă cel puțin unul dintre factorii din partea stângă a ecuației este egal cu zero.

Obținem ecuația

rezolvați ecuațiile rezultate:

Mutarea termenilor gratuiti (fără x)

de la stânga la dreapta, obținem:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -9/4

Obținem răspunsul: x1 = 1/2

Aceasta este o ecuație a formei

Ecuația cuadratică poate fi rezolvată

folosind un discriminant.

Rădăcinile unei ecuații pătratice:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

unde D = b^2 - 4*a*c este discriminantul.

(12)^2 — 4 * (12) * (7) = -192

Deoarece D< 0, то уравнение

nu are rădăcini reale,

dar există rădăcini complexe.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

Apoi, răspunsul final este:

1 I*\/ 3 x2 = — — + ——- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = — — — ——- 2 3

Exemplu de ecuație cubică complexă

Al treilea exemplu va fi mai complex - ecuația cubică reflexivă pe net.

5*x^3 -8*x^2 — 8*x + 5 = 0

Pentru a rezolva o astfel de ecuație cubică reciprocă, introduceți această ecuație în calculator:

Având în vedere ecuația:

2 3 5 – 8*x – 8*x + 5*x = 0

transforma

3 2 5*x + 5 — 8*x + 8 — 8*x — 8 = 0

3 3 2 2 5*x — 5*(-1) — 8*x — -8*(-1) — 8*x — 8 = 0 / 3 3\ / 2 2\ 5*\x — (-1 ) / — 8*\x — (-1) / — 8*(x + 1) = 0 / 2 2\ 5*(x + 1)*\x — x + (-1) / + -8*( x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0

Să luăm factorul comun 1 + x din paranteze

/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x — x + (-1) / — 8*(x — 1) — 8/ = 0

/ 2\ (1 + x)*\5 — 13*x + 5*x / = 0

obținem ecuația

Aceasta este o ecuație a formei

Ecuația cuadratică poate fi rezolvată

folosind un discriminant.

Rădăcinile unei ecuații pătratice:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

unde D = b^2 - 4*a*c este discriminantul.

(-13)^2 — 4 * (5) * (5) = 69

Deoarece D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

Obținem răspunsul final pentru 5 - 8*x - 8*x^2 + 5*x^3 = 0:

13 \/ 69 x2 = — + —— 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = — — —— 10 10

Etichete: ecuația

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuația cubică este o ecuație de ordinul trei și are următoarea formă:

\ unde \ Număr \ se numește rădăcina unei ecuații cubice dacă, la înlocuirea acesteia, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată.

Citiți și articolul nostru „Rezolvați o ecuație online pentru clasa a 9-a folosind un rezolvator”

Acest tip de ecuație are întotdeauna 3 rădăcini. Rădăcinile pot fi reale sau complexe. Dacă datele inițiale vă permit să selectați una dintre rădăcinile ecuației cubice \, atunci puteți împărți polinomul cubic cu \ și puteți rezolva ecuația pătratică rezultată.

Să presupunem că ni se dă o ecuație de forma:

Pentru a rezolva, grupăm:

Analizând ecuația, este clar că \ este rădăcina ecuației

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic rezultat \

Primim răspunsul: \

Unde pot rezolva o ecuație de gradul 3 folosind un rezolvator online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru pocketteacher.ru. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție.

Cum se rezolvă o ecuație de gradul trei

De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte: profesor de buzunar. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Cum se rezolvă ecuații de gradul 3

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră.

Cum se rezolvă ecuații de gradul 3

Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuația cubică este o ecuație de ordinul trei și are următoarea formă:

\ unde \ Număr \ se numește rădăcina unei ecuații cubice dacă, la înlocuirea acesteia, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată.

Citiți și articolul nostru „Rezolvați o ecuație online pentru clasa a 9-a folosind un rezolvator”

Acest tip de ecuație are întotdeauna 3 rădăcini. Rădăcinile pot fi reale sau complexe. Dacă datele inițiale vă permit să selectați una dintre rădăcinile ecuației cubice \, atunci puteți împărți polinomul cubic cu \ și puteți rezolva ecuația pătratică rezultată.

Să presupunem că ni se dă o ecuație de forma:

Pentru a rezolva, grupăm:

Analizând ecuația, este clar că \ este rădăcina ecuației

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic rezultat \

Primim răspunsul: \

Unde pot rezolva o ecuație de gradul 3 folosind un rezolvator online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru pocketteacher.ru. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte: profesor de buzunar. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Formule de înmulțire prescurtate

Formule de înmulțire prescurtate.

— Studiul formulelor de înmulțire prescurtate: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.

— Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la forma standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formulele de multiplicare abreviate trebuie cunoscute pe de rost.

Fie a, b R. Atunci:

1. Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

5. Ecuații de gradul al treilea și al patrulea

Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor.

a2 - b2 = (a -b) (a+b)

4. Cubul sumei două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Cub de diferență două expresii este egală cu cubul primei expresii minus triplu produsul pătratului primei expresii și a doua plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

7. Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1.

calculati

a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem

(40+1)2 = 402 + 2 40 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Folosind formula pentru pătratul diferenței a două expresii, obținem

982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 100 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Exemplul 2.

calculati

Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem

Exemplul 3.

Simplificați o expresie

(x - y)2 + (x + y)2

Să folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii

(x - y)2 + (x + y)2 = x2 - 2xy + y2 + x2 + 2xy + y2 = 2x2 + 2y2

Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ecuația algebrică de gradul al patrulea.

1. Reducerea ecuației la formă canonică.

Să facem o schimbare de variabilă folosind formula:

Obtinem ecuatia:

Să extindem parantezele:

Obtinem ecuatia:

Ecuația este redusă la forma canonică:

2.

„Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare”. clasa a 9-a

Rezolvarea ecuației

Metoda numărul 1.
Rezolvare prin descompunere în două ecuații pătratice

Să luăm în considerare cazul când q nu este egal cu zero.

Identitatea este adevărată:

Avem ecuația:

Să selectăm un parametru z astfel încât partea dreaptă a acestei ecuații să fie un pătrat perfect în raport cu y . Pentru aceasta este necesar și suficient ca discriminantul din coeficienții trinomului în raport cu y , stând în dreapta, întors la zero: z la plus infinit, valoarea polinomului din partea stângă a ecuației tinde, de asemenea, la plus infinit, adică devine pozitivă la unele pozitive z=M , iar din moment ce continuu pe segment funcţia preia intervalul (0; M) orice valoare intermediară, inclusiv zero, atunci există o rădăcină pozitivă a acestei ecuații cubice. O astfel de rădăcină pozitivă este fie prima rădăcină din programul pentru rezolvarea unei ecuații cubice, unde argumentul este sub semnul cosinus F/3 , deoarece Cos(F/3)0 la 0F3/2*Pi , dacă o ecuație cubică are trei rădăcini reale diferite sau o singură rădăcină reală a acestei ecuații cubice.

Dacă oricare dintre rădăcinile reale ale ecuației cubice ia valoare zero, atunci ecuația biquadratică este rezolvată

Metoda numărul 2.
Soluția Descartes-Euler.

După reducerea unei ecuații algebrice de gradul al patrulea la forma canonică, programul găsește trei rădăcini ale ecuației cubice

Dacă această ecuație cubică are trei rădăcini reale pozitive, atunci ecuația de gradul al patrulea are patru rădăcini reale.

Dacă această ecuație cubică are trei rădăcini reale, una pozitivă și două negative, atunci ecuația de gradul al patrulea are două perechi de rădăcini conjugate complexe.

Dacă această ecuație cubică are o rădăcină reală pozitivă și două rădăcini conjugate complexe, atunci ecuația de gradul al patrulea are două rădăcini conjugate reale și două complexe. program javascript „Rezolvarea unei ecuații de gradul al patrulea Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0” Programul „Rezolvarea unei ecuații de gradul al patrulea Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0”. Cod program „Rezolvarea unei ecuații de gradul al patrulea Ax4+ Bx3+ Cx2+Dx+E=0"Derivarea rădăcinilor ecuației cubice. La pagina principală.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuația cubică este o ecuație de ordinul trei și are următoarea formă:

\ unde \ Număr \ se numește rădăcina unei ecuații cubice dacă, la înlocuirea acesteia, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată.

Acest tip de ecuație are întotdeauna 3 rădăcini. Rădăcinile pot fi reale sau complexe. Dacă datele inițiale vă permit să selectați una dintre rădăcinile ecuației cubice \, atunci puteți împărți polinomul cubic la \[(x - x1)\] și să rezolvați ecuația pătratică rezultată.

Să presupunem că ni se dă o ecuație de forma:

Pentru a rezolva, grupăm:

După ce am analizat ecuația, este clar că \ este rădăcina ecuației

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic rezultat \

Primim răspunsul: \

Unde pot rezolva o ecuație de gradul 3 folosind un rezolvator online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.