Teorema. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte.

Să luăm un triunghi ABC (Fig. 208). Să notăm unghiurile sale interioare cu numerele 1, 2 și 3. Să demonstrăm că

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Să desenăm printr-un vârf al triunghiului, de exemplu B, o dreaptă MN paralelă cu AC.

La vârful B avem trei unghiuri: ∠4, ∠2 și ∠5. Suma lor este un unghi drept, prin urmare este egală cu 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Dar ∠4 = ∠1 sunt unghiuri transversale interne cu drepte paralele MN și AC și secante AB.

∠5 = ∠3 - acestea sunt unghiuri transversale interne cu drepte paralele MN și AC și secante BC.

Aceasta înseamnă că ∠4 și ∠5 pot fi înlocuite cu egalii lor ∠1 și ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema a fost demonstrată.

2. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.

Teorema. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

De fapt, în triunghiul ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, dar și ∠ВСD, unghiul extern al acestui triunghi, neadiacent cu ∠1 și ∠2, este de asemenea egal cu 180° - ∠3 .

Prin urmare:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Proprietatea derivată a unghiului exterior al unui triunghi clarifică conținutul teoremei dovedite anterior asupra unghiului exterior al unui triunghi, care afirma doar că unghiul exterior al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi interior al unui triunghi care nu este adiacent acestuia; acum se stabilește că unghiul exterior este egal cu suma ambelor unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Proprietatea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Teorema. Un catet al unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză.

Fie unghiul B din triunghiul dreptunghic ACB egal cu 30° (Fig. 210). Apoi, celălalt unghi ascuțit al său va fi egal cu 60°.

Să demonstrăm că catetul AC este egal cu jumătate din ipotenuza AB. Să extindem cateta AC dincolo de vârful unghiului drept C și să lăsăm deoparte un segment CM egal cu segmentul AC. Să conectăm punctul M de punctul B. Triunghiul rezultat ВСМ este egal cu triunghiul ACB. Vedem că fiecare unghi al triunghiului ABM este egal cu 60°, prin urmare acest triunghi este un triunghi echilateral.

Catul AC este egal cu jumătate AM și, deoarece AM este egal cu AB, catetul AC va fi egal cu jumătate din ipotenuza AB.

Un triunghi este un poligon care are trei laturi (trei unghiuri). Cel mai adesea, laturile sunt indicate prin litere mici corespunzătoare majusculelor care reprezintă vârfurile opuse. În acest articol ne vom familiariza cu tipurile acestor figuri geometrice, teorema care determină cu ce este egală suma unghiurilor unui triunghi.

Tipuri după dimensiunea unghiului

Se disting următoarele tipuri de poligon cu trei vârfuri:

• unghi ascuțit, în care toate colțurile sunt ascuțite;
• dreptunghiular, având un unghi drept, generatorii săi se numesc catete, iar latura care se află opusă unghiului drept se numește ipotenuză;
• obtuz când unul ;
• isoscel, în care două laturi sunt egale și se numesc laterale, iar a treia este baza triunghiului;
• echilateral, având toate cele trei laturi egale.

Proprietăți

Există proprietăți de bază care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:

• Opus laturii mai mari există întotdeauna un unghi mai mare și invers;
• laturi egale opuse există unghiuri egale și invers;
• orice triunghi are două unghiuri ascuțite;
• un unghi extern este mai mare decât orice unghi intern care nu este adiacent acestuia;
• suma oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mică de 180 de grade;
• unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două unghiuri care nu se intersectează cu el.

Teorema Sumei Triunghiului Unghiului

Teorema afirmă că dacă adunăm toate unghiurile unei figuri geometrice date, care este situată pe planul euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să demonstrăm această teoremă.

Să avem un triunghi arbitrar cu vârfurile KMN.

Prin vârful M trasăm KN (această linie se mai numește și linie dreaptă euclidiană). Marcam punctul A pe el, astfel încât punctele K și A să fie situate pe laturi diferite ale dreptei MH. Obținem unghiuri egale AMN și KNM, care, ca și cele interne, sunt încrucișate și sunt formate din secantele MN împreună cu dreptele KH și MA, care sunt paralele. De aici rezultă că suma unghiurilor triunghiului situat la vârfurile M și H este egală cu dimensiunea unghiului KMA. Toate cele trei unghiuri formează o sumă care este egală cu suma unghiurilor KMA și MKN. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale în raport cu liniile drepte paralele KN și MA cu o secantă KM, suma lor este de 180 de grade. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă

Din teorema demonstrată mai sus rezultă următorul corolar: orice triunghi are două unghiuri ascuțite. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că această figură geometrică are un singur unghi ascuțit. De asemenea, se poate presupune că niciunul dintre colțuri nu este acut. În acest caz, trebuie să existe cel puțin două unghiuri a căror magnitudine este egală sau mai mare de 90 de grade. Dar atunci suma unghiurilor va fi mai mare de 180 de grade. Dar acest lucru nu se poate întâmpla, deoarece conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180° - nici mai mult, nici mai puțin. Acesta este ceea ce trebuia dovedit.

Proprietatea unghiurilor externe

Care este suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi? Răspunsul la această întrebare poate fi obținut folosind una dintre cele două metode. Primul este că este necesar să se găsească suma unghiurilor, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, adică trei unghiuri. Al doilea implică faptul că trebuie să găsiți suma tuturor celor șase unghiuri de vârf. Mai întâi, să ne uităm la prima opțiune. Deci, triunghiul conține șase unghiuri externe - două la fiecare vârf.

Fiecare pereche are unghiuri egale deoarece sunt verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

În plus, se știe că unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două interne care nu se intersectează cu acesta. Prin urmare,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Din aceasta rezultă că suma unghiurilor externe, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, va fi egală cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Ținând cont de faptul că suma unghiurilor este egală cu 180 de grade, putem spune că ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Aceasta înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Dacă se folosește a doua opțiune, atunci suma celor șase unghiuri va fi, în consecință, de două ori mai mare. Adică, suma unghiurilor externe ale triunghiului va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Triunghi dreptunghic

Care este suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic? Răspunsul la această întrebare, din nou, decurge din teoremă, care afirmă că unghiurile dintr-un triunghi se adună până la 180 de grade. Și afirmația noastră (proprietatea) sună așa: într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite se adună până la 90 de grade. Să-i dovedim veridicitatea.

Să ne dăm un triunghi KMN, în care ∟Н = 90°. Este necesar să se demonstreze că ∟К + ∟М = 90°.

Deci, conform teoremei privind suma unghiurilor ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Condiția noastră spune că ∟Н = 90°. Deci, ∟К + ∟М + 90° = 180°. Adică ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Este exact ceea ce trebuia să dovedim.

Pe lângă proprietățile unui triunghi dreptunghic descrise mai sus, puteți adăuga următoarele:

• unghiurile care se află opus picioarelor sunt acute;
• ipotenuza este triunghiulară mai mare decât oricare dintre catete;
• suma catetelor este mai mare decât ipotenuza;
• Câtul triunghiului, care se află opus unghiului de 30 de grade, este jumătate din dimensiunea ipotenuzei, adică egal cu jumătate din ea.

Ca o altă proprietate a acestei figuri geometrice, putem evidenția teorema lui Pitagora. Ea afirmă că într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiular), suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

Suma unghiurilor unui triunghi isoscel

Mai devreme am spus că se numește un poligon isoscel cu trei vârfuri și care conține două laturi egale. Această proprietate a acestei figuri geometrice este cunoscută: unghiurile de la baza ei sunt egale. Să demonstrăm.

Să luăm triunghiul KMN, care este isoscel, KN este baza sa.

Ni se cere să demonstrăm că ∟К = ∟Н. Deci, să presupunem că MA este bisectoarea triunghiului nostru KMN. Triunghiul MKA, ținând cont de primul semn de egalitate, este egal cu triunghiul MNA. Și anume, prin condiție se dă că KM = NM, MA este latura comună, ∟1 = ∟2, întrucât MA este bisectoare. Folosind faptul că aceste două triunghiuri sunt egale, putem afirma că ∟К = ∟Н. Aceasta înseamnă că teorema este dovedită.

Dar ne interesează care este suma unghiurilor unui triunghi (isoscel). Deoarece în această privință nu are propriile sale particularități, ne vom baza pe teorema discutată mai devreme. Adică, putem spune că ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, sau 2 x ∟К + ∟М = 180° (deoarece ∟К = ∟Н). Nu vom demonstra această proprietate, deoarece teorema despre suma unghiurilor unui triunghi în sine a fost demonstrată mai devreme.

Pe lângă proprietățile discutate despre unghiurile unui triunghi, se aplică și următoarele afirmații importante:

• la care a fost coborât pe bază, este în același timp mediana, bisectoarea unghiului care se află între laturile egale, precum și baza acestuia;
• medianele (bisectoare, înălțimi) care sunt desenate pe laturile laterale ale unei astfel de figuri geometrice sunt egale.

Triunghi echilateral

Se mai numește și regulat, acesta este triunghiul în care toate laturile sunt egale. Și, prin urmare, unghiurile sunt de asemenea egale. Fiecare are 60 de grade. Să demonstrăm această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi KMN. Știm că KM = NM = KN. Aceasta înseamnă că, conform proprietății unghiurilor situate la bază într-un triunghi isoscel, ∟К = ∟М = ∟Н. Deoarece, conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, atunci 3 x ∟К = 180° sau ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Astfel, afirmația este dovedită.

După cum se poate vedea din demonstrația de mai sus bazată pe teoremă, suma unghiurilor, ca și suma unghiurilor oricărui alt triunghi, este de 180 de grade. Nu este nevoie să demonstrăm din nou această teoremă.

Există, de asemenea, astfel de proprietăți caracteristice unui triunghi echilateral:

• mediana, bisectoarea, înălțimea într-o astfel de figură geometrică coincid, iar lungimea lor este calculată ca (a x √3): 2;
• dacă descriem un cerc în jurul unui poligon dat, atunci raza lui va fi egală cu (a x √3): 3;
• dacă înscrii un cerc într-un triunghi echilateral, atunci raza lui va fi (a x √3): 6;
• Aria acestei figuri geometrice se calculează cu formula: (a2 x √3) : 4.

Triunghi obtuz

Prin definiție, unul dintre unghiurile sale este între 90 și 180 de grade. Dar având în vedere că celelalte două unghiuri ale acestei figuri geometrice sunt acute, putem concluziona că nu depășesc 90 de grade. Prin urmare, teorema sumei unghiurilor triunghiului funcționează în calcularea sumei unghiurilor dintr-un triunghi obtuz. Se pare că putem spune cu siguranță, pe baza teoremei menționate mai sus, că suma unghiurilor unui triunghi obtuz este egală cu 180 de grade. Din nou, această teoremă nu trebuie dovedită din nou.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Teluri si obiective:

Educational:

• repeta și generalizează cunoștințele despre triunghi;
• demonstrați teorema asupra sumei unghiurilor unui triunghi;
• verifica practic corectitudinea formulării teoremei;
• invata sa aplici cunostintele dobandite in rezolvarea problemelor.

Educational:

• dezvolta gândirea geometrică, interesul pentru subiect, activitatea cognitivă și creativă a elevilor, vorbirea matematică și capacitatea de a obține în mod independent cunoștințe.

Educational:

• dezvoltarea calităților personale ale elevilor, cum ar fi determinarea, perseverența, acuratețea și capacitatea de a lucra în echipă.

Echipament: proiector multimedia, triunghiuri din hârtie colorată, complex educațional „Living Mathematics”, calculator, ecran.

Etapa pregătitoare: Profesorul dă elevului sarcina de a pregăti o notă istorică despre teorema „Suma unghiurilor unui triunghi”.

Tipul de lecție: învățarea de material nou.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Salutari. Atitudinea psihologică a elevilor față de muncă.

II. Încălzire

Ne-am familiarizat cu figura geometrică „triunghi” în lecțiile anterioare. Să repetăm ​​ce știm despre triunghi?

Elevii lucrează în grupuri. Li se oferă posibilitatea de a comunica între ei, fiecare pentru a construi independent procesul de cunoaștere.

Ce s-a întâmplat? Fiecare grupă își face propunerile, profesorul le scrie pe tablă. Rezultatele sunt discutate:

Poza 1

III. Formularea obiectivului lecției

Deci, știm deja destul de multe despre triunghi. Dar nu tot. Fiecare dintre voi are triunghiuri și raportoare pe birou. Ce fel de problemă crezi că putem formula?

Elevii formulează sarcina lecției - să găsească suma unghiurilor unui triunghi.

IV. Explicarea noului material

Partea practică(promovează actualizarea cunoștințelor și abilitățile de autocunoaștere) Măsurați unghiurile folosind un raportor și găsiți suma lor. Notează rezultatele în caiet (ascultă răspunsurile primite). Aflăm că suma unghiurilor este diferită pentru fiecare (acest lucru se poate întâmpla pentru că raportorul nu a fost aplicat cu precizie, calculul a fost efectuat cu neglijență etc.).

Îndoiți de-a lungul liniilor punctate și aflați cu ce altceva este egală suma unghiurilor unui triunghi:

A)
Figura 2

b)
Figura 3

V)
Figura 4

G)
Figura 5

d)
Figura 6

După finalizarea lucrărilor practice, elevii formulează răspunsul: Suma unghiurilor unui triunghi este egală cu gradul de măsurare a unghiului desfășurat, adică 180°.

Profesor: În matematică, munca practică face posibilă doar un fel de afirmație, dar trebuie dovedită. O afirmație a cărei validitate este stabilită prin demonstrație se numește teoremă. Ce teoremă putem formula și demonstra?

Elevi: Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade.

Referință istorică: Proprietatea sumei unghiurilor unui triunghi a fost stabilită în Egiptul Antic. Dovada, prezentată în manualele moderne, este cuprinsă în comentariul lui Proclu la Elementele lui Euclid. Proclus susține că această dovadă (Fig. 8) a fost descoperită de pitagoreeni (secolul al V-lea î.Hr.). În prima carte a Elementelor, Euclid prezintă o altă demonstrație a teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi, care poate fi ușor de înțeles cu ajutorul unui desen (Fig. 7):

Figura 7

Figura 8

Desenele sunt afișate pe ecran printr-un proiector.

Profesorul oferă să demonstreze teorema folosind desene.

Apoi demonstrația este efectuată folosind complexul de predare și învățare „Matematică vie”. Profesorul proiectează pe calculator demonstrația teoremei.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi: „Suma unghiurilor unui triunghi este 180°”

Figura 9

Dovada:

A)

Figura 10

b)

Figura 11

V)

Figura 12

Elevii notează pe scurt demonstrația teoremei în caietele lor:

Teorema: Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Figura 13

Dat:Δ ABC

Dovedi: A + B + C = 180°.

Dovada:

Ce trebuia dovedit.

V. Fiz. doar un minut.

VI. Explicația materialului nou (continuare)

Corolarul din teorema privind suma unghiurilor unui triunghi este dedus de către elevi în mod independent, acest lucru contribuind la dezvoltarea capacității de a-și formula propriul punct de vedere, de a-și exprima și de a argumenta:

În orice triunghi, fie toate unghiurile sunt acute, fie două sunt acute și al treilea este obtuz sau drept..

Dacă un triunghi are toate unghiurile ascuțite, atunci se numește unghiular acut.

Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este obtuz, atunci se numește obtuz-unghiular.

Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept, atunci se numește dreptunghiular.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi ne permite să clasificăm triunghiurile nu numai după laturi, ci și după unghiuri. (Pe măsură ce elevii introduc tipuri de triunghiuri, elevii completează tabelul)

tabelul 1

Vedere triunghiulară	Isoscel	Echilateral	Versatil
Dreptunghiular
Obtuz
Cu unghi acut

VII. Consolidarea materialului studiat.

1. Rezolva probleme oral:

(Desenele sunt afișate pe ecran printr-un proiector)

Sarcina 1. Găsiți unghiul C.

Figura 14

Problema 2. Aflați unghiul F.

Figura 15

Sarcina 3. Aflați unghiurile K și N.

Figura 16

Problema 4. Aflați unghiurile P și T.

Figura 17

1. Rezolvați singur problema nr. 223 (b, d).
2. Rezolvați problema pe tablă și în caiete, elevul nr.224.
3. Întrebări: Poate un triunghi să aibă: a) două unghiuri drepte; b) două unghiuri obtuze; c) un unghi drept și unul obtuz.
4. (realizat oral) Cărțile de pe fiecare masă arată diferite triunghiuri. Determinați cu ochi tipul fiecărui triunghi.

Figura 18

1. Aflați suma unghiurilor 1, 2 și 3.

Figura 19

VIII. Rezumatul lecției.

Profesor: Ce am învățat? Este teorema aplicabilă oricărui triunghi?

IX. Reflecţie.

Spuneți-mi starea de spirit, băieți! Pe reversul triunghiului, descrieți expresiile faciale.

Figura 20

Teme pentru acasă: paragraful 30 (partea 1), întrebarea 1 cap. IV pagina 89 din manual; Nr. 223 (a, c), Nr. 225.

Informații preliminare

În primul rând, să ne uităm direct la conceptul de triunghi.

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică care este formată din trei puncte legate între ele prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

În cadrul Definiției 1, vom numi punctele vârfurile triunghiului.

Definiția 3

În cadrul Definiției 1, segmentele vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri, precum și trei laturi.

Teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi

Să introducem și să demonstrăm una dintre principalele teoreme legate de triunghiuri și anume teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi.

Teorema 1

Suma unghiurilor din orice triunghi arbitrar este $180^\circ$.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $EGF$. Să demonstrăm că suma unghiurilor din acest triunghi este egală cu $180^\circ$. Să facem o construcție suplimentară: trageți linia dreaptă $XY||EG$ (Fig. 2)

Deoarece dreptele $XY$ și $EG$ sunt paralele, atunci $∠E=∠XFE$ se află transversal la secanta $FE$ și $∠G=∠YFG$ se află transversal la secanta $FG$

Unghiul $XFY$ va fi inversat și, prin urmare, este egal cu $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Prin urmare

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorema a fost demonstrată.

Teorema unghiului exterior al triunghiului

O altă teoremă asupra sumei unghiurilor pentru un triunghi poate fi considerată teorema unghiului extern. Mai întâi, să introducem acest concept.

Definiția 4

Vom numi un unghi extern al unui triunghi un unghi care va fi adiacent oricărui unghi al triunghiului (Fig. 3).

Să considerăm acum teorema direct.

Teorema 2

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada.

Considerăm un triunghi arbitrar $EFG$. Să aibă un unghi extern al triunghiului $FGQ$ (Fig. 3).

Prin teorema 1, vom avea că $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, prin urmare,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Deoarece unghiul $FGQ$ este extern, atunci este adiacent unghiului $∠G$

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorema a fost demonstrată.

Exemple de sarcini

Exemplul 1

Aflați toate unghiurile unui triunghi dacă este echilateral.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, vom avea că toate unghiurile din el sunt, de asemenea, egale între ele. Să notăm măsurile gradului lor cu $α$.

Apoi, prin teorema 1 obținem

$α+α+α=180^\circ$

Răspuns: toate unghiurile sunt egale cu $60^\circ$.

Exemplul 2

Aflați toate unghiurile unui triunghi isoscel dacă unul dintre unghiurile sale este egal cu $100^\circ$.

Să introducem următoarea notație pentru unghiurile dintr-un triunghi isoscel:

Deoarece nu ne este dat în condiția exact cu ce este egal $100^\circ$, atunci sunt posibile două cazuri:

Un unghi egal cu $100^\circ$ este unghiul de la baza triunghiului.

Folosind teorema unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel, obținem

$∠2=∠3=100^\circ$

Dar atunci numai suma lor va fi mai mare de $180^\circ$, ceea ce contrazice condițiile teoremei 1. Aceasta înseamnă că acest caz nu apare.

Un unghi egal cu $100^\circ$ este unghiul dintre laturile egale, adică