Instituție de învățământ bugetar municipal

liceu cu. Shlanly

Districtul municipal Cartierul Aurgazinsky al Republicii Belarus

Muncă de cercetare

„CĂI NEOBBINUITE DE MULTIPLICARE”

Vasiliev Nikolai

supraveghetor -

Anul universitar 2013-2014 G.

1. Introducere……………………………………………………………......

2. Modalități neobișnuite de înmulțire………………………………………...

1) Puțină istorie………..………..…………………………………..

2) Înmulțirea cu 9 ………………………………………………………

3) Înmulțirea pe degete………………………………………………………………………

4) Tabelul lui Pitagora ……………………………………………………

5) Masa Okoneshnikov…………………………………………………….

6) Metoda țărănească de înmulțire…………….………....

7) Înmulțirea folosind metoda „Castelul Mic”………….…….

8) Înmulțirea folosind metoda „geloziei”…………………………………………………….

9) Modul chinezesc de multiplicare …………………………………………

10) Modul japonez de înmulțire …………………………………………

3. Concluzie…………………………………………………………………………

4. Lista referințelor………………………………………………………………….

Introducere

Este imposibil pentru o persoană să facă fără calcule în viața de zi cu zi. Prin urmare, la lecțiile de matematică, suntem învățați în primul rând să facem operații pe numere, adică să numărăm. Înmulțim, împărțim, adunăm și scădem în modurile obișnuite care sunt studiate la școală.

Într-o zi am dat întâmplător de o pagină de pe Internet cu o metodă neobișnuită de înmulțire pe care o folosesc copiii din China (cum scrie acolo). Am citit, studiat și mi-a plăcut această metodă. S-a dovedit că puteți înmulți nu numai așa cum ni se sugerează în manualele de matematică. Mă întrebam dacă există alte metode de calcul. La urma urmei, capacitatea de a efectua rapid calcule este sincer surprinzătoare.

Utilizarea constantă a tehnologiei moderne de calcul duce la faptul că elevilor le este greu să facă orice calcul fără a avea la dispoziție tabele sau o mașină de calcul. Cunoașterea tehnicilor de calcul simplificate face posibilă nu numai efectuarea rapidă a calculelor simple în minte, ci și controlul, evaluarea, găsirea și corectarea erorilor ca rezultat al calculelor mecanizate. În plus, stăpânirea abilităților de calcul dezvoltă memoria, crește nivelul de cultură matematică a gândirii și ajută la stăpânirea pe deplin a subiectelor ciclului fizic și matematic.

Scopul lucrării:

Arată modalități neobișnuite de înmulțire.

Sarcini:

Ø Găsiți cât mai multe metode de calcul neobișnuite.

Ø Învață să le folosești.

Ø Alegeți singuri pe cele mai interesante sau mai ușoare decât cele oferite la școală și folosiți-le atunci când numărați.

Mă întrebam dacă școlarii moderni, colegii mei de clasă și alții, cunosc alte modalități de a efectua operații aritmetice, altele decât înmulțirea cu o coloană și împărțirea cu un „colț” și ar dori să învețe noi moduri? Am realizat un sondaj oral. Au fost chestionați 20 de elevi din clasele 5-7. Acest sondaj a arătat că școlarii moderni nu cunosc alte modalități de a efectua acțiuni, deoarece rareori apelează la materiale din afara curriculum-ului școlar.

Rezultatele sondajului:

https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">

2) a) Știți să înmulțiți, să adăugați,

https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">

3) ai vrea sa stii?

Modalități neobișnuite de înmulțire.

Puțină istorie

Metodele de calcul pe care le folosim acum nu au fost întotdeauna atât de simple și convenabile. Pe vremuri, se foloseau tehnici mai greoaie și mai lente. Și dacă un școlar al secolului XXI ar putea călători cu cinci secole înapoi, el i-ar uimi pe strămoșii noștri cu viteza și acuratețea calculelor sale. Zvonurile despre el s-ar fi răspândit prin școlile și mănăstirile din jur, eclipsând gloria celor mai pricepuți calculatoare din acea epocă, iar oameni ar veni din toate colțurile pentru a studia cu noul mare maestru.

Operațiile de înmulțire și împărțire erau deosebit de dificile pe vremuri. Atunci nu a existat o singură metodă dezvoltată prin practică pentru fiecare acțiune. Dimpotrivă, au existat aproape o duzină de metode diferite de înmulțire și împărțire utilizate în același timp - tehnici una mai complicată decât cealaltă, pe care o persoană cu abilități medii nu și-a putut aminti. Fiecare profesor de numărare s-a lipit de tehnica lui preferată, fiecare „maestru de divizie” (au existat astfel de specialiști) și-a lăudat propriul mod de a efectua această acțiune.

În cartea lui V. Bellustin „Cum au ajuns oamenii treptat la aritmetica reală”, sunt schițate 27 de metode de înmulțire, iar autorul notează: „este foarte posibil să existe și alte metode ascunse în adâncurile depozitarilor de cărți, împrăștiate în numeroase, preponderent scrise de mână. colecții.”

Și toate aceste metode de înmulțire - „șah sau orgă”, „pliere”, „cruce”, „zăbrele”, „spate în față”, „diamant” și altele au concurat între ele și au fost învățate cu mare dificultate.

Să ne uităm la cele mai interesante și simple moduri de înmulțire.

Înmulțiți cu 9

Înmulțirea pentru numărul 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - este mai ușor de uitat din memorie și mai dificil de recalculat manual folosind metoda adunării, cu toate acestea, în special pentru numărul 9, înmulțirea este ușor de reprodus „pe degete”. Întinde-ți degetele pe ambele mâini și întoarce-ți mâinile cu palmele îndreptate spre tine. Atribuiți mental numere de la 1 la 10 degetelor tale, începând cu degetul mic de la mâna stângă și terminând cu degetul mic de la mâna dreaptă (acest lucru este prezentat în figură).

calcule.”

mașină de numărat" degetele s-ar putea să nu iasă neapărat în afară. Luați, de exemplu, 10 celule într-un caiet. Trimiteți a 8-a celulă. Sunt 7 celule rămase în stânga, 2 celule în dreapta. Deci 9 8 = 72. Totul este foarte simplu.

7 celule 2 celule.

Înmulțirea pe degete

Metoda rusă veche de înmulțire pe degete este una dintre cele mai frecvent utilizate metode, care a fost folosită cu succes de către comercianții ruși timp de multe secole. Ei au învățat să înmulțească numerele cu o singură cifră de la 6 la 9 pe degete. În acest caz, a fost suficient să aibă abilități de bază de numărare a degetelor în „unități”, „perechi”, „trei”, „patru”, „cinci” și. „zeci”. Degetele au servit aici ca un dispozitiv de calcul auxiliar.

Pentru a face acest lucru, pe de o parte au întins atâtea degete cât primul factor depășește numărul 5, iar pe a doua au făcut același lucru pentru al doilea factor. Degetele rămase erau îndoite. Apoi numărul (total) de degete întinse a fost luat și înmulțit cu 10, apoi numerele au fost înmulțite, arătând câte degete au fost îndoite, iar rezultatele au fost adunate.

De exemplu, să înmulțim 7 cu 8. În exemplul luat în considerare, 2 și 3 degete vor fi îndoite. Dacă adunați numărul degetelor îndoite (2+3=5) și înmulțiți numărul celor neîndoite (2 3=6), veți obține numerele de zeci și, respectiv, unități ale produsului dorit 56. În acest fel, puteți calcula produsul oricăror numere cu o singură cifră mai mari decât 5.

Masa lui Pitagora

Să ne amintim de regula principală a matematicii egiptene antice, care spune că înmulțirea se face prin dublarea și adunarea rezultatelor obținute; adică fiecare dublare este adăugarea unui număr la sine. Prin urmare, este interesant să privim rezultatul unei astfel de dubleri a numerelor și a cifrelor, dar obținut prin metoda modernă de pliere „în coloană”, cunoscută chiar și în clasele elementare ale școlii.

masa Okoneshnikov

Elevii vor putea învăța să adună și să înmulțească verbal milioane, miliarde și chiar sextilioane și cvadrilioane. Iar candidatul la științe filozofice Vasily Okoneshnikov, care este și inventatorul unui nou sistem de numărare mentală, îi va ajuta în acest sens. Omul de știință susține că o persoană este capabilă să-și amintească o cantitate imensă de informații, principalul lucru este cum să aranjeze aceste informații.

Potrivit omului de știință însuși, cel mai avantajos în acest sens este sistemul de nouă ori - toate datele sunt pur și simplu plasate în nouă celule, situate ca butoanele unui calculator.

Potrivit omului de știință, înainte de a deveni un „calculator” de calcul, este necesar să memoreze tabelul pe care l-a creat. Numerele din el sunt distribuite în nouă celule într-un mod neliniștit. Potrivit lui Okoneshnikov, ochiul uman și memoria sa sunt atât de inteligent proiectate încât informațiile aranjate conform metodei sale sunt amintite, în primul rând, mai rapid și, în al doilea rând, ferm.

Tabelul este împărțit în 9 părți. Ele sunt localizate conform principiului unui mini calculator: „1” în colțul din stânga jos, „9” în colțul din dreapta sus. Fiecare parte este un tabel pentru înmulțirea numerelor de la 1 la 9 (din nou în colțul din stânga jos cu 1, lângă dreapta cu 2 etc., folosind același sistem de „apăsare”). Cum să le folosești?
De exemplu, trebuie să înmulțiți 9 pe 842 . Ne amintim imediat de „butonul” mare 9 (este în dreapta sus și pe el găsim mental butoanele mici 8,4,2 (sunt și ele amplasate ca pe un calculator). Ele corespund numerelor 72, 36, 18 . Adăugăm numerele rezultate separat: prima cifră este 7 (rămâne neschimbată), 2 este adăugat mental la 3, obținem 5 - aceasta este a doua cifră a rezultatului, 6 este adăugat la 1, obținem a treia cifră -. 7, iar ultima cifră a numărului dorit rămâne - 8. Rezultatul este 7578.
Dacă, la adăugarea a două cifre, se obține un număr mai mare de nouă, atunci prima sa cifră este adăugată la cifra anterioară a rezultatului, iar a doua este scrisă în locul „propriu”.

Folosind tabelul matricial al lui Okoneshnikov, potrivit autorului însuși, puteți studia limbi străine și chiar tabelul periodic. Noua tehnică a fost testată în mai multe școli și universități rusești. Ministerul Educației al Federației Ruse a permis publicarea unei noi tabele înmulțirii în caiete în carouri împreună cu tabelul obișnuit al lui Pitagora - deocamdată, doar pentru cunoștință.

Exemplu : 15647 x 5

https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Figure5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.!}

Înmulțirea folosind metoda „CASTEL MIC”.

Înmulțirea numerelor este acum studiată în clasa I de școală. Dar în Evul Mediu, foarte puțini stăpâneau arta înmulțirii. Era un aristocrat rar care se putea lăuda că cunoaște tabelele înmulțirii, chiar dacă a absolvit o universitate europeană.

De-a lungul mileniilor de dezvoltare a matematicii, au fost inventate multe moduri de multiplicare a numerelor. Matematicianul italian Luca Pacioli, în tratatul său „Suma de aritmetică, raporturi și proporționalitate” (1494), oferă opt metode diferite de înmulțire. Primul dintre ele se numește „Micul Castel”, iar cel de-al doilea este numit nu mai puțin romantic „Gelozia sau înmulțirea prin zăbrele”.

Avantajul metodei de înmulțire „Little Castle” este că cifrele principale sunt determinate de la bun început, iar acest lucru poate fi important dacă trebuie să estimați rapid o valoare.

Cifrele numărului superior, începând de la cifra cea mai semnificativă, se înmulțesc pe rând cu numărul inferior și se scriu într-o coloană cu numărul necesar de zerouri adăugate. Rezultatele sunt apoi adunate.

Înmulțirea numerelor folosind metoda „geloziei”.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">

3. Așa arată grila cu toate celulele completate.

Grila 1

4. În cele din urmă, adună numerele după dungi diagonale. Dacă suma unei diagonale conține zeci, adăugați-le la următoarea diagonală.

Grila 1

Din rezultatele adunării numerelor de-a lungul diagonalelor (ele sunt evidențiate cu galben), se formează un număr 2355315 , care este produsul numerelor 6827 și 345, acesta este 6827 x 345 = 2355315.

Mod chinezesc de multiplicare

Acum să introducem metoda înmulțirii, despre care se discută energic pe Internet, care se numește metoda chineză. La înmulțirea numerelor, se calculează punctele de intersecție ale liniilor, care corespund numărului de cifre ale fiecărei cifre a ambilor factori.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46"> Exemplu : hai sa inmultim 21 pe 13 . Primul factor conține 2 zeci și 1 unitate, ceea ce înseamnă că construim 2 linii paralele și 1 dreaptă la distanță.

Liniile se intersectează în puncte, al căror număr este răspunsul, adică 21 x 13 = 273

Este amuzant și interesant, dar trasarea a 9 linii drepte la înmulțirea cu 9 este oarecum lungă și neinteresantă, iar apoi numărarea punctelor de intersecție... În general, nu te poți descurca fără o masă de înmulțire!

Mod japonez de multiplicare

Metoda japoneză de înmulțire este o metodă grafică care utilizează cercuri și linii. Nu mai puțin amuzant și interesant decât chinezii. Chiar și oarecum asemănătoare cu el.

Exemplu: hai sa inmultim 12 pe 34. Deoarece al doilea factor este un număr din două cifre, iar prima cifră a primului factor 1 , construim două cercuri simple în linia de sus și două cercuri binare în linia de jos, deoarece a doua cifră a primului factor este egală cu 2 .

12 x 34

Numărul de părți în care sunt împărțite cercurile este răspunsul, adică 12 x 34 = 408.

Dintre toate metodele de numărare neobișnuite pe care le-am găsit, metoda „înmulțirii latice sau geloziei” mi s-a părut mai interesantă. Le-am arătat colegilor de clasă și le-a plăcut foarte mult.

Cea mai simplă metodă mi s-a părut a fi „dublarea și împărțirea”, care era folosită de țăranii ruși. Îl folosesc când înmulțesc numere nu prea mari (este foarte convenabil să-l folosesc când înmulțesc numere de două cifre).

Cred că metoda noastră de înmulțire pe coloană nu este perfectă și putem veni cu metode și mai rapide și mai fiabile.

Literatură

1. „Povești despre matematică.” – Leningrad: Educație, 1954. – 140 p.

2. Fenomenul înmulțirii rusești. Poveste. http://numberautics. ru/

3. „Probleme de divertisment antice.” – M.: Știință. Redacția principală de literatură fizică și matematică, 1985. – 160 p.

4. Contul Perelman. Treizeci de tehnici simple de numărare mentală. L., 1941 - 12 p.

5. Aritmetica Perelman. M. Rusanova, 1994--205 p.

6. Enciclopedie „Explorez lumea. Matematică". – M.: Astrel Ermak, 2004.

7. Enciclopedie pentru copii. "Matematică". – M.: Avanta +, 2003. – 688 p.

Lumea matematicii este foarte mare, dar întotdeauna m-au interesat metodele de înmulțire. În timp ce lucram la acest subiect, am învățat o mulțime de lucruri interesante și am învățat să selectez materialul de care aveam nevoie din ceea ce am citit. Am învățat cum să rezolv anumite probleme distractive, puzzle-uri și exemple de înmulțire în diferite moduri, precum și pe ce se bazează trucurile aritmetice și tehnicile de calcul intensiv.

DESPRE MULTIPLICARE

Ce rămâne în mintea majorității oamenilor din ceea ce au studiat cândva la școală? Desigur, este diferit pentru diferiți oameni, dar probabil că toată lumea are o masă de înmulțire. Pe lângă eforturile depuse pentru a-l „detalia”, să ne amintim de sutele (dacă nu de mii) de probleme pe care le-am rezolvat cu ajutorul lui. Acum trei sute de ani, în Anglia, o persoană care cunoștea tabelele înmulțirii era deja considerată o persoană învățată.

Au fost inventate multe metode de înmulțire. Matematicianul italian de la sfârșitul secolului al XV-lea - începutul secolului al XVI-lea, Luca Pacioli, în tratatul său de aritmetică, oferă 8 metode diferite de înmulțire. În primul, care se numește „castelul mic”, cifrele numărului superior, începând cu cel mai mare, sunt înmulțite pe rând cu numărul inferior și scrise într-o coloană cu numărul necesar de zerouri adăugate. Rezultatele sunt apoi adunate. Avantajul acestei metode față de cea obișnuită este că numerele celor mai semnificative cifre sunt determinate de la bun început, iar acest lucru poate fi important pentru calcule brute.

A doua metodă are denumirea nu mai puțin romantică de „gelozie” (sau înmulțire prin zăbrele). Se trasează o rețea în care se introduc apoi rezultatele calculelor intermediare, mai precis, numere din tabla înmulțirii. Grila este un dreptunghi împărțit în celule pătrate, care la rândul lor sunt împărțite în jumătate prin diagonale. Primul factor a fost scris în stânga (de sus în jos), iar al doilea în partea de sus. La intersecția rândului și coloanei corespunzătoare, a fost scris produsul numerelor din ele. Apoi numerele rezultate au fost adăugate de-a lungul diagonalelor desenate, iar rezultatul a fost scris la sfârșitul unei astfel de coloane. Rezultatul a fost citit de-a lungul părților inferioare și drepte ale dreptunghiului. „O astfel de zăbrele”, scrie Luca Pacioli, „amintește de obloanele zăbrele care erau atârnate pe ferestrele venețiene, împiedicând trecătorii să vadă doamnele și călugărițele așezate la ferestre”.

Toate metodele de înmulțire descrise în cartea lui Luca Pacioli au folosit o tabelă de înmulțire. Cu toate acestea, țăranii ruși au știut să se înmulțească fără masă. Metoda lor de înmulțire folosea doar înmulțirea și împărțirea cu 2. Pentru a înmulți două numere, acestea au fost scrise una lângă alta, iar apoi numărul din stânga a fost împărțit cu 2, iar cel din dreapta a fost înmulțit cu 2. Dacă împărțirea avea ca rezultat un rest, a fost aruncat. Apoi acele linii din coloana din stânga care conțineau numere pare au fost tăiate. Numerele rămase din coloana din dreapta au fost adunate. Rezultatul a fost produsul numerelor originale. Verificați pe mai multe perechi de numere dacă acesta este într-adevăr cazul. Dovada validității acestei metode este prezentată folosind sistemul de numere binar.

O metodă rusă veche de înmulțire.

Din cele mai vechi timpuri și aproape până în secolul al XVIII-lea, rușii și-au făcut calculele fără înmulțire și împărțire: au folosit doar două operații aritmetice - adunarea și scăderea, precum și așa-numitele „dublare” și „bifurcare”. Esența metodei antice rusești de înmulțire este că înmulțirea oricăror două numere este redusă la o serie de diviziuni succesive a unui număr în jumătate (secvențial, bifurcație), în timp ce se dublează simultan celălalt număr. Dacă într-un produs, de exemplu 24 X 5, multiplicatorul este redus de 2 ori ("dublu"), iar multiplicatorul este mărit de 2 ori

(„dublu”), atunci produsul nu se va schimba: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Exemplu:

Împărțirea multiplicandului la jumătate continuă până când câtul se dovedește a fi 1, în timp ce se dublează multiplicatorul. Ultimul număr dublat dă rezultatul dorit. Deci 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

În acele vremuri străvechi, dublarea și bifurcarea erau considerate chiar operații aritmetice speciale. Cât de speciali sunt. actiuni? La urma urmei, de exemplu, dublarea unui număr nu este o acțiune specială, ci doar adăugarea unui anumit număr la sine.

Rețineți că numerele sunt divizibile cu 2 tot timpul fără rest. Dar dacă multiplicandul este divizibil cu 2 cu rest? Exemplu:

Dacă multiplicandul nu este divizibil cu 2, atunci se scade mai întâi unul din el și apoi se împarte la 2. Liniile cu multiplicanți pari sunt tăiate și se adună părțile drepte ale liniilor cu multiplicanți impari.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Să ne amintim numărul 17 (prima linie nu este tăiată!) și să înlocuim produsul 20 X 17 cu produsul egal 10 X 34. Dar produsul 10 X 34, la rândul său, poate fi înlocuit cu produsul egal 5 X 68; deci a doua linie este tăiată:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Să ne amintim numărul 68 (a treia linie nu este tăiată!) și să înlocuim produsul 4 X 68 cu produsul egal 2 X 136. Dar produsul 2 X 136 poate fi înlocuit cu produsul egal 1 X 272; prin urmare, a patra linie este tăiată. Aceasta înseamnă că pentru a calcula produsul 21 X 17, trebuie să adăugați numerele 17, 68, 272 - părțile drepte ale liniilor cu multiplicanți impari. Produsele cu multiplicanți pari pot fi întotdeauna înlocuite prin dublarea multiplicandului și dublarea factorului cu produse egale; prin urmare, astfel de linii sunt excluse din calculul produsului final.

Am încercat să mă înmulțesc pe modul de modă veche. Am luat numerele 39 și 247 și iată ce am primit:

Coloanele se vor dovedi a fi chiar mai lungi decât ale mele dacă luăm multiplicantul mai mult de 39. Apoi am decis, același exemplu într-un mod modern:

Se dovedește că metoda noastră școlară de înmulțire a numerelor este mult mai simplă și mai economică decât vechea metodă rusă!

Numai noi trebuie să știm, în primul rând, tabla înmulțirii, dar strămoșii noștri nu o cunoșteau. În plus, trebuie să cunoaștem bine regula înmulțirii în sine, dar ei nu știau decât să dubleze și să dubleze numerele. După cum puteți vedea, vă puteți înmulți mult mai bine și mai rapid decât cel mai faimos calculator din Rusia antică. Apropo, în urmă cu câteva mii de ani, egiptenii făceau înmulțirea aproape exact în același mod ca și poporul rus în vremuri.

Este grozav că oamenii din diferite țări s-au înmulțit în același mod.

Nu cu mult timp în urmă, cu aproximativ o sută de ani în urmă, învățarea tabelelor înmulțirii era foarte dificilă pentru elevi. Pentru a convinge studenții de necesitatea cunoașterii pe de rost a tabelelor, autorii cărților de matematică au recurs de mult timp la. la poezie.

Iată câteva rânduri dintr-o carte necunoscută nouă: „Dar pentru înmulțire trebuie să aveți următorul tabel, doar să îl aveți ferm în memorie, astfel încât fiecare număr, înmulțit cu el, fără nicio întârziere în vorbire, să spuneți sau scrie, de asemenea, de 2 ori 2 este 4, sau de 2 ori 3 este 6, și de 3 ori 3 este 9 și așa mai departe.”

Dacă cineva nu repetă masa și este mândru în toată știința, nu este scutit de chin,

Koliko nu poate ști și nu învață prin cifre că înmulțirea Tonului îl va deprima

Adevărat, în acest pasaj și versete nu totul este clar: cumva nu este scris destul de în rusă, pentru că toate acestea au fost scrise cu mai bine de 250 de ani în urmă, în 1703, de Leonti Filippovici Magnitsky, un minunat profesor de rusă, iar de atunci rusul. limba sa schimbat considerabil.

L. F. Magnitsky a scris și publicat primul manual de aritmetică tipărit din Rusia; înaintea lui existau doar cărți de matematică scrise de mână. Marele om de știință rus M.V. Lomonosov, precum și mulți alți oameni de știință proeminenți ai secolului al XVIII-lea, au studiat din „Aritmetica” a lui L. F. Magnitsky.

Cum s-au înmulțit în acele zile, pe vremea lui Lomonosov? Să vedem un exemplu.

După cum înțelegem, acțiunea înmulțirii a fost scrisă atunci aproape la fel ca în vremea noastră. Numai multiplicandu-ul se numea „cantitate”, iar produsul se numea „produs” și, în plus, nu era scris semnul înmulțirii.

Cum au explicat atunci multiplicarea?

Se știe că M.V Lomonosov știa pe de rost întreaga „Aritmetică” a lui Magnitsky. În conformitate cu acest manual, micuțul Mișa Lomonosov ar explica înmulțirea lui 48 cu 8 astfel: „De 8 ori 8 este 64, scriu 4 sub linie, față de 8 și am 6 zecimale în minte. Și apoi de 8 ori 4 este 32 și țin 3 în minte, iar la 2 voi adăuga 6 zecimale, și va fi 8. Și voi scrie acest 8 lângă 4, într-un rând la mâna mea stângă, și în timp ce 3 este în minte, voi scrie într-un rând lângă 8, la mâna stângă. Iar din înmulțirea lui 48 cu 8 produsul va fi 384.”

Da, și o explicăm aproape la fel, doar că vorbim într-un mod modern, nu într-un mod antic și, în plus, denumim categoriile. De exemplu, 3 ar trebui să fie scris pe locul al treilea, deoarece va fi sute, și nu doar „într-un rând lângă 8, la mâna stângă”.

Povestea „Masha este un magician”.

„Pot ghici nu numai ziua de naștere, așa cum a făcut Pavlik data trecută, ci și anul nașterii”, a început Masha.

Înmulțiți numărul lunii în care v-ați născut cu 100, apoi adăugați ziua de naștere. , înmulțiți rezultatul cu 2. , adăugați 2 la numărul rezultat; înmulțiți rezultatul cu 5, adăugați 1 la numărul rezultat, adăugați zero la rezultat. , adaugă încă 1 la numărul rezultat și, în final, adaugă numărul anilor tăi.

Gata, am 20721. - Spun eu.

* Corect, am confirmat.

Și am primit 81321”, spune Vitya, o elevă în clasa a treia.

— Tu, Masha, trebuie să te fi înșelat, se îndoi Petya. - Cum se întâmplă: Vitya este din clasa a treia și s-a născut tot în 1949, ca și Sasha.

Nu, Masha a ghicit corect”, confirmă Vitya. Numai că am fost bolnav mult timp timp de un an și de aceea am mers de două ori în clasa a doua.

* Și am primit 111521”, relatează Pavlik.

Cum este posibil, se întreabă Vasya, Pavlik are și el 10 ani, ca și Sasha, și s-a născut în 1948. De ce nu în 1949?

Dar pentru că acum este septembrie și Pavlik s-a născut în noiembrie și are încă doar 10 ani, deși s-a născut în 1948”, a explicat Masha.

Ea a ghicit datele de naștere a altor trei sau patru elevi și apoi a explicat cum a procedat. Se pare că ea scade 111 din ultimul număr, iar apoi restul este adăugat la trei laturi de la dreapta la stânga, câte două cifre. Cele două cifre din mijloc indică ziua de naștere, primele două sau una indică luna, iar ultimele două cifre indică numărul de ani. Știind câți ani are o persoană, nu este dificil să determinați anul nașterii. De exemplu, am primit numărul 20721. Dacă scadeți 111 din el, obțineți 20610. Asta înseamnă că acum am 10 ani și m-am născut pe 6 februarie. Deoarece acum este septembrie 1959, înseamnă că m-am născut în 1949.

De ce trebuie să scazi 111 și nu un alt număr? - noi am intrebat. -Și de ce aniversarea, numărul lunii și numărul de ani sunt distribuite exact așa?

Dar uite, a explicat Masha. - De exemplu, Pavlik, îndeplinind cerințele mele, a rezolvat următoarele exemple:

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

După cum puteți vedea, a înmulțit numărul lunii (11) cu 100, apoi cu 2, apoi cu încă 5 și, în final, cu încă 10 (a adăugat un sac), și în total cu 100 X 2 X 5 X 10, adică cu 10.000 Aceasta înseamnă că 11 au devenit zeci de mii, adică constituie a treia latură, dacă numărați două cifre de la dreapta la stânga. Așa află ei numărul lunii în care te-ai născut. Și-a înmulțit ziua de naștere (14) cu 2, apoi cu 5 și, în final, cu încă 10, și în total cu 2 X 5 X 10, adică cu 100. Asta înseamnă că ziua de naștere trebuie căutată între sute, în a doua față, dar aici sunt sute de străini. Uite: a adăugat numărul 2, pe care l-a înmulțit cu 5 și 10. Asta înseamnă că a primit un plus 2x5x10=100 - 1 sută. Scăd această sută din cele 15 sute din numărul 111521, rezultând 14 sute. Așa aflu ziua mea de naștere. Numărul de ani (10) nu a fost înmulțit cu nimic. Asta înseamnă că acest număr trebuie căutat printre unități, în prima față, dar aici sunt unități străine. Uite: a adăugat numărul 1, pe care l-a înmulțit cu 10, apoi a adăugat încă 1. Aceasta înseamnă că a primit doar 1 x TO + 1 = 11 unități în plus. Scăd aceste 11 unități din cele 21 de unități din numărul 111521, rezultă 10. Așa aflu numărul de ani Și în total, după cum puteți vedea, din numărul 111521 am scăzut 100 + 11 = 111. Când am scăzut 111 din numărul 111521, s-a dovedit a fi PNU. Mijloace,

Pavlik s-a născut pe 14 noiembrie și are 10 ani. Acum este anul 1959, dar am scăzut 10 nu din 1959, ci din 1958, de când Pavlik a împlinit 10 ani anul trecut, în noiembrie.

Desigur, nu vă veți aminti imediat această explicație, dar am încercat să o înțeleg cu propriul meu exemplu:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2" Obto; 1959 - 10 = 1949;

Puzzle.

Prima sarcină: la prânz, un vapor de pasageri pleacă din Stalingrad spre Kuibyshev. O oră mai târziu, o navă de mărfuri și pasageri pleacă din Kuibyshev spre Stalingrad, mișcându-se mai lent decât prima navă. Când navele se vor întâlni, care va fi mai departe de Stalingrad?

Aceasta nu este o problemă de aritmetică obișnuită, ci o glumă! Navele cu aburi vor fi la aceeași distanță de Stalingrad, precum și de Kuibyshev.

Și iată a doua sarcină: duminica trecută, echipa noastră și echipa de clasa a cincea au plantat copaci de-a lungul străzii Bolshaya Pionerskaya. Echipele au trebuit să planteze un număr egal de copaci de fiecare parte a străzii. După cum vă amintiți, echipa noastră a venit la muncă devreme și, înainte de sosirea elevilor de clasa a cincea, am reușit să plantăm 8 copaci, dar, după cum s-a dovedit, nu pe partea noastră de stradă: ne-am entuziasmat și am început lucrul greșit. loc. Apoi am lucrat pe partea noastră a străzii. Elevii de clasa a cincea și-au terminat treaba devreme. Totuși, ei nu ne-au rămas datori: au venit lângă noi și au plantat mai întâi 8 copaci („au plătit datoria”), apoi încă 5 copaci și am terminat lucrarea.

Întrebarea este, câți mai mulți copaci au plantat elevii de clasa a cincea decât noi?

: Bineînțeles că elevii de clasa a cincea au plantat doar cu 5 copaci mai mulți decât noi: când au plantat 8 copaci de partea noastră, au plătit astfel datoria; iar când au mai plantat 5 pomi parcă ne-au dat 5 pomi cu împrumut. Așa că se dovedește că au plantat doar cu 5 copaci mai mulți decât noi.

Nu, raționamentul este greșit. Este adevărat că elevii de clasa a V-a ne-au făcut o favoare plantându-ne 5 copaci. Dar apoi, pentru a obține răspunsul corect, trebuie să raționați astfel: ne-am îndeplinit sarcina cu 5 copaci, în timp ce elevii de clasa a cincea au depășit-o pe a lor cu 5 copaci. Așa că se dovedește că diferența dintre numărul de copaci plantați de elevii de clasa a V-a și numărul de copaci plantați de noi nu este de 5, ci de 10 copaci!

Și iată ultima sarcină de puzzle, Jocul cu mingea, 16 elevi au fost așezați pe părțile laterale ale unei zone pătrate, astfel încât să fie câte 4 persoane pe fiecare parte. Apoi au plecat 2 elevi Restul s-au mutat astfel încât să fie din nou 4 persoane de fiecare parte a pătratului. În cele din urmă, încă 2 elevi au plecat, dar restul s-au așezat astfel încât mai erau câte 4 persoane de fiecare parte a pieței. Cum s-ar putea să decidă?

Două trucuri pentru înmulțirea rapidă

Într-o zi, un profesor le-a oferit elevilor săi acest exemplu: 84 X 84. Un băiat a răspuns rapid: 7056. „Ce ai numărat?” – l-a întrebat profesorul pe elev. „Am luat 50 X 144 și am rulat 144”, a răspuns el. Ei bine, să explicăm cum a gândit studentul.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, iar 144 cincizeci este 72 sute, deci 84 X 84 = 7200 - 144 =

Acum să calculăm în același mod cât este 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, adică 64 cincizeci sau 32 de sute (3200), fără 64, adică pentru a înmulți un număr cu 49, ai nevoie de asta număr înmulțiți cu 50 (cincizeci) și scădeți acest număr din produsul rezultat.

Iată exemple pentru o altă metodă de calcul, 92 X 96, 94 X 98.

Răspunsuri: 8832 și 9212. Exemplu, 93 X 95. Răspuns: 8835. Calculele noastre au dat același număr.

Poți număra atât de repede doar când numerele sunt aproape de 100. Găsim complementele până la 100 la aceste numere: pentru 93 va fi 7, iar pentru 95 va fi 5, din primul număr dat scadem complementul de al doilea: 93 - 5 = 88 - acesta va fi în sutele de produse, înmulțiți adunările: 7 X 5 = 3 5 - acesta este cât va fi în produsul unităților. Aceasta înseamnă 93 X 95 = 8835. Și de ce exact acest lucru ar trebui făcut nu este greu de explicat.

De exemplu, 93 este 100 fără 7 și 95 este 100 fără 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Pentru a scădea de 5 ori 93, puteți scădea de 5 ori 100, dar adăugați de 5 ori 7. Apoi rezultă:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 de celule. - 5 sute. + 5 X 7 = (93 - 5) celule. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Înmulțirea c. domino

Cu ajutorul pieselor de domino este ușor să descrii unele cazuri de înmulțire a numerelor cu mai multe cifre cu un număr dintr-o singură cifră. De exemplu:

402 X 3 și 2663 X 4

Câștigătorul va fi cel care, într-un anumit timp, va putea folosi cel mai mare număr de piese de domino, alcătuind exemple de înmulțire a numerelor de trei și patru cifre cu un număr de o singură cifră.

Exemple pentru înmulțirea numerelor de patru cifre cu numere de o cifră.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

După cum puteți vedea, au fost folosite doar 20 de piese de domino. Au fost compilate exemple pentru înmulțirea nu numai a numerelor de patru cifre cu un număr de o singură cifră, ci și a numerelor de trei, cinci și șase cifre cu un număr de o singură cifră. Au fost folosite 25 de zaruri și au fost compilate următoarele exemple:

Cu toate acestea, toate cele 28 de zaruri pot fi încă folosite.

Povești despre cât de bine cunoștea bătrânul Hottabych aritmetica.

Povestea „Primesc un „5” la aritmetică.”

De îndată ce m-am dus la Misha a doua zi, el a întrebat imediat: „Ce a fost nou sau interesant în clasa de cerc?” Le-am arătat lui Misha și prietenilor săi cât de deștepți erau poporul rus pe vremuri. Apoi le-am rugat să calculeze mental cât ar fi 97 X 95, 42 X 42 și 98 X 93. Desigur, nu puteau face acest lucru fără creion și hârtie și au fost foarte surprinși când am dat aproape instantaneu răspunsurile corecte. aceste exemple. În cele din urmă, am rezolvat cu toții problema dată pentru acasă împreună. Se pare că este foarte important modul în care sunt amplasate punctele pe o coală de hârtie. În funcție de aceasta, puteți desena una, patru sau șase linii drepte prin patru puncte, dar nu mai mult.

Apoi i-am invitat pe copii să creeze exemple de înmulțire folosind domino, așa cum au făcut pe cană. Am reușit să folosim 20, 24 și chiar 27 de zaruri, dar din toate cele 28 nu am reușit niciodată să creăm exemple, deși am stat mult timp la această sarcină.

Misha și-a amintit că astăzi filmul „Old Man Hottabych” a fost prezentat la cinema. Am terminat repede aritmetica și am fugit la cinema.

Ce poză! Chiar dacă este un basm, este totuși interesant: povestește despre noi, băieții, despre viața școlară și, de asemenea, despre înțeleptul excentric - Genie Hottabych. Și Hottabych a făcut o mare greșeală când i-a dat lui Volka câteva sfaturi de geografie! După cum puteți vedea, în vremuri demult apuse, chiar și înțelepții indieni - genii - cunoșteau foarte, foarte prost geografia, mă întreb câți ani ar fi dat Hottabych sfaturi dacă Volka ar fi promovat examenul de aritmetică. Hottabych probabil nici măcar nu știa corect aritmetica.

Mod indian de multiplicare.

Să presupunem că trebuie să înmulțim 468 cu 7. Scriem multiplicatorul în stânga și multiplicatorul în dreapta:

Indienii nu aveau semn de înmulțire.

Acum înmulțim 4 cu 7, obținem 28. Scriem acest număr deasupra cifrei 4.

Acum înmulțim 8 cu 7, obținem 56. Adunăm 5 la 28, obținem 33; Să ștergem 28, să notăm 33, să scriem 6 deasupra numărului 8:

S-a dovedit a fi destul de interesant.

Acum înmulțim 6 cu 7, obținem 42, adunăm 4 la 36, obținem 40; Vom șterge 36 și vom nota 40; Să scriem 2 deasupra numărului 6. Deci, înmulțind 486 cu 7, obțineți 3402:

Soluția a fost corectă, dar nu foarte rapid și convenabil, exact așa s-au înmulțit cele mai cunoscute calculatoare ale vremii.

După cum puteți vedea, bătrânul Hottabych știa destul de bine aritmetica. Totuși, el și-a înregistrat acțiunile altfel decât noi.

Cu mult timp în urmă, cu peste o mie trei sute de ani în urmă, indienii erau cei mai buni calculatoare. Cu toate acestea, nu aveau încă hârtie, iar toate calculele se făceau pe o tablă mică, neagră, scriind pe ea cu un pix de stuf și folosind vopsea albă foarte lichidă, care lăsa urme care se ștergeau ușor.

Când scriem cu cretă pe o tablă, amintește puțin de modul indian de a scrie: pe un fundal negru apar semne albe, care sunt ușor de șters și corectat.

Indienii făceau calcule și pe o tăbliță albă stropită cu pulbere roșie, pe care scriau semne cu un băț mic, astfel încât pe un câmp roșu apăreau caractere albe. Aproximativ aceeași imagine se obține atunci când scriem cu cretă pe o tablă roșie sau maro - linoleum.

Semnul înmulțirii nu exista încă în acel moment și între multiplicand și multiplicator a rămas doar un anumit decalaj. Modul indian ar fi să se înmulțească începând cu unitățile. Cu toate acestea, indienii înșiși au efectuat înmulțirea pornind de la cea mai mare cifră și au notat produsele incomplete chiar deasupra multiplicandului, bit cu bit. În acest caz, cea mai semnificativă cifră a produsului complet a fost imediat vizibilă și, în plus, a fost eliminată omisiunea oricărei cifre.

Un exemplu de înmulțire în modul indian.

Metoda arabă de înmulțire.

Ei bine, cum, în data în sine, puteți efectua înmulțirea în mod indian, dacă o notați pe hârtie?

Această metodă de înmulțire pentru scrierea pe hârtie a fost adaptată de arabi celebrul om de știință uzbec Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Muhammad, fiul lui Musa din Khorezm, un oraș situat pe teritoriul RSS moderne uzbece) de peste o mie de ani. în urmă am efectuat înmulțirea pe pergament astfel:

Aparent, el nu a șters numerele inutile (este deja incomod să faci asta pe hârtie), ci le-a tăiat; El a notat numerele noi deasupra celor tăiate, bineînțeles, puțin câte puțin.

Un exemplu de înmulțire în același mod, făcând notițe într-un caiet.

Aceasta înseamnă 7264 X 8 = 58112. Dar cum se înmulțește cu un număr din două cifre, cu un număr cu mai multe cifre?

Metoda de înmulțire rămâne aceeași, dar înregistrarea devine mult mai complicată. De exemplu, trebuie să înmulțiți 746 cu 64. Mai întâi, înmulțiți cu 3 zeci, se dovedește

Deci 746 X 34 = 25364.

După cum puteți vedea, tăierea cifrelor inutile și înlocuirea lor cu cifre noi atunci când înmulțiți chiar și cu un număr de două cifre duce la o înregistrare prea greoaie. Ce se întâmplă dacă înmulțiți cu un număr de trei sau patru cifre?!

Da, metoda arabă de înmulțire nu este foarte convenabilă.

Această metodă de înmulțire a persistat în Europa până în secolul al XVIII-lea, timp de o mie de ani. A fost numită metoda încrucișării sau chiasmus, deoarece litera greacă X (chi) a fost plasată între numerele înmulțite, care a fost înlocuită treptat cu o cruce oblică. Acum vedem clar că metoda noastră modernă de înmulțire este cea mai simplă și mai convenabilă, probabil cea mai bună dintre toate metodele posibile de înmulțire.

Da, metoda noastră școlară de înmulțire a numerelor cu mai multe cifre este foarte bună. Totuși, înmulțirea poate fi scrisă în alt mod. Poate cel mai bun mod ar fi să o faci așa:

Această metodă este foarte bună: înmulțirea începe de la cea mai mare cifră a multiplicatorului, cea mai mică cifră a produselor incomplete este scrisă sub cifra corespunzătoare a multiplicatorului, ceea ce elimină posibilitatea de eroare în cazul în care apare un zero în orice cifră a multiplicatorului. multiplicator. Cam așa scriu școlarii cehoslovaci înmulțirea numerelor cu mai multe cifre. E interesant. Și ne-am gândit că operațiile aritmetice pot fi scrise doar în modul obișnuit pentru noi.

Încă câteva puzzle-uri.

Iată prima ta sarcină simplă: un turist poate merge 5 km într-o oră. Câți kilometri va merge în 100 de ore?

Răspuns: 500 de kilometri.

Și aceasta este o altă mare întrebare! Trebuie să știm mai precis cum a mers turistul în aceste 100 de ore: fără odihnă sau cu pauze. Cu alte cuvinte, trebuie să știi: 100 de ore este timpul petrecut de un turist sau pur și simplu timpul pe care îl petrece pe drum. Probabil că o persoană nu poate fi în mișcare timp de 100 de ore la rând: asta înseamnă mai mult de patru zile; iar viteza de deplasare ar scădea tot timpul. Altfel e dacă turistul a mers cu pauze pentru prânz, somn etc. Apoi în 100 de ore de mișcare poate parcurge toți cei 500 de km; numai că ar trebui să fie pe drum nu patru zile, ci vreo douăsprezece zile (dacă parcurge în medie 40 km pe zi). Dacă a fost pe drum 100 de ore, atunci ar putea parcurge doar aproximativ 160-180 km.

Răspunsuri diverse. Aceasta înseamnă că trebuie adăugat ceva la enunțul problemei, altfel este imposibil să dai un răspuns.

Să rezolvăm acum următoarea problemă: 10 găini mănâncă 1 kg de cereale în 10 zile. Câte kilograme de cereale vor mânca 100 de găini în 100 de zile?

Soluție: 10 pui mănâncă 1 kg de cereale în 10 zile, ceea ce înseamnă că 1 pui mănâncă de 10 ori mai puțin în aceleași 10 zile, adică 1000 g: 10 = 100 g.

Într-o zi, puiul mănâncă încă de 10 ori mai puțin, adică 100 g: 10 = 10 g Acum știm că 1 pui mănâncă 10 g de cereale într-o zi. Asta înseamnă că 100 de găini pe zi mănâncă de 100 de ori mai mult, adică

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. În 100 de zile vor mânca încă de 100 de ori mai mult, adică 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. Aceasta înseamnă că 100 de găini mănâncă un cent întreg de cereale în 100 de zile.

Există o soluție mai rapidă: sunt de 10 ori mai mulți pui și trebuie hrăniți de 10 ori mai mult, ceea ce înseamnă că necesarul total de cereale este de 100 de ori mai mult, adică 100 kg. Cu toate acestea, există o omisiune în toate aceste argumente. Să ne gândim și să găsim o eroare de raționament.

: -Să fim atenți la ultimul raționament: „100 de găini mănâncă 1 kg de cereale într-o zi, iar în 100 de zile vor mânca de 100 de ori mai mult. »

La urma urmei, în 100 de zile (adică mai mult de trei luni!) puii vor crește vizibil și nu vor mai mânca 10 grame de cereale pe zi, ci 40-50 de grame, deoarece un pui obișnuit mănâncă aproximativ 100 de grame de cereale pe zi. . Aceasta înseamnă că în 100 de zile, 100 de găini vor mânca nu 1 chintal de cereale, ci mult mai mult: două sau trei chintale.

Și iată ultima sarcină de puzzle pentru tine despre legarea unui nod: „Există o bucată de frânghie întinsă în linie dreaptă pe masă. Trebuie să luați un capăt cu o mână, celălalt capăt cu cealaltă mână și, fără a da drumul capetele frânghiei din mâini, să faceți un nod. „Este un fapt binecunoscut că unele probleme sunt ușor de analizat, mergând de la date la întrebarea problemă, în timp ce altele, dimpotrivă, merg de la întrebarea problemă la date.

Ei bine, așa că am încercat să analizăm această problemă, mergând de la întrebare la date. Să existe deja un nod pe frânghie, iar capetele lui să fie în mâinile tale și să nu fie eliberate. Să încercăm să revenim de la problema rezolvată la datele ei, la poziția inițială: frânghia stă întinsă pe masă, iar capetele ei nu sunt eliberate din mâini.

Se dovedește că dacă îndreptați frânghia fără să-i dați drumul capetele din mâini, atunci mâna stângă, trecând pe sub frânghia întinsă și deasupra mâinii drepte, ține capătul drept al frânghiei; iar mâna dreaptă, trecând deasupra frânghiei și sub mâna stângă, ține capătul stâng al frânghiei

Cred că după această analiză a problemei, a devenit clar pentru toată lumea cum să faci un nod pe o frânghie trebuie să faci totul în ordine inversă.

Încă două tehnici de înmulțire rapidă.

Vă voi arăta cum să înmulțiți rapid numere precum 24 și 26, 63 și 67, 84 și 86 etc. p., adică atunci când în factori există un număr egal de zeci, iar unii împreună fac exact 10. Dați exemple.

* 34 și 36, 53 și 57, 72 și 78,

* Primești 1224, 3021, 5616.

De exemplu, trebuie să înmulțiți 53 cu 57. Eu înmulțesc 5 cu 6 (1 mai mult decât 5), rezultă 30 - atât de multe sute în produs; Înmulțesc 3 cu 7, rezultă 21 - atâtea unități sunt în produs. Deci 53 X 57 = 3021.

* Cum să explic asta?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 sute. + 5 sute. +3 X 7 = 30 de celule. + 3 X 7 = 5 X 6 celule. + 21.

Să vedem cum puteți înmulți rapid numere din două cifre în 20. De exemplu, pentru a înmulți 14 cu 17, trebuie să adăugați unitățile 4 și 7, obțineți 11 - adică câte zeci vor fi în produs (aceasta este, 10 unități). Apoi, trebuie să înmulțiți 4 cu 7, obțineți 28 - atâtea unități vor fi în produs. În plus, la numerele rezultate 110 și 28 trebuie să adăugăm exact 100. Aceasta înseamnă că 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. De fapt:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

După aceea, am rezolvat următoarele exemple: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Înmulțirea pe abac

Iată câteva tehnici pe care, folosindu-le, oricine știe să adauge rapid pe un abac va putea realiza rapid exemple de înmulțire întâlnite în practică.

Înmulțirea cu 2 și 3 este înlocuită cu adunarea dublă și triplă.

Când înmulțiți cu 4, înmulțiți mai întâi cu 2 și adăugați acest rezultat.

Înmulțirea unui număr cu 5 se face pe un abac astfel: mutați întregul număr cu un fir mai sus, adică înmulțiți-l cu 10, apoi împărțiți acest număr de 10 ori în jumătate (cum ar fi împărțirea la 2 folosind un abac.

În loc să înmulțiți cu 6, înmulțiți cu 5 și adăugați ceea ce se înmulțește.

În loc să înmulțiți cu 7, înmulțiți cu 10 și scădeți înmulțitul de trei ori.

Înmulțirea cu 8 se înlocuiește cu înmulțirea cu 10 minus doi înmulțiți.

Se înmulțesc cu 9 în același mod: îl înlocuiesc prin înmulțirea cu 10 minus unul fiind înmulțit.

Când înmulțiți cu 10, transferați, așa cum am spus deja, toate numerele cu un fir mai sus.

Probabil că cititorul își va da seama singur ce să facă atunci când înmulțește cu numere mai mari de 10 și ce fel de înlocuiri vor fi cele mai convenabile aici. Factorul 11 trebuie, desigur, înlocuit cu 10 + 1. Factorul 12 trebuie înlocuit cu 10 + 2 sau practic 2 + 10, adică mai întâi pun deoparte numărul dublat și apoi îl adaugă pe cel de zece ori. Multiplicatorul lui 13 este înlocuit cu 10 + 3 etc.

Să ne uităm la câteva cazuri speciale pentru prima sută de multiplicatori:

Este ușor de observat, de altfel, că cu ajutorul abacului este foarte convenabil să se înmulțească cu numere precum 22, 33, 44, 55 etc.; Prin urmare, atunci când împărțim factorii, trebuie să ne străduim să folosim numere similare cu aceleași cifre.

Tehnici similare sunt, de asemenea, folosite la înmulțirea cu numere mai mari de 100. Dacă astfel de tehnici artificiale sunt obositoare, atunci, desigur, putem întotdeauna înmulți folosind abacul conform regulii generale, înmulțind fiecare cifră a multiplicatorului și notând produsele parțiale - acest lucru oferă încă o oarecare reducere de timp.

Metoda „rusă” de înmulțire

Nu poți înmulți numere cu mai multe cifre, chiar și cu două cifre, decât dacă memorezi toate rezultatele înmulțirii numerelor cu o singură cifră, adică ceea ce se numește tabelul înmulțirii. În vechea „Aritmetică” a lui Magnitsky, pe care am menționat-o deja, necesitatea unei cunoștințe solide a tabelelor înmulțirii este glorificată în următoarele versete (străine urechilor moderne):

Dacă cineva nu repetă mesele și este mândru, nu poate ști după număr ce să înmulțească

Și conform tuturor științelor, nu sunt liber de chin, Koliko nu-l învață pe Ton și mă deprimă

Și nu va fi benefic dacă uită.

Autorul acestor versete evident nu a știut sau a trecut cu vederea că există o modalitate de a înmulți numere fără a cunoaște tabla înmulțirii. Această metodă, similară cu metodele noastre școlare, a fost folosită în viața de zi cu zi a țăranilor ruși și a fost moștenită de ei din cele mai vechi timpuri.

Esența sa este că înmulțirea oricăror două numere se reduce la o serie de împărțiri succesive a unui număr în jumătate, în timp ce simultan se dublează celălalt număr. Iată un exemplu:

Împărțirea la jumătate continuă până când) pasul din coeficient se dovedește a fi 1, în timp ce simultan se dublează celălalt număr. Ultimul număr dublat dă rezultatul dorit. Nu este greu de înțeles pe ce se bazează această metodă: produsul nu se schimbă dacă un factor este înjumătățit și celălalt este dublat. Este clar, așadar, că în urma repetării acestei operații de mai multe ori, se obține produsul dorit.

Totuși, ce să faci dacă în același timp... Este posibil să împărțim un număr impar la jumătate?

Metoda populară depășește cu ușurință această dificultate. Este necesar, spune regula, în cazul unui număr impar, aruncați unul și împărțiți restul la jumătate; dar apoi la un singur număr din coloana din dreapta va trebui să adăugați toate acele numere din această coloană care sunt opuse numerelor impare din coloana din stânga - suma va fi ceea ce căutați? eu lucrez. În practică, acest lucru se face în așa fel încât toate liniile cu numere pare din stânga să fie tăiate; Rămân doar cele care conțin un număr impar în stânga.

Iată un exemplu (asteriscurile indică faptul că această linie trebuie tăiată):

Adunând numerele care nu au fost tăiate, obținem un rezultat complet corect: 17 + 34 + 272 = 32 Pe ce se bazează această tehnică?

Corectitudinea tehnicii va deveni clar dacă luăm în considerare acest lucru

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 etc.

Este clar că numerele 17, 34 etc., pierdute la împărțirea la jumătate a unui număr impar, trebuie adăugate la rezultatul ultimei înmulțiri pentru a obține produsul.

Exemple de înmulțire accelerată

Am menționat mai devreme că există și modalități convenabile de a efectua acele operații individuale de multiplicare în care fiecare dintre tehnicile de mai sus se descompun. Unele dintre ele sunt foarte simple și aplicabile în mod convenabil; fac calculele atât de ușor, încât nu strica deloc să le amintim pentru a le folosi în calcule obișnuite.

Aceasta este, de exemplu, tehnica înmulțirii încrucișate, care este foarte convenabilă atunci când lucrați cu numere din două cifre. Metoda nu este nouă; se întoarce la greci și hinduși și în antichitate era numită „metoda fulgerului”, sau „înmulțirea prin cruce”. Acum este uitat și nu strică să-l reamintești1.

Să presupunem că doriți să înmulțiți 24X32. Aranjați mental numerele după următoarea schemă, una sub alta:

Acum efectuăm următorii pași succesiv:

1)4X2 = 8 este ultima cifră a rezultatului.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - penultima cifră a rezultatului; imi amintesc.

3)2X3 = 6, precum și unitatea reținută în minte, avem

7 este prima cifră a rezultatului.

Obținem toate cifrele produsului: 7, 6, 8 -- 768.

După un scurt exercițiu, această tehnică se învață foarte ușor.

O altă metodă, care constă în utilizarea așa-numitelor „adunări”, este utilizată convenabil în cazurile în care numerele înmulțite sunt aproape de 100.

Să presupunem că doriți să înmulțiți 92X96. „Adunarea” pentru 92 la 100 va fi 8, pentru 96 - 4. Acțiunea se desfășoară după următoarea schemă: multiplicatori: 92 și 96 „adunări”: 8 și 4.

Primele două cifre ale rezultatului sunt obținute prin simpla scădere a „complementului” multiplicandului din multiplicator sau invers, adică 4 este scăzut din 92 sau 8 este scăzut din 96;

În ambele cazuri avem 88; La acest număr se adaugă produsul „adunărilor”: 8X4 = 32. Obținem rezultatul 8832.

Că rezultatul obținut trebuie să fie corect se vede clar din următoarele transformări:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Alt exemplu. Trebuie să înmulțiți 78 cu 77: factori: 78 și 77 „adunări”: 22 și 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Al treilea exemplu. Înmulțiți 99 X 9.

multiplicatori: 99 și 98 „extra”: 1 și 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

În acest caz, trebuie să ne amintim că aici 97 înseamnă numărul de sute. Așa că o adunăm.

Mod indian de multiplicare

Cea mai valoroasă contribuție la vistieria cunoștințelor matematice a fost făcută în India. Hindușii au propus metoda pe care o folosim pentru a scrie numere folosind zece semne: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

La baza acestei metode se află ideea că aceeași cifră reprezintă unități, zeci, sute sau mii, în funcție de locul în care ocupă cifra. Spațiul ocupat, în absența oricăror cifre, este determinat de zerourile atribuite numerelor.

Indienii erau grozavi la numărătoare. Au venit cu o modalitate foarte simplă de a se înmulți. Au efectuat înmulțirea pornind de la cea mai semnificativă cifră și au notat produsele incomplete chiar deasupra multiplicandului, bit cu bit. În acest caz, cea mai semnificativă cifră a produsului complet a fost imediat vizibilă și, în plus, a fost eliminată omisiunea oricărei cifre. Semnul înmulțirii nu era încă cunoscut, așa că au lăsat o mică distanță între factori. De exemplu, să le înmulțim folosind metoda 537 cu 6:

Înmulțirea folosind metoda „CASTEL MIC”.

De-a lungul mileniilor de dezvoltare a matematicii, au fost inventate multe moduri de multiplicare a numerelor. Matematicianul italian Luca Pacioli, în tratatul său „Suma aritmeticii, raporturilor și proporționalității” (1494), oferă opt metode diferite de înmulțire. Primul dintre ele se numește „Micul Castel”, iar cel de-al doilea este numit nu mai puțin romantic „Gelozia sau înmulțirea prin zăbrele”.

Avantajul metodei de înmulțire „Little Castle” este că cifrele principale sunt determinate de la bun început, iar acest lucru poate fi important dacă trebuie să estimați rapid o valoare.

MBOU „Școala” Districtul Volnoye" Kharabalinsky, regiunea Astrakhan

Proiect pe:

« Modalități neobișnuite de a se înmulțiși eu»

Lucrarea a fost finalizată de:

elevi de clasa a 5-a :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R manager de proiect:

profesor de matematică

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 an .

„Totul este număr” Pitagora

Introducere

În secolul 21, este imposibil să ne imaginăm viața unei persoane care nu face calcule: aceștia includ vânzători, contabili și școlari obișnuiți.

A studia aproape orice materie la școală necesită o bună cunoaștere a matematicii, iar fără ea este imposibil să stăpânești aceste materii. Două elemente domină în matematică - numerele și cifrele cu varietatea lor infinită de proprietăți și acțiuni cu ele.

Am vrut să aflăm mai multe despre istoria operațiilor matematice. Acum că tehnologia de calcul se dezvoltă rapid, mulți nu vor să se deranjeze cu aritmetica mentală. Prin urmare, am decis să arătăm nu numai că procesul de efectuare a acțiunilor în sine poate fi interesant, ci și că, stăpânind bine tehnicile de numărare rapidă, puteți concura cu un computer.

Relevanța acestui subiect constă în faptul că utilizarea tehnicilor non-standard în formarea abilităților de calcul crește interesul elevilor pentru matematică și promovează dezvoltarea abilităților matematice.

Scopul lucrării:

ȘIînvață câteva tehnici de înmulțire non-standard și arată că utilizarea lor face ca procesul de calcul să fie rațional și interesantși pentru al cărui calcul este suficient calculul mental sau folosirea unui creion, pix și hârtie.

Ipoteză:

EDacă strămoșii noștri au știut să se înmulțească în moduri străvechi, atunci după ce au studiat literatura despre această problemă, poate un școlar modern să învețe acest lucru sau este nevoie de un fel de abilități supranaturale?

Sarcini:

1. Găsiți modalități neobișnuite de a vă înmulți.

2. Învață să le aplici.

3. Alege-le singur pe cele mai interesante sau mai usoare decat cele oferite la scoala si foloseste-le la numaratoare.

4. Învață colegii să folosească noulecalesmultiplicare.

Obiect de studiu: înmulțirea operației matematice

Subiect de studiu: metode de multiplicare

Metode de cercetare:

Metoda de căutare folosind literatura științifică și educațională, Internetul;

Metoda de cercetare în determinarea metodelor de înmulțire;

Metodă practică de rezolvare a exemplelor;

- - chestionarea respondenților cu privire la cunoștințele lor despre metodele nestandard de înmulțire.

Referință istorică

Există oameni cu abilități extraordinare care pot concura cu computerele în viteza calculelor mentale. Ele sunt numite „contoare de miracole”. Și sunt mulți astfel de oameni.

Se spune că tatăl lui Gauss, atunci când își plătea muncitorii la sfârșitul săptămânii, a adăugat plata la câștigurile zilnice pentru orele suplimentare. Într-o zi, după ce părintele Gauss și-a terminat calculele, un copil de 3 ani care urmărea operațiile tatălui său a exclamat: „Tată, calculul nu este corect! Aceasta ar trebui să fie suma!” Calculele s-au repetat și au fost surprinși să vadă că băiatul indicase suma corectă.

În Rusia, la începutul secolului al XX-lea, „magicianul calculelor” Roman Semenovich Levitan, cunoscut sub pseudonimul Arrago, a strălucit cu abilitățile sale. Abilitățile unice ale băiatului au început să apară de la o vârstă fragedă. În câteva secunde, a pătrat și a cubat numere din zece cifre și a extras rădăcini de diferite grade. Părea să facă toate acestea cu o ușurință extraordinară. Dar această ușurință a fost înșelătoare și a necesitat multă muncă a creierului.

În 2007, Mark Cherry, pe atunci în vârstă de 2,5 ani, a uimit întreaga țară cu abilitățile sale intelectuale. Tânărul participant la spectacolul „Minute of Fame” a numărat cu ușurință numere cu mai multe cifre în cap, depășindu-și părinții și juriul, care a folosit calculatoare, în calcule. Deja la vârsta de doi ani a stăpânit tabelul cosinusului și sinusurilor, precum și niște logaritmi.

Competiții între computere și oameni au avut loc la Institutul de Cibernetică al Academiei de Științe din Ucraina. La competiție au participat un tânăr contrafenomen Igor Shelushkov și ZVM „Mir”. Mașina a efectuat multe operațiuni complexe în câteva secunde, dar câștigătorul a fost Igor Shelushkov.

Universitatea din Sydney din India a găzduit și o competiție om-mașină. Shakuntala Devi a fost, de asemenea, înaintea computerului.

Majoritatea acestor oameni au memorie și talent excelente. Dar unii dintre ei nu au abilități speciale în matematică. Ei știu secretul! Și acest secret este că au învățat tehnicile de numărare rapidă și au memorat mai multe formule speciale. Aceasta înseamnă că și noi putem număra rapid și precis folosind aceste tehnici.

Operațiile de înmulțire și împărțire erau deosebit de dificile pe vremuri. Atunci nu a existat o singură metodă dezvoltată prin practică pentru fiecare acțiune.

Dimpotrivă, au existat aproape o duzină de metode diferite de înmulțire și împărțire utilizate în același timp - tehnici una mai complicată decât cealaltă, pe care o persoană cu abilități medii nu și-a putut aminti. Fiecare profesor de numărare s-a lipit de tehnica lui preferată, fiecare „maestru de divizie” (au existat astfel de specialiști) și-a lăudat propriul mod de a efectua această acțiune.

Să ne uităm la cele mai interesante și simple moduri de înmulțire.

Veche metodă rusă de înmulțire pe degete

Aceasta este una dintre cele mai frecvent utilizate metode, pe care comercianții ruși au folosit-o cu succes de multe secole.

Principiul acestei metode: înmulțirea numerelor cu o singură cifră de la 6 la 9 pe degete. Degetele au servit aici ca dispozitiv de calcul auxiliar.

Înmulțirea pentru numărul 9 este foarte ușor de reprodus „pe degete”

Rasteleacesteadegetele pe ambele mâini și întoarceți-vă mâinile cu palmele îndreptate spre tine. Atribuiți mental numere de la 1 la 10 degetelor tale, începând cu degetul mic de la mâna stângă și terminând cu degetul mic de la mâna dreaptă. Să presupunem că vrem să înmulțim 9 cu 6. Îndoim degetul cu un număr egal cu numărul cu care vom înmulți nouă. În exemplul nostru, trebuie să îndoim degetul cu numărul 6. Numărul degetelor din stânga degetului îndoit ne arată numărul de zeci din răspuns, numărul degetelor din dreapta arată numărul de unități. În stânga avem 5 degete neîndoite, în dreapta - 4 degete. Astfel, 9·6=54.

Înmulțirea cu 9 folosind celule de notebook

Să luăm, de exemplu, 10 celule într-un caiet. Trimite celula a 8-a. Au rămas 7 celule în stânga, 2 celule în dreapta. Deci 9·8=72. Totul este foarte simplu!

7 2

Metoda de înmulțire „Castelul mic”

Avantajul metodei de înmulțire „Little Castle” este că cifrele principale sunt determinate de la bun început, iar acest lucru poate fi important dacă trebuie să estimați rapid o valoare.Cifrele numărului superior, începând de la cifra cea mai semnificativă, se înmulțesc pe rând cu numărul inferior și se scriu într-o coloană cu numărul necesar de zerouri adăugate. Rezultatele sunt apoi adunate.

"Zăbrele multiplicare"

Mai întâi, se desenează un dreptunghi, împărțit în pătrate, iar dimensiunile laturilor dreptunghiului corespund numărului de zecimale ale multiplicandului și multiplicatorului.

Apoi celulele pătrate sunt împărțite în diagonală și „... obții o imagine care arată ca obloane cu zăbrele. Astfel de obloane erau atârnate pe ferestrele caselor venețiene...”

„modul țărănesc rusesc”

În Rusia, o metodă era comună în rândul țăranilor care nu necesita cunoașterea întregii table înmulțirii. Tot ce aveți nevoie este capacitatea de a înmulți și împărți numere cu 2.

Să scriem un număr în stânga și altul în dreapta pe o linie. Vom împărți numărul din stânga la 2 și vom înmulți numărul din dreapta cu 2 și vom scrie rezultatele într-o coloană.

Dacă un rest apare în timpul împărțirii, acesta este aruncat. Înmulțirea și împărțirea cu 2 continuă până când rămâne un 1 în stânga.

Apoi tăiem acele linii din coloana în care sunt numere pare din stânga. Acum adunați numerele rămase în coloana din dreapta.

Această metodă de înmulțire este mult mai simplă decât metodele de înmulțire discutate anterior. Dar este și foarte voluminos.

„Înmulțirea cu cruce”

Grecii și hindușii antici au numit tehnica înmulțirii în cruce „metoda fulgerului” sau „înmulțirea prin cruce”.

24 și 32

2 4

3 2

4x2=8 - ultima cifră a rezultatului;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16; 6 este penultima cifră a rezultatului, amintiți-vă unitatea;

2x3=6 și, de asemenea, un număr ținut în minte, avem 7 - aceasta este prima cifră a rezultatului.

Obținem toate numerele produsului: 7,6,8. Răspuns:768.

Mod indian de multiplicare

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

UÎncepem înmulțirea de la cea mai mare cifră și notăm produsele incomplete chiar deasupra multiplicandului, bit cu bit. În acest caz, cea mai semnificativă cifră a produsului complet este imediat vizibilă și, în plus, lipsa oricăror cifre este eliminată. Semnul înmulțirii nu era încă cunoscut, așa că a rămas o mică distanță între factori

Metoda chineză (desen) de înmulțire

Exemplul nr. 1: 12 × 321 = 3852
Hai sa desenamprimul număr de sus în jos, de la stânga la dreapta: un băț verde (1 ); două bețișoare de portocale (2 ). 12 a tras
Hai sa desenamal doilea număr de jos în sus, de la stânga la dreapta: trei bețișoare albastre (3 ); două roșii (2 ); unul liliac (1 ). 321 a tras

Acum să parcurgem desenul cu un creion simplu, să împărțim punctele de intersecție ale numerelor de stick în părți și să începem să numărăm punctele. Deplasarea de la dreapta la stânga (în sensul acelor de ceasornic):2 , 5 , 8 , 3 . Numărul rezultatului vom „aduna” de la stânga la dreapta (în sens invers acelor de ceasornic) am primit3852

Exemplul nr. 2: 24 × 34 = 816
Există nuanțe în acest exemplu;-) La numărarea punctelor din prima parte, sa dovedit16 . Trimitem unul și îl adăugăm la punctele din a doua parte (20 + 1 )…

Exemplul nr. 3: 215 × 741 = 159315

În timp ce lucram la proiect, am efectuat un sondaj. Elevii au răspuns la următoarele întrebări.

1. Are omul modern nevoie de aritmetică mentală??

daNu

2. Știți și alte modalități de înmulțire în afară de înmulțirea lungă?

daNu

3. Le folosesti??

daNu

4. Doriți să aflați și alte modalități de multiplicare??

Nu chiar

Am chestionat elevii din clasele 5-10.

Acest sondaj a arătat că școlarii moderni nu cunosc alte modalități de a efectua acțiuni, deoarece rareori apelează la materiale din afara curriculum-ului școlar.

Concluzie:

Există multe evenimente și descoperiri interesante în istoria matematicii, din păcate, nu toate aceste informații ajung la noi, studenții moderni;

Cu această lucrare, ne-am dorit să umplem măcar puțin acest gol și să transmitem colegilor noștri informații despre metodele străvechi de înmulțire.

În timpul robotului am aflat despre originea acțiunii de înmulțire. Pe vremuri nu era o sarcină ușoară să stăpânești această acțiune atunci, ca acum, nu exista încă o tehnică dezvoltată prin practică; Dimpotrivă, au existat aproape o duzină de metode diferite de înmulțire utilizate în același timp - metode una mai complicată decât cealaltă, ferm, pe care o persoană cu abilități medii nu și-a putut aminti. Fiecare profesor de numărare a aderat la tehnica lui preferată, fiecare „maestru” (au existat astfel de specialiști) și-a lăudat propriul mod de a efectua această acțiune. S-a recunoscut chiar că pentru a stăpâni arta înmulțirii rapide și precise a numerelor cu mai multe cifre, ai nevoie de un talent natural deosebit, de abilități excepționale; Această înțelepciune este inaccesibilă oamenilor obișnuiți.

Prin munca noastră am dovedit că ipoteza noastră este corectă, nu trebuie să ai abilități supranaturale pentru a putea folosi metode antice de multiplicare. De asemenea, am învățat cum să selectăm materialul, să-l procesăm, adică să evidențiem principalul lucru și să-l sistematizăm.

După ce am învățat să numărăm în toate modurile prezentate, am ajuns la concluzia că cele mai simple metode sunt cele pe care le studiem la școală, sau poate ne-am obișnuit doar cu ele.

Metoda modernă de înmulțire este simplă și accesibilă tuturor.

Dar credem că metoda noastră de înmulțire pe coloană nu este perfectă și putem veni cu metode și mai rapide și mai fiabile.

Este posibil ca mulți oameni să nu poată efectua rapid, din mers, aceste sau alte calcule prima dată.

Nici o problemă. Este nevoie de pregătire computațională constantă. Te va ajuta să dobândești abilități utile de aritmetică mentală!

Bibliografie

1. Glazer, G. I. Istoria matematicii la școală ⁄ G. I. Glazer ⁄⁄ Istoria matematicii la școală: un manual pentru profesori ⁄ editat de V. N. Molodshy. – M.: Educație, 1964. – P. 376.

Perelman Ya I. Aritmetică distractivă: Ghicitori și minuni în lumea numerelor. – M.: Editura Rusanova, 1994. – P. 142.

Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică / Capitolul. ed. M. D. Aksenova. – M.: Avata+, 2003. – P. 130.

Revista „Matematică” Nr 15 2011

Resurse de internet.

Câteva moduri rapide multiplicare orală Ne-am dat deja seama, acum să aruncăm o privire mai atentă la cum să înmulți rapid numerele din cap folosind diverse metode auxiliare. Poate că știți deja, iar unele dintre ele sunt destul de exotice, cum ar fi vechiul mod chinezesc de a înmulți numerele.

Așezare pe rânduri

Este cea mai simplă tehnică de înmulțire rapidă a numerelor din două cifre. Ambii factori trebuie împărțiți în zeci și unități, iar apoi toate aceste numere noi trebuie înmulțite între ele.

Această metodă necesită capacitatea de a păstra până la patru numere în memorie în același timp și de a face calcule cu aceste numere.

De exemplu, trebuie să înmulțiți numere 38 Și 56 . O facem astfel:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Va fi și mai ușor să faci înmulțirea orală a numerelor din două cifre în trei operații. Mai întâi trebuie să înmulți zecile, apoi să adaugi două produse ale unuia cu zeci și apoi să adaugi produsul unu cu unu. Arata cam asa: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Pentru a utiliza cu succes această metodă, trebuie să cunoașteți bine tabla înmulțirii, să puteți adăuga rapid numere de două și trei cifre și să comutați între operații matematice fără a uita rezultatele intermediare. Ultima abilitate este obținută prin ajutor și vizualizare.

Această metodă nu este cea mai rapidă și mai eficientă, așa că merită să explorați și alte metode de multiplicare orală.

Potrivirea numerelor

Puteți încerca să aduceți calculul aritmetic într-o formă mai convenabilă. De exemplu, produsul numerelor 35 Și 49 poate fi imaginat astfel: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Această metodă poate fi mai eficientă decât cea anterioară, dar nu este universală și nu este potrivită pentru toate cazurile. Nu este întotdeauna posibil să găsiți un algoritm potrivit pentru a simplifica problema.

Pe această temă, mi-am amintit o anecdotă despre cum un matematician a navigat de-a lungul râului pe lângă o fermă și le-a spus interlocutorilor săi că a reușit să numere rapid numărul de oi din țarcul, 1358 de oi. Când a fost întrebat cum a făcut-o, a spus că este simplu - trebuie să numărați numărul de picioare și să împărțiți la 4.

Vizualizarea înmulțirii coloanei

Aceasta este una dintre cele mai universale modalități de multiplicare orală a numerelor, de dezvoltare a imaginației și memoriei spațiale. În primul rând, ar trebui să înveți să înmulți numerele din două cifre cu numere cu o singură cifră într-o coloană din capul tău. După aceasta, puteți înmulți cu ușurință numerele din două cifre în trei pași. Mai întâi, un număr din două cifre trebuie înmulțit cu zecile altui număr, apoi înmulțit cu unitățile altui număr și apoi să însumeze numerele rezultate.

Arata cam asa: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Vizualizare cu aranjare a numerelor

O modalitate foarte interesantă de a înmulți numerele din două cifre este următoarea. Trebuie să înmulți secvențial cifrele în numere pentru a obține sute, unități și zeci.

Să presupunem că trebuie să vă înmulțiți 35 pe 49 .

Mai întâi înmulți 3 pe 4 , primesti 12 , apoi 5 Și 9 , primesti 45 . Înregistrare 12 Și 5 , cu un spațiu între ele, și 4 tine minte.

Primesti: 12 __ 5 (tine minte 4 ).

Acum inmultiti 3 pe 9 , Și 5 pe 4 , și rezumă: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Acum trebuie 47 adăuga 4 de care ne amintim. Primim 51 .

Noi scriem 1 la mijloc si 5 adaugă la 12 , primim 17 .

În total, numărul pe care îl căutam este 1715 , este raspunsul:

35 * 49 = 1715
Încercați să vă înmulțiți în cap în același mod: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Înmulțirea chineză sau japoneză

În țările asiatice, se obișnuiește să se înmulțească numerele nu într-o coloană, ci prin trasarea unor linii. Pentru culturile orientale, dorința de contemplare și vizualizare este importantă, motiv pentru care probabil au venit cu o metodă atât de frumoasă, care vă permite să înmulțiți orice numere. Această metodă este complicată doar la prima vedere. De fapt, o mai mare claritate vă permite să utilizați această metodă mult mai eficient decât înmulțirea coloanelor.

În plus, cunoașterea acestei străvechi metode orientale crește erudiția. De acord, nu toată lumea se poate lăuda că cunoaște sistemul antic de înmulțire pe care chinezii îl foloseau acum 3000 de ani.

Video despre cum chinezii înmulțesc numerele

Puteți obține informații mai detaliate în secțiunile „Toate cursurile” și „Utilități”, care pot fi accesate prin meniul de sus al site-ului. În aceste secțiuni, articolele sunt grupate pe subiecte în blocuri care conțin cele mai detaliate (pe cât posibil) informații despre diverse subiecte.

De asemenea, puteți să vă abonați la blog și să aflați despre toate articolele noi.
Nu ia mult timp. Doar faceți clic pe linkul de mai jos: