În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct din cercul unității. Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că 
deoarece este ordonata unui punct pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.
De exemplu, un unghi pe cercul unitar corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă. Dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori: 
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor: 
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime: 
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime: 
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi utilizate în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Bibliografie
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().
În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct din cercul unității. Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că deoarece este ordonata unui punct pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.
De exemplu, un unghi pe cercul unitar corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă. Dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori:
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor:
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime:
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime:
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi utilizate în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Bibliografie
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().
X y O Cerc trigonometric unitar
3 =180 3.14 rad R R О Р М R Se consideră un cerc cu raza R. Construiți MOP: МР = R 1 radian Valoarea lui МОР este egală cu 1 radian МР =1rad МОР 57 17= 1rad Radianul măsura unghiului
4 Circumferința unui cerc este exprimată prin formula C=2 R, unde R este raza cercului. 3, Un cerc a cărui rază este egală cu 1 se numește... Puncte M, P, K, N - să le numim puncte nodale. Să notăm punctele A, B, C. Este convenabil să măsurați lungimea unui cerc unitar în radiani. Dacă R=1, atunci C=2 rad! Numele radians este de obicei omis. y x K R S V A Lungimea arcului de jumătate de cerc este egală cu rad. M N rad – un sfert din circumferință rad – trei sferturi din circumferință Aproximativ 1 unitate Radian de măsură a unghiului uk-badge uk-margin-small-right"> 5 Măsura gradului Măsura radianului0 Deci, valoarea unghiului de rotație a unui punct, precum și mărimea arcului de cerc unitar, pot fi specificate: I sfert II trimestru III sfert IV sfert O în grad de măsură în radian măsură Măsura radianului unghiului 0 2 I sfert II trimestru III trimestru IV trimestru O 2
6 „Desfășurați” cercul ca un fir pe o rază de coordonate cu începutul în punctul 0. Să stabilim o corespondență între mulțimea numerelor reale de pe dreapta numerică și punctele cercului unitar. Această „destindere” poate fi continuată la nesfârșit. 3.14 0 Trasarea unui grafic x y=sin x
13 Transformarea graficelor Funcție Transformare 1 y= f (x) + mTransfer paralel de-a lungul axei OY cu m unități 2 y= f (x – n) Transfer paralel de-a lungul axei OX cu n unități 3 y=A f (x) Întindere de-a lungul axei OY față de axa OX de A ori 4 y= f (k x) Compresie de-a lungul axei OX față de axa OY de k ori 5 y= – f (x) Reflexie simetrică față de axa OX 6 y= f (– x) Reflexie simetrică față de axa OY y =f(x)
20 Să construim un grafic al funcției y= 3 sin(2x+ /3)–2 Etape de construcție: 1. y= sin x – sinusoid 3. y= sin(2x+ /3) – mutați /3 unități la stânga 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – întindere de 3 ori de-a lungul axei Oy 2. y= sin 2x – compresie de 2 ori de-a lungul axei Ox 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – transfer de 2 unități în jos
26 Transformarea graficelor Funcție Transformare 1 y=sin(kx) Compresie de-a lungul axei OX în raport cu axa OY k ori 2 y=sin(x–m) Transport paralel de-a lungul axei OX cu m unități 3 y=A sin x Întindere de-a lungul axei OY axa relativă OX în A ori 4 y=sin x+nTranslație paralelă de-a lungul axei OY cu n unități 5 y= – sin x Reflexie simetrică față de axa OX 6 y= sin (–x) Reflexie simetrică față de axa OY y = Asin(kx–n )+m
28 1. Funcția y=sin x există pentru toate valorile reale ale lui x, iar graficul său este o linie continuă (fără întreruperi), adică. functia este continua. 2.Funcția y=sin x este impară, graficul său este simetric față de origine 3.Cele mai mari și cele mai mici valori. Toate valorile posibile ale funcției sinx sunt limitate de inegalitatea -1 sinx 1 și 4. Zerourile funcției (punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa absciselor): sinx=0, dacă x=n. (n Z) Unele proprietăți ale funcției y=sinx sin x= – 1, dacă sin x=1, dacă
Funcţiey = păcatX
Graficul funcției este o sinusoidă.
Porțiunea completă care nu se repetă a unei unde sinusoidale se numește undă sinusoidală.
Jumătate de undă sinusoidală se numește jumătate de undă sinusoidală (sau arc).
Proprietățile funcțieiy =
păcatX:
3) Aceasta este o funcție ciudată. 4) Aceasta este o funcție continuă.
6) Pe segmentul [-π/2; funcția π/2] crește pe intervalul [π/2; 3π/2] – scade. 7) Pe intervale funcția ia valori pozitive. 8) Intervale ale funcției crescătoare: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: -π/2 + 2πn. |
Pentru a reprezenta grafic o funcție y= păcat X Este convenabil să utilizați următoarele scale:
Pe o foaie de hârtie cu un pătrat, luăm lungimea a două pătrate ca unitate de segment.
Pe axa X Să măsurăm lungimea π. În același timp, pentru comoditate, prezentăm 3,14 sub formă de 3 - adică fără fracție. Apoi, pe o foaie de hârtie într-o celulă π vor fi 6 celule (de trei ori 2 celule). Și fiecare celulă va primi propriul nume natural (de la prima la a șasea): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Acestea sunt semnificațiile X.
Pe axa y marchem 1, care include două celule.
Să creăm un tabel cu valorile funcției folosind valorile noastre X:
√3 | √3 |
În continuare, să creăm un program. Rezultatul este o jumătate de undă, cel mai înalt punct al căruia este (π/2; 1). Acesta este graficul funcției y= păcat X pe segment. Să adăugăm o semiundă simetrică la graficul construit (simetrică față de origine, adică pe segmentul -π). Creasta acestei semi-unde se află sub axa x cu coordonatele (-1; -1). Rezultatul va fi un val. Acesta este graficul funcției y= păcat X pe segmentul [-π; π].
Puteți continua valul construind-o pe segmentul [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] etc. Pe toate aceste segmente, graficul funcției va arăta la fel ca pe segmentul [-π; π]. Veți obține o linie ondulată continuă cu valuri identice.
Funcţiey = cosX.
Graficul unei funcții este o undă sinusoidală (uneori numită undă cosinus).
Proprietățile funcțieiy = cosX:
1) Domeniul de definire al unei funcții este mulțimea numerelor reale. 2) Gama de valori ale funcției este segmentul [–1; 1] 3) Aceasta este o funcție uniformă. 4) Aceasta este o funcție continuă. 5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului: 6) Pe segment funcția scade, pe segmentul [π; 2π] – crește. 7) Pe intervale [-π/2 + 2πn; Funcția π/2 + 2πn] ia valori pozitive. 8) Intervale crescătoare: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: π + 2πn. 10) Funcția este limitată de sus și de jos. Cea mai mică valoare a funcției este –1, 11) Aceasta este o funcție periodică cu o perioadă de 2π (T = 2π) |
Funcţiey = mf(X).
Să luăm funcția anterioară y=cos X. După cum știți deja, graficul său este o undă sinusoidală. Dacă înmulțim cosinusul acestei funcții cu un anumit număr m, atunci unda se va extinde de pe axă X(sau se va micșora, în funcție de valoarea lui m).
Acest nou val va fi graficul funcției y = mf(x), unde m este orice număr real.
Astfel, funcția y = mf(x) este funcția familiară y = f(x) înmulțită cu m.
Dacăm< 1, то синусоида сжимается к оси X prin coeficientm. Dacăm > 1, atunci sinusoida este întinsă de la axăX prin coeficientm.
Când efectuați întindere sau compresie, puteți mai întâi să reprezentați o singură jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi să completați întregul grafic.
Funcţiey= f(kx).
Dacă funcţia y=mf(X) duce la întinderea sinusoidei din axă X sau compresie spre ax X, atunci funcția y = f(kx) duce la întinderea de pe axă y sau compresie spre ax y.
Mai mult, k este orice număr real.
La 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y prin coeficientk. Dacăk > 1, atunci sinusoida este comprimată spre axăy prin coeficientk.
Când întocmiți un grafic al acestei funcții, puteți construi mai întâi o jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi o puteți utiliza pentru a completa întregul grafic.
Funcţiey = tgX.
Graficul funcției y= tg X este o tangentă.
Este suficient să construiți o parte a graficului în intervalul de la 0 la π/2 și apoi o puteți continua simetric în intervalul de la 0 la 3π/2.
Proprietățile funcțieiy = tgX:
Funcţiey = ctgX
Graficul funcției y=ctg X este, de asemenea, tangentoid (uneori este numit cotangentoid).
Proprietățile funcțieiy = ctgX:
>>Matematică: Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
În această secțiune vom discuta câteva proprietăți ale funcțiilor y = sin x, y = cos x și vom construi graficele acestora.
1. Funcția y = sin X.
Mai sus, în § 20, am formulat o regulă care permite fiecărui număr t să fie asociat cu un număr cos t, adică. a caracterizat funcţia y = sin t. Să notăm câteva dintre proprietățile sale.
Proprietățile funcției u = sin t.
Domeniul de definiție este mulțimea K de numere reale.
Aceasta rezultă din faptul că oricărui număr 2 corespunde unui punct M(1) de pe cercul numeric, care are o ordonată bine definită; această ordonată este cos t.
u = sin t este o funcție impară.
Aceasta rezultă din faptul că, după cum sa dovedit în § 19, pentru orice t egalitatea
Aceasta înseamnă că graficul funcției u = sin t, ca și graficul oricărei funcții impare, este simetric față de originea în sistemul de coordonate dreptunghiular tOi.
Funcția u = sin t crește pe interval 
Aceasta rezultă din faptul că atunci când un punct se mișcă de-a lungul primului sfert al cercului numeric, ordonata crește treptat (de la 0 la 1 - vezi Fig. 115), iar când punctul se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert al cercului numeric, ordonata scade treptat (de la 1 la 0 - vezi Fig. 116).
Funcția u = sint este mărginită atât dedesubt, cât și de sus. Aceasta rezultă din faptul că, după cum am văzut în § 19, pentru orice t inegalitatea este valabilă.
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului 
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului
Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției care ne interesează. Dar (atentie!) in loc de u - sin t vom scrie y = sin x (la urma urmei, suntem mai obisnuiti sa scriem y = f(x), si nu u = f(t)). Aceasta înseamnă că vom construi un grafic în sistemul obișnuit de coordonate xOy (și nu tOy).
Să facem un tabel cu valorile funcției y - sin x:
Cometariu.
Să dăm una dintre versiunile originii termenului „sinus”. În latină, sinus înseamnă îndoire (coarda arcului).
Graficul construit justifică într-o oarecare măsură această terminologie. 
Linia care servește ca grafic al funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Acea parte a sinusoidei care este prezentată în fig. 118 sau 119 se numește undă sinusoidală, iar acea parte a undei sinusoidale care este prezentată în fig. 117, se numește semiundă sau arc de undă sinusoidală.
2. Funcția y = cos x.
Studiul funcției y = cos x ar putea fi efectuat aproximativ după aceeași schemă folosită mai sus pentru funcția y = sin x. Dar vom alege mai repede calea care duce la obiectiv. În primul rând, vom demonstra două formule care sunt importante în sine (veți vedea asta la liceu), dar deocamdată au doar o semnificație auxiliară pentru scopurile noastre.
Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:
Dovada. Fie numărul t să corespundă punctului M al cercului numeric n, iar numărul * + - punctul P (Fig. 124; de dragul simplității, am luat punctul M în primul trimestru). Arcele AM și BP sunt egale, iar triunghiurile dreptunghiulare OKM și OLBP sunt egale în mod corespunzător. Aceasta înseamnă O K = Ob, MK = Pb. Din aceste egalități și din locația triunghiurilor OCM și OBP în sistemul de coordonate, tragem două concluzii:
1) ordonata punctului P atât ca mărime, cât și ca semn coincide cu abscisa punctului M; înseamnă că
2) abscisa punctului P este egală în valoare absolută cu ordonata punctului M, dar diferă ca semn de aceasta; înseamnă că
Aproximativ același raționament se efectuează în cazurile în care punctul M nu aparține primului trimestru.
Să folosim formula 
(aceasta este formula dovedită mai sus, dar în locul variabilei t folosim variabila x). Ce ne oferă această formulă? Ne permite să afirmăm că funcțiile
sunt identice, ceea ce înseamnă că graficele lor coincid.
Să diagramăm funcția 
Pentru a face acest lucru, să trecem la un sistem de coordonate auxiliar cu originea într-un punct (linia punctată este trasată în Fig. 125). Să legăm funcția y = sin x la noul sistem de coordonate - acesta va fi graficul funcției 
(Fig. 125), i.e. graficul funcției y - cos x. Ea, ca și graficul funcției y = sin x, se numește undă sinusoidală (ceea ce este destul de natural).
Proprietățile funcției y = cos x.
y = cos x este o funcție pară.
Etapele construcției sunt prezentate în Fig. 126:
1) construiți un grafic al funcției y = cos x (mai precis, o jumătate de undă);
2) prin întinderea graficului construit de pe axa x cu un factor de 0,5, obținem o jumătate de undă din graficul necesar;
3) folosind semiunda rezultată, construim întregul grafic al funcției y = 0,5 cos x.