Rânduri de matrice A formă spațiu de linii R(A T).

Coloane de matrice A formă spațiu coloană matrici și sunt notate cu R(A).

Kernel sau matrice de spațiu zero

Mulțimea tuturor soluțiilor ecuației ax=0, Unde A.m X n-matrice, X- vector lungime n- forme spațiu zero sau nucleu matrici Ași este notat cu Ker(A) sau N / A).

Matrice opusă

Pentru orice matrice A există o matrice opusă -A astfel încât A+(-A)=0. Evident, ca matrice -A ia matricea (-1)A, ale căror elemente sunt diferite de elemente A semn.

Matrice desimetrică (symetrică).

O matrice pătrată se numește simetrică oblică dacă diferă de matricea sa transpusă cu un factor -1:

Într-o matrice simetrică oblică, oricare două elemente situate simetric față de diagonala principală diferă între ele printr-un factor de -1, iar elementele diagonale sunt egale cu zero.

Un exemplu de matrice oblică:

Diferența de matrice

diferență C două matrice Ași B aceeași dimensiune este determinată de egalitate

Pentru a indica diferența dintre două matrici, se folosește notația:

Gradul de matrice

Fie matricea pătrată a mărimii n×n. Apoi, gradul matricei este definit după cum urmează:

unde E este matricea de identitate.

Din proprietatea asociativă a înmulțirii rezultă:

Unde p,q- numere întregi arbitrare nenegative.

Matrice simetrică (simetrică).

Matrice care satisface condiția A=A T se numește matrice simetrică.

Pentru matricele simetrice, egalitatea are loc:

a ij = a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Definiția 1. Dimensiunea matricei Am n este un tabel dreptunghiular de m rânduri și n coloane, format din numere sau alte expresii matematice (numite elemente de matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, sau

Definiția 2. Două matrice
și
se numesc aceeași dimensiune egal, dacă se potrivesc element cu element, i.e. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Cu ajutorul matricelor, este ușor să notăm unele dependențe economice, de exemplu, tabele de distribuție a resurselor pentru anumite sectoare ale economiei.

Definiția 3. Dacă numărul de rânduri ale matricei se potrivește cu numărul coloanelor sale, i.e. m = n, atunci se numește matricea ordine pătratăn, in caz contrar dreptunghiular.

Definiția 4. Trecerea de la o matrice A la o matrice A m, în care rândurile și coloanele sunt schimbate cu păstrarea ordinii, se numește transpunere matrici.

Tipuri de matrice: pătrat (dimensiunea 33) -
,

dreptunghiular (dimensiune 25) -
,

diagonala -
, singur -
, zero -
,

matrice-rând -
, matrice-coloană -.

Definiția 5. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale, adică. acestea sunt elementele:
.

Definiția 6. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n se numesc elemente diagonale secundare dacă suma indicilor lor este egală cu n + 1, adică. acestea sunt elementele: .

1.2. Operații pe matrice.

1 0 . sumă două matrice
și
de aceeași dimensiune se numește matrice С = (с ij), ale cărei elemente sunt determinate prin egalitate cu ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Proprietăți ale operației de adunare a matricei.

Pentru orice matrice A, B, C de aceeași dimensiune, sunt valabile următoarele egalități:

1) A + B = B + A (comutativitate),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociativitate).

2 0 . muncă matrici
pe număr  numită matrice
aceeași dimensiune ca matricea A și b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

(А) = ()А (asociativitatea înmulțirii);

(А+В) = А+В (distributivitatea înmulțirii față de adunarea matricei);

(+)A = A+A (distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea numerelor).

Definiția 7. Combinație liniară de matrici
și
de aceeași mărime se numește expresie de forma A + B, unde  și  sunt numere arbitrare.

3 0 . Produsul A  În matrice A și, respectiv, B de dimensiuni mn și nk, se numește matrice C de dimensiune mk, astfel încât elementul cu ij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i. a matricei A și a j-a coloană a matricei B, adică. cu ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produsul AB există numai dacă numărul de coloane ale matricei A este același cu numărul de rânduri ale matricei B.

Proprietăți ale operației de înmulțire a matricei:

(АВ)С = А(ВС) (asociativitate);

(А+В)С = АС+ВС (distributivitatea în raport cu adunarea matricei);

А(В+С) = АВ+АС (distributivitatea în raport cu adunarea matricei);

АВ  ВА (nu comutativitate).

Definiția 8. Matricele A și B, pentru care AB = BA, se numesc comutație sau permutare.

Înmulțirea unei matrice pătrate de orice ordin cu matricea de identitate corespunzătoare nu schimbă matricea.

Definiția 9. Transformări elementare matricele se numesc urmatoarele operatii:

Schimbați două rânduri (coloane).

Înmulțiți fiecare element al unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero.

Adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare ale altui rând (coloană).

Definiția 10. Se numește matricea B obținută din matricea A cu ajutorul transformărilor elementare echivalent(notat BA).

Exemplul 1.1. Găsiți o combinație liniară de matrice 2A–3B dacă

,
.

,
,

.

Exemplu 1.2. Găsiți produsul matricelor
, dacă

.

Soluție: deoarece numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua matrice, atunci produsul matricei există. Ca rezultat, obținem o nouă matrice
, Unde

Drept urmare, obținem
.

Curs 2. Determinanti. Calculul determinanților de ordinul doi, al treilea. Proprietăți de calificaren-a ordine.

Definiție. Matricea dimensiunilor este un tabel de numere, format din linii şi coloane. Numerele care alcătuiesc o matrice se numesc elemente de matrice.

Matricele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (de exemplu A, B, C), iar elementele matricei sunt cu litere mici cu indexare dublă: , Unde - numărul liniei - numărul coloanei.

De exemplu, matrice
,

sau în formă prescurtată
, Unde
;
.

Tipuri de matrice.

Se numește o matrice cu un singur rând matrice (vector)–rândși dintr-o coloană - matrice (vector)-coloană:
– matrice-rând;

-coloană-matrice.

Matricea se numește pătrat - ordonați dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane și este egal cu . De exemplu,
este o matrice pătrată de ordinul trei.

Elemente de matrice , al cărui număr de rând este egal cu numărul coloanei
, sunt numite diagonalăși formă diagonala principală matrici.

Dacă toate intrările în afara diagonalei unei matrice pătrate sunt zero, atunci matricea este numită diagonală. De exemplu,

este o matrice diagonală de ordinul trei.

Dacă matricea diagonală de ordinul al treilea, toate elementele diagonale sunt egale cu unul, apoi se numește matricea singur matrice a-lea și este notat cu litera . De exemplu,
este matricea identitară de ordinul trei.

Operații pe matrice.

De exemplu, dacă
, apoi
.

De exemplu:
,
,
.

Exemplu. Calculați produsul matricelor
, Unde

;
.

Găsiți dimensiunea matricei produsului (dacă înmulțirea matricei este posibilă):
. Calculați elementele matricei . Element obtinut prin inmultire al-lea rând al matricei pe -a coloană a matricei .

Primim
.

,
.

Din definiție rezultă că dacă matricea are dimensiune
, apoi matricea transpusă are dimensiunea
.

De exemplu:
;
.

Determinanții matricilor pătrate

Determinantul este un număr care caracterizează o matrice pătrată.

Determinant de matrice notat sau .

Determinant al unei matrice de ordinul întâi
, sau determinant de ordinul întâi, se numește elementul
:

. De exemplu, lasa
, apoi
.

Determinant matricei de ordinul doi
, sau determinant de ordinul doi, este un număr care se calculează prin formula:

.

Opere de arta
și
numit membri determinanți a doua comanda. De exemplu, lasa
, apoi
.

Să fie dată o matrice pătrată de ordinul al treilea:

.

Determinantul unei matrice de ordinul trei, sau determinant de ordinul trei se numește un număr, care se calculează cu formula:

Acest număr este o sumă algebrică formată din 6 termeni sau 6 termeni ai determinantului. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană a matricei. Semnele cu care termenii determinantului sunt incluși în formulă sunt ușor de reținut folosind schema (Fig. 1.), care se numește regula triunghiului sau domnia Sarrus.

Pentru a calcula determinanții de ordine superioară, avem nevoie de câteva concepte suplimentare.

Să fie dată o matrice pătrată n-a ordine.

Minor
element matrici n Ordinul este determinantul matricei ( n– 1) ordinul obținut din matrice lovire -a linia și -a coloană.

De exemplu, elementul este minor
matrici a treia ordine va fi:

Adunare algebrică element matrici n Ordinul este minor, luat cu semnul
:
, adică complementul algebric este același cu cel minor atunci când suma numerelor rândurilor și coloanelor ( i+ j) este un număr par și diferă de semnul minor atunci când ( i+ j) - numar impar. De exemplu, ;
.

Pentru a calcula determinanții matricilor pătrate de peste ordinul al treilea, se folosește teorema lui Laplace.

teorema lui Laplace.Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și a complementelor lor algebrice:

(descompunerea pe elemente i- a linia;
);

(descompunerea pe elemente j- a coloana;
);

După proprietățile determinanților, determinantul matricei nu se va modifica dacă elementele oricărui rând (coloană) a matricei sunt adăugate elementelor altui rând (coloană), înmulțite anterior cu același număr. Această proprietate a determinanților și teorema lui Laplace fac posibilă simplificarea semnificativă a calculului determinanților de ordin superior. Când calculați determinanții, trebuie să transformați matricea originală, astfel încât matricea transformată să aibă un rând (sau coloană) care să conțină cât mai multe zerouri posibil, apoi găsiți determinantul extinzând acest rând (coloană).

Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea:

.

Să transformăm matricea astfel încât în ​​al 3-lea rând toate elementele, cu excepția unuia, să se transforme la 0. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele coloanei a 3-a cu (-4) și, respectiv, cu 2 și adăugați-le, respectiv, la elementele din coloana 1 și 2 . Extinderea determinantului rezultat peste elementele celui de-al treilea rând, găsim

.

Determinantul de ordinul trei rezultat poate fi calculat folosind regula triunghiurilor sau folosind teorema lui Laplace, cu toate acestea, puteți continua să simplificați matricea. „Resetați” în matricea de ordinul al treilea elementele din al 2-lea rând (cu excepția unuia). Pentru a face acest lucru, elementele coloanei a treia a matricei, înmulțite anterior cu (-13) și cu 4, se adaugă elementelor coloanei 1 și respectiv 2:

.

Extindem elementele din al doilea rând și eliminăm factorii comuni, obținem.

Anul I, superioare matematică, studiu matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm principalele operații care pot fi efectuate cu matrice. Cum să începeți cu matrice? Desigur, din cele mai simple - definiții, concepte de bază și cele mai simple operații. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!

Definiția matricei

Matrice este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, dacă în termeni simpli - un tabel de numere.

Matricele sunt de obicei notate cu litere mari latine. De exemplu, matrice A , matrice B si asa mai departe. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate, există și matrici de rând și matrici de coloane numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m este numărul de linii și n este numărul de coloane.

Elemente pentru care i=j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.

Ce se poate face cu matrice? Adăugați/Scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ei, transpune. Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.

Operații de adunare și scădere pe matrice

Vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul este o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este ușoară − adăugați doar elementele corespunzătoare . Să luăm un exemplu. Să efectuăm adăugarea a două matrice A și B de mărime două câte două.

Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.

Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți cu acest număr fiecare dintre elementele sale. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:

Operația de înmulțire a matricei

Nu toate matricele pot fi multiplicate între ele. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Mai mult, fiecare element al matricei rezultate din rândul i și coloana j va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a celui de-al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:

Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matricele:

Operația de transpunere a matricei

Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, transpunem matricea A din primul exemplu:

Determinant de matrice

Determinantul, oh determinantul, este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva, oamenii au venit cu ecuații liniare, iar după ele au fost nevoiți să inventeze un determinant. Până la urmă, depinde de tine să te ocupi de toate acestea, deci ultima împingere!

Determinantul este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.

Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai dificil, dar se poate face.

Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu o față paralelă cu diagonala principală, din care rezultă produsul elementelor. a diagonalei secundare și produsul elementelor situate pe triunghiuri cu fața paralelă cu diagonala secundară se scad.

Din fericire, rareori este necesar să se calculeze determinanții matricilor mari în practică.

Aici am luat în considerare operațiile de bază pe matrice. Bineînțeles, în viața reală, nici măcar nu poți da peste un indiciu al unui sistem matriceal de ecuații, sau invers, s-ar putea să întâlnești cazuri mult mai complexe când chiar trebuie să-ți faci creierul. Pentru astfel de cazuri există un serviciu profesional pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succes academic și de timp liber.

O matrice dreptunghiulară de dimensiunea mxn este o colecție de numere mxn aranjate într-un tabel dreptunghiular care conține m rânduri și n coloane. O vom scrie în formular

sau prescurtat ca A = (a i j) (i = ; j = ), numerele a i j , se numesc elementele sale; primul index indică numărul rândului, al doilea index către numărul coloanei. A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune se numesc egale dacă elementele lor din aceleași locuri sunt egale pe perechi, adică A = B dacă a i j = b i j .

O matrice formată dintr-un rând sau o coloană se numește vector -rând sau, respectiv, coloană. Vectorii coloană și vectorii rând sunt numiți pur și simplu vectori.

O matrice formată dintr-un număr este identificată cu acest număr. A de dimensiunea mxn, ale cărui elemente sunt egale cu zero, se numește zero și se notează cu 0. Elementele cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale. Dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane, adică m = n, atunci se spune că matricea este pătrată de ordinul n. Matricele pătrate în care doar elementele diagonalei principale sunt nenule se numesc matrici diagonale și se scriu după cum urmează:

.

Dacă toate elementele a i i ale diagonalei sunt egale cu 1, atunci se numește unitate și se notează cu litera E:

.

O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele de deasupra (sau dedesubt) diagonalei principale sunt egale cu zero. O transpunere este o transformare în care rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrându-și numărul. Transpunerea este indicată de un T în partea de sus.

Dacă în (4.1) rearanjam rândurile cu coloane, atunci obținem

,

care va fi transpus în raport cu A. În special, transpunerea unui vector coloană are ca rezultat un vector rând și invers.

Produsul lui A cu numărul b este o matrice ale cărei elemente se obțin din elementele corespunzătoare lui A prin înmulțirea cu numărul b: b A = (b a i j).

Suma lui A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune este C = (c i j) de aceeași dimensiune, ale căror elemente sunt determinate de formula c i j = a i j + b i j .

Produsul AB este definit din ipoteza că numărul de coloane din A este egal cu numărul de rânduri din B.

Produsul lui AB, unde A = (a i j) și B = (b j k), unde i = , j= , k= , dat într-o anumită ordine AB, este C = (c i k), ale cărui elemente sunt determinate de urmatoarea regula:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4,2)

Cu alte cuvinte, elementul produsului AB este definit astfel: elementul al-lea rând și k-a coloană C este egal cu suma produselor elementelor din i-lea rând A prin elementele corespunzătoare ale coloanei k-a B.

Exemplul 2.1. Aflați produsul lui AB și .

Soluţie. Avem: A de dimensiunea 2x3, B de dimensiunea 3x3, atunci produsul AB = C există și elementele lui C sunt egale

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, iar produsul BA nu există.

Exemplul 2.2. Tabelul arată numărul de unități de produse expediate zilnic din fabricile de lapte 1 și 2 către magazinele M 1, M 2 și M 3, iar livrarea unei unități de producție din fiecare fabrică de lapte la magazinul M 1 costă 50 de den. unități, în magazinul M 2 - 70 și în M ​​3 - 130 den. unitati Calculați costurile zilnice de transport ale fiecărei fabrici.

Soluţie. Notăm cu A matricea dată nouă în condiție și prin
B - o matrice care caracterizează costul livrării unei unități de producție către magazine, adică

,

Apoi matricea costurilor de transport va arăta astfel:

Deci, prima fabrică cheltuiește 4750 de den zilnic pentru transport. unitati, al doilea - 3680 den.un.

Exemplul 2.3. Întreprinderea de cusut produce paltoane de iarnă, paltoane demi-sezon și haine de ploaie. Ieșirea planificată pentru un deceniu este caracterizată de vectorul X = (10, 15, 23). Se folosesc patru tipuri de țesături: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabelul prezintă ratele de consum de țesături (în metri) pentru fiecare produs. Vectorul C = (40, 35, 24, 16) specifică costul unui metru de țesătură de fiecare tip, iar vectorul P = (5, 3, 2, 2) - costul transportului unui metru de țesătură din fiecare tip.