Limitați analiza matematică. Calculați limitele funcției online

Rezolvarea problemelor la găsirea limitelor Când rezolvați probleme la găsirea limitelor, ar trebui să vă amintiți unele limite pentru a nu le recalcula de fiecare dată. Combinând aceste limite cunoscute, vom găsi noi limite folosind proprietățile indicate în § 4. Pentru comoditate, vă prezentăm limitele cel mai frecvent întâlnite: Limitele 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), dacă f (x) este continuă x a Dacă se știe că funcția este continuă, atunci în loc să aflăm limita, calculăm valoarea funcției. Exemplul 1. Găsiți lim (x*-6l:+ 8). Deoarece funcția de termeni X->2 multi-termeni este continuă, atunci lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemplul 2. Găsiți lim -G. . În primul rând, găsim limita numitorului: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nu este egal cu X-Y1 zero, ceea ce înseamnă că putem aplica proprietatea 4 § 4, apoi x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Limita de numitorul X X este egal cu zero, prin urmare, nu se poate aplica proprietatea 4 din § 4. Deoarece numărătorul este un număr constant, iar numitorul [x2x) -> -0 pentru x - - 1, atunci întreaga fracție crește nelimitat în valoare absolută, adică lim " 1 X - * - - 1 x* + x Exemplul 4. Aflați lim\-ll*"!"" "Limita numitorului este zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, deci proprietatea X 4 § 4 nu se aplică. Dar și limita numărătorului este egală cu zero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Deci, limitele numărătorului și numitorului sunt simultan egale cu zero. Cu toate acestea, numărul 2 este rădăcina atât a numărătorului, cât și a numitorului, astfel încât fracția poate fi redusă cu diferența x-2 (conform teoremei lui Bezout). De fapt, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" prin urmare, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Exemplul 5. Aflați lim xn (n întreg, pozitiv). X cu Avem xn = X* X . . X, n ori Deoarece fiecare factor crește fără limită, produsul crește și fără limită, adică lim xn = oo. x oo Exemplul 6. Găsiți lim xn(n întreg, pozitiv). X -> - CO Avem xn = x x... x. Deoarece fiecare factor crește în valoare absolută, rămânând negativ, atunci, în cazul unui grad par, produsul va crește nelimitat, rămânând pozitiv, adică lim *n = + oo (pentru n par). *-* -о În cazul unui grad impar, valoarea absolută a produsului crește, dar rămâne negativă, adică lim xn = - oo (pentru n impar). p -- 00 Exemplul 7. Găsiți lim . x x-*- co * Dacă m>pu atunci putem scrie: m = n + kt unde k>0. Prin urmare xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Am ajuns la exemplul 6. Dacă ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Aici numărătorul rămâne constant, iar numitorul crește în valoare absolută, deci lim -ь = 0. X - *oo X* Se recomandă să reținem rezultatul acestui exemplu în următoarea formă: funcția de putere crește cu cât mai rapid, cu atât exponentul este mai mare. $хв_Зхг + 7 Exemplul 8. Aflați lim g L -г-=. În acest exemplu x-*® «J* "Г bХ -ох-о și numărătorul și numitorul cresc fără limită. Să împărțim atât numărătorul, cât și numărul numitor cu cea mai mare putere a lui x, adică pe xb, apoi 3 7_ Exemplul 9. Aflați lire... Efectuând transformări, obținem lire... ^ = lim X CO + 3 7 3 Deoarece lim -5 = 0, lim - , = 0 , atunci limita numitorului rad-*® X X-+-CD X este zero, în timp ce limita numărătorului este 1. În consecință, întreaga fracție crește fără limită, adică t. 7x hm X-+ yu Exemplu 10. Aflați lim Să calculăm limita S a numitorului, amintindu-ne că funcția cos* este continuă: lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Atunci x->- S lim (l-fsin*) Exemplul 15. Găsiți lim *<*-e>2 si lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO presa (l: - a)2 = z; întrucât (Λ;-a)2 crește întotdeauna nenegativ și fără limită cu x, atunci pentru x - ±oo noua variabilă z-*oc. Prin urmare, obținem qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (vezi nota la §5). g -*■ co În mod similar lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, deoarece x ± oo g m - (x- a)z scade fără limită ca x ->±oo (vezi nota la §

Continuăm să analizăm răspunsuri gata făcute la teoria limitelor și astăzi ne vom concentra doar pe cazul în care o variabilă dintr-o funcție sau un număr dintr-o succesiune tinde spre infinit. Instrucțiunile pentru calcularea limitei pentru o variabilă care tinde spre infinit au fost date mai devreme; aici ne vom opri doar asupra cazurilor individuale care nu sunt evidente și simple pentru toată lumea.

Exemplul 35. Avem o succesiune sub forma unei fracții, unde numărătorul și numitorul conțin funcții rădăcină.
Trebuie să găsim limita atunci când numărul tinde spre infinit.
Aici nu este nevoie să dezvăluiți iraționalitatea în numărător, ci doar analizați cu atenție rădăcinile și găsiți unde este conținută o putere mai mare a numărului.
În primul, rădăcinile numărătorului sunt multiplicatorul n^4, adică n^2 poate fi scos din paranteze.
Să facem același lucru cu numitorul.
În continuare, evaluăm semnificația expresiilor radicale atunci când trecem la limită.

Am primit împărțiri cu zero, ceea ce este incorect în cursul școlar, dar în trecerea la limită este acceptabil.
Doar cu un amendament „pentru a estima încotro se îndreaptă funcția”.
Prin urmare, nu toți profesorii pot interpreta notația de mai sus ca fiind corectă, deși înțeleg că rezultatul rezultat nu se va schimba.
Să ne uităm la răspunsul compilat în funcție de cerințele profesorilor conform teoriei.
Pentru a simplifica, vom evalua numai suplimentele principale de sub rădăcină

Mai mult, la numărător puterea este egală cu 2, la numitorul 2/3, prin urmare numărătorul crește mai repede, ceea ce înseamnă că limita tinde spre infinit.
Semnul său depinde de factorii lui n^2, n^(2/3) , deci este pozitiv.

Exemplul 36. Luați în considerare un exemplu de limită a împărțirii funcțiilor exponențiale. Există puține exemple practice de acest fel, așa că nu toți studenții văd cu ușurință cum să dezvăluie incertitudinile care apar.
Factorul maxim pentru numărător și numitor este 8^n și simplificăm prin el

În continuare, evaluăm contribuția fiecărui termen
Termenii 3/8 tind spre zero pe măsură ce variabila merge la infinit, deoarece 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Exemplul 37. Limita unei secvențe cu factoriali este dezvăluită notând factorialul la cel mai mare factor comun pentru numărător și numitor.
În continuare, o reducem și evaluăm limita pe baza valorii indicatorilor numărului din numărător și numitor.
În exemplul nostru, numitorul crește mai repede, deci limita este zero.

Următoarele sunt folosite aici

proprietate factorială.

Exemplul 38. Fără a aplica regulile lui L'Hopital, comparăm indicatorii maximi ai variabilei în numărătorul și numitorul fracției.
Deoarece numitorul conține cel mai mare exponent al variabilei 4>2, acesta crește mai repede.
De aici concluzionăm că limita funcției tinde spre zero.

Exemplul 39. Dezvăluim particularitatea formei infinit împărțit la infinit eliminând x^4 de la numărătorul și numitorul fracției.
Ca urmare a trecerii la limită, obținem infinitul.

Exemplul 40. Avem o împărțire de polinoame, trebuie să determinăm limita deoarece variabila tinde spre infinit.
Cel mai înalt grad al variabilei în numărător și numitor este egal cu 3, ceea ce înseamnă că granița există și este egală cu cea actuală.
Să scoatem x^3 și să efectuăm trecerea la limită

Exemplul 41. Avem o singularitate de tip unu la puterea infinitului.
Aceasta înseamnă că expresia dintre paranteze și indicatorul în sine trebuie aduse sub a doua limită importantă.
Să notăm numărătorul pentru a evidenția expresia din el care este identică cu numitorul.
În continuare, trecem la o expresie care conține unu plus un termen.
Gradul trebuie distins prin factorul 1/(termen).
Astfel obținem exponentul la puterea limitei funcției fracționale.

Pentru a evalua singularitatea, am folosit a doua limită:

Exemplul 42. Avem o singularitate de tip unu la puterea infinitului.
Pentru a o dezvălui, ar trebui să reduceți funcția la a doua limită remarcabilă.
Cum se face acest lucru este prezentat în detaliu în următoarea formulă

Puteți găsi o mulțime de probleme similare. Esența lor este de a obține gradul necesar în exponent și este egal cu valoarea inversă a termenului din paranteze la unu.
Folosind această metodă obținem exponentul. Calculul suplimentar se reduce la calcularea limitei gradului de exponent.
Aici funcția exponențială tinde spre infinit, deoarece valoarea este mai mare decât unu e=2,72>1.

Exemplul 43 În numitorul fracției avem o incertitudine de tipul infinit minus infinit, care este de fapt egală cu împărțirea la zero.
Pentru a scăpa de rădăcină, înmulțim cu expresia conjugată și apoi folosim formula pentru diferența de pătrate pentru a rescrie numitorul.
Obținem incertitudinea infinitului împărțită la infinit, așa că scoatem variabila în cea mai mare măsură și o reducem cu ea.
În continuare, evaluăm contribuția fiecărui termen și găsim limita funcției la infinit

Număr constant A numit limită secvente(x n ), dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N care are toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Notează-l după cum urmează: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a+ ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea unui punct A.

Se numește o secvență care are o limită convergent, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a funcției este o generalizare a conceptului de limită a secvenței, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f(n) a unui argument întreg n.

Fie dată funcția f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) altele decât A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentelor care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul succesiv”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă, prin specificarea unui număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care este pentru toată lumea X, întins înăuntruε-vecinătăți ale numărului A, adică Pentru X, satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinatatea numarului A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită, egal cu A, aceasta se scrie sub forma

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) fără limită pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l sub forma:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, se folosesc următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinit de mici sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest tip se numește „descoperirea incertitudinilor”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. se poate ajunge la limita pe baza puterii cu un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 - baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Consecințele formulei (6.11) sunt, de asemenea, utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita,

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita dreaptaȘi limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca să existe o limită a funcției f(x) ca x→a este necesar şi suficient pentru ca . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = x o funcţie f(x) Are decalaj Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în orice vecinătate a acesteia, i.e. în orice interval deschis care conține punctul 0, există puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci în punctul x o = 0 funcția are o discontinuitate.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta la punct x o dacă limita

Și continuu pe stanga la punct x o, dacă limita

Continuitatea unei funcții într-un punct xo este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât la dreapta cât și la stânga.

Pentru ca funcția să fie continuă într-un punct xo, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită, iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct x o are ruptura de primul fel, sau salt.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci ei spun că în punct xo funcţia are o discontinuitate al doilea fel.

De exemplu, funcția y = cot x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în puncte cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuu V . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea zăcămintelor conform legii interesului compus, creșterea populației țării, degradarea substanțelor radioactive, proliferarea bacteriilor etc.

Sa luam in considerare exemplu de Ya. I. Perelman, oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat. Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește la 100× 1,5 = 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma in 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unităţi). Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adăugare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim asta, orice ar fiε > 0, indiferent ce luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru toți n N inegalitatea este valabilă|x n -1|< ε.

Să luăm orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca o parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Soluţie.Să aplicăm limita teoremei sumei și să găsim limita fiecărui termen. Când n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea pe n. Apoi, aplicând limita coeficientului și limita teoremei sumei, găsim:

Exemplul 3.3. . Găsi .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . Găsi ( ).

Soluţie.Este imposibil de aplicat teorema limitei diferenței, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula generală a termenului:

Exemplul 3.5 . Este dată funcția f(x)=2 1/x. Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții printr-o secvență. Să luăm o secvență ( x n ) convergentă la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toate n iar limita Dacă
x n =2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si deci limita. Deci nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În fereastra de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să găsiți. În fereastra de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcțiilor: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în schimb infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? Este posibil să nu înțelegeți ce sunt determinanții și să-i rezolvați cu succes; este posibil să nu înțelegeți deloc ce este o derivată și să le găsiți cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar ne vom uita la semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă, ci și o funcție elementară sau o funcție complexă poate acționa ca parametru. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu; aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi fi hotărât între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve un exemplu simplu („poate că el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. La lectie Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Puteți raționa astfel: în acest exemplu parametrul este , ceea ce înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Atunci când se calculează limitele, ar trebui să se țină cont următoarele reguli de bază:

1. Limita sumei (diferenței) funcțiilor este egală cu suma (diferenței) limitelor termenilor:

2. Limita unui produs de funcții este egală cu produsul limitelor factorilor:

3. Limita raportului dintre două funcții este egală cu raportul limitelor acestor funcții:

4. Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

5. Limita unei constante este egală cu constanta însăși:

6. Pentru funcțiile continue, simbolurile de limită și de funcție pot fi schimbate:

Găsirea limitei unei funcții ar trebui să înceapă prin înlocuirea valorii în expresia funcției. Mai mult, dacă se obține valoarea numerică 0 sau ¥, atunci s-a găsit limita dorită.

Exemplul 2.1. Calculați limita.

Soluţie.

Sunt numite expresii de forma , , , , incertitudini.

Dacă obțineți o incertitudine a formei , atunci pentru a găsi limita trebuie să transformați funcția astfel încât să relevați această incertitudine.

Incertitudinea formei se obține de obicei atunci când este dată limita raportului a două polinoame. În acest caz, pentru a calcula limita, se recomandă factorizarea polinoamelor și reducerea acestora cu un factor comun. Acest multiplicator este zero la valoarea limită X .

Exemplul 2.2. Calculați limita.

Soluţie.

Înlocuind , obținem incertitudinea:

Să factorizăm numărătorul și numitorul:

;

Să reducem printr-un factor comun și să obținem

O incertitudine a formei se obține atunci când limita raportului a două polinoame este dată la . În acest caz, pentru a-l calcula, se recomandă împărțirea ambelor polinoame la X în gradul superior.

Exemplul 2.3. Calculați limita.

Soluţie. Când înlocuim ∞, obținem o incertitudine de forma , deci împărțim toți termenii expresiei la x 3.

Se are în vedere aici că .

Când se calculează limitele unei funcții care conține rădăcini, se recomandă înmulțirea și împărțirea funcției la conjugatul său.

Exemplul 2.4. Calculați limita

Soluţie.

Când se calculează limite pentru a dezvălui incertitudinea formei sau (1) ∞, prima și a doua limită remarcabilă sunt adesea folosite:

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă.

Să luăm în considerare exemplul lui Ya. I. Perelman, dând o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat.

Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare.

Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar după alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unități den.).

Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Exemplul 2.5. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Exemplul 2.6. Calculați limita unei funcții .

Soluţie.Înlocuind obținem incertitudinea:

Folosind formula trigonometrică, transformăm numărătorul într-un produs:

Ca rezultat obținem

Aici se ia în considerare a doua limită remarcabilă.

Exemplul 2.7. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Pentru a dezvălui incertitudinea formei sau, puteți folosi regula lui L'Hopital, care se bazează pe următoarea teoremă.

Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor

Rețineți că această regulă poate fi aplicată de mai multe ori la rând.

Exemplul 2.8. Găsi

Soluţie. Când înlocuim, avem o incertitudine a formei. Aplicând regula lui L'Hopital, obținem

Continuitatea funcției

O proprietate importantă a unei funcții este continuitatea.

Definiție. Se ia în considerare funcția continuu, dacă o mică modificare a valorii argumentului implică o mică modificare a valorii funcției.

Matematic aceasta se scrie astfel: când

Prin și se înțelege incrementul de variabile, adică diferența dintre valorile ulterioare și cele precedente: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Creșterea variabilelor

Din definiţia unei funcţii continue în punctul rezultă că . Această egalitate înseamnă că sunt îndeplinite trei condiții:

Soluţie. Pentru funcție punctul este suspect pentru o discontinuitate, să verificăm asta și să găsim limite unilaterale

Prin urmare, , Mijloace - punct de rupere

Derivată a unei funcții