1. Ecuația laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari.
Atribuirea oferă coordonatele punctelor prin care trec aceste drepte, deci vom folosi ecuația unei drepte care trece prin două puncte date $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ înlocuiți și obțineți ecuațiile
ecuația dreptei AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ panta dreptei AB este egală cu \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
ecuația dreptei BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ panta dreptei BC este egală cu \ (k_( BC) = -7\)
2. Unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre
Unghiul B este unghiul dintre liniile AB și BC, care se calculează prin formula $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$înlocuiește valorile coeficienților unghiulari dintre aceste linii și obțineți $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \aproximativ 0,79$$
3.Lungimea laturii AB
Lungimea laturii AB se calculează ca distanța dintre puncte și este egală cu \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Ecuația înălțimii CD și a lungimii acestuia.
Vom găsi ecuația înălțimii folosind formula unei drepte care trece printr-un punct dat C(4;13) într-o direcție dată - perpendicular pe dreapta AB folosind formula \(y-y_0=k(x-x_0) \). Să găsim coeficientul unghiular al înălțimii \(k_(CD)\) folosind proprietatea dreptelor perpendiculare \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) obținem $$k_(CD)= -\frac(1). )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Inlocuim o dreapta in ecuatie, obtinem $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Vom căuta lungimea înălțimii ca distanța de la punctul C(4;13) la linia dreaptă AB folosind formula $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ în numărător este ecuația a dreptei AB, să o reducem la această formă \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , înlocuiți rezultatul ecuația și coordonatele punctului în formula $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Ecuația medianei AE și coordonatele punctului K, intersecția acestei mediane cu înălțimea CD.
Vom căuta ecuația mediei ca ecuație a unei drepte care trece prin două puncte date A(-6;8) și E, unde punctul E este punctul de mijloc dintre punctele B și C și coordonatele sale sunt găsite conform formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) înlocuiți coordonatele punctelor \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), atunci ecuația mediei AE va fi următorul $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Să găsim coordonatele punctului de intersecție al lui înălțimile și mediana, i.e. haideți să găsim punctul lor comun.Pentru a face acest lucru, vom crea o ecuație de sistem $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordonatele punctului de intersecție \(K(-\frac(1)(2);7 )\)
6. Ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB.
Dacă linia dreaptă este paralelă, atunci coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), sunt cunoscute și coordonatele punctului \(K(-\frac(1)(2);7)\) , adică . pentru a găsi ecuația unei drepte, aplicăm formula pentru ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată \(y - y_0=k(x-x_0)\), înlocuim datele și obținem $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Coordonatele punctului M care este simetric cu punctul A în raport cu dreapta CD.
Punctul M se află pe dreapta AB, deoarece CD este înălțimea de pe această parte. Să găsim punctul de intersecție al lui CD și AB; pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordonatele punctului D(-2;5). Conform condiției AD=DK, această distanță dintre puncte se găsește prin formula pitagoreică \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), unde AD și DK sunt ipotenuzele triunghiurilor dreptunghice egale, iar \(Δx =x_2-x_1\) și \(Δy=y_2-y_1\) sunt catetele acestor triunghiuri, i.e. să găsim catetele și să găsim coordonatele punctului M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), și \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), apoi coordonatele a punctului M va fi egal \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), și \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), am constatat că coordonatele punctului \( M(2;2)\)
Instrucțiuni
Vi se acordă trei puncte. Să le notăm ca (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Se presupune că aceste puncte sunt vârfurile unora triunghi. Sarcina este de a crea ecuații ale laturilor sale - mai precis, ecuații ale acelor drepte pe care se află aceste laturi. Aceste ecuații ar trebui să arate astfel:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3. Astfel, trebuie să găsiți valorile unghiulare k1, k2, k3 și deplasările b1, b2, b3.
Găsiți o dreaptă care trece prin punctele (x1, y1), (x2, y2). Dacă x1 = x2, atunci linia dorită este verticală și ecuația sa este x = x1. Dacă y1 = y2, atunci linia este orizontală și ecuația sa este y = y1. În general, aceste coordonate nu vor corespunde între ele.
Înlocuind coordonatele (x1, y1), (x2, y2) în ecuația generală a dreptei, se obține un sistem de două ecuații liniare: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Scădeți o ecuație din cealaltă și rezolvați ecuația rezultată pentru k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, deci k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).
Înlocuind ceea ce ați găsit în oricare dintre ecuațiile originale, găsiți expresia pentru b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Deoarece știm deja că x2 ≠ x1, putem simplifica expresia înmulțind y1 cu (x2 - x1)/(x2 - x1). Apoi pentru b1 veți obține următoarea expresie: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).
Verificați dacă al treilea dintre punctele date se află pe linia găsită. Pentru a face acest lucru, înlocuiți (x3, y3) în ecuația rezultată și vedeți dacă egalitatea este valabilă. Dacă se observă, așadar, toate cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă, iar triunghiul degenerează într-un segment.
În același mod ca cel descris mai sus, deduceți ecuații pentru liniile care trec prin punctele (x2, y2), (x3, y3) și (x1, y1), (x3, y3).
Forma finală a ecuațiilor pentru laturile unui triunghi dată de coordonatele vârfurilor este: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1) );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).
A găsi ecuații petreceri triunghi, în primul rând, trebuie să încercăm să rezolvăm întrebarea cum să găsim ecuația unei drepte pe un plan dacă vectorul său de direcție s(m, n) și un punct M0(x0, y0) aparținând dreptei sunt cunoscute.
Instrucțiuni
Luați un punct arbitrar (variabil, flotant) М(x, y) și construiți un vector М0M =(x-x0, y-y0) (scrieți și М0M(x-x0, y-y0)), care va fi evident coliniar (paralel ) prin k s. Apoi, putem concluziona că coordonatele acestor vectori sunt proporționale, deci putem crea o dreaptă canonică: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Acest raport va fi folosit în rezolvarea problemei.
Toate acțiunile ulterioare sunt determinate pe baza metodei .1-a metoda. Un triunghi este dat de coordonatele celor trei vârfuri ale sale, care în geometria școlară este dată de lungimile celor trei vârfuri ale sale. petreceri(vezi fig. 1). Adică, condiția conține punctele M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Ele corespund vectorilor lor de rază) OM1, 0M2 și OM3 cu aceleași coordonate ca și punctele. Pentru obtinerea ecuații petreceri s M1M2 necesită vectorul său de direcție M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) și oricare dintre punctele M1 sau M2 (aici se ia punctul cu indicele inferior).
Prin urmare petreceri y M1M2 ecuația canonică a dreptei (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Acționând pur inductiv, putem scrie ecuații restul petreceri.Pentru petreceri s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Pentru petreceri s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
a 2-a metoda. Triunghiul este definit de două puncte (la fel ca înainte M1(x1, y1) și M2(x2, y2)), precum și vectorii unitari ai direcțiilor celorlalte două petreceri. Pentru petreceri s М2М3: p^0(m1, n1). Pentru M1M3: q^0(m2, n2). Prin urmare pentru petreceri s M1M2 va fi la fel ca în prima metodă: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Pentru petreceri s М2М3 ca punct (x0, y0) al canonicului ecuații(x1, y1), iar vectorul direcție este p^0(m1, n1). Pentru petreceri s M1M3, (x2, y2) este luat ca punct (x0, y0), vectorul de direcție este q^0(m2, n2). Astfel, pentru M2M3: ecuația (x-x1)/m1=(y-y1)/n1. Pentru M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Video pe tema
Sfat 3: Cum să găsiți înălțimea unui triunghi dacă sunt date coordonatele punctelor
Înălțimea este segmentul de linie dreaptă care leagă partea de sus a figurii cu partea opusă. Acest segment trebuie să fie perpendicular pe latură, astfel încât numai unul poate fi desenat din fiecare vârf înălţime. Deoarece există trei vârfuri în această figură, există același număr de înălțimi. Dacă un triunghi este dat de coordonatele vârfurilor sale, lungimea fiecărei înălțimi poate fi calculată, de exemplu, folosind formula pentru găsirea ariei și calcularea lungimii laturilor.
Instrucțiuni
Începeți prin a calcula lungimile laturilor triunghi. Desemna coordonate figuri ca aceasta: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) și C(X₃,Y₃,Z₃). Apoi puteți calcula lungimea laturii AB folosind formula AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Pentru celelalte două părți, acestea vor arăta astfel: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) și AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y3)2 + (Z1-Z3)2). De exemplu, pentru triunghi cu coordonatele A(3,5,7), B(16,14,19) și C(1,2,13) lungimea laturii AB va fi √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Lungimile laturilor BC și AC, calculate în același mod, vor fi √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 și √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
Cunoașterea lungimilor celor trei laturi obținute în pasul anterior este suficientă pentru a calcula aria triunghi(S) conform formulei lui Heron: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). De exemplu, înlocuind în această formulă valorile obținute din coordonate triunghi-eșantion din pasul anterior, aceasta va da valoarea: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .
În funcție de zonă triunghi, calculate în pasul precedent, iar lungimile laturilor obținute în pasul al doilea, se calculează înălțimile pentru fiecare dintre laturi. Deoarece aria este egală cu jumătate din produsul înălțimii și lungimea laturii pe care este desenată, pentru a afla înălțimea, împărțiți aria dublată la lungimea laturii dorite: H = 2*S/a. Pentru exemplul folosit mai sus, înălțimea coborâtă pe latura AB va fi 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, înălțimea către latura BC va avea lungimea de 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, iar pentru latura AC această valoare va fi egală cu 2 *68,815/7 ≈ 19,66.
Surse:
- punctele date găsiți aria triunghiului
Sfat 4: Cum să folosiți coordonatele vârfurilor unui triunghi pentru a găsi ecuațiile laturilor sale
În geometria analitică, un triunghi pe un plan poate fi definit într-un sistem de coordonate carteziene. Cunoscând coordonatele vârfurilor, puteți crea ecuații pentru laturile triunghiului. Acestea vor fi ecuațiile a trei drepte care, intersectându-se, formează o figură.
Problema 1. Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC sunt date: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Aflați: 1) lungimea laturii AB; 2) ecuațiile laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari; 3) unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre; 4) ecuația înălțimii CD și lungimea acesteia; 5) ecuația medianei AE și coordonatele punctului K de intersecție a acestei mediane cu înălțimea CD; 6) ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB; 7) coordonatele punctului M, situate simetric față de punctul A relativ la dreapta CD.
Soluţie:
1. Distanța d dintre punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) este determinată de formula
Aplicând (1), găsim lungimea laturii AB:
2. Ecuația dreptei care trece prin punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) are forma
(2)
Înlocuind coordonatele punctelor A și B în (2), obținem ecuația laturii AB:
După ce am rezolvat ultima ecuație pentru y, găsim ecuația laturii AB sub forma unei ecuații în linie dreaptă cu un coeficient unghiular:
Unde
Înlocuind coordonatele punctelor B și C în (2), obținem ecuația dreptei BC:
3. Se știe că tangentei unghiului dintre două drepte, ai căror coeficienți unghiulari sunt respectiv egali, se calculează prin formula
Unghiul dorit B este format din drepte AB și BC ai căror coeficienți unghiulari se găsesc: Aplicând (3), obținem
Sau bucuros.
4. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată are forma
(4)
Înălțimea CD este perpendiculară pe latura AB. Pentru a afla panta înălțimii CD, folosim condiția de perpendicularitate a dreptelor. De atunci 
Înlocuind în (4) coordonatele punctului C și coeficientul unghiular de înălțime găsit, obținem
Pentru a afla lungimea înălțimii CD, determinăm mai întâi coordonatele punctului D - punctul de intersecție al dreptelor AB și CD. Rezolvarea sistemului împreună:
găsim i.e. D(8;0).
Folosind formula (1) găsim lungimea înălțimii CD:
5. Pentru a găsi ecuația mediei AE, determinăm mai întâi coordonatele punctului E, care este mijlocul laturii BC, folosind formulele de împărțire a unui segment în două părți egale:
Prin urmare,
Înlocuind coordonatele punctelor A și E în (2), găsim ecuația pentru mediana:
Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al înălțimii CD și medianei AE, rezolvăm împreună sistemul de ecuații
Găsim.
6. Deoarece linia dreaptă dorită este paralelă cu latura AB, coeficientul ei unghiular va fi egal cu coeficientul unghiular al dreptei AB. Înlocuind în (4) coordonatele punctului K găsit și coeficientul unghiular obținem
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Deoarece dreapta AB este perpendiculară pe dreapta CD, punctul dorit M, situat simetric față de punctul A față de dreapta CD, se află pe dreapta AB. În plus, punctul D este punctul de mijloc al segmentului AM. Folosind formulele (5), găsim coordonatele punctului dorit M:
Triunghiul ABC, înălțimea CD, mediana AE, linia dreaptă KF și punctul M sunt construite în sistemul de coordonate xOy din Fig. 1.
Sarcina 2.
Creați o ecuație pentru locul punctelor ale căror distanțe la un punct dat A(4; 0) și la o dreaptă dată x=1 sunt egale cu 2. 
Soluţie:
În sistemul de coordonate xOy, construim punctul A(4;0) și dreapta x = 1. Fie M(x;y) un punct arbitrar al locației geometrice dorite a punctelor. Să coborâm perpendiculara MB pe dreapta dată x = 1 și să determinăm coordonatele punctului B. Deoarece punctul B se află pe dreapta dată, abscisa sa este egală cu 1. ordonata punctului B este egală cu ordonata punctului M Prin urmare, B(1;y) (Fig. 2).
Conform condițiilor problemei |MA|: |MV| = 2. Distante |MA| și |MB| găsim din formula (1) a problemei 1:
Pătratând părțile stânga și dreaptă, obținem
Ecuația rezultată este o hiperbolă în care semiaxa reală este a = 2, iar semiaxa imaginară este
Să definim focarele unei hiperbole. Pentru o hiperbolă este valabilă următoarea egalitate: Prin urmare, și sunt focarele hiperbolei. După cum puteți vedea, punctul dat A(4;0) este focalizarea dreaptă a hiperbolei.
Să determinăm excentricitatea hiperbolei rezultate:
Ecuațiile asimptotelor hiperbolelor au forma și . Prin urmare, sau și sunt asimptote ale unei hiperbole. Înainte de a construi o hiperbolă, îi construim asimptotele.
Problema 3. Creați o ecuație pentru locusul punctelor echidistante de punctul A(4; 3) și dreapta y = 1. Reduceți ecuația rezultată la forma sa cea mai simplă.
Soluţie: Fie M(x; y) unul dintre punctele locului geometric dorit al punctelor. Să aruncăm perpendiculara MB din punctul M la această dreaptă y = 1 (Fig. 3). Să determinăm coordonatele punctului B. Evident, abscisa punctului B este egală cu abscisa punctului M, iar ordonata punctului B este egală cu 1, adică B(x; 1). Conform condițiilor problemei |MA|=|MV|. În consecință, pentru orice punct M(x;y) aparținând locului geometric dorit al punctelor, următoarea egalitate este adevărată:
Ecuația rezultată definește o parabolă cu un vârf în punct. Pentru a aduce ecuația parabolei la forma sa cea mai simplă, să setăm și y + 2 = Y, atunci ecuația parabolei ia forma:
Exercitiul 1
57. Sunt date vârfurile triunghiului ABC. Găsi
) lungimea laturii AB;
) ecuațiile laturilor AB și AC și coeficienții lor unghiulari;
) unghiul intern A;
) ecuația medianei trasă din vârful B;
) ecuația înălțimii CD și lungimea acesteia;
) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul și punctele de intersecție ale acestui cerc cu latura AC;
) ecuația bisectoarei unghiului intern A;
) aria triunghiului ABC;
) un sistem de inegalități liniare care definește triunghiul ABC.
Faceți un desen.
A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)
Soluţie:
1)
Să aflăm lungimea vectorului
= (x b - X A )2+ (y b -y A )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225
= = 15 - lungimea laturii AB 2)
Să găsim ecuația laturii AB
Ecuația unei drepte care trece prin puncte Oh A ; la V ) și B(x A ; la V ) în general Să substituim coordonatele punctelor A și B în această ecuație a dreptei =
=
=
S AB = (- 3, - 4) se numește vectorul direcției dreptei AB. Acest vector este paralel cu dreapta AB. 4(x - 7) = - 3(y - 9) 4x + 28 = - 3y + 27 4x + 3y + 1 = 0 - ecuația dreptei AB Dacă ecuația se scrie sub forma: y = X - atunci putem izola coeficientul unghiular al acestuia: k 1 =4/3
Vectorul N AB = (-4, 3) se numește vectorul normal al dreptei AB. Vectorul N AB = (-4, 3) este perpendicular pe dreapta AB. În mod similar, găsim ecuația laturii AC =
=
=
S AC = (- 7, - 1) - vector de direcție al părții AC (x - 7) = - 7(y - 9) x + 7 = - 7y + 63 x + 7y - 56 = 0 - ecuația laturii AC y = = x + 8 de unde panta k 2 = 1/7
Vectorul N A.C. = (- 1, 7) - vector normal al liniei AC. Vectorul N A.C. = (- 1, 7) este perpendicular pe dreapta AC. 3)
Să găsim unghiul A
Să notăm formula pentru produsul scalar al vectorilor Și * = *cos ∟A Pentru a găsi unghiul A, este suficient să găsiți cosinusul acestui unghi. Din formula anterioară scriem expresia pentru cosinusul unghiului A cos ∟A = Aflarea produsului scalar al vectorilor Și = (x V - X A ; la V - y A ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)
= (x Cu - X A ; la Cu - y A ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)
9*(-14) + (-12)*(-2) = 150
Lungimea vectorului = 15 (găsit mai devreme) Să aflăm lungimea vectorului = (x CU - X A )2+ (y Cu -y A )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200
= = 14,14 - lungimea laturii AC Atunci cos ∟A = = 0,7072
∟A = 45 0
4)
Să găsim ecuația medianei BE trasă din punctul B în latura AC
Ecuația mediană în formă generală Acum trebuie să găsiți vectorul de direcție al dreptei BE. Să construim triunghiul ABC la paralelogramul ABCD, astfel încât acea latură AC să fie diagonala ei. Diagonalele dintr-un paralelogram sunt împărțite în jumătate, adică AE = EC. Prin urmare, punctul E se află pe dreapta BF. Vectorul BE poate fi luat ca vector de direcție al dreptei BE , pe care o vom găsi. = +
= (x c - X b ; la c - y b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)
= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)
Să substituim în ecuație Să înlocuim coordonatele punctului C (-7; 7) (x + 7) = 2(y - 7) x + 77 = 2y - 14 x - 2y + 91 = 0 - ecuația medianei BE Deoarece punctul E este mijlocul laturii AC, coordonatele sale X e = (x A + x Cu )/2 = (7 - 7)/2 = 0
la e = (y A + y Cu )/2 = (9 + 7)/2 = 8
Coordonatele punctului E (0; 8) 5)
Să găsim ecuația pentru înălțimea CD și lungimea acesteia
Ecuație generală Este necesar să se găsească vectorul de direcție al dreptei CD Linia dreaptă CD este perpendiculară pe dreapta AB, prin urmare, vectorul direcție al dreptei CD este paralel cu vectorul normal al dreptei AB CD ‖AB Adică, vectorul normal al dreptei AB poate fi luat ca vector de direcție al dreptei CD Vector AB gasit mai devreme: AB (-4, 3)
Să înlocuim coordonatele punctului C, (- 7; 7) (x + 7) = - 4(y - 7) x + 21 = - 4y + 28 x + 4y - 7 = 0 - ecuația înălțimii C D Coordonatele punctului D: Punctul D aparține dreptei AB, prin urmare, coordonatele punctului D(x d . y d ) trebuie să satisfacă ecuația dreptei AB găsită mai devreme Punctul D aparține dreptei CD, prin urmare, coordonatele punctului D(x d . y d ) trebuie să satisfacă ecuația dreptei CD, Să creăm un sistem de ecuații pe baza acestuia Coordonatele D(1; 1) Aflați lungimea liniei drepte CD = (x d - X c )2+ (y d -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100
= = 10 - lungimea liniei drepte CD 6)
Aflați ecuația unui cerc cu diametrul CD
Este evident că linia dreaptă CD trece prin originea coordonatelor deoarece ecuația sa este -3x - 4y = 0, prin urmare, ecuația unui cerc poate fi scrisă sub forma (x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- ecuația unui cerc cu centrul în punctul (a; b) Aici R = СD/2 = 10 /2 = 5 (x - a) 2 + (y - b) 2 = 25
Centrul cercului O (a; b) se află în mijlocul segmentului CD. Să-i găsim coordonatele: X 0= a = = = - 3;
y 0= b = = = 4
Ecuația cercului: (x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25
Să găsim intersecția acestui cerc cu latura AC: punctul K aparține atât cercului, cât și dreptei AC x + 7y - 56 = 0 - ecuația dreptei AC găsită mai devreme. Să creăm un sistem Astfel, obținem ecuația pătratică la 2- 750у +2800 = 0 la 2- 15у + 56 = 0 =
la 1 = 8
la 2= 7 - punctul corespunzător punctului C deci coordonatele punctului H: x = 7*8 - 56 = 0
În problemele 1 - 20 sunt date vârfurile triunghiului ABC.
Aflați: 1) lungimea laturii AB; 2) ecuațiile laturilor AB și AC și coeficienții lor unghiulari; 3) Unghiul intern A în radiani cu o precizie de 0,01; 4) ecuația pentru înălțimea CD și lungimea acestuia; 5) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul; 6) un sistem de inegalități liniare care definesc triunghiul ABC.
Lungimea laturilor triunghiului:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Distanța d de la punctul M: d = 10
Coordonatele vârfurilor triunghiului sunt date: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Lungimea laturilor triunghiului
Distanța d dintre punctele M 1 (x 1 ; y 1) și M 2 (x 2 ; y 2) este determinată de formula:
8) Ecuația unei drepte
O dreaptă care trece prin punctele A 1 (x 1 ; y 1) și A 2 (x 2 ; y 2) este reprezentată de ecuațiile: 
Ecuația dreptei AB 
sau
sau
y = -3 / 4 x -7 / 4 sau 4y + 3x +7 = 0
Ecuația dreptei AC
Ecuația canonică a dreptei: 
sau
sau
y = 1 / 2 x + 9 / 2 sau 2y -x - 9 = 0
Ecuația dreptei BC
Ecuația canonică a dreptei: 
sau
sau
y = -7x + 42 sau y + 7x - 42 = 0
3) Unghiul dintre liniile drepte
Ecuația dreptei AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuația dreaptă AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Unghiul φ dintre două drepte, dat de ecuații cu coeficienți unghiulari y = k 1 x + b 1 și y 2 = k 2 x + b 2, se calculează prin formula:
Pantele acestor linii sunt -3/4 și 1/2. Să folosim formula și să luăm parte din dreapta modulo: 
tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 sau 1,107 rad.
9) Ecuația înălțimii prin vârful C
Linia dreaptă care trece prin punctul N 0 (x 0 ;y 0) și perpendiculară pe dreapta Ax + By + C = 0 are un vector de direcție (A;B) și, prin urmare, este reprezentată de ecuațiile: 
Această ecuație poate fi găsită în alt mod. Pentru a face acest lucru, să găsim panta k 1 a dreptei AB.
Ecuația AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, adică. k 1 = -3 / 4
Să aflăm coeficientul unghiular k al perpendicularei din condiția de perpendicularitate a două drepte: k 1 *k = -1.
Înlocuind panta acestei drepte în loc de k 1, obținem:
-3 / 4 k = -1, de unde k = 4 / 3
Deoarece perpendiculara trece prin punctul C(5,7) și are k = 4 / 3, vom căuta ecuația ei sub forma: y-y 0 = k(x-x 0).
Înlocuind x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 obținem:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
sau
y = 4 / 3 x + 1 / 3 sau 3y -4x - 1 = 0
Să găsim punctul de intersecție cu dreapta AB:
Avem un sistem de două ecuații:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Din prima ecuație exprimăm y și îl înlocuim în a doua ecuație.
Primim:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Lungimea altitudinii triunghiului trasat de la vârful C
Distanța d de la punctul M 1 (x 1 ;y 1) la dreapta Ax + By + C = 0 este egală cu valoarea absolută a mărimii: 
Aflați distanța dintre punctul C(5;7) și linia AB (4y + 3x +7 = 0) 
Lungimea înălțimii poate fi calculată folosind o altă formulă, ca distanța dintre punctul C(5;7) și punctul D(-1;-1).
Distanța dintre două puncte este exprimată în coordonate prin formula:
5) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul;
Ecuația unui cerc de rază R cu centrul în punctul E(a;b) are forma:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Deoarece CD este diametrul cercului dorit, centrul său E este punctul de mijloc al segmentului CD. Folosind formulele pentru împărțirea unui segment la jumătate, obținem: 
Prin urmare, E(2;3) și R = CD / 2 = 5. Folosind formula, obținem ecuația cercului dorit: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25 
6) un sistem de inegalități liniare care definesc triunghiul ABC.
Ecuația dreptei AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuația dreptei AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Ecuația dreptei BC: y = -7x + 42