De exemplu, funcția
este o funcţie omogenă a primei dimensiuni, deoarece

este o funcţie omogenă a celei de-a treia dimensiuni, întrucât

este o funcţie omogenă a dimensiunii zero, deoarece

, adică
.

Definiția 2. Ecuație diferențială de ordinul întâi y" = f(X, y) se numește omogen dacă funcția f(X, y) este o funcție omogenă a dimensiunii zero în raport cu X Și y sau, după cum se spune, f(X, y) este o funcție omogenă de gradul zero.

Poate fi reprezentat sub formă

ceea ce ne permite să definim o ecuație omogenă ca o ecuație diferențială care poate fi transformată în forma (3.3).

Înlocuire
reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr, după înlocuire y =xz primim
,
Separând variabilele și integrând, găsim:

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Δ Presupunem y =zx,
Înlocuiți aceste expresii y Și dyîn această ecuație:
sau
Separăm variabilele:
și integrează:
,

Înlocuirea z pe , primim
.

Exemplul 2. Aflați soluția generală a ecuației.

Δ În această ecuație P (X,y) =X 2 -2y 2 ,Q(X,y) =2X y sunt funcții omogene ale celei de-a doua dimensiuni, prin urmare, această ecuație este omogenă. Poate fi reprezentat sub formă
și rezolvați la fel ca mai sus. Dar folosim o formă diferită de înregistrare. Sa punem y = zx, Unde dy = zdx + xdz. Înlocuind aceste expresii în ecuația originală, vom avea

dx+2 zxdz = 0 .

Separăm variabilele prin numărare

Să integrăm această ecuație termen cu termen

, Unde

acesta este
. Revenind la funcția anterioară
găsi o soluție generală


Exemplul 3 . Găsiți soluția generală a ecuației
.

Δ Lanț de transformări: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Cursul 8.

4. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi are forma

Iată termenul liber, numit și partea dreaptă a ecuației. Vom lua în considerare ecuația liniară în această formă în cele ce urmează.

Dacă
0, atunci ecuația (4.1a) se numește neomogenă liniară. Dacă
0, atunci ecuația ia forma

și se numește omogen liniar.

Denumirea ecuației (4.1a) se explică prin faptul că funcția necunoscută y și derivatul său introduceți-l liniar, adică în gradul întâi.

Într-o ecuație liniară omogenă, variabilele sunt separate. Rescriind-o sub formă
Unde
și integrând, obținem:
,acestea.

Când se împarte la pierdem decizia
. Cu toate acestea, poate fi inclusă în familia de soluții găsite (4.3), dacă presupunem că CU poate lua și valoarea 0.

Există mai multe metode de rezolvare a ecuației (4.1a). Conform metoda lui Bernoulli, soluția se caută sub forma unui produs a două funcții ale X:

Una dintre aceste funcții poate fi aleasă în mod arbitrar, deoarece numai produsul uv trebuie să satisfacă ecuația inițială, cealaltă este determinată pe baza ecuației (4.1a).

Diferențiând ambele părți ale egalității (4.4), găsim
.

Înlocuind expresia rezultată pentru derivată , precum și valoarea la în ecuația (4.1a), obținem
, sau

acestea. ca o funcție v Să luăm soluția ecuației liniare omogene (4.6):

(Aici C Este necesar să scrieți, altfel veți obține nu o soluție generală, ci o soluție specifică).

Astfel, vedem că în urma substituției utilizate (4.4), ecuația (4.1a) se reduce la două ecuații cu variabile separabile (4.6) și (4.7).

Înlocuind
Și v(x) în formula (4.4), obținem în final

Exemplul 1. Găsiți soluția generală a ecuației

 Să punem
, Apoi
. Înlocuirea expresiilor Și în ecuația originală, obținem
sau
(*)

Să stabilim coeficientul la zero egal cu :

Separând variabilele din ecuația rezultată, avem

(constantă arbitrară C noi nu scriem), de aici v= X. Valoare găsită vînlocuiți în ecuație (*):

,
,
.

Prin urmare,
soluție generală a ecuației inițiale.

Rețineți că ecuația (*) poate fi scrisă într-o formă echivalentă:

Selectarea aleatorie a unei funcții u, dar nu v, am putea crede
. Această soluție diferă de cea considerată doar prin înlocuire v pe u(prin urmare u pe v), deci valoarea finală la se dovedește a fi la fel.

Pe baza celor de mai sus, obținem un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi.

Mai rețineți că uneori o ecuație de ordinul întâi devine liniară dacă la considerată o variabilă independentă și X– dependent, adică schimbati rolurile X Și y. Acest lucru se poate face cu condiția ca XȘi dx introduceți ecuația liniar.

Exemplul 2 . Rezolvați ecuația
.

În aparență, această ecuație nu este liniară în raport cu funcția la.

Totuși, dacă luăm în considerare X ca o funcție a la, atunci, având în vedere că
, poate fi adus la formular

(4.1 b)

Înlocuirea pe ,primim
sau
. Împărțirea ambelor părți ale ultimei ecuații la produs ydy, să-l aducem la formă

, sau
. (**)

Aici P(y)=,
. Aceasta este o ecuație liniară în raport cu X. Noi credem
,
. Înlocuind aceste expresii în (**), obținem

sau
.

Să alegem v astfel încât
,
, Unde
;
. Mai departe avem
,
,
.

Deoarece
, apoi ajungem la o soluție generală a acestei ecuații sub forma

.

Rețineți că în ecuația (4.1a) P(X) Și Q (X) pot fi incluse nu numai sub formă de funcții din X, dar și constante: P= A,Q= b. Ecuație liniară

poate fi rezolvată și folosind substituția y= uv și separarea variabilelor:

;
.

De aici
;
;
; Unde
. Eliberându-ne de logaritm, obținem o soluție generală a ecuației

(Aici
).

La b= 0 ajungem la soluția ecuației

(vezi ecuația de creștere exponențială (2.4) la
).

În primul rând, integrăm ecuația omogenă corespunzătoare (4.2). După cum sa menționat mai sus, soluția sa are forma (4.3). Vom lua în considerare factorul CUîn (4.3) în funcţie de X, adică efectuând în esență o schimbare de variabilă

de unde, integrându-ne, găsim

Rețineți că conform (4.14) (vezi și (4.9)), soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este egală cu suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare (4.3) și soluția particulară a ecuației neomogene definite de al doilea termen inclus în (4.14) (și în (4.9)).

Când rezolvați anumite ecuații, ar trebui să repetați calculele de mai sus, în loc să utilizați formula greoaie (4.14).

Să aplicăm metoda Lagrange ecuației luate în considerare în exemplu 1 :

Integram ecuația omogenă corespunzătoare
.

Separând variabilele, obținem
si mai departe
. Rezolvarea expresiei prin formula y = Cx. Căutăm o soluție la ecuația inițială în formă y = C(X)X. Înlocuind această expresie în ecuația dată, obținem
;
;
,
. Soluția generală a ecuației inițiale are forma

În concluzie, observăm că ecuația Bernoulli se reduce la o ecuație liniară

, (
)

care se poate scrie sub forma

Înlocuire
se reduce la o ecuație liniară:

,
,
.

Ecuațiile lui Bernoulli pot fi de asemenea rezolvate folosind metodele prezentate mai sus.

Exemplul 3 . Aflați soluția generală a ecuației
.

 Lanț de transformări:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


În prezent, conform nivelului de bază al studiului matematicii, pentru studiul matematicii în liceu sunt prevăzute doar 4 ore (2 ore algebră, 2 ore geometrie). În școlile mici din mediul rural se încearcă să crească numărul de ore din cauza componentei școlare. Dar dacă clasa este umanitară, atunci se adaugă o componentă școlară pentru studiul disciplinelor umaniste. Într-un sat mic, un școlar de multe ori nu are de ales, învață în acea clasă; care este disponibil la școală. Nu intenționează să devină avocat, istoric sau jurnalist (există astfel de cazuri), ci vrea să devină inginer sau economist, așa că trebuie să promoveze examenul de stat unificat la matematică cu scoruri mari. În astfel de circumstanțe, profesorul de matematică trebuie să găsească propria cale de ieșire din situația actuală; în plus, conform manualului lui Kolmogorov, studiul temei „ecuații omogene” nu este oferit. În ultimii ani, mi-au trebuit două lecții duble pentru a introduce acest subiect și a-l consolida. Din păcate, inspecția noastră de supraveghere educațională a interzis orele duble la școală, astfel încât numărul de exerciții a trebuit să fie redus la 45 de minute, iar în consecință nivelul de dificultate al exercițiilor a fost redus la mediu. Vă aduc în atenție un plan de lecție pe această temă în clasa a X-a cu un nivel de bază de studiu la matematică într-o școală mică din mediul rural.

Tipul de lecție: tradițional.

Ţintă: învață să rezolvi ecuații omogene tipice.

Sarcini:

Cognitiv:

De dezvoltare:

Educational:

Încurajarea muncii grele prin îndeplinirea cu răbdare a sarcinilor, un sentiment de camaraderie prin lucrul în perechi și în grupuri.

În timpul orelor

eu. organizatoric etapă(3 min.)

II. Testarea cunoștințelor necesare pentru a stăpâni material nou (10 min.)

Identificați principalele dificultăți cu analiza ulterioară a sarcinilor finalizate. Băieții aleg 3 opțiuni. Sarcini diferențiate după gradul de dificultate și nivelul de pregătire al copiilor, urmate de explicații la tablă.

Nivelul 1. Rezolvați ecuațiile:

3(x+4)=12,
2(x-15)=2x-30
5(2x)=-3x-2(x+5)
x 2 -10x+21=0 Răspunsuri: 7;3

Nivelul 2. Rezolvați ecuații trigonometrice simple și ecuații biquadratice:

raspunsuri:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Răspunsuri: -2; 2; -3; 3

Nivelul 3. Rezolvarea ecuațiilor prin schimbarea variabilelor:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Răspunsuri:

III. Comunicarea subiectului, stabilirea scopurilor și obiectivelor.

Subiect: Ecuații omogene

Ţintă: învață să rezolvi ecuații omogene tipice

Sarcini:

Cognitiv:

familiarizează-te cu ecuațiile omogene, învață să rezolvi cele mai comune tipuri de astfel de ecuații.

De dezvoltare:

Dezvoltarea gândirii analitice.
Dezvoltarea abilităților matematice: să învețe să identifice principalele trăsături prin care ecuațiile omogene diferă de alte ecuații, să poată stabili asemănarea ecuațiilor omogene în diferitele lor manifestări.

IV. Învățarea de noi cunoștințe (15 min.)

1. Momentul prelegerii.

Definiția 1(Notă-l într-un caiet). O ecuație de forma P(x;y)=0 se numește omogenă dacă P(x;y) este un polinom omogen.

Un polinom din două variabile x și y se numește omogen dacă gradul fiecăruia dintre termenii săi este egal cu același număr k.

Definiția 2(Doar o introducere). Ecuații de formă

se numește ecuație omogenă de grad n față de u(x) și v(x). Împărțind ambele părți ale ecuației la (v(x))n, putem folosi o substituție pentru a obține ecuația

Ceea ce ne permite să simplificăm ecuația inițială. Cazul v(x)=0 trebuie luat în considerare separat, deoarece este imposibil de împărțit la 0.

2. Exemple de ecuații omogene:

Explicați: de ce sunt omogene, dați exemplele dvs. de astfel de ecuații.

3. Sarcina de a determina ecuații omogene:

Printre ecuațiile date, identificați ecuațiile omogene și explicați alegerea dvs.:

După ce ați explicat alegerea dvs., utilizați unul dintre exemple pentru a arăta cum să rezolvați o ecuație omogenă:

4. Decideți pe cont propriu:

Răspuns:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Împărțim ambele părți ale ecuației la cos x, obținem 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Arată soluția unui exemplu din broșură„P.V. Chulkov. Ecuații și inegalități într-un curs școlar de matematică. Universitatea Pedagogică din Moscova „Primul septembrie” 2006 p.22.” Ca unul dintre exemplele posibile ale examenului unificat de stat nivelul C.

V. Rezolvați pentru consolidare folosind manualul lui Bashmakov

pag. 183 nr. 59 (1.5) sau conform manualului editat de Kolmogorov: pag. 81 nr. 169 (a, c)

raspunsuri:

VI. Test, muncă independentă (7 min.)

1 opțiune	Opțiunea 2
Rezolvarea ecuațiilor:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	b)

Răspunsuri la sarcini:

Opțiunea 1 a) Răspuns: arctan2+πn,n € Z; b) Răspuns: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Opțiunea 2 a) Răspuns: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Răspuns: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Teme pentru acasă

Nr. 169 după Kolmogorov, Nr. 59 după Bashmakov.

În plus, rezolvați sistemul de ecuații:

Răspuns: arctan(-1±√3) +πn,

Referinte:

P.V. Chulkov. Ecuații și inegalități într-un curs școlar de matematică. – M.: Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2006. p. 22
A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovici, M. Yakir. Trigonometrie. – M.: „AST-PRESS”, 1998, p. 389
Algebră pentru clasa a VIII-a, editată de N.Ya. Vilenkina. – M.: „Iluminismul”, 1997.
Algebră pentru clasa a 9-a, editată de N.Ya. Vilenkina. Moscova „Iluminismul”, 2001.
M.I. Bashmakov. Algebra și începuturile analizei. Pentru clasele 10-11 - M.: „Iluminism” 1993
Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra și începuturile analizei. Pentru clasele 10-11. – M.: „Iluminismul”, 1990.
A.G. Mordkovici. Algebra și începuturile analizei. Partea 1 Manual pentru clasele 10-11. – M.: „Mnemosyne”, 2004.

Omogen

În această lecție ne vom uita la așa-numitele ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Împreună cu ecuații separabileȘi ecuații liniare neomogene Acest tip de telecomandă se găsește în aproape orice lucrare de testare pe tema difuzoarelor. Dacă ați ajuns la pagină dintr-un motor de căutare sau nu sunteți foarte încrezător în înțelegerea ecuațiilor diferențiale, atunci vă recomand cu tărie să lucrați printr-o lecție introductivă pe acest subiect - Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Cert este că multe dintre principiile de rezolvare a ecuațiilor omogene și tehnicile folosite vor fi exact aceleași ca și pentru cele mai simple ecuații cu variabile separabile.

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale omogene și alte tipuri de ecuații diferențiale? Cel mai simplu mod de a explica imediat acest lucru este cu un exemplu specific.

Exemplul 1

Soluţie:
Ce in primul rand trebuie analizat atunci când se decide orice ecuație diferențială prima comanda? În primul rând, este necesar să se verifice dacă este posibil să se separe imediat variabilele folosind acțiuni „școală”? De obicei, această analiză se face mental sau prin încercarea de a separa variabilele într-o schiță.

În acest exemplu variabilele nu pot fi separate(puteți încerca să aruncați termeni dintr-o parte în parte, să ridicați factori din paranteze etc.). Apropo, în acest exemplu, faptul că variabilele nu pot fi împărțite este destul de evident datorită prezenței multiplicatorului.

Apare întrebarea: cum se rezolvă această problemă difuză?

Trebuie verificat și Nu este această ecuație omogenă?? Verificarea este simplă, iar algoritmul de verificare în sine poate fi formulat după cum urmează:

La ecuația inițială:

în loc deînlocuim, în loc deînlocuim, nu atingem derivatul:

Litera lambda este un parametru condiționat și aici joacă următorul rol: dacă, în urma transformărilor, este posibil să „distrugem” TOATE lambda și să obținem ecuația originală, atunci această ecuație diferențială este omogen.

Este evident că lambda sunt imediat reduse cu exponent:

Acum, în partea dreaptă, scoatem lambda din paranteze:

și împărțiți ambele părți la aceeași lambda:

Ca urmare Toate Lambdas au dispărut ca un vis, ca o ceață de dimineață și am obținut ecuația originală.

Concluzie: Această ecuație este omogenă

Cum se rezolvă o ecuație diferențială omogenă?

Am o veste foarte bună. Absolut toate ecuațiile omogene pot fi rezolvate folosind o singură substituție standard (!).

Funcția „joc” ar trebui să fie a inlocui muncă vreo funcție (depinzând și de „x”)și „x”:

Aproape întotdeauna scriu pe scurt:

Aflăm în ce se va transforma derivatul cu o astfel de înlocuire, folosim regula diferențierii produsului. Daca atunci:

Inlocuim in ecuatia initiala:

Ce va oferi un astfel de înlocuitor? După această înlocuire și simplificări, noi garantat obţinem o ecuaţie cu variabile separabile. TINE MINTE ca prima dragoste :) si, in consecinta, .

După înlocuire, efectuăm simplificări maxime:

Deoarece este o funcție care depinde de „x”, derivata ei poate fi scrisă ca o fracție standard: .
Prin urmare:

Separăm variabilele, în timp ce în partea stângă trebuie să colectați doar „te”, iar în partea dreaptă - doar „x”:

Variabilele sunt separate, să integrăm:

Conform primului meu sfat tehnic din articol Ecuații diferențiale de ordinul întâi, în multe cazuri este recomandabil să „formulați” o constantă sub forma unui logaritm.

După ce ecuația a fost integrată, trebuie să realizăm înlocuire inversă, este, de asemenea, standard și unic:
Daca atunci
În acest caz:

În 18-19 cazuri din 20, soluția unei ecuații omogene se scrie ca integrală generală.

Răspuns: integrala generala:

De ce răspunsul la o ecuație omogenă este aproape întotdeauna dat sub forma unei integrale generale?
În cele mai multe cazuri, este imposibil să exprimați „jocul” în mod explicit (pentru a obține o soluție generală) și, dacă este posibil, atunci cel mai adesea soluția generală se dovedește a fi greoaie și stângace.

Deci, de exemplu, în exemplul luat în considerare, o soluție generală poate fi obținută prin cântărirea logaritmilor de ambele părți ale integralei generale:

- Ei bine, e în regulă. Deși, trebuie să recunoașteți, este încă puțin strâmb.

Apropo, în acest exemplu nu am scris integrala generală destul de „decent”. Nu este o greșeală, dar într-un stil „bun”, vă reamintesc că integrala generală se scrie de obicei sub forma . Pentru a face acest lucru, imediat după integrarea ecuației, constanta trebuie scrisă fără niciun logaritm (aici este excepția de la regulă!):

Și după înlocuirea inversă, obțineți integrala generală în forma „clasică”:

Răspunsul primit poate fi verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să diferențiați integrala generală, adică să găsiți derivata unei functii specificata implicit:

Scăpăm de fracții înmulțind fiecare parte a ecuației cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Este recomandabil să verificați întotdeauna. Dar ecuațiile omogene sunt neplăcute, deoarece este de obicei dificil să le verifici integralele generale - aceasta necesită o tehnică de diferențiere foarte, foarte decentă. În exemplul luat în considerare, în timpul verificării a fost deja necesar să se găsească nu cele mai simple derivate (deși exemplul în sine este destul de simplu). Dacă poți verifica, verifică-l!

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur - astfel încât să vă simțiți confortabil cu algoritmul acțiunilor:

Exemplul 2

Verificați omogenitatea ecuației și găsiți integrala ei generală.

Scrieți răspunsul în formular, efectuați verificarea.

Și aici s-a dovedit a fi o verificare destul de simplă.

Și acum punctul important promis, menționat chiar la începutul subiectului,
Voi evidenția cu litere negre și aldine:

Dacă în timpul transformărilor „resetăm” multiplicatorul (nu o constantă)la numitor, atunci RISCĂM să pierdem soluții!

Și de fapt, am întâlnit asta în primul exemplu lecție introductivă despre ecuațiile diferențiale. În procesul de rezolvare a ecuației, „y” s-a dovedit a fi la numitor: , dar, evident, este o soluție la DE și ca urmare a unei transformări (divizări) inegale există toate șansele de a o pierde! Un alt lucru este că a fost inclus în soluția generală la valoarea zero a constantei. Resetarea lui „X” la numitor poate fi, de asemenea, ignorată, deoarece nu satisface difuzorul original.

O poveste similară cu a treia ecuație a aceleiași lecții, în timpul căreia am „scăpat” în numitor. Strict vorbind, aici a fost necesar să verificăm dacă acest difuzor este soluția? La urma urmei, este! Dar chiar și aici „totul a ieșit bine”, deoarece această funcție a fost inclusă în integrala generală la .

Și dacă acest lucru funcționează adesea cu ecuații „separabile”, atunci cu difuzoare omogene și cu alte difuzoare este posibil să nu funcționeze. Foarte probabil.

Să analizăm problemele deja rezolvate în această lecție: în Exemplele 1-2„resetarea” X s-a dovedit, de asemenea, a fi sigură, deoarece există și , și, prin urmare, este imediat clar că nu poate fi o soluție. În plus, în Exemplul 2 s-a dovedit a fi la numitor și aici am riscat să pierdem funcția, care în mod evident satisface ecuația . Totuși, chiar și aici a „trecut”, pentru că... a intrat integrala generală la valoarea zero a constantei.

Dar, desigur, am creat „ocazii fericite” în mod intenționat și nu este un fapt că, în practică, acestea sunt cele care vor apărea:

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Nu este un simplu exemplu? ;-)

Soluţie: omogenitatea acestei ecuații este evidentă, dar totuși - pe primul pas Verificăm ÎNTOTDEAUNA dacă este posibilă separarea variabilelor. Căci ecuația este și ea omogenă, dar variabilele din ea sunt ușor separate. Da sunt câteva!

După ce verificăm „separabilitatea”, facem o înlocuire și simplificăm ecuația cât mai mult posibil:

Separăm variabilele, colectăm „te” în stânga și „x” în dreapta:

Și aici STOP. Când împărțim la, riscăm să pierdem două funcții deodată. Deoarece , acestea sunt funcțiile:

Prima funcție este evident o soluție a ecuației . Îl verificăm pe al doilea - înlocuim și derivatul său în difuzorul nostru:

– se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că și funcția este o soluție.

ȘI riscăm să pierdem aceste decizii.

În plus, numitorul s-a dovedit a fi „X” și, prin urmare asigurați-vă că verificați, nu este o soluție la ecuația diferențială inițială. Nu, nu este.

Să luăm notă de toate acestea și să continuăm:

Trebuie să spun că am avut noroc cu integrala din partea stângă; poate fi mult mai rău.

Colectăm un singur logaritm pe partea dreaptă și aruncăm cătușele:

Și acum doar înlocuirea inversă:

Să înmulțim toți termenii cu:

Acum ar trebui să verifici... dacă soluţiile „periculoase” au fost incluse în integrala generală. Da, ambele soluții au fost incluse în integrala generală la valoarea zero a constantei: , deci nu trebuie să fie indicate suplimentar în Răspuns:

integrala generala:

Examinare. Nici măcar un test, ci pură plăcere :)

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Pentru a o rezolva singur:

Exemplul 4

Efectuați testul de omogenitate și rezolvați ecuația diferențială

Verificați integrala generală prin diferențiere.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să ne uităm la câteva exemple tipice:

Exemplul 5

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie Ne vom obișnui să-l proiectăm mai compact. În primul rând, mental sau pe o schiță, ne asigurăm că variabilele nu pot fi separate aici, după care efectuăm un test de omogenitate - de obicei nu se realizează pe o schiță finală. (cu excepția cazului în care se cere în mod specific). Astfel, soluția începe aproape întotdeauna cu intrarea: „ Această ecuație este omogenă, să facem înlocuirea: ...».

Înlocuire și mergem pe drumul bătut:

„X” este bine aici, dar cum rămâne cu trinomul pătratic? Deoarece nu se descompune în factori: , atunci cu siguranță nu pierdem soluții. Mereu ar fi așa! Selectați pătratul complet din partea stângă și integrați:

Nu există nimic de simplificat aici și, prin urmare, înlocuirea inversă:

Răspuns: integrala generala:

Următorul exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială

Ar părea ecuații similare, dar nu - mare diferență;)

Și acum începe distracția! Mai întâi, să ne dăm seama ce să facem dacă este dată o ecuație omogenă cu diferențe gata făcute:

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială

Acesta este un exemplu foarte interesant, un întreg thriller!

Soluţie: dacă o ecuație omogenă conține diferențe gata făcute, atunci poate fi rezolvată printr-o substituție modificată:

Dar nu recomand să folosiți o astfel de înlocuire, deoarece se va dovedi a fi un Mare Zid al diferențelor chinezești, unde aveți nevoie de un ochi și un ochi. Din punct de vedere tehnic, este mai avantajos să trecem la denumirea „liniată” a derivatei; pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale ecuației la:

Și iată că am făcut deja o transformare „periculoasă”! Diferenţialul zero corespunde unei familii de drepte paralele cu axa. Sunt ele rădăcinile DU-ului nostru? Să înlocuim în ecuația inițială:

Această egalitate este valabilă dacă, adică la împărțirea la, riscăm să pierdem soluția, și l-am pierdut- De cand nu mai satisface ecuația rezultată .

Trebuie remarcat faptul că dacă noi inițial s-a dat ecuația , atunci nu s-ar vorbi despre rădăcină. Dar îl avem și l-am prins la timp.

Continuăm soluția cu o înlocuire standard:
:

După înlocuire, simplificăm ecuația cât mai mult posibil:

Separăm variabilele:

Și aici din nou STOP: atunci când împărțim la riscăm să pierdem două funcții. Din moment ce , acestea sunt funcțiile:

Evident, prima funcție este o soluție a ecuației . O verificăm pe a doua - o înlocuim și cu derivata:

- primit adevărata egalitate, ceea ce înseamnă că funcția este și o soluție a ecuației diferențiale.

Și atunci când împărțim la riscăm să pierdem aceste soluții. Cu toate acestea, ele pot intra în integrala generală. Dar s-ar putea să nu intre

Să luăm notă de acest lucru și să integrăm ambele părți:

Integrala din partea stângă se rezolvă în mod standard folosind evidenţiind un pătrat complet, dar este mult mai convenabil de utilizat în difuzoare metoda coeficienților nesiguri:

Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrantul într-o sumă de fracții elementare:

Prin urmare:

Aflarea integralelor:

– întrucât am desenat doar logaritmi, împingem și constanta sub logaritm.

Înainte de a înlocui simplificând din nou tot ceea ce poate fi simplificat:

Resetarea lanțurilor:

Și înlocuirea inversă:

Acum să ne amintim despre „lucrurile pierdute”: soluția a fost inclusă în integrala generală la , dar „a trecut pe lângă casa de marcat”, deoarece s-a dovedit a fi numitorul. Prin urmare, în răspuns i se acordă o frază separată și da - nu uitați de soluția pierdută, care, apropo, s-a dovedit a fi și mai jos.

Răspuns: integrala generala: . Mai multe soluții:

Nu este atât de greu să exprim aici soluția generală:
, dar aceasta este deja un spectacol.

Convenabil, totuși, pentru verificare. Să găsim derivata:

și înlocuitor în partea stângă a ecuației:

– ca urmare, s-a obținut partea dreaptă a ecuației, ceea ce trebuia verificat.

Acum, căutarea cu rădăcini, acesta este, de asemenea, un caz comun și foarte insidios:

Exemplul 8

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Asigurați-vă verbal că ecuația este omogenă și înlocuiți prima dragoste în ecuația originală:

Și pericolul ne așteaptă deja aici. Ideea este că, iar acest fapt este foarte ușor de pierdut din vedere:

Promovare fericită!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: Să verificăm omogenitatea ecuației, în acest scop în ecuația originală în loc de hai să înlocuim , și în loc de hai sa inlocuim:

Ca urmare, se obține ecuația originală, ceea ce înseamnă că acest DE este omogen.

Pentru a rezolva o ecuație diferențială omogenă de ordinul I, folosiți substituția u=y/x, adică u este o nouă funcție necunoscută în funcție de x. Prin urmare y=ux. Găsim derivata y’ folosind regula de diferențiere a produsului: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (deoarece x’=1). Pentru o altă formă de notație: dy = udx + xdu După înlocuire simplificăm ecuația și ajungem la o ecuație cu variabile separabile.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul I.

1) Rezolvați ecuația

Verificăm dacă această ecuație este omogenă (vezi Cum se determină o ecuație omogenă). Odată convinși, facem înlocuirea u=y/x, din care y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Înlocuiește: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Deoarece logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor, ln(ux)=lnu+lnx. De aici

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). După aducerea termenilor similari: u’x+u=u(1+lnu). Acum deschideți parantezele

u'x+u=u+u·lnu. Ambele părți conțin u, deci u’x=u·lnu. Deoarece u este o funcție a lui x, u’=du/dx. Să înlocuim

Am obținut o ecuație cu variabile separabile. Separăm variabilele înmulțind ambele părți cu dx și împărțind la x·u·lnu, cu condiția ca produsul x·u·lnu≠0

Să integrăm:

În partea stângă este o integrală de masă. In dreapta - facem inlocuirea t=lnu, de unde dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Dar am discutat deja că în astfel de ecuații este mai convenabil să luăm ln│C│ în loc de C. Apoi

ln│t│=ln│x│+ln│C│. După proprietatea logaritmilor: ln│t│=ln│Сx│. Prin urmare, t=Cx. (după condiție, x>0). Este timpul să facem înlocuirea inversă: lnu=Cx. Și încă o înlocuire inversă:

Prin proprietatea logaritmilor:

Aceasta este integrala generală a ecuației.

Reamintim condiția produsului x·u·lnu≠0 (și deci x≠0,u≠0, lnu≠0, de unde u≠1). Dar x≠0 din condiție, u≠1 rămâne, deci x≠y. Evident, y=x (x>0) sunt incluse în soluția generală.

2) Aflați integrala parțială a ecuației y’=x/y+y/x, îndeplinind condițiile inițiale y(1)=2.

În primul rând, verificăm dacă această ecuație este omogenă (deși prezența termenilor y/x și x/y indică deja indirect acest lucru). Apoi facem înlocuirea u=y/x, din care y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Inlocuim expresiile rezultate in ecuatie:

u'x+u=1/u+u. Să simplificăm:

u'x=1/u. Deoarece u este o funcție a lui x, u’=du/dx:

Am obținut o ecuație cu variabile separabile. Pentru a separa variabilele, înmulțim ambele părți cu dx și u și împărțim cu x (x≠0 prin condiție, deci și u≠0, ceea ce înseamnă că nu există pierderi de soluții).

Să integrăm:

și întrucât ambele părți conțin integrale tabulare, obținem imediat

Efectuăm înlocuirea inversă:

Aceasta este integrala generală a ecuației. Folosim condiția inițială y(1)=2, adică substituim y=2, x=1 în soluția rezultată:

3) Aflați integrala generală a ecuației omogene:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Înlocuirea u=y/x, de unde y=ux, dy=xdu+udx. Să înlocuim:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Scoatem x² din paranteze și împărțim ambele părți la el (cu condiția x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Deschideți parantezele și simplificați:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupăm termenii cu du și dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Să luăm factorii comuni din paranteze:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Separăm variabilele:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale ecuației la xu(u²+1)≠0 (în consecință, adăugăm cerințele x≠0 (deja notate), u≠0):

Să integrăm:

În partea dreaptă a ecuației există o integrală tabelară și descompunem fracția rațională din partea stângă în factori simpli:

(sau în a doua integrală, în loc de a înlocui semnul diferențial, a fost posibil să se facă înlocuirea t=1+u², dt=2udu - cui îi place care metodă este mai bună). Primim:

După proprietățile logaritmilor:

Înlocuire inversă

Reamintim condiția u≠0. Prin urmare y≠0. Când C=0 y=0, aceasta înseamnă că nu există pierderi de soluții, iar y=0 este inclus în integrala generală.

cometariu

Puteți obține o soluție scrisă într-o formă diferită dacă lăsați termenul cu x în stânga:

Sensul geometric al curbei integrale în acest caz este o familie de cercuri cu centre pe axa Oy și care trec prin origine.

Sarcini de autotestare:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Verificăm dacă ecuația este omogenă, după care facem înlocuirea u=y/x, de unde y=ux, dy=xdu+udx. Înlocuiți în condiția: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Împărțind ambele părți ale ecuației la x²≠0, obținem: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Prin urmare, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Simplificand, avem: dx-xudu=0. Prin urmare, xudu=dx, udu=dx/x. Să integrăm ambele părți:

Stop! Să încercăm să înțelegem această formulă greoaie.

Prima variabilă din putere cu un anumit coeficient ar trebui să vină pe primul loc. În cazul nostru este

În cazul nostru este. După cum am aflat, asta înseamnă că gradul la prima variabilă converge. Și a doua variabilă de gradul întâi este în vigoare. Coeficient.

Il avem.

Prima variabilă este o putere, iar a doua variabilă este la pătrat, cu un coeficient. Acesta este ultimul termen din ecuație.

După cum puteți vedea, ecuația noastră se potrivește definiției sub forma unei formule.

Să ne uităm la a doua parte (verbală) a definiției.

Avem două necunoscute și. Converge aici.

Să luăm în considerare toți termenii. În ele, suma gradelor necunoscutelor ar trebui să fie aceeași.

Suma gradelor este egală.

Suma puterilor este egală cu (la și la).

Suma gradelor este egală.

După cum puteți vedea, totul se potrivește!!!

Acum să exersăm definirea ecuațiilor omogene.

Determinați care dintre ecuații sunt omogene:

Ecuații omogene - ecuații cu numere:

Să luăm în considerare ecuația separat.

Dacă împărțim fiecare termen prin factorizarea fiecărui termen, obținem

Și această ecuație se încadrează complet sub definiția ecuațiilor omogene.

Cum se rezolvă ecuații omogene?

Exemplul 2.

Să împărțim ecuația la.

Conform condiției noastre, y nu poate fi egal. Prin urmare, ne putem împărți în siguranță

Făcând înlocuirea, obținem o ecuație pătratică simplă:

Deoarece aceasta este o ecuație pătratică redusă, folosim teorema lui Vieta:

După ce facem înlocuirea inversă, obținem răspunsul

Răspuns:

Exemplul 3.

Să împărțim ecuația la (după condiție).

Răspuns:

Exemplul 4.

Găsiți dacă.

Aici trebuie să nu împărțiți, ci să înmulțiți. Să înmulțim întreaga ecuație cu:

Să facem o înlocuire și să rezolvăm ecuația pătratică:

După ce am făcut înlocuirea inversă, obținem răspunsul:

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice omogene.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice omogene nu este diferită de metodele de rezolvare descrise mai sus. Numai că aici, printre altele, trebuie să cunoști puțină trigonometrie. Și să poți rezolva ecuații trigonometrice (pentru asta poți citi secțiunea).

Să ne uităm la astfel de ecuații folosind exemple.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația.

Vedem o ecuație tipică omogenă: și sunt necunoscute, iar suma puterilor lor în fiecare termen este egală.

Astfel de ecuații omogene nu sunt greu de rezolvat, dar înainte de a împărți ecuațiile în ecuații, luați în considerare cazul când

În acest caz, ecuația va lua forma: , deci. Dar sinusul și cosinusul nu pot fi egale în același timp, deoarece conform identității trigonometrice de bază. Prin urmare, îl putem împărți în siguranță în:

Deoarece ecuația este dată, atunci conform teoremei lui Vieta:

Răspuns:

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația.

Ca în exemplu, trebuie să împărțiți ecuația cu. Să luăm în considerare cazul când:

Dar sinusul și cosinusul nu pot fi egale în același timp, deoarece conform identității trigonometrice de bază. De aceea.

Să facem o înlocuire și să rezolvăm ecuația pătratică:

Să facem înlocuirea inversă și să găsim și:

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale omogene.

Ecuațiile omogene sunt rezolvate în același mod ca cele discutate mai sus. Dacă ați uitat cum să rezolvați ecuațiile exponențiale, priviți secțiunea corespunzătoare ()!

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 7.

Rezolvați ecuația

Să ne imaginăm așa:

Vedem o ecuație tipică omogenă, cu două variabile și o sumă de puteri. Să împărțim ecuația în:

După cum puteți vedea, făcând înlocuirea, obținem ecuația pătratică de mai jos (nu trebuie să vă temeți de împărțirea la zero - este întotdeauna strict mai mare decât zero):

Conform teoremei lui Vieta:

Răspuns: .

Exemplul 8.

Rezolvați ecuația

Să ne imaginăm așa:

Să împărțim ecuația în:

Să facem o înlocuire și să rezolvăm ecuația pătratică:

Rădăcina nu satisface condiția. Să facem înlocuirea inversă și să găsim:

Răspuns:

ECUAȚII OMogene. NIVEL MEDIU

În primul rând, folosind exemplul unei probleme, permiteți-mi să vă reamintesc ce sunt ecuațiile omogene și care este soluția ecuațiilor omogene.

Rezolva problema:

Găsiți dacă.

Aici puteți observa un lucru curios: dacă împărțim fiecare termen la, obținem:

Adică, acum nu există separate și, - acum variabila din ecuație este valoarea dorită. Și aceasta este o ecuație pătratică obișnuită care poate fi rezolvată cu ușurință folosind teorema lui Vieta: produsul rădăcinilor este egal, iar suma este numerele și.

Răspuns:

Ecuații de formă

se numeste omogen. Adică, aceasta este o ecuație cu două necunoscute, fiecare termen având aceeași sumă de puteri ale acestor necunoscute. De exemplu, în exemplul de mai sus această sumă este egală cu. Ecuațiile omogene sunt rezolvate prin împărțirea la una dintre necunoscutele în acest grad:

Și înlocuirea ulterioară a variabilelor: . Astfel obținem o ecuație de putere cu o necunoscută:

Cel mai adesea vom întâlni ecuații de gradul doi (adică pătratice) și știm cum să le rezolvăm:

Rețineți că nu putem împărți (și înmulți) întreaga ecuație cu o variabilă decât dacă suntem convinși că această variabilă nu poate fi egală cu zero! De exemplu, dacă ni se cere să găsim, înțelegem imediat că, deoarece este imposibil de împărțit. În cazurile în care acest lucru nu este atât de evident, este necesar să se verifice separat cazul în care această variabilă este egală cu zero. De exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Vedem aici o ecuație tipică omogenă: și sunt necunoscute, iar suma puterilor lor în fiecare termen este egală.

Dar, înainte de a împărți la și a obține o ecuație relativă pătratică, trebuie să luăm în considerare cazul când. În acest caz, ecuația va lua forma: , ceea ce înseamnă . Dar sinusul și cosinusul nu pot fi egale cu zero în același timp, deoarece conform identității trigonometrice de bază: . Prin urmare, îl putem împărți în siguranță în:

Sper că această soluție este complet clară? Dacă nu, citiți secțiunea. Dacă nu este clar de unde a venit, trebuie să vă întoarceți chiar mai devreme - la secțiune.

Decide pentru tine:

Găsiți dacă.
Găsiți dacă.
Rezolvați ecuația.

Aici voi scrie pe scurt direct soluția ecuațiilor omogene:

Solutii:

Răspuns: .

Dar aici trebuie să înmulțim mai degrabă decât să împărțim:

Răspuns:

Dacă nu ați luat-o încă, puteți sări peste acest exemplu.

Deoarece aici trebuie să împărțim la, să ne asigurăm mai întâi că o sută nu este egal cu zero:

Și acest lucru este imposibil.

Răspuns: .

ECUAȚII OMogene. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Rezolvarea tuturor ecuațiilor omogene este redusă la împărțirea cu una dintre necunoscute la putere și modificarea ulterioară a variabilelor.

Algoritm:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!