Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения точки

Первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра:

Проецируя (171) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента точки относительно этих осей координат:

,
,
. (171")

Теорема об изменении кинетического момента системы

Первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

, (172)

где
– главный момент всех внешних сил системы.

Проецируя (172) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента системы относительно этих осей координат, т. е.

,
,
. (172")

Законы сохранения кинетических моментов

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю, т. е.
, то, согласно (79), кинетический момент системы
относительно той же точки постоянен по модулю и направлению, т. е.

. (173)

Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы называют законом сохранения кинетического момента . В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат по этому закону

,
,
,

где ,,– постоянные величины.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси
равна нулю, т.е.
, то из (172") следует, что

. (174)

Следовательно, кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что, в частности, наблюдается, когда внешние силы параллельны оси или пересекают ее. В частном случае для тела или системы тел, которые все вместе могут вращаться вокруг неподвижной оси, и если при этом

, или
, (175)

где и– момент инерции системы тел и их угловая скорость относительно оси вращения в произвольный момент времени;и– момент инерции тел и их угловая скорость в момент времени, выбранный за начальный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (172") следует дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
:

, (176)

где – угол поворота тела.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс

Пусть механическая система совершает движение относительно основной системы координат
. Возьмем подвижную систему координат
с началом в центре масс системы, движущуюся поступательно относительно основной системы координат. Можно доказать справедливость формулы:

где – абсолютная скорость центра масс,
.

Величина
является кинетическим моментом системы относительно центра масс для относительного движения относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс, т. е. системы
.

Формула (176) показывает, что кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно той же точки, если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движение системы по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс; она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой :

или
, (178)

где
является главным моментом всех внешних сил относительно центра масс.

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0 ) по времени:

Так как dr/dt=V , то векторное произведение V × m∙V (коллинеарных векторов V и m∙V ) равно нулю. В то же время d(m∙V)/dt=F согласно теореме о количестве движения материальной точки . Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r×F , (3.3)

где r×F = M 0 (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r, m×V ), а вектор M 0 (F) ⊥ плоскости (r, F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F) ;

dk y /dt = M y (F) ;

dk z /dt = M z (F) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1

Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F) = 0 . Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const , т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2

Пусть M z (F) = 0 , т.е. сила пересекает ось z или параллельна ей.

В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const , т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным .

Кинетический момент точки и механической системы

Рис. 3.14

Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.

Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),

Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):

(3.20)

Кинетический момент приложен к точке О , относительно которой он вычисляется.

Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:

Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).

Согласно формулам (3.21), имеем

Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость причем количество движения точки перпендикулярно отрезку d k и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz , следовательно,

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Для всего тела:

где J z – момент инерции относительно оси вращения.

Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы

Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)

Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:

(3.22)

Учтем, что тогда выражение (3.22) примет вид

Или, с учетом того, что

– сумма моментов внешних сил относительно центра O , окончательно имеем:

(3.23)

Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.

Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.

Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:

Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если

(3.24)

Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,

(3.25)

Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.

Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A , движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью

Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)

Рис. 3.17

так как то

Учитывая, что где – скорость центра масс системы, получаем

Вычислим производную по времени от кинетического момента

В полученном выражении:

Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что

окончательно получаем

Если точка совпадает с центром масс системы C , то и теорема принимает вид

т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О .

3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az (рис. 3.18) под действием системы внешних сил
Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:

Рис. 3.18

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

где J z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.

Учитывая это, получаем:

Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство имеем

(3.26)

Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс

Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox 1 y 1 z 1 и подвижную Cxyz с началом в центре масс C , движущуюся поступательно (рис. 3.19).

Из векторного треугольника:

Рис. 3.19

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

или

где – абсолютная скорость точки M k , - абсолютная скорость центра масс С ,
- относительная скорость точки M k , т.к.

Кинетический момент относительно точки О

Подставляя значения и , получим

В этом выражении: – масса системы; ;

– кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz .

Кинетический момент принимает вид

Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид

Подставим значения и получим

Преобразуем это выражение с учетом, что

или

Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Направление и величина момента количества движенияопределяется точно так же, как в случае оценки момента силы (параграф 1.2.2).

Одновременно определим (главный) момент количества движения как векторную сумму моментов количества движений точек рассматриваемой системы . Он имеет и второе название – кинетический момент :

Найдем производную по времени выражения (3.40), используя правила дифференцирования произведения двух функций, а также то, что производная суммы равна сумме производных (т.е. знак суммы при дифференцировании можно перемещать как коэффициент):

Учтем очевидные кинематические равенства: . Тогда: . Используем среднее уравнение из формул (3.26) , а также то, что векторное произведение двух коллинеарных векторов ( и ) равно нулю, получим:

Применяя ко 2-му слагаемому свойство внутренних сил (3.36), получим выражение для теоремы об изменении главного момента количества движения механической системы:

(3.42)

Производная по времени от кинетического момента равна сумме моментов всех действующих в системе внешних сил .

Эту формулировку часто называют кратко: теорема моментов .

Необходимо заметить, что теорема моментов формулируется в неподвижной системе отсчета относительно некого неподвижного центра О. Если в качестве механической системы рассматривается твердое тело, то удобно выбрать центр О на оси вращения тела.

Следует отметить одно важное свойство теоремы моментов (приведем его без вывода). Теорема моментов выполняется и в движущейся поступательно системе отсчета, если в качестве ее центра выбран центр масс (т. С) тела (механической системы):

Формулировка теоремы в этом случае практически сохраняется.

Следствие 1

Пусть правая часть выражения (3.42) равна нулю =0, - система изолирована. Тогда из уравнения (3.42) следует, что .

Для изолированной механической системы вектор кинетического момента системы со временем не меняется ни направлению, ни по величине .

Следствие 2

При равенстве нулю правой части какого либо из выражений (3.44), например, для оси Oz: =0 (частично изолированная система), то из уравнений (3.44) следует: =const.

Следовательно, если сумма моментов внешних сил относительно какой либо оси равна нулю, то осевой кинетический момент системы по этой оси со временем не меняется .

Приведенные выше в следствиях формулировки есть выражения закона сохранение момента количества движения в изолированных системах .

Кинетический момент твердого тела

Рассмотрим частный случай – вращение твердого тела вокруг оси Oz (рис.3.4).

Рис.3.4

Точка тела, отстоящая от оси вращения на расстояние h k , вращается в плоскости, параллельной Oxy со скоростью . В соответствии с определением осевого момента используем выражение (1.19), заменив проекцию F XY силы на эту плоскость количеством движения точки . Оценим осевой кинетический момент тела:

По теореме Пифагора , поэтому (3.46) можно записать так:

(3.47)

Тогда выражение (3.45) приобретет вид:

(3.48)

Если воспользоваться законом сохранения кинетического момента для частично изолированной системы (следствие 2) применительно к твердому телу (3.48), получим . В этом случае можно рассмотреть два варианта:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определяется кинетический момент вращающегося твердого тела?

2. Чем отличается осевой момент инерции от осевого кинетического момента?

3. Как меняется со временем скорость вращения твердого тела при отсутствии внешних сил?

Осевой момент инерции твердого тела

Как мы убедимся впоследствии, осевой момент инерции тела имеет для вращательного движения тела такое же значение, как масса тела при его поступательном движении. Эта одна из важнейших характеристик тела, определяющая инерцию тела при его вращении. Как видно из определения (3.45), эта положительная скалярная величина, которая зависит от масс точек системы, но в большей мере от удаленности точек от оси вращения.

Для сплошных однородных тел простых форм величину осевого момента инерции, как и в случае оценки положения центра масс(3.8), считают методом интегрирования, используя вместо дискретной массы массу элементарного объема dm=ρdV:

(3.49)

Приведем для справки значения моментов инерции для некоторых простых тел:

m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину (рис.3.5).

Рис.3.5

· Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его торец (рис.3.6).

Рис.3.6

· Момент инерции тонкого однородного кольца массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (рис.3.7).

Рис.3.7

· Момент инерции тонкого однородного диска массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (рис.3.7).

Рис.3.8

· Момент инерции тела произвольной формы.

Для тел произвольной формы момент инерции пишут в такой форме:

где ρ – т.н. радиус инерции тела, или радиус некого условного кольца массой m , осевой момент инерции которого равен моменту инерции данного тела.

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Рис.3.9

Свяжем с телом две параллельные системы координат. Первая Cx"y"z", с началом координат в центре масс, называется центральной, и вторая Oxyz, с центром О, лежащей на оси Cx" на расстоянии СО = d (рис.3.9). Легко установить связи координат точек тела у этих систем:

В соответствии с формулой (3.47), момент инерции тела относительно оси Oz:

Здесь постоянные для всех членов 2-й и 3-й сумм правой части сомножители 2d и d вынесены из соответствующих сумм. Сумма масс в третьем слагаемом – это масса тела . Вторая сумма, в соответствии с (3.7), определяет координату центра масс С на оси Cx" (), причем очевидно равенство: . Учтя, что 1-е слагаемое, по определению, является моментом инерции тела относительно центральной оси Cz" (или Z C) , получим формулировку теоремы Гюйгенса - Штейнера:

(3.50)

Момент инерции тела относительно некой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной центральной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Приведите формулы для осевых моментов инерции стержня, кольца, диска.

2. Найдите радиус инерции круглого сплошного цилиндра относительно его центральной оси.

Теорема об изменении количества движения системы

Понятие импульса силы позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системы для произвольных систем:

где - начальный, а - конечный импульс изолированной системы, взаимодействующей с другими системами лишь посредством сил. Фактически, в этой формулировке закон сохранения импульса эквивалентен второму закону Ньютона и является его интегралом по времени, так как

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического моментаk 0) по времени:

Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m⋅V (коллинеарных векторов V и m⋅V ) равно нулю. В то же время d(m⋅V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r ,m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра : производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.