ARCH-модель Определение 1: Условной дисперсией называется дисперсия случайной переменной, обусловленная информацией о других случайных переменных, то есть дисперсия, найденная при условии наличия знаний о дисперсии в предыдущие моменты времени σt 2= D(εt |εt-1, εt-2…). Определение 2: ARCH-модель первого порядка имеет вид: , (1) где - остатки, полученные после предварительной оценки какой-либо модели. Здесь дисперсия в момент времени t зависит от квадрата ошибок в момент (t-1), то есть условная дисперсия σt 2 является AR-процессом квадрата ошибок модели. ARCH-модель (q) (порядок авторегрессии дисперсии – q) имеет вид: (2) здесь условная дисперсия представлена как линейная функция квадратов прошлых ошибок в моменты времени t-1, t-2, …, t-q ARпроцесс временных рядов – процесс авторегрессии, когда текущие значения ряда линейно зависят от предыдущих значений. 1

Моделировать дисперсию можно лишь после того, как из данных убрали среднюю величину, поэтому полная модель ARCH(q) имеет вид: (3) Здесь первое уравнение является AR-процессом р-ого порядка, а во втором уравнении моделируется условная дисперсия как линейная функция от q квадратов прошлых значений ошибок (εt-q), полученных после оценки первого уравнения. Условие «положительности» дисперсии: β 0>0, β 1≥ 0, β 2≥ 0, …, βq≥ 0. Смысл ARCH-модели: если абсолютная величина остатков модели εt первого уравнения (3) является большой, то это приведет к повышению условной дисперсии в последующие периоды (второе уравнение (3)), наоборот если остатки близки к нулю, то это приведет к снижению условной дисперсии. Это проявляется свойство, называемое кластеризацией волатильности, которую как раз и позволяет измерить ARCH-модель. Эффект кластеризации волатильности 2 впервые было отмечено Манделбротом (1963 г.)

Алгоритм определения наличия ARCH-эффектов. 1. необходимо построить AR-модель ряда xt с ошибкой εt согласно первому уравнению из (3); 2. определить остатки как оценки εt ; 3. построить линейную регрессию квадрата ошибок в момент времени t на квадрат остатков модели после моделирования АР: ; 4. протестировать коэффициент λ на отсутствие значимости с помощью теста Стьюдента, теста Фишера, χ2 теста, принимая за нулевую гипотезу: H 0: λ 1=0. Соответственно за альтернативную гипотезу H 1: λ 1≠ 0. 5. Если λ 1 значимо отличается от 0, то модель можно специфицировать как ARCH-модель первого порядка (ARCH (1)). 3

Общая схема тестирования модели на ARCH-эффекты: 1. 2. Проводится оценка модели (например, AR-модели, СС-модели, АРССмодели или простой регрессии по времени); на основе знания ошибок модели (– расчётное значение модели, построенной в пункте 1)), оценивается модель: Здесь модель тестируется на ARCH-эффекты p-го порядка. 3. для оценённой модели рассчитывается коэффициент детерминации R 2, отвечающий за качество подгонки модели; 4. формируются гипотезы (нулевая и альтернативная): , ; 5. определяется значение статистики χ2 расч =TR 2, где Т – объём выборки ряда, R 2 – коэффициент детерминации; 6. сравнивается χ2 расч с χ2 табл, определённым для степеней свободы p (p – число временных лагов в модели ARCH(p)) 7. если χ2 расч > χ2 табл, то H 0 отклоняется, и считается, что ARCH-модель существенна на заданном уровне значимости и её порядок равен p. 4

GARCH-модель Определение 3: GARCH-модель – модель с обобщённой авторегрессией условной гетероскедастичности. GARCH (p, q) имеет в отличие от ARCH-модели два порядка и в общем виде записывается: (4) где αi и βj >0 (i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, q) иначе дисперсия была бы меньше нуля. GARCH- модель показывает, что текущее значение условной дисперсии является функцией от константы – p-го значения квадратов остатков из уравнения условной средней (или любого другого уравнения) и q-го значения предыдущей условной дисперсии (то есть АR-процесс q-го порядка от условной дисперсии). Наиболее популярной для предсказания изменчивости доходности финансовых активов является модель GARCH(1, 1): (5). 5

Волатильность GARCH Волатильность (изменчивость) не является постоянным процессом, и может изменяться во времени. Если известна точная модель описания процесса, изменяющегося во времени, то для нахождения годовой волатильности этого процесса нужно определить квадратный корень из условной дисперсии и умножить модель на, где N – количество наблюдений в год. Полученная мера волатильности будет изменяться во времени, т. е. текущая волатильность будет определяться как функция от прошлой волатильности. Для предсказания волатильности при помощи GARCH-модели, можно использовать следующую рекурсивную модель: (6) (7) Здесь εt 2 - величина, неизвестная в будущем, которая при выполнении прогноза заменяется условной оценкой дисперсии σt. Таким образом, формула (7) позволяет предсказывать σt 2 в момент времени (t+1), затем σt 2 в момент времени (t+2) и т. д. При этом, например, σt+2 рассчитывается как условная дисперсия при условии известности значений y 1, y 2, …, yt и прогноза yt+1. Результат каждого расчёта является предсказанием условной дисперсии на j периодов вперёд. 6

Оценка моделей ARCH и GARCH процессы имеют, как правило, островершинное безусловное распределение. Так эксцессы (момент четвертого порядка) для модели ARCH (1), представленной уравнением (1), и GARCH (1; 1), представленной уравнением (5), соответственно равны и. Коэффициенты асимметрии (моменты третьего порядка) для моделей волатильности равны нулю. Несмотря на это стандартным методом оценки моделей является метод максимального правдоподобия, основывающийся на нормальном распределении. При этом оценки моделей будут состоятельными, но асимптотически неэффективными (неэффективные в пределе при увеличении числа степеней свободы). Отметим, что наличие высоких куртозисов ARCH-процессов хорошо согласуется с поведением многих финансовых показателей, имеющих толстые хвосты в распределении. 7

Оценка моделей ARCH и GARCH Рассмотрим условное математическое ожидание в момент времени t: , Отсюда ошибка определяется как: . Предположим, что, где - условная дисперсия, а z – распределена по стандартизированному нормальному закону, то есть z ~ N(0, 1). Тогда εt ~ N(0,), где для ARCH-модели: ; а для GARCH-модели: + В итоге для ARCH-модели мы имеем m+1+p+1 неизвестных параметров, а для GARCH-модели m+1+p+1+q параметров, подлежащих оцениванию. Оценка параметров производится методом максимального правдоподобия. 8

Проверка адекватности GARCH/ARCH моделей. Качество подгонки GARCH/ARCH модели под исходные данные можно контролировать на основе близости к единице индекса детерминации (R 2) или скорректированного на число степеней свободы индекса детерминации (R 2 Adjusted). или, здесь n – общее число наблюдений временного ряда, k – число степеней свободы модели (для GARCH k=p+q, для ARCH k=p), – остаточная или объясненная моделью дисперсия, – общая дисперсия. Для проверки достоверности оценок модели необходимо проанализировать стандартизованные остатки έ/σ, где σ – условное среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по модели GARCH/ARCH, а έ - остатки в уравнении условного математического ожидания (первоначального уравнения). Если модель GARCH/ARCH достаточно хорошо описана, то стандартизованные остатки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратичным отклонением. 9

Идентификация модели GARCH I этап: Расчет критерия Люнга-Бокса (LB). Рассчитывается LB статистика на основе предварительного расчета k коэффициентов автокорреляции по Т наблюдениям (ρk), с последующим возведением их в квадрат: (8) где m – максимальный лаг коэффициентов автокорреляции, Т – длина временного ряда. Выдвигается гипотеза о незначимости m лагов в исходной модели авторегрессии. Сравнивают расчетное значение LB с критическим значением χ2, определенным для степени свободы v=т. Если LBрасчетное > χ2 , то гипотезу о незначимости m лагов в исходной модели авторегрессии отклоняют на заданном уровне значимости α. II этап: Расчет критерия Люнга-Бокса по стандартизованным остаткам. Рассчитывают коэффициенты автокорреляции по стандартизованным остаткам с последующим возведением их в квадрат: (9) где m – максимальный лаг автокорреляции стандартизованных остатков. Выдвигается гипотеза о несущественности порядков p и q GARCH модели. LBрассчетное сравнивают с χ2 табл, определенным для степени свободы v 1=m-p-q, где т – общее число наблюдений, p и q – порядки GARCH модели. Если LBрассчетное

Идентификация модели GARCH на основе анализа коррелограмм 1. После оценивания математического ожидания ряда данных (на основе АРПСС моделей, выделения компонент временного ряда или обычной регрессии) получают остаточную компоненту. 2. Стандартизируют полученные остатки. 3. Строят коррелограммы АКФ и ЧАКФ на стандартизированных остатках. 4. Определяют количество лагов для коэффициентов АКФ и ЧАКФ, выходящих за границы белого шума. Полученное число является порядком ARCH-модели. Селекцию моделей ARCH и GARCH проводят исходв из минимума информационных критериев Акайке, Шварца и Ханена-Квина. 11

Условная вероятность

Условная вероятность -- вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть -- фиксированное вероятностное пространство. Пусть два случайных события, причём. Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Замечания:

· Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

· Если, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

· Условная вероятность является вероятностью, то есть функция, заданная формулой

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Случайные величины

Случайная величина -- это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть -- вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция, измеримая относительно и борелевской?-алгебры на. Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Классификация:

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). комбинаторика вероятность дисперсия математический

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

· Пример смешанной случайной величины -- время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

· В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

· Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

· Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Математические ожидания и дисперсия

Математическое ожидание -- среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert ), в русской -- (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert , а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина. То есть, по определению, -- измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или.

Основные формулы:

· Если -- функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега -- Стилтьеса:

· Математическое ожидание дискретного распределения

Если -- дискретная случайная величина, имеющая распределение

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

· Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью, равно

· Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть -- борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

Свойства:

· Математическое ожидание числа есть само число.

Константа;

· Математическое ожидание линейно, то есть

где -- случайные величины с конечным математическим ожиданием, а -- произвольные константы;

· Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и -- случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того

· Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то

· Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Дисперсия случайной величиным -- мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance ) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или. Квадратный корень из дисперсии, равный, называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Пусть -- случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

More meanings of this word and English-Russian, Russian-English translations for the word «УСЛОВНАЯ ДИСПЕРСИЯ» in dictionaries.

ДИСПЕРСИЯ — f. dispersion, scattering, deviation, variance
Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences
ДИСПЕРСИЯ — Dispersion
Русско-Американский Английский словарь
ДИСПЕРСИЯ — dispersion
ДИСПЕРСИЯ — физ. dispersion
Русско-Английский словарь общей тематики
ДИСПЕРСИЯ — 1) dispersion 2) variance
Новый Русско-Английский биологический словарь
ДИСПЕРСИЯ — ж. физ. dispersion
Русско-Английский словарь
ДИСПЕРСИЯ — ж. физ. dispersion
Russian-English Smirnitsky abbreviations dictionary
ДИСПЕРСИЯ — dispersion, variance
Russian-English Edic
ДИСПЕРСИЯ — (случайной величины) dispersion
Русско-Английский словарь по машиностроению и автоматизации производства
ДИСПЕРСИЯ — dispersion, variance
Русско-Английский словарь по строительству и новым строительным технологиям
ДИСПЕРСИЯ — dispersion
Русско-Английский экономический словарь
ДИСПЕРСИЯ — variance
Русско-Английский толковый словарь терминов и сокращений по ВТ, Интернету и программированию
ДИСПЕРСИЯ — Due to considerable dispersion of velocities of electromagnetic waves in the ionosphere…
Русско-Английский словарь идиом по космонавтике
ДИСПЕРСИЯ — жен. физ. dispersion dispersion
Большой Русско-Английский словарь
ДИСПЕРСИЯ — дисперсия dispersion
Русско-Английский словарь Сократ
BEETLE — жук (настольная игра для четырёх игроков; условная фигура жука делится на части, кот. обозначаются цифрами; игрок бросает кость и рисует …
Англо-Русский словарь Britain
VARIANCE
SOUND DISPERSION — акустическая дисперсия, дисперсия звука
Большой Англо-Русский словарь
PROBABILITY
Большой Англо-Русский словарь
NANOATOM
Большой Англо-Русский словарь
MINIMIZATION
Большой Англо-Русский словарь
HORSEPOWER — сущ.; тех. лошадиная сила (техническое) лошадиная сила (техническое) мощность в лошадиных силах - nominal * условная мощность в лошадиных силах; …
Большой Англо-Русский словарь
GRUNDYISM
Большой Англо-Русский словарь
GRUNDYISM — сущ. условная мораль, принятые в обществе нормы поведения (по имени Mrs Grundy - персонаж пьесы Мортона (1798 г.)) условные нормы …
Большой Англо-Русский словарь
GOODWILL — сущ. 1) а) доброжелательность; благосклоность, расположение (to, towards - к) to show goodwill ≈ выказывать расположение Syn: benevolence, favour …
Большой Англо-Русский словарь
DISPERSION — сущ. 1) разбрасывание; рассеивание Syn: dispersal, scattering 2) разбросанность 3) физ.; хим. дисперсия рассеивание; разбрасывание; рассредоточение (тж. воен.) - …
Большой Англо-Русский словарь
DISPERSAL — сущ. рассеивание; рассыпание; рассредоточение Syn: dispersion, scattering рассеивание; разбрасывание; рассредоточение (тж. воен.) - * zone (специальное) площадь рассеивания (the …
Большой Англо-Русский словарь
CONDITIONAL — 1. прил. 1) условный; обусловленный; основанный на договоре; конвенционный; конвенциональный conditional reflex ≈ условный рефлекс conditional promise ≈ условное обещание …
Большой Англо-Русский словарь
COMPILATION — сущ. 1) а) компиляция. компилирование, объединение the compilation of theological systems ≈ объединение теологических систем б) компиляция (составление сочинений на …
Большой Англо-Русский словарь
COLOR-KEY — условная окраска (напр. проводов) (американизм) условная окраска; - to identify by means of a * различать по цвету
Большой Англо-Русский словарь
HORSEPOWER — horsepower.ogg ʹhɔ:s͵paʋə n тех. 1. 1> лошадиная сила 2> мощность в лошадиных силах nominal horsepower - условная /расчётная/ мощность в …
Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
DISPERSION — dispersion.ogg dısʹpɜ:ʃ(ə)n n 1. 1> рассеивание; разбрасывание; рассредоточение (тж. воен.) dispersion zone - спец. площадь рассеивания 2> (the …
Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
CONDITIONAL — conditional.ogg kənʹdıʃ(ə)nəl a 1. условный, обусловленный to be conditional on smth. - зависеть от чего-л., иметь силу при каком-л. условии …
Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
VARIANCE — 1) вариантность 2) девиата 3) дисперсионный 4) матем. дисперсия 5) несогласие 6) несоответсвие 7) отклонение 8) противоречивость 9) рассеяние 10) расхождение 11) уклонение 12) флуктуация. absolutely minimal variance — абсолютно минимальная дисперсия arithmetical …
ESTIMATOR — 1) оценка 2) оценочная функция 3) сметчик 4) статистика используемая в качестве оценки 5) таксатор 6) формула оценки. absolutely unbiased estimator — абсолютно несмещенная оценка almost admissible …
Англо-Русский научно-технический словарь
HORSEPOWER — n тех. 1. 1) лошадиная сила 2) мощность в лошадиных силах nominal ~ - условная /расчётная/ мощность в лошадиных силах …
DISPERSION — n 1. 1) рассеивание; разбрасывание; рассредоточение (тж. воен.) ~ zone - спец. площадь рассеивания 2) (the Dispersion) ист. …
Новый большой Англо-Русский словарь - Апресян, Медникова
CONDITIONAL — a 1. условный, обусловленный to be ~ on smth. - зависеть от чего-л., иметь силу при каком-л. условии ~ promise …
Новый большой Англо-Русский словарь - Апресян, Медникова
HORSEPOWER — n тех. 1. 1> лошадиная сила 2> мощность в лошадиных силах nominal horsepower - условная /расчётная/ мощность в лошадиных силах …
DISPERSION — n 1. 1> рассеивание; разбрасывание; рассредоточение (тж. воен.) dispersion zone - спец. площадь рассеивания 2> (the Dispersion) ист. …
Большой новый Англо-Русский словарь
CONDITIONAL — a 1. условный, обусловленный to be conditional on smth. - зависеть от чего-л., иметь силу при каком-л. условии conditional promise …
Большой новый Англо-Русский словарь
CONDITIONAL — 1. прил. 1) условный; обусловленный; основанный на договоре; конвенционный; конвенциональный conditional reflex — условный рефлекс conditional promise — условное обещание …
Англо-Русский словарь по общей лексике
CONDITIONAL — 1. прил. 1) условный; обусловленный; основанный на договоре; конвенционный; конвенциональный conditional reflex — условный рефлекс conditional promise — условное обещание conditional behaviour — обусловленное …
Англо-Русский словарь общей лексики
SOUND DISPERSION — акустическая дисперсия, дисперсия звука, релаксационная дисперсия звука, дисперсия скорости звука
ROTATORY DISPERSION
Англо-Русский физический словарь
ROTARY DISPERSION — вращательная дисперсия, дисперсия оптического вращения, дисперсия оптической активности
Англо-Русский физический словарь
MATERIAL DISPERSION — дисперсия вещества, дисперсия материала, материальная дисперсия (напр. в световоде), дисперсия среды
Англо-Русский физический словарь
ACOUSTIC DISPERSION — акустическая дисперсия, дисперсия звука, дисперсия скорости звука
Англо-Русский физический словарь
CONDITIONAL ASSIGNMENT — условная передача, условная переуступка
Англо-Русский словарь по патентам и товарным знакам
ВЕРОЯТНОСТЕЙ — ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ Современная теория вероятностей, подобно другим разделам математики, например геометрии, состоит из результатов, выводимых логическим путем из некоторых основных …
Русский словарь Colier
ОПТИКА — ОПТИКА Геометрическая оптика основывается на представлении о прямолинейном распространении света. Главную роль в ней играет понятие светового луча. В волновой …
Русский словарь Colier
VARIANCE — сущ. 1) разногласие; размолвка; спор, конфликт to set at variance ≈ вызывать конфликт, приводить к столкновению; ссорить be at variance …
PROBABILITY — сущ. 1) возможное, осуществимое, правдоподобное His return to power was discussed openly as a probability. ≈ Его возвращение к власти …
Новый большой Англо-Русский словарь
NANOATOM — сущ. хим. наноатом, миллиардная часть атома (условная единица скорости реакций или концентрации элементов) (химическое) наноатом, миллиардная часть атома (условная единица …
Новый большой Англо-Русский словарь
MINIMIZATION — сущ.; амер. сокращение до минимума, минимизация Минимизация conditional ~ условная минимизация constrained ~ условная минимизация cost ~ минимизация издержек производства …
Новый большой Англо-Русский словарь Новый большой Англо-Русский словарь
GRUNDYISM — сущ. условная мораль, принятые в обществе нормы поведения (по имени Mrs Grundy - персонаж пьесы Мортона (1798 г.)) условные нормы …
Новый большой Англо-Русский словарь

Copyright © 2010-2020 сайт, AllDic.ru. Англо-русский словарь Онлайн. Бесплатные русско-английские словари и энциклопедия, транскрипция и переводы английских слов и текста на русский.
Free online English dictionaries and words translations with transcription, electronic English-Russian vocabularies, encyclopedia, Russian-English handbooks and translation, thesaurus.

Поскольку h 2t – условная дисперсия, ее значение в любой момент времени должно быть сугубо положительно. Отрицательная дисперсия бессмысленна. Для того чтобы быть уверенными, что результат получен при положительной условной дисперсии, обычно вводят условие неотрицательности коэффициентов регрессии. Например, для модели ARCH (х) все коэффициенты должны быть неотрицательными: аi > 0 для любых і = 0,1, 2, ..., q. Можно показать, что это достаточное, но не необходимое условие неотрицательности условной дисперсии.

Модели ARCH оказали серьезное влияние на развитие аппарата анализа временных рядов. Однако модель ARCH в первоначальном виде редко используется в последнее время. Это связано с тем, что при применении этих моделей возникает ряд проблем.

Некоторых из этих проблем можно избежать при помощи модели GARCH, которая представляет собой естественную модификацию модели ARCH. В отличие от модели ARCH модели GARCH широко используются на практике.

Для того чтобы определить, являются ли ошибки в модели условно гетероскедастичными, можно провести следующую процедуру.

Модель GARCH

Модель GARCH была предложена T. Боллерслевом [Bollerslev (1986)]. В этой модели предполагается, что условная дисперсия будет зависеть также от собственных лагов. Простейшая форма модели GARCH выглядит следующим образом:

Это модель вида GARCH (1, 1) (поскольку используют первые лаги и 2 и Of). Заметим, что модель GARCH может быть представлена в виде модели ARMA для условной дисперсии. Для того чтобы убедиться в этом, проведем следующие математические преобразования:

Последнее уравнение есть не что иное, как процесс ARMA (1,1) для квадрата ошибок.

В чем именно состоит преимущество моделей GARCH перед моделями ARCH? Основное преимущество моделей GARCH заключается в том, что для спецификации моделей GARCH требуется меньше параметров. Следовательно, модель в большей степени будет удовлетворять условиям неотрицательности.

Рассмотрим условную дисперсию модели GARCH (1, 1):

Для τ = 1 условной дисперсии будет выполняться уравнение

Перепишем условную дисперсию в виде

Для τ = 2 соответственно будет выполняться уравнение

Следовательно, условную дисперсию можно представить в виде

Она в свою очередь равна

В итоге получим уравнение

Первая скобка в этом уравнении – концстанта, причем при бесконечно большой выборке β“ будет стремиться к нулю. Следовательно, модель GARCH (1, 1) может быть представлена в виде

Последнее уравнение есть не что иное, как модель ARMA. Таким образом, модель GARCH (1,1), содержащая только три параметра в уравнении условной дисперсии, учитывает влияние на условную дисперсию бесконечно большого количества квадратов ошибок.

Модель GARCH (1, 1) может быть расширена до модели GARCH (р, q):

(8.17)

Необходимо отметить, что на практике возможностей модели GARCH (1,1), как правило, хватает, и не всегда целесообразно пользоваться моделями GARCH более высоких порядков.

Несмотря на то, что условная дисперсия модели GARCH изменяется со временем, безусловная дисперсия будет постоянной при a1 + β < 1:

В случае если a1 + β > 1, безусловная дисперсия не будет определена. Этот случай называется "нестационарностью дисперсии". В случае если "j +β = 1, модель будет называтьсяIGARCH. Нестационарность дисперсии не имеет строгой мотивации существования. Более того, модели GARCH, которых коэффициенты привели к нестационарности дисперсии, могут иметь некоторые более нежелательные свойства. Одним из них является невозможность сделать прогноз дисперсии исходя из модели. Для стационарных моделей GARCH прогнозы условной дисперсии сходились в долгосрочное среднее значение дисперсий. Для процесса IGARCH такой сходимости не будет. Прогноз условной дисперсии равняется бесконечности.