Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.
\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)
Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид
r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .
Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).
Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то
\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$
и, следовательно,
$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :
\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .
Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:
\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).
В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим
\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и
M 2 (5; -2; 1 / 2).
После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)
Лекция № 7 |
Плоскость и прямая в пространстве |
проф. Дымков М.П. |
|||||||||||||
1. Параметрическое уравнение прямой
Пусть даны точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой и вектор s = (l ,m ,n ) , лежащий на
этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой .
Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее
уравнение. Возьмем произвольную точку M (x , y , z ) на прямой. Ясно, что векторы
M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s коллинеарны.
Следовательно, M 0 M = t s − есть векторное уравнение прямой.
В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление
x = x0 + t l , |
y = y0 + tm , |
z = z0 + tn , |
−∞ < t < +∞, |
|||||||||||||||
где t – «пробегает» |
промежуток (−∞ ,∞ ) , |
(т.к. точка M (x , y , z ) должна |
||||||||||||||||
«пробегать» |
всю прямую). |
|||||||||||||||||
2. Каноническое уравнение прямой |
||||||||||||||||||
Исключив параметр t из предыдущих уравнений, имеем |
||||||||||||||||||
x − x |
y − y |
z − z |
||||||||||||||||
T − |
каноническое уравнение прямой. |
|||||||||||||||||
3. Угол между прямыми. Условия « » и « » двух прямых |
||||||||||||||||||
Пусть даны д ве прямые |
x − xi |
y − yi |
z − zi |
i = 1,2. |
||||||||||||||
Определение. |
Углом между прямыми L 1 и L 2 |
назовем любой угол из |
двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку (для чего возможно требуется совершить параллельный перенос одной из прямых).
Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между
направляющими векторами прямых |
= (l 1 ,m 1 ,n 1 ) |
= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [а второй угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда будет равен (π − φ ) ]. Тогда угол определяется из соотношения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosφ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l 1 2 + m 1 2 + n 1 2 |
l 2 2 + m 2 2 + n 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямые параллельны , если s и s |
коллинеарны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямые перпендикулярны s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .
4. Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и
плоскости
Пусть прямая L задана своим каноническим уравнением x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,
а плоскость P – уравнением
Ax + By + Cz + D = 0.
Определение. Углом между прямой L
и плоскостью р называется острый угол между прямой L и ее проекцией на плоскость.
Из определения (и рисунка) следует, что искомый угол ϕ является дополнительным (до прямого угла) к углу между вектором нормали n (A , B ,C ) и
направляющим вектором s (l ,m ,n ) .
Al + Bm + Cn |
|||||||||||||||||||||||||
−φ |
Sin φ = |
||||||||||||||||||||||||
A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2 |
(. берется, чтобы получить острый угол).
Если L Р , то тогда s n (s ,n ) = 0
Al + Bm + Cn = 0 − |
условие « ». |
||||
Если L Р , то тогда s коллинеарно n |
|||||
C − |
условие « ». |
||||
5. Точки пересечения прямой и плоскости |
|||||
L : x = x0 + l , t , |
y = y0 + m t , z = z0 + n t ; |
||||
P : Ax + By + Cz + D = 0 . |
|||||
Подставив выражения для х , у , z в уравнение плоскости и преобразовав, |
|||||
t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D . |
|||||
Al + Bm + Cn |
Теперь, если подставить найденное «t » в параметрические уравнения прямой, то найдем искомую точку пересечения
Лекция № 8-9 |
Основы математического анализа |
проф. Дымков М.П. |
||||||||||||||
Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода, которая встречается в курсе в различных формах. Мы начнем с самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Это облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода – предела функции. В последующем конструкции предельных переходов будут использоваться в построении дифференциального и интегрального исчисления.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей
Предел последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Монотонные последовательности
Критерий сходимости Коши
Число е и его экономическая иллюстрация.
Применение пределов в экономических расчетах
§ 1. Числовые последовательности и простейшие свойства
1. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями
Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей известны из школы:
1) последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий;
2) последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность;
3) последовательность чисел |
приближающих число |
|||||||||
будем называть числовой последовательностью (или просто последовательностью).
Отдельные числа x 3 , x 5 , x n будем называть элементами или членами последовательности (1). Символ x n называют общим или n -м членом данной последовательности. Придавая значение n = 1, 2, … в общем члене x n мы получаем, соответственно, первый x 1 , второй x 2 и т.д. члены.
Последовательность считается заданной (см. Опр.), если указан способ получения любого ее элемента. Часто последовательность задают формулой для общего члена последовательности.
Для сокращения записи последовательность (1) иногда записывают как
{ x n } . Например, |
означает последовательность 1, |
|||||||
{ 1+ (− 1)n } имеем |
0, 2, 0, 2, … . |
Структура общего члена (его формула) может быть сложной. Например,
n N. |
|||||||
x n = |
n-нечетное |
||||||
Иногда последовательность задается так называемыми рекуррентными формулами , т.е. формулами, позволяющими находить последующие члены последовательности по известным предыдущим.
Пример (числа Фибоначчи). Пусть x 1 = x 2 = 1 и задана рекуррентная формула x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тогда имеем последовательность 1, 1,
2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи). Геометрически числовую последовательность можно изобразить на чис-
ловой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соот-
ветствующим членам последовательности. Например, { x n } = 1 n .
Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 66
Рассмотрим наряду с последовательностью { x n } еще одну последовательность { y n } : y 1 , y 2 , y ,n (2).
Определение. Суммой (разностью, произведением, частным) последо-
вательностей { xn } и { yn } называется последовательность { zn } , члены кото-
образованы по |
z n = x n + y n |
|||||||||||||||
X − y |
≠ 0 |
|||||||||||||||
Произведением последовательности { xn } на число c R называется последовательность { c xn } .
Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной
сверху (снизу), если существует вещественное число М (m), такое что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравен-
ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу m ≤ xn ≤ M . Последовательность xn называ-
ется неограниченной, если для положительного числа А (сколь угодно большего) найдется хотя бы один элемент последовательности xn , удовлетворя-
ющий неравенству xn > A.
{ x n } = { 1n } − ограничена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.
{ x n } = { n } − ограничена снизу 1, но является неограниченной.
{ x n } = { − n } − ограничена сверху (–1), но также неограниченная.
Определение. Последовательность { x n } называется бесконечно малой ,
если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым его не взяли) существует номер N , зависящий, вообще говоря от ε , (N = N (ε )) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство x n < ε .
Пример. { x n } = 1 n .
Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно боль-
шой , если для положительного вещественного числа А (какое бы большое оно не было) найдется номер N (N = N(A)) такой, что при всех n ≥ N выпол-
няется неравенство xn > A.
Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.
Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор
Векторы иколлинеарны.
- каноническое уравнение прямой в пространстве.
44 Параметрические уравнения прямой
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:
Отсюда получим: m: n: p = cosa: cosb: cosg.
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
45 Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.
Аналитическая геометрия
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и М2(х2у2). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2
тройка.
Это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)
Перейдем теперь к уравнениям прямой и плоскости в пространстве.
Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве
Аналогично двумерному случаю любое уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве Оxyz.. Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – что представляет собой это уравнение?
Значения х –х0, у-у0 и z –z0 - это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х 0, у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N - вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.
Тогда их скалярное произведение должно равняться нулю.
В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:
А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая.
46 Угол между прямыми в пространстве
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .
Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:
Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.
Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид . Примем за параметр величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.
Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра является вся ось вещественных чисел: .
Мы получим или окончательно
Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).
Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .
Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:
Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой
Пример 2. Записать уравнение прямой
в общем виде.
Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:
Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:
Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.
Пример 3. Записать уравнение прямой в виде параметрических уравнений.
Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:
Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение
Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:
Таким образом, нам известны точка и направляющий вектор . Подставляем их данные в (1) и получаем искомые параметрические уравнения прямой:
Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое, затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.
Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:
Пример 5. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой
Обязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно.
Если известна точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой :
О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции .
Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу:
Пример 7
Решение : Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из уравнений снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.
Составим параметрические уравнения данной прямой:
Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра :
Таким образом:
б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен: (будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: .
Составим параметрические уравнения прямой:
в) Перепишем уравнения в виде , то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули : . На оставшееся место ставим единицу : . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.
Запишем параметрические уравнения прямой:
Для тренировки:
Пример 8
Составить параметрические уравнения следующих прямых:
Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом . Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям).
Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны.
Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи.