A témában bemutatott anyag a "Racionális törtek. Racionális törtek bontása elemi (egyszerű) törtekre" témakörben bemutatott információkon alapul. Erősen ajánlom, hogy legalább olvassa át ezt a témát, mielőtt tovább olvassa ezt az anyagot. Ezenkívül szükségünk lesz egy határozatlan integrálok táblázatára.

Hadd emlékeztesselek néhány kifejezésre. A megfelelő témában szóba kerültek, ezért itt egy rövid megfogalmazásra szorítkozom.

Két polinom $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ arányát racionális függvénynek vagy racionális törtnek nevezzük. A racionális tört ún helyes, ha $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется rossz.

Az elemi (egyszerű) racionális törtek négy típusú racionális törtek:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Megjegyzés (kívánatos a szöveg teljesebb megértéséhez): show\hide

Miért van szükség a $p^2-4q feltételre?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Például a $x^2+5x+10$ kifejezéshez ezt kapjuk: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Mivel $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Egyébként ehhez az ellenőrzéshez egyáltalán nem szükséges, hogy a $x^2$ előtti együttható 1 legyen. Például $5x^2+7x-3=0$ esetén a következőt kapjuk: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 USD. Mivel $D > 0$, a $5x^2+7x-3$ kifejezés faktorizálható.

Példák racionális törtekre (helyes és helytelen), valamint példák a racionális törtek elemire bontására. Itt csak az integrációjuk kérdéseire leszünk kíváncsiak. Kezdjük az elemi törtek integrálásával. Tehát a fenti négy elemi törttípus mindegyike könnyen integrálható az alábbi képletekkel. Hadd emlékeztessem önöket arra, hogy a (2) és (4) típusú törtek integrálásakor a $n=2,3,4,\ldots$ feltételezhető. A (3) és (4) képlet megköveteli a $p^2-4q feltétel teljesülését< 0$.

\begin(egyenlet) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(egyenlet)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ esetén a $t=x+\frac(p)(2)$ behelyettesítés történik, ami után a kapott intervallum ketté osztva. Az első kiszámítása a differenciáljel alá való beírással történik, a második pedig $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ezt az integrált az ismétlődési reláció segítségével veszi fel

\begin(egyenlet) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(egyenlet)

Egy ilyen integrál számítását a 7. példa tárgyalja (lásd a harmadik részt).

A racionális függvények integráljai (racionális törtek) kiszámításának sémája:

1. Ha az integrandus elemi, akkor alkalmazza az (1)-(4) képleteket.
2. Ha az integrandus nem elemi, akkor ábrázolja elemi törtek összegeként, majd integrálja az (1)-(4) képletekkel.

A racionális törtek integrálására szolgáló fenti algoritmusnak tagadhatatlan előnye van - univerzális. Azok. ezzel az algoritmussal integrálható Bármi racionális tört. Éppen ezért egy határozatlan integrálban a változók szinte minden változása (Euler, Csebisev, univerzális trigonometrikus helyettesítés) úgy történik, hogy e változtatás után az intervallum alatti racionális törtet kapjuk. És akkor alkalmazza rá az algoritmust. Ennek az algoritmusnak a közvetlen alkalmazását elemezzük példákon keresztül, egy kis megjegyzés után.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Elvileg ez az integrál könnyen beszerezhető a képlet mechanikus alkalmazása nélkül. Ha kivesszük az integráljelből a $7$ konstanst, és figyelembe vesszük, hogy $dx=d(x+9)$, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Részletes információkért javaslom a témában való áttekintést. Részletesen elmagyarázza, hogyan kell megoldani az ilyen integrálokat. A képletet egyébként ugyanazok az átalakítások igazolják, amelyeket ebben a bekezdésben alkalmaztunk a „kézi” megoldásnál.

2) Ismét két módja van: használja a kész formulát, vagy nélküle. Ha alkalmazza a képletet, akkor figyelembe kell vennie, hogy a $x$ (4-es szám) előtti együtthatót el kell távolítani. Ehhez egyszerűen vegyük ki ezt a négyet a zárójelekből:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Most itt az ideje alkalmazni a képletet:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Megteheti a képlet használata nélkül is. És még anélkül is, hogy az állandó 4$-t kivennénk a zárójelekből. Ha figyelembe vesszük, hogy $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Az ilyen integrálok megtalálásának részletes magyarázata a „Integráció helyettesítéssel (helyettesítés a differenciáljel alatt)” témakörben található.

3) Integrálnunk kell a $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ törtet. Ennek a törtnek a szerkezete $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, ahol $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ahhoz azonban, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ez valóban a harmadik típus elemi törtrésze, ellenőriznie kell, hogy a $p^2-4q feltétel teljesül-e< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Oldjuk meg ugyanazt a példát, de kész képlet nélkül. Próbáljuk meg elkülöníteni a nevező deriváltját a számlálóban. Mit is jelent ez? Tudjuk, hogy $(x^2+10x+34)"=2x+10$. A $2x+10$ kifejezést kell elkülönítenünk a számlálóban. Eddig a számláló csak $4x+7$-t tartalmaz, de ez nem tart sokáig Alkalmazzuk a következő transzformációt a számlálóra:

$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Ekkor a szükséges $2x+10$ kifejezés megjelenik a számlálóban. Az integrálunk pedig a következőképpen írható át:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Osszuk ketté az integrandust. Nos, és ennek megfelelően maga az integrál is „kétágú”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \jobbra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Először beszéljünk az első integrálról, i.e. körülbelül $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Mivel $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ezért az integrandus számlálója tartalmazza a nevező differenciálját. Röviden, ehelyett a $( 2x+10)dx$ kifejezésből $d(x^2+10x+34)$-t írunk.

Most pedig ejtsünk néhány szót a második integrálról. Válasszunk ki egy teljes négyzetet a nevezőben: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ezenkívül figyelembe vesszük a $dx=d(x+5)$. Most a korábban kapott integrálok összege egy kicsit más formában átírható:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ha az első integrálban végrehajtjuk a $u=x^2+10x+34$ cserét, akkor az $\int\frac(du)(u)$ alakot ölti, és a második képlet egyszerű alkalmazásával érhető el . Ami a második integrált illeti, az $u=x+5$ változtatás lehetséges, ami után $\int\frac(du)(u^2+9)$ alakot ölt. Ez a legtisztább tizenegyedik formula a határozatlan integrálok táblázatából. Tehát, visszatérve az integrálok összegéhez, a következőt kapjuk:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ugyanazt a választ kaptuk, mint a képlet alkalmazásakor, ami szigorúan véve nem meglepő. Általánosságban elmondható, hogy a képlet bizonyítása ugyanazokkal a módszerekkel történik, mint amelyeket ennek az integrálnak a meghatározásához használtunk. Úgy gondolom, hogy a figyelmes olvasónak itt egy kérdése lehet, ezért megfogalmazom:

1. kérdés

Ha a határozatlan integrálok táblázatának második képletét alkalmazzuk a $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integrálra, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miért nem volt modul a megoldásban?

Válasz az 1. kérdésre

A kérdés teljesen természetes. A modul csak azért hiányzott, mert a $x^2+10x+34$ kifejezés bármely $x\in R$ esetén nagyobb nullánál. Ezt meglehetősen könnyű többféleképpen is megmutatni. Például mivel $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ és $(x+5)^2 ≥ 0$, akkor $(x+5)^2+9 > 0$ . Gondolkodhat másként, anélkül, hogy egy teljes négyzetet kiválasztana. Mivel $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ bármely $x\in R$-ban (ha ez a logikai lánc meglepő, azt tanácsolom, hogy nézze meg a másodfokú egyenlőtlenségek grafikus módszerét). Mindenesetre mivel $x^2+10x+34 > 0$, akkor $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Modul helyett használhat szokásos zárójeleket.

Az 1. példa minden pontja megoldva, már csak a választ kell leírni.

Válasz:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

2. példa

Keresse meg a $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integrált.

Első pillantásra a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrandus nagyon hasonlít a harmadik típus elemi törtjére, azaz. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Úgy tűnik, hogy az egyetlen különbség a $3$-os együttható a $x^2$ előtt, de nem tart sokáig az együttható eltávolítása (zárójelbe téve). Ez a hasonlóság azonban nyilvánvaló. A $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ tört esetében a $p^2-4q feltétel kötelező< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

A $x^2$ előtti együtthatónk nem egyenlő eggyel, ezért ellenőrizze a $p^2-4q feltételt< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, ezért a $3x^2-5x-2$ kifejezés faktorizálható. Ez azt jelenti, hogy a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ tört nem a harmadik típus elemi törtje, ezért alkalmazza a $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) az integrál 5x-2)dx$ képlet nem lehetséges.

Nos, ha az adott racionális tört nem elemi tört, akkor elemi törtek összegeként kell ábrázolni, majd integrálni. Röviden: használja ki a nyomvonalat. Részletesen meg van írva, hogyan lehet egy racionális törtet elemire bontani. Kezdjük a nevező figyelembevételével:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(igazított) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(igazított)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

A szubinterkális törtet a következő formában mutatjuk be:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Most bontsuk fel a $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ törtet elemire:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\jobbra)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\jobbra). $$

Az $A$ és $B$ együtthatók meghatározásának két szabványos módja van: a meghatározatlan együtthatók módszere és a részértékek helyettesítésének módszere. Alkalmazzuk a részleges értékhelyettesítés módszerét, behelyettesítve a $x=2$, majd a $x=-\frac(1)(3)$ értékkel:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\jobbra); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Mivel az együtthatókat megtaláltuk, már csak a kész bővítést kell felírni:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Elvileg elhagyhatja ezt a bejegyzést, de én egy pontosabb lehetőséget szeretek:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Visszatérve az eredeti integrálhoz, az így kapott bővítést behelyettesítjük abba. Ezután az integrált kettéosztjuk, és mindegyikre alkalmazzuk a képletet. Inkább azonnal az integráljelen kívülre helyezem a konstansokat:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Válasz: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

3. példa

Keresse meg a $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integrált.

Integrálnunk kell a $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ törtet. A számláló egy másodfokú, a nevező pedig egy harmadfokú polinomot tartalmaz. Mivel a polinom fokszáma a számlálóban kisebb, mint a nevezőben lévő polinom mértéke, azaz. 2 dollár< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Nincs más dolgunk, mint a megadott integrált három részre osztani, és mindegyikre alkalmazni a képletet. Inkább azonnal az integráljelen kívülre helyezem a konstansokat:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Válasz: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

A téma példáinak elemzésének folytatása a második részben található.

Itt részletes megoldásokat kínálunk a következő racionális törtek integrálásának három példájára:
, , .

1. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Megoldás

Itt az integráljel alatt van egy racionális függvény, mivel az integrandus a polinomok töredéke. A nevező polinom foka ( 3 ) kisebb, mint a számlálópolinom fokszáma ( 4 ). Ezért először ki kell választania a tört teljes részét.

1. Jelöljük ki a tört teljes részét. Osszuk el x-et 4 x által 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Innen
.

2. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a köbös egyenletet:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Helyettesítsük x = 1 :
.

1 . osztás x-szel - 1 :

Innen
.
Másodfokú egyenlet megoldása.
.
Az egyenlet gyökerei: , .
Akkor
.

3. Bontsuk fel a törtet legegyszerűbb formájára.

.

Így találtuk:
.
Integráljunk.

Válasz

2. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Megoldás

Itt a tört számlálója egy nulla fokú polinom ( 1 = x 0). A nevező egy harmadfokú polinom. Mert a 0 < 3 , akkor a tört helyes. Bontsuk egyszerű törtekre.

1. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a harmadik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 3 (tag x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 3, -1, -3 .
Helyettesítsük x = 1 :
.

Tehát találtunk egy x = gyöket 1 . Osszuk el x-et 3 + 2 x - 3 x-en - 1 :

Így,
.

A másodfokú egyenlet megoldása:
x 2 + x + 3 = 0.
Keresse meg a diszkriminánst: D = 1 2 - 4 3 = -11. Mivel D< 0 , akkor az egyenletnek nincs valódi gyökere. Így megkaptuk a nevező faktorizálását:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Helyettesítsük x = 1 . Akkor x- 1 = 0 ,
.

Cseréljük be (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Tegyük egyenlővé (2.1) együtthatók x-re 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integráljunk.
(2.2) .
A második integrál kiszámításához elkülönítjük a nevező deriváltját a számlálóban, és redukáljuk a nevezőt négyzetösszegre.

;
;
.

Számítsd ki I 2 .


.
Mivel az x egyenlet 2 + x + 3 = 0 nincs valódi gyökere, akkor x 2 + x + 3 > 0. Ezért a modulusjel elhagyható.

címre szállítunk (2.2) :
.

Válasz

3. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Megoldás

Itt az integráljel alatt a polinomok töredéke található. Ezért az integrandus racionális függvény. A polinom mértéke a számlálóban egyenlő 3 . A tört nevezőjének polinomjának foka egyenlő 4 . Mert a 3 < 4 , akkor a tört helyes. Ezért egyszerű törtekre bontható. Ehhez azonban a nevezőt faktorizálni kell.

1. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a negyedik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 2 (tag x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy x = gyöket -1 . osztás x-szel - (-1) = x + 1:


Így,
.

Most meg kell oldanunk a harmadik fokú egyenletet:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (tag x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x = gyöket -1 . Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de csoportosítjuk a tagokat:
.

Mivel az x egyenlet 2 + 2 = 0 nincs valódi gyökere, akkor megkapjuk a nevező faktorizálását:
.

2. Bontsuk fel a törtet legegyszerűbb formájára. Bővítést keresünk a következő formában:
.
Megszabadulunk a tört nevezőjétől, szorozunk vele (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Helyettesítsük x = -1 . Ezután x + 1 = 0 ,
.

Tegyünk különbséget (3.1) :

;

.
Helyettesítsük x = -1 és vegyük figyelembe, hogy x + 1 = 0 :
;
; .

Cseréljük be (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Tegyük egyenlővé (3.1) együtthatók x-re 3 :
;
1 = B + C;
.

Tehát megtaláltuk az egyszerű törtekre való bontást:
.

3. Integráljunk.


.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 as integrálokban u elfogad . Majd miután n-a (19) képlet többszörös alkalmazása az egyik táblázatintegrálhoz jutunk

,
,
.

A 4-6 integrálokban a differenciálásnál egyszerűsítsük a transzcendentális tényezőt
,
vagy
, amit úgy kell venni u.

Számítsa ki a következő integrálokat!

7. példa.

8. példa.

Az integrálok redukálása önmagukra

Ha az integrand
a következő formában van:

,
,
stb,

majd részenkénti kétszeri integrálást követően az eredeti integrált tartalmazó kifejezést kapjuk :

,

Ahol
- néhány állandó.

Az eredményül kapott egyenlet feloldása , kapunk egy képletet az eredeti integrál kiszámításához:

.

Ezt az esetet, amikor a részenkénti integráció módszerét alkalmazzuk, az úgynevezett " magához hozva az integrált».

9. példa. Integrál kiszámítása
.

A jobb oldalon az eredeti integrál . A bal oldalra mozgatva a következőket kapjuk:

.

10. példa. Integrál kiszámítása
.

4.5. A legegyszerűbb megfelelő racionális törtek integrálása

Meghatározás.A legegyszerűbb megfelelő törtek én , II És III típusok A következő törteket nevezzük:

én. ;

II.
; (
- pozitív egész szám);

III.
; (a nevező gyökerei összetettek, azaz:
.

Tekintsük az egyszerű törtek integráljait.

én.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

A tört számlálóját úgy alakítjuk át, hogy a tagot a számlálóban elkülönítsük
, egyenlő a nevező deriváltjával.

Tekintsük a kapott két integrál közül az elsőt, és változtassunk rajta:

A második integrálban hozzáadjuk a nevezőt egy tökéletes négyzethez:

Végül a harmadik típus törtjének integrálja egyenlő:

=
+
. (22)

Így az I. típusú legegyszerűbb törtek integrálja logaritmusokkal, a II. típusú - racionális függvényekkel, a III. típusú - a logaritmusokkal és az arctangensekkel fejeződik ki.

4.6. Tört-racionális függvények integrálása

Az egyik olyan függvényosztály, amelynek elemi függvényekkel kifejezett integrálja van, az algebrai racionális függvények osztálya, vagyis olyan függvények, amelyek egy argumentum véges számú algebrai műveletéből adódnak.

Minden racionális függvény
két polinom arányaként ábrázolható
És
:

. (23)

Feltételezzük, hogy a polinomoknak nincs közös gyöke.

A (23) alak törtrészét hívjuk helyes, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, azaz m< n. Másképp - rossz.

Ha a tört helytelen, akkor a számlálót a nevezővel elosztva (a polinomok osztására vonatkozó szabály szerint) a törtet egy polinom és egy megfelelő tört összegeként mutatjuk be:

, (24)

Ahol
- polinom, - egy megfelelő tört, és a polinom fokszáma
- nem magasabb, mint diploma ( n-1).

Példa.

Mivel a polinom integrálása egy hatványfüggvény táblázatos integráljainak összegére redukálódik, a racionális törtek integrálásának fő nehézsége a megfelelő racionális törtek integrálása.

Az algebrában bebizonyosodott, hogy minden megfelelő tört a fentiek összegére bomlik protozoák törtek, amelyek alakját a nevező gyöke határozza meg
.

Nézzünk három speciális esetet. Itt és a továbbiakban azt feltételezzük, hogy az együttható a nevező legmagasabb fokán
egyenlő eggyel =1, vagyisredukált polinom .

1. eset. A nevező gyökerei, vagyis a gyökerek
egyenletek
=0, érvényesek és eltérőek. Ekkor a nevezőt lineáris tényezők szorzataként ábrázoljuk:

és a megfelelő törtet az I-gotípus legegyszerűbb törteire bontjuk:

, (26)

Ahol
– néhány állandó szám, amelyet a határozatlan együtthatók módszerével találunk meg.

Ehhez szüksége van:

1. Hozd a bővítés (26) jobb oldalát egy közös nevezőre.

2. Adja meg az azonos fokú azonos polinomok együtthatóit a bal és a jobb oldal számlálójában! Meghatározásához lineáris egyenletrendszert kapunk
.

3. Oldja meg a kapott rendszert, és keresse meg a meghatározatlan együtthatókat!
.

Ekkor a tört-racionális függvény (26) integrálja egyenlő lesz az I-típus legegyszerűbb törteinek integráljainak összegével, a (20) képlettel számítva.

Példa. Integrál kiszámítása
.

Megoldás. Tényezőzzük a nevezőt Vieta tételével:

Ezután az integrand függvényt egyszerű törtek összegére bontjuk:

.

x:

Írjunk fel egy három egyenletrendszert, hogy megtaláljuk
x bal és jobb oldalon:

.

Jelöljünk egy egyszerűbb módszert a bizonytalan együtthatók megtalálására, ún részérték módszer.

Feltételezve az egyenlőséget (27)
kapunk
, ahol
. hinni
kapunk
. Végül hinni
kapunk
.

.

2. eset. A nevező gyöke
érvényesek, de közöttük több (egyenlő) gyök található. Ekkor a nevezőt a szorzatban szereplő lineáris tényezők szorzataként ábrázoljuk, amennyiben a megfelelő gyök többszöröse:

Ahol
.

Megfelelő tört az I. és a II. típusú törtösszegét bontjuk fel. Legyen pl. - a multiplicitás nevezőjének gyöke k, és mindenki más ( n- k) gyökerei eltérőek.

Ezután a bővítés így fog kinézni:

Hasonlóképpen, ha más több gyökér is van. Nem többszörös gyökér esetén a (28) bővítés az első típus legegyszerűbb törtjeit tartalmazza.

Példa. Integrál kiszámítása
.

Megoldás. Képzeljük el a törtet az első és a második fajta legegyszerűbb, meghatározatlan együtthatójú törteinek összegeként:

.

Hozzuk a jobb oldalt egy közös nevezőre, és jelöljük ki a polinomokat a bal és a jobb oldal számlálóiban:

A jobb oldalon hasonlókat mutatunk be azonos fokozatokkal x:

Írjunk fel egy négy egyenletrendszert, hogy megtaláljuk
És . Ehhez az együtthatókat azonos hatványokon egyenlővé tesszük x a bal és a jobb oldalon

.

3. eset. A nevező gyökerei között
összetett egygyökerek vannak. Vagyis a nevező kiterjesztése másodfokú tényezőket foglal magában
, nem bonthatók valós lineáris tényezőkre, és nem ismétlődnek.

Ekkor egy tört felbontása során minden ilyen tényező a III. típusú legegyszerűbb törtrésznek felel meg. A lineáris tényezők az I. és II. típus legegyszerűbb törtrészeinek felelnek meg.

Példa. Integrál kiszámítása
.

Megoldás.
.

.

.

Oktatási intézmény "Belarusz állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Felsőmatematika Tanszék

Irányelvek

a Levelező Oktatási Számviteli Kar (NISPO) hallgatóinak tanulmányozása az „Egyes funkciók integrációja” témakörben

Gorki, 2013

Néhány funkció integrálása

Racionális függvények integrálása

Az űrlap funkciója
hívott racionális tört , ha a számlálója és a nevezője polinomok. Racionális tört hívott helyes , ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka. Ha a számláló foka nagyobb vagy egyenlő a nevező fokával, akkor a racionális tört hívott rossz .

Mivel bármely helytelen tört ábrázolható egy polinom és egy megfelelő tört összegeként, akkor egy nem megfelelő racionális tört integrálása egy polinom és egy megfelelő racionális tört integrálására redukálódik.

A polinomok könnyen integrálhatók. Tekintsük az alak törteinek integrálását
,
amelyeket úgy hívnak egyszerű racionális törtek .

.

.

Legyen a nevező
egy törtnek valódi gyökerei vannak, és az alaktényezők szorzatával ábrázolható
. Ezután minden egyes ilyen tényező esetében megjelenik az űrlap kiterjesztése
. Így minden megfelelő racionális tört véges számú egyszerű tört összegeként ábrázolható. Ez a meghatározatlan együtthatók módszerével történik.

1. példa . Tört integrálása
.

Megoldás .
Bontsuk fel az integrandust egyszerű törtekre:

Tegyük egyenlővé az együtthatókat és ingyenes tagok:
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert, és kapjuk meg ,
. Akkor

.

Néhány irracionális függvény integrálása

Ha az integrandus irracionális, akkor egy változó megváltoztatásával sok esetben racionális formára vagy olyan függvényre hozható, amelynek integrálja táblázatos. Az integrandust racionális formába hozó változó változtatásával történő integrációt nevezzük integráció az integrand racionalizálásán keresztül .

Az űrlap integráljai
az argumentum racionális függvényeinek integráljaira redukálódnak t helyettesítés segítségével
, Ahol k– számok legkisebb közös többszöröse
.

2. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás . A számok legkisebb közös többszöröse
És
egyenlő 6. Ezért alkalmaznunk kell a helyettesítést
. Akkor

. Bontsuk fel az integrand függvényt a legegyszerűbbekre: . Tegyük egyenlővé az együtthatókat és ingyenes tagok:
Innen találjuk
Akkor
. Így =
. Mert
, Azt
. Helyettesítsük be a kapott kifejezést:

.

Az űrlap integráljai
a helyettesítés segítségével racionális függvények integráljaira redukálódnak
.

3. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás . Végezzük el a helyettesítést
:

.

Tartalmazó kifejezések integrálása

trigonometrikus függvények

Tekintsük a trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések integrálásának főbb eseteit.

Az alak integráljainak megtalálásakor
,

,
integrand függvények a termékből

a bejegyzéseket a következő képletekkel konvertáljuk összegekké:

Ennek eredményeként az eredményül kapott integrálokat integrációs módszerekkel és integráltáblázatokkal találjuk meg. Ebben az esetben használhatja a képleteket
És
.

4. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás . Használjuk a fenti képletek közül az elsőt:

Az űrlap integráljai
egészen egyszerűen megtalálható a következő esetekben.

Ha m egy pozitív páratlan szám, akkor elválaszthatja a szinusz első hatványát és alkalmazhatja a helyettesítést
. Akkor
és az integrandus trigonometrikus képletek segítségével hatványfüggvényekre lesz redukálva. Ha n egy pozitív páratlan szám, akkor leválaszthatja a koszinusz első hatványát, és végrehajthatja a cserét
. Akkor
és a trigonometrikus függvényeket használó integrandus is hatványfüggvényekre lesz redukálva.

5. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás .

.

6. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás .

Ha mÉs n nem negatív páros számok, akkor az integrandusok transzformációja elvégezhető fokcsökkentő képletekkel
És
.

7. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás .

.

Az integrandusfüggvény egy olyan tört, amelynek a számlálója a szinusz hatványa, a nevezője pedig a koszinusz hatványa, vagy fordítva. Ebben az esetben a kitevő vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan, azaz. azonos paritású.

Ebben az esetben, ha a számláló szinusz, akkor a legmegfelelőbb helyettesítés
. Innen
,
,
,
.

Ha a számlálónak koszinusza van, akkor kényelmes a helyettesítés használata
. Akkor
,
,
,
.

8. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás .

.

Az alak integráljainak keresése
helyettesítéssel csökkentjük
a racionális függvények integráljainak megtalálásához. Helyettesítés
hívott univerzális trigonometrikus helyettesítés , ami mindig eredményre vezet. Ebben az esetben
,
,
,
,
.

9. példa . Keresse meg az integrált
.

Megoldás .
.

A tudás önkontrollának kérdései

racionális függvények integráljaira redukálódnak?

,

Mit nevezünk univerzális trigonometrikus helyettesítésnek és mikor használják?

Önálló munkához szükséges feladatok

Keresse meg a racionális függvények integráljait:

A)
; b)
; V)
.

2) Integrálja a trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezéseket:

A)
; b)
; V)
;

G)
; e)
.

Racionális függvények integrálása Tört - racionális függvény A legegyszerűbb racionális törtek Racionális tört bontása egyszerű törtekre Egyszerű törtek integrálása Racionális törtek integrálásának általános szabálya

n fokú polinom. Tört - racionális függvény A tört - racionális függvény két polinom arányával egyenlő függvény: Egy racionális törtet akkor nevezünk megfelelőnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, azaz m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Tört - racionális függvény Csökkentse a nem megfelelő törtet a megfelelő formára: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 633 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Legegyszerűbb racionális törtek Az alak megfelelő racionális törtei: A típusok legegyszerűbb racionális törteinek nevezzük. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Tétel: Bármely megfelelő racionális tört, amelynek a nevezője faktorizált: ábrázolható, ráadásul egyedi módon egyszerű törtek összege formájában: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Racionális tört egyszerű törtekre bontása Magyarázzuk meg a tétel megfogalmazását a következő példákon keresztül: Az A, B, C, D... bizonytalan együtthatók megtalálásához két módszert alkalmazunk: az együtthatók összehasonlításának módszerét és a módszert. egy változó részértékeiből. Nézzük meg az első módszert egy példa segítségével. 3 2) 3) (2 (4 x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4 (987 xxx xx 4 x

Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Mutassuk be a törtet egyszerű törtek összegeként: Hozzuk közös nevezőre a legegyszerűbb törteket. Egyenlítsük ki az eredményül kapott és az eredeti törtek számlálóit. Egyenlítsük ki az együtthatókat azonos hatványokkal x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

A legegyszerűbb törtek integrálása Keressük meg a legegyszerűbb racionális törtek integrálját: Nézzük meg a 3. típusú törtek integrálását egy példa segítségével! dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Egyszerű törtek integrálása dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2tt 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctgt C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Egyszerű törtek integrálása Egy ilyen típusú behelyettesítést használó integrál: két integrál összegére redukálódik: Az első integrált úgy számítjuk ki, hogy a differenciáljelbe t-t beírjuk. A második integrál kiszámítása a következő ismétlődési képlettel történik: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Egyszerű törtek integrálása a = 1; k = 3 323) 1(t dt tarctg t dt 1 21) 1) (12(2222 322 1 21222 t t t dt) 1(22 1 2 t t t t t t t t 2223)1)(13(2232 tdt) 21 C 2232 tc 3 (4)1(

A racionális törtek integrálásának általános szabálya Ha a tört nem megfelelő, akkor ábrázolja egy polinom és egy megfelelő tört összegeként. Miután faktorizálta a megfelelő racionális tört nevezőjét, ábrázolja azt határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegeként, keressen határozatlan együtthatókat az együtthatók összehasonlításának módszerével vagy egy változó részértékeinek módszerével. Integrálja a polinomot és a kapott egyszerű törtek összegét.

Példa Tegyük a törtet a megfelelő alakba. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 2 x 5 x 5 x 2 x 105 23 48 2 x x

Példa Tényezőzzük a megfelelő tört nevezőjét. A törtet ábrázoljuk egyszerű törtek összegeként. Keressük meg a meghatározatlan együtthatókat az xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) változó parciális értékeinek módszerével )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx).

Példa dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln