Lineáris életkori egyenletek (SLAE) rendszerének tanulmányozása a konzisztencia érdekében azt jelenti, hogy megtudjuk, hogy ennek a rendszernek vannak-e megoldásai, vagy nincsenek. Nos, ha vannak megoldások, akkor jelezze, hány van.

Információkra lesz szükségünk a "Lineáris algebrai egyenletrendszer. Alapfogalmak. Mátrixos jelölési forma" témakörből. Különösen olyan fogalmakra van szükség, mint a rendszermátrix és a kiterjesztett rendszermátrix, mivel a Kronecker-Capelli tétel megfogalmazása ezeken alapul. Szokás szerint a rendszermátrixot $A$, a kiterjesztett rendszermátrixot pedig a $\widetilde(A)$ betűvel jelöljük.

Kronecker-Capelli tétel

Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszermátrix rangja megegyezik a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, pl. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy rendszert akkor nevezünk kötésnek, ha van legalább egy megoldása. A Kronecker-Capelli tétel ezt mondja: ha $\rang A=\rang\widetilde(A)$, akkor van megoldás; ha $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, akkor ennek a SLAE-nek nincs megoldása (inkonzisztens). A megoldások számára vonatkozó kérdésre a Kronecker-Capelli-tétel következménye adja meg a választ. A következmény megfogalmazásánál a $n$ betűt használjuk, ami megegyezik az adott SLAE változóinak számával.

Következmény a Kronecker-Capelli tételhez

1. Ha $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, akkor a SLAE inkonzisztens (nincs megoldása).
2. Ha $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ha $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, akkor az SLAE határozott (pontosan egy megoldása van).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megfogalmazott tétel és következményei nem jelzik, hogyan kell megoldást találni az SLAE-re. Segítségükkel csak azt lehet megtudni, hogy ezek a megoldások léteznek-e vagy sem, és ha vannak, akkor hányan.

1. számú példa

SLAE felfedezése $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\right.$ a kompatibilitásért Ha az SLAE kompatibilis, adja meg a megoldások számát.

Egy adott SLAE megoldásának megtudásához a Kronecker-Capelli tételt használjuk. Szükségünk lesz a $A$ rendszer mátrixára és a $\widetilde(A)$ rendszer kiterjesztett mátrixára, ezeket írjuk:

$$ A=\left(\begin(tömb) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(tömb) (cccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(tömb) \jobbra). $$

Meg kell találnunk a következőt: $\rang A$ és $\rang\widetilde(A)$. Ennek számos módja van, amelyek közül néhányat a Mátrix Rank szakaszban találunk. Általában két módszert használnak az ilyen rendszerek tanulmányozására: „A mátrix rangjának kiszámítása definíció szerint” vagy „A mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk módszerével”.

1. számú módszer. A számítástechnika definíció szerint rangsorol.

A definíció szerint a rang egy mátrix minorjainak legmagasabb rendje, amelyek között van legalább egy nullától eltérő. Általában a vizsgálat elsőrendű mollokkal kezdődik, de itt kényelmesebb azonnal elkezdeni a $A$ mátrix harmadrendű molljának kiszámítását. A harmadrendű mellékelemek a kérdéses mátrix három sorának és három oszlopának metszéspontjában helyezkednek el. Mivel az $A$ mátrix csak 3 sort és 3 oszlopot tartalmaz, ezért az $A$ mátrix harmadrendű minora a $A$ mátrix determinánsa, azaz. $\Delta A$. A determináns kiszámításához a „Másod- és harmadrendű determinánsok számítási képlete” témakör 2. képletét alkalmazzuk:

$$ \Delta A=\left| \begin(tömb) (cc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(tömb) \right|=-21. $$

Tehát van a $A$ mátrixnak egy harmadrendű mollja, amely nem egyenlő nullával. Lehetetlen negyedrendű moll összeállítása, mivel ehhez 4 sor és 4 oszlop szükséges, az $A$ mátrixnak pedig csak 3 sora és 3 oszlopa van. Tehát a $A$ mátrix molljainak legmagasabb rendje, amelyek között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, egyenlő 3-mal. Ezért $\rang A=3$.

Meg kell találnunk a $\rang\widetilde(A)$-t is. Nézzük meg a $\widetilde(A)$ mátrix szerkezetét. A $\widetilde(A)$ mátrixban a $\widetilde(A)$ sorig vannak a $A$ mátrix elemei, és azt találtuk, hogy $\Delta A\neq 0$. Következésképpen a $\widetilde(A)$ mátrixnak van egy harmadrendű mollja, amely nem egyenlő nullával. A $\widetilde(A)$ mátrix negyedrendű minorjait nem tudjuk megszerkeszteni, ezért a következő következtetést vonjuk le: $\rang\widetilde(A)=3$.

Mivel $\rang A=\rang\widetilde(A)$, így a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer konzisztens, azaz. van megoldása (legalább egy). A megoldások számának jelzéséhez figyelembe vesszük, hogy SLAE-nk 3 ismeretlent tartalmaz: $x_1$, $x_2$ és $x_3$. Mivel az ismeretlenek száma $n=3$, ezért következtetünk: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ezért a Kronecker-Capelli tétel következménye szerint a rendszer határozott, i.e. egyedi megoldása van.

A probléma megoldódott. Milyen hátrányai és előnyei vannak ennek a módszernek? Először is beszéljünk az előnyeiről. Először is csak egy meghatározó tényezőt kellett találnunk. Ezek után azonnal levontuk a következtetést a megoldások számáról. Általában a szabványos standard számítások olyan egyenletrendszereket adnak, amelyek három ismeretlent tartalmaznak, és egyedi megoldással rendelkeznek. Az ilyen rendszerek esetében ez a módszer nagyon kényelmes, mert előre tudjuk, hogy van megoldás (különben a példa nem szerepelt volna a standard számításban). Azok. Csak annyit kell tennünk, hogy a leggyorsabban megmutatjuk a megoldás létezését. Másodszor, a rendszermátrix determinánsának (azaz $\Delta A$) számított értéke később hasznos lesz: amikor egy adott rendszert a Cramer módszerrel vagy az inverz mátrix segítségével kezdünk megoldani.

A rangszámítási módszer azonban értelemszerűen nem kívánatos, ha az $A$ rendszer mátrixa téglalap alakú. Ebben az esetben jobb a második módszert használni, amelyet az alábbiakban tárgyalunk. Ezen túlmenően, ha $\Delta A=0$, akkor egy adott inhomogén SLAE megoldásainak számáról nem tudunk semmit mondani. Lehet, hogy a SLAE-nek végtelen számú megoldása van, de lehet, hogy egyik sem. Ha $\Delta A=0$, akkor további kutatásra van szükség, ami gyakran nehézkes.

Összefoglalva az elmondottakat, megjegyzem, hogy az első módszer jó azoknak az SLAE-knek, amelyek rendszermátrixa négyzet. Sőt, maga az SLAE három vagy négy ismeretlent tartalmaz, és szabványos standard számításokból vagy tesztekből származik.

2. számú módszer. Rangsorszámítás elemi transzformációk módszerével.

Ezt a módszert a megfelelő témakörben ismertetjük részletesen. Elkezdjük kiszámítani a $\widetilde(A)$ mátrix rangját. Miért a $\widetilde(A)$ mátrixok és nem a $A$? A helyzet az, hogy az $A$ mátrix része a $\widetilde(A)$ mátrixnak, ezért a $\widetilde(A)$ mátrix rangjának kiszámításával egyidejűleg megtaláljuk a $A$ mátrix rangját is. .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(az első és a második sor felcserélése)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(tömb) \jobbra) \end(igazított)

A $\widetilde(A)$ mátrixot lépcsőzetes formára redukáltuk. A kapott echelon mátrixnak három nem nulla sora van, így a rangja 3. Következésképpen a $\widetilde(A)$ mátrix rangja egyenlő 3-mal, azaz. $\rang\widetilde(A)=3$. A $\widetilde(A)$ mátrix elemeivel végzett transzformációk során egyidejűleg transzformáltuk a $A$ mátrix vonalig elhelyezkedő elemeit. A $A$ mátrix szintén lépcsőzetes alakra redukálódik: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \jobbra )$. Következtetés: az $A$ mátrix rangja is 3, azaz. $\rang A=3$.

Mivel $\rang A=\rang\widetilde(A)$, így a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer konzisztens, azaz. van megoldása. A megoldások számának jelzéséhez figyelembe vesszük, hogy SLAE-nk 3 ismeretlent tartalmaz: $x_1$, $x_2$ és $x_3$. Mivel az ismeretlenek száma $n=3$, ezért következtetünk: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ezért a Kronecker-Capelli tétel következményének megfelelően a rendszer definiált, i.e. egyedi megoldása van.

Milyen előnyei vannak a második módszernek? A fő előnye a sokoldalúság. Számunkra nem mindegy, hogy a rendszer mátrixa négyzetes-e vagy sem. Emellett ténylegesen végrehajtottuk a Gauss-módszer forward transzformációit. Már csak néhány lépés van hátra, és megoldást találhatunk erre az SLAE-re. Őszintén szólva a második módszert jobban szeretem, mint az elsőt, de a választás ízlés dolga.

Válasz: Az adott SLAE konzisztens és definiált.

2. példa

SLAE felfedezése $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(igazított) \right.$ a kompatibilitás érdekében.

A rendszermátrix és a kiterjesztett rendszermátrix rangjait elemi transzformációk módszerével találjuk meg. Kibővített rendszermátrix: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Keressük meg a szükséges rangokat a rendszer kiterjesztett mátrixának átalakításával:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \fantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(tömb)\jobbra nyíl \left(\begin(tömb) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \ jobb) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(tömb) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \jobbra) $$

A rendszer kiterjesztett mátrixa lépcsőzetes formára redukálódik. Egy echelon mátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával, tehát $\rang\widetilde(A)=3$. A $A$ mátrix (a vonalig) szintén echelon formájúra redukálódik, és rangja 2, $\rang(A)=2$.

Mivel $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ezért a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer inkonzisztens (azaz nincs megoldása).

Válasz: A rendszer inkonzisztens.

3. példa

SLAE felfedezése $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(igazított) \right.$ a kompatibilitás érdekében.

A rendszer kiterjesztett mátrixát lépésenkénti formába hozzuk:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( tömb) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(tömb) \jobbra) \begin( tömb) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (tömb)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \jobbra) $$

A rendszer kiterjesztett mátrixát és magának a rendszernek a mátrixát lépésenkénti formába hoztuk. A rendszer kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő hárommal, a rendszer mátrixának rangja szintén hárommal. Mivel a rendszer $n=5$ ismeretlent tartalmaz, azaz. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, akkor a Kronecker-Capelli tétel következménye szerint ez a rendszer határozatlan, azaz. végtelen számú megoldása van.

Válasz: A rendszer bizonytalan.

A második részben olyan példákat elemezünk, amelyek gyakran szerepelnek a magasabb matematikai szabványos számításokban vagy tesztekben: konzisztencia-kutatás és SLAE megoldása a benne szereplő paraméterek értékétől függően.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldása kétségtelenül a legfontosabb téma a lineáris algebrai tanfolyamon. A matematika minden ágából rengeteg probléma merül fel a lineáris egyenletrendszerek megoldásáig. Ezek a tényezők magyarázzák ennek a cikknek az okát. A cikk anyaga úgy van megválogatva és felépített, hogy segítségével Ön is meg tudja tenni

• válassza ki a lineáris algebrai egyenletrendszer optimális megoldási módját,
• tanulmányozza a választott módszer elméletét,
• oldja meg lineáris egyenletrendszerét tipikus példák és problémák részletes megoldásainak mérlegelésével.

A cikk anyagának rövid leírása.

Először megadjuk az összes szükséges definíciót, fogalmat és bevezetjük a jelöléseket.

Ezután olyan lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldási módszereit vizsgáljuk meg, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és amelyeknek egyedi megoldása van. Először is Cramer módszerére összpontosítunk, másodszor bemutatjuk az ilyen egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrix módszert, harmadszor pedig a Gauss-módszert (az ismeretlen változók szekvenciális kiküszöbölésének módszerét) elemezzük. Az elmélet megszilárdítása érdekében mindenképpen több SLAE-t fogunk különböző módon megoldani.

Ezek után áttérünk olyan általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával, vagy a rendszer főmátrixa szinguláris. Fogalmazzuk meg a Kronecker-Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE-k kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek (ha kompatibilisek) megoldását egy mátrix bázis-moll fogalmával. Megfontoljuk a Gauss-módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.

Mindenképpen kitérünk a homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek általános megoldásának szerkezetére. Adjuk meg az alapvető megoldási rendszer fogalmát, és mutassuk meg, hogyan íródik le egy SLAE általános megoldása az alapvető megoldási rendszer vektorai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk meg néhány példát.

Végezetül megvizsgáljuk azokat az egyenletrendszereket, amelyek lineárisra redukálhatók, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE-k merülnek fel.

Oldalnavigáció.

Definíciók, fogalmak, megnevezések.

P lineáris algebrai egyenletekből álló rendszereket fogunk figyelembe venni n ismeretlen változóval (p lehet egyenlő n-nel), amelynek alakja

Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós vagy komplex szám), - szabad tagok (valós vagy komplex számok is).

A SLAE rögzítésének ezt a formáját ún koordináta.

BAN BEN mátrix forma ennek az egyenletrendszernek az a formája,
Ahol - a rendszer főmátrixa, - ismeretlen változókból álló oszlopmátrix, - szabad tagok oszlopmátrixa.

Ha az A mátrixhoz (n+1)-edik oszlopként hozzáadunk egy szabad tagok mátrixoszlopát, akkor az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kiterjesztett mátrixot T betű jelöli, és a szabad kifejezések oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása ismeretlen változók értékkészletének nevezik, amely a rendszer összes egyenletét azonossággá alakítja. Az ismeretlen változók adott értékeinek mátrixegyenlete is azonossággá válik.

Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös.

Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ún nem ízületi.

Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos; ha több megoldás létezik, akkor – bizonytalan.

Ha a rendszer összes egyenletének szabad tagja nulla , akkor a rendszer meghívásra kerül homogén, másképp - heterogén.

Elemi lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Ha egy rendszer egyenleteinek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és a fő mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE-ket hívják. alapvető. Az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldásuk van, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nullával egyenlő.

Középiskolában kezdtük el tanulmányozni az ilyen SLAE-ket. Megoldásukkor vettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót a többiekkel kifejeztünk és behelyettesítettünk a többi egyenletbe, majd vettük a következő egyenletet, kifejeztük a következő ismeretlen változót és behelyettesítettük más egyenletekkel stb. Vagy az összeadás módszerét alkalmazták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöbölésére. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel ezek lényegében a Gauss-módszer módosításai.

Az elemi lineáris egyenletrendszerek megoldásának fő módszerei a Cramer-módszer, a mátrix-módszer és a Gauss-módszer. Tegyük rendbe őket.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert

amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nullától eltérő, azaz.

Legyen a rendszer főmátrixának determinánsa, és - A cserével kapott mátrixok determinánsai 1., 2., …, n-edik oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa:

Ezzel a jelöléssel az ismeretlen változókat a Cramer-féle as módszer képleteivel számítjuk ki . Így találjuk meg a megoldást egy lineáris algebrai egyenletrendszerre Cramer módszerével.

Példa.

Cramer módszere .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának van formája . Számítsuk ki a meghatározóját (ha szükséges, lásd a cikket):

Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa nem nulla, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg.

Állítsuk össze és számoljuk ki a szükséges determinánsokat (a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát egy szabad tagok oszlopára cseréljük, a determinánst úgy, hogy a második oszlopot egy szabad tagok oszlopára cseréljük, és az A mátrix harmadik oszlopát egy szabad tagok oszlopára cseréljük) :

Ismeretlen változók keresése képletekkel :

Válasz:

A Cramer-módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának bonyolultsága, ha a rendszerben lévő egyenletek száma több mint három.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).

Adjunk meg egy lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol az A mátrix mérete n x n, determinánsa pedig nem nulla.

Mivel az A mátrix invertálható, vagyis van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a bal oldallal, akkor egy képletet kapunk ismeretlen változók mátrixoszlopának keresésére. Így kaptunk megoldást egy lineáris algebrai egyenletrendszerre a mátrix módszerrel.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszer.

Megoldás.

Írjuk át az egyenletrendszert mátrix alakban:

Mert

akkor az SLAE mátrix módszerrel megoldható. Az inverz mátrix segítségével ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen kereshető .

Készítsünk inverz mátrixot egy mátrix segítségével az A mátrix elemeinek algebrai összeadásából (ha szükséges, lásd a cikket):

Marad az ismeretlen változók mátrixának kiszámítása az inverz mátrix szorzásával a szabad tagok mátrixoszlopához (ha szükséges, lásd a cikket):

Válasz:

vagy más jelöléssel x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

A fő probléma a lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldása során az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen a harmadnál magasabb rendű négyzetmátrixok esetében.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n lineáris egyenletrendszerre n ismeretlen változóval
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege Ismeretlen változók szekvenciális kiiktatásából áll: először x 1 ki van zárva a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, majd x 2 ki van zárva minden egyenletből, a harmadiktól kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen x n változó marad. az utolsó egyenletben. Ezt a rendszeregyenletek átalakításának folyamatát az ismeretlen változók szekvenciális kiküszöbölésére hívják közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrehúzásának befejezése után az utolsó egyenletből x n található, ennek az utolsó előtti egyenletnek az értékét felhasználva az x n-1 kiszámításra kerül, és így tovább, az első egyenletből x 1. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. a Gauss-módszer inverze.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsuk el az ismeretlen x 1 változót a rendszer összes egyenletéből, kezdve a másodikkal. Ehhez a rendszer második egyenletéhez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, a harmadik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol és .

Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha x 1-et a rendszer első egyenletében más ismeretlen változókkal fejeztünk volna ki, és a kapott kifejezést behelyettesítettük volna az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután hasonló módon járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez a rendszer harmadik egyenletéhez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -vel, a negyedik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -val, és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol és . Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután folytatjuk az ismeretlen x 3 kiküszöbölését, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Tehát folytatjuk a Gauss-módszer közvetlen haladását, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve a Gauss-módszer fordítottját kezdjük: kiszámoljuk x n-t az utolsó egyenletből mint , a kapott x n érték felhasználásával az utolsó előtti egyenletből x n-1-et, és így tovább, az első egyenletből x 1-et. .

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszer.

Megoldás.

Zárjuk ki az ismeretlen x 1 változót a rendszer második és harmadik egyenletéből. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel:

Most kivesszük x 2-t a harmadik egyenletből úgy, hogy annak bal és jobb oldalához hozzáadjuk a második egyenlet bal és jobb oldalát, megszorozva:

Ezzel befejeződik a Gauss-módszer előre húzása; elkezdjük a fordított löketet.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3:

A második egyenletből azt kapjuk, hogy .

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel kiegészítjük a Gauss-módszer fordítottját.

Válasz:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Általában a p rendszer egyenleteinek száma nem esik egybe az n ismeretlen változók számával:

Az ilyen SLAE-knek nincs megoldása, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás azokra az egyenletrendszerekre is vonatkozik, amelyek fő mátrixa négyzetes és szinguláris.

Kronecker–Capelli tétel.

Mielőtt megoldást találnánk egy lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. Arra a kérdésre, hogy az SLAE mikor kompatibilis és mikor inkonzisztens, a választ adja Kronecker–Capelli tétel:
Ahhoz, hogy egy p egyenletrendszer n ismeretlennel (p egyenlő n-nel) konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer főmátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz , Rang(A)=Ranghely(T).

Példaként tekintsük a Kronecker–Capelli-tétel alkalmazását egy lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.

Példa.

Nézze meg, hogy a lineáris egyenletrendszer rendelkezik-e megoldásokat.

Megoldás.

. Használjuk a kiskorúak határolásának módszerét. Másodrendű minor különbözik a nullától. Nézzük a vele határos harmadrendű kiskorúakat:

Mivel a harmadrendű összes szomszédos kiskorú nulla, a főmátrix rangja egyenlő kettővel.

Viszont a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő hárommal, mivel a moll harmadrendű

különbözik a nullától.

És így, A tartomány(A), ezért a Kronecker–Capelli-tétel segítségével arra a következtetésre juthatunk, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer inkonzisztens.

Válasz:

A rendszernek nincsenek megoldásai.

Tehát megtanultuk megállapítani egy rendszer inkonzisztenciáját a Kronecker–Capelli-tétel segítségével.

De hogyan lehet megoldást találni egy SLAE-re, ha a kompatibilitás megvan?

Ehhez szükségünk van egy mátrix bázis-moll fogalmára és egy mátrix rangjára vonatkozó tételre.

Az A mátrix legmagasabb rendű, nullától eltérő mollját nevezzük alapvető.

A bázis-moll definíciójából az következik, hogy sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nulla A mátrixhoz több bázis-moll is lehet, mindig van egy bázis-moll.

Vegyük például a mátrixot .

Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.

A következő másodrendű kiskorúak alapvetőek, mivel nem nullák

Kiskorúak nem alapvetőek, mivel egyenlők nullával.

Mátrix rangtétel.

Ha egy p-rendű mátrix rangja egyenlő r-rel, akkor a mátrix minden olyan sor- (és oszlop-) eleme, amely nem képezi a kiválasztott bázis-mollt, lineárisan a megfelelő sor (és oszlop) elemekkel van kifejezve. az alap minor.

Mit mond nekünk a mátrix rangtétel?

Ha a Kronecker–Capelli-tétel szerint megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor a rendszer főmátrixának tetszőleges bázis-mollját választjuk (sorrendje r-vel egyenlő), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, nem alkotják a kiválasztott alap minort. Az így kapott SLAE ekvivalens lesz az eredetivel, mivel az elvetett egyenletek továbbra is redundánsak (a mátrix rangtétel szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).

Ennek eredményeként a rendszer szükségtelen egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.

Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldást a Cramer módszerrel, a mátrix módszerrel vagy a Gauss módszerrel találhatjuk meg.

Példa.

.

Megoldás.

A rendszer főmátrixának rangja egyenlő kettővel, mivel a moll másodrendű különbözik a nullától. Kiterjesztett mátrix rang is egyenlő kettővel, mivel az egyetlen harmadrendű moll nulla

és a fentebb figyelembe vett másodrendű moll eltér a nullától. A Kronecker–Capelli-tétel alapján állíthatjuk az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitását, hiszen Rank(A)=Rank(T)=2.

Alapnak a minort vesszük . Az első és a második egyenlet együtthatói alkotják:


A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt a bázis moll kialakításában, ezért a mátrix rangjára vonatkozó tétel alapján kizárjuk a rendszerből:


Így kaptunk egy elemi lineáris algebrai egyenletrendszert. Oldjuk meg Cramer módszerével:


Válasz:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ha az eredményül kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az n ismeretlen változók száma, akkor az egyenletek bal oldalán hagyjuk a bázist képező tagokat minorként, a fennmaradó tagokat pedig átvisszük az egyenlet jobb oldalára. ellentétes előjelű rendszer egyenletei.

Az egyenletek bal oldalán maradó ismeretlen változókat (közülük r) nevezzük fő-.

A jobb oldalon lévő ismeretlen változókat (n - r darab van) hívjuk ingyenes.

Most úgy gondoljuk, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értéket vehetnek fel, míg az r fő ismeretlen változót egyedi módon fejezzük ki szabad ismeretlen változókon keresztül. Kifejezésüket a kapott SLAE megoldásával találhatjuk meg Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel.

Nézzük meg egy példával.

Példa.

Oldja meg a lineáris algebrai egyenletrendszert! .

Megoldás.

Keressük meg a rendszer főmátrixának rangját kiskorúak határos módszerével. Vegyünk egy 1 1 = 1-et elsőrendű nem nulla mollnak. Kezdjük el keresni a másodrendű, nullától eltérő mollot, amely ezzel a mollmal határos:


Így találtunk egy nem nulla másodrendű mollra. Kezdjük el keresni egy nem nulla határos harmadrendű mollot:


Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja szintén három, vagyis a rendszer konzisztens.

A megtalált, harmadrendű nem nulla mollot vesszük alapul.

Az érthetőség kedvéért bemutatjuk azokat az elemeket, amelyek a minor alapját képezik:


A bázis-mollban szereplő kifejezéseket a rendszeregyenletek bal oldalán hagyjuk, a többi ellentétes előjelű részt pedig átvisszük a jobb oldalra:


Adjunk meg a szabad ismeretlen változóknak x 2 és x 5 tetszőleges értéket, azaz elfogadjuk , ahol tetszőleges számok vannak. Ebben az esetben a SLAE a formát veszi fel


Oldjuk meg a kapott elemi lineáris algebrai egyenletrendszert Cramer módszerével:


Ennélfogva, .

Válaszában ne felejtse el megadni a szabad ismeretlen változókat.

Válasz:

Hol vannak tetszőleges számok.

Összesít.

Egy általános lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker–Capelli-tétel segítségével határozzuk meg annak kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer nem kompatibilis.

Ha a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor kiválasztunk egy bázismollt, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a kiválasztott bázismoll kialakításában.

Ha a base minor sorrendje megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor az SLAE-nek van egy egyedi megoldása, amely bármely általunk ismert módszerrel megtalálható.

Ha az alapmoll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a rendszeregyenletek bal oldalán meghagyjuk a fő ismeretlen változókkal rendelkező tagokat, a fennmaradó tagokat áthelyezzük a jobb oldalra, és tetszőleges értékeket adunk a szabad ismeretlen változók. A kapott lineáris egyenletrendszerből Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel találjuk meg a főbb ismeretlen változókat.

Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására.

A Gauss-módszer felhasználható bármilyen típusú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására anélkül, hogy először ellenőriznénk a konzisztenciát. Az ismeretlen változók szekvenciális kiküszöbölésének folyamata lehetővé teszi mind az SLAE kompatibilitására, mind pedig inkompatibilitására vonatkozó következtetések levonását, és ha létezik megoldás, akkor azt megtalálni.

Számítási szempontból a Gauss-módszer előnyösebb.

Részletes leírását és elemzett példáit lásd a Gauss-módszer általános lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására című cikkben.

Általános megoldás írása homogén és inhomogén lineáris algebrai rendszerekre az alapvető megoldási rendszer vektoraival.

Ebben a részben egyidejűleg homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerekről lesz szó, amelyeknek végtelen számú megoldása van.

Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.

A megoldások alapvető rendszere A p lineáris algebrai egyenletekből álló homogén rendszer n ismeretlen változóval ennek a rendszernek (n – r) lineárisan független megoldásainak gyűjteménye, ahol r a rendszer főmátrixának alapmoll sorrendje.

Ha egy homogén SLAE lineárisan független megoldásait jelöljük úgy, hogy X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) n méretű oszlopmátrixok 1) -vel, akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldását a megoldások alaprendszerének vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk tetszőleges állandó együtthatójú C 1, C 2, ..., C (n-r), azaz .

Mit jelent a homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (oroslau) általános megoldása?

A jelentés egyszerű: a képlet megadja az eredeti SLAE összes lehetséges megoldását, más szavakkal, tetszőleges C 1, C 2, ..., C (n-r) állandók bármely értékkészletét figyelembe véve a képlet segítségével kapjuk meg az eredeti homogén SLAE egyik oldatát.

Így, ha találunk egy alapvető megoldási rendszert, akkor ennek a homogén SLAE-nek minden megoldását definiálhatjuk .

Mutassuk meg egy homogén SLAE alapvető megoldási rendszerének felépítésének folyamatát.

Kiválasztjuk az eredeti lineáris egyenletrendszer bázismollját, a rendszerből kizárjuk az összes többi egyenletet, és az összes szabad ismeretlen változót tartalmazó tagot átvisszük az ellentétes előjelű rendszeregyenletek jobb oldalára. Adjuk meg a szabad ismeretlen változóknak az 1,0,0,...,0 értékeket, és számítsuk ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott elemi lineáris egyenletrendszert bármilyen módon, például Cramer-módszerrel megoldjuk. Ennek eredményeként X (1) lesz – az alaprendszer első megoldása. Ha megadjuk a szabad ismeretleneknek a 0,1,0,0,…,0 értékeket, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2)-t kapunk. Stb. Ha a szabad ismeretlen változókhoz 0,0,…,0,1 értékeket rendelünk, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (n-r) -t kapunk. Ily módon létrejön egy homogén SLAE alapvető megoldási rendszere, és általános megoldása a formába írható.

Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén az általános megoldást a formában ábrázoljuk, ahol a megfelelő homogén rendszer általános megoldása, és az eredeti inhomogén SLAE sajátos megoldása, amelyet úgy kapunk, hogy a szabad ismeretleneknek megadjuk az értékeket. ​0,0,...,0 és a fő ismeretlenek értékeinek kiszámítása.

Nézzünk példákat.

Példa.

Keresse meg az alapvető megoldási rendszert és egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer általános megoldását .

Megoldás.

A homogén lineáris egyenletrendszerek főmátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Határozzuk meg a főmátrix rangját a kiskorúak határolásának módszerével. Elsőrendű nem nulla mollként a rendszer főmátrixának a 1 1 = 9 elemét vesszük. Keressük meg a másodrendű szegélyező nem-nulla-mollt:

Másodrendű, nullától eltérő mollot találtak. Nézzük végig a vele határos harmadrendű kiskorúakat, keresve egy nem nulla egyet:

Minden harmadrendű határos kiskorú egyenlő nullával, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő kettővel. Vessünk . Az érthetőség kedvéért jegyezzük meg a rendszer elemeit, amelyek azt alkotják:

Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt a bázis moll kialakításában, ezért kizárható:

A fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenletek jobb oldalán hagyjuk, a szabad ismeretleneket tartalmazó tagokat pedig a jobb oldalra helyezzük át:

Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerre. Ennek az SLAE-nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, és az alap-moll sorrendje kettő. X (1) megtalálásához a szabad ismeretlen változóknak x 2 = 1, x 4 = 0 értékeket adunk, majd az egyenletrendszerből kikeressük a fő ismeretleneket.
.

mikor van egy egyenletrendszernek több megoldása? és megkapta a legjobb választ

A CBETAET[guru] válasza
1) amikor több ismeretlen van a rendszerben, mint egyenlet
2) amikor a rendszer egyik egyenlete a +, -*, / műveletekkel redukálható egy másikra, 0-val való osztás és szorzás nélkül.
3) ha 2 vagy több azonos egyenlet van a rendszerben (ez a 2. pont speciális esete).
4) amikor bizonyos átalakítások után bizonytalanság van a rendszerben.
például x + y = x + y, azaz 0=0.
Sok szerencsét!
p.s. ne felejts el köszönni... ez nagyon szép dolog =))
RS-232
Guru
(4061)
Itt csak a lineáris egyenletrendszer mátrixának rangja segít.

Válasz tőle Névtelen[szakértő]
Lehetne kicsit pontosabban?

Válasz tőle Vlagyimir[újonc]
Amikor az SL együtthatók mátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.

Válasz tőle A látogató a múltból[guru]
Ha két egyenletrendszerről beszélünk két ismeretlennel, akkor lásd az ábrát.

Válasz tőle RS-232[guru]
Amikor egy lineáris egyenletrendszer mátrixának rangja kisebb, mint a változók száma.

Válasz tőle Felhasználó törölve[guru]

Válasz tőle Artem Kurguzov[újonc]
Egy konzisztens lineáris egyenletrendszer határozatlan, azaz sok megoldása van, ha a konzisztens rendszer rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.
Ahhoz, hogy egy rendszer kompatibilis legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer mátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával. (Kronecker-Capelli tétel)

Válasz tőle 2 válasz[guru]

Helló! Íme egy válogatás témakörökből, amelyek választ kapnak a kérdésére: mikor van egy egyenletrendszernek sok megoldása?

Határozza meg, hogy egy lineáris egyenletrendszer konzisztens-e a használatával Kronecker-Capelli tételek gyakran gyorsabb lehet, mint a Gauss-módszer, ahol az ismeretleneket szekvenciálisan kell kiküszöbölni. Ez a tétel a mátrixrangsor használatán alapul.

A Kronecker-Capelli tétel a rendszerkompatibilitásról. Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer mátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz.

E mátrixok rangjait az egyenlőtlenség és a mátrix rangja kapcsolja össze BAN BEN csak egy egységgel lehet nagyobb a mátrix rangjánál A.

A Kronecker-Capelli-tétel következtetése a megoldások számáról. Legyen a rendszer m lineáris egyenletek -val n az ismeretlenek teljesítik a kompatibilitási feltételt, vagyis a rendszer együtthatói mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Akkor a következő igaz.

Ha egy lineáris egyenletrendszer mátrixának rangja megegyezik az egyenletek számával, vagyis a rendszer konzisztens bármely szabad tagra. Ebben az esetben a kiterjesztett mátrix rangja is egyenlő m, mivel egy mátrix rangja nem lehet nagyobb, mint a sorok száma.

A Kronecker-Capelli-tétel bizonyítása során a rendszer (kompatibilitása esetén) megoldására explicit képleteket kaptunk. Ha már ismert, hogy a rendszer konzisztens, akkor a megoldások megtalálásához szükséges:

1) keresse meg a rendszermátrixban A a rendszermátrix rangjával megegyező nulla kisebb rendtől eltérő rang, vagyis a rang r;

2) dobja el azokat az egyenleteket, amelyek megfelelnek a mátrix sorainak A, nem szerepel a mollban;

3) a -ben nem szereplő együtthatójú kifejezéseket vigye át a jobb oldalra, majd a jobb oldali ismeretleneknek tetszőleges értékeket adva Cramer-képletekkel határozza meg a fennmaradóakat r ismeretlen a rendszerből r egyenletek nem nulla determinánssal.

1. példa

Megoldás. Kiszámítjuk ennek a rendszernek a mátrixának és a kiterjesztett mátrixnak a rangját. Mindkét esetben egyenlő 3-mal. Ezért a lineáris egyenletrendszer konzisztens. Mivel a rendszermátrix rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, a rendszernek végtelen sok megoldása van: egy ismeretlen tetszőlegesen felvehető. Kisebb

különbözik a nullától, ezért az utolsó egyenletet elvetjük, és az ismeretlennek tetszőleges értéket adunk.

A fennmaradó ismeretleneket a rendszer határozza meg

Az utolsó rendszert Cramer képleteivel vagy más módon megoldva azt találjuk

.

Ha ezt hozzáadjuk, megkapjuk a lineáris egyenletrendszer összes megoldását.

2. példa A Kronecker-Capelli tételt követve határozza meg, hogy az egyenletrendszer konzisztens-e

Ha a rendszer konzisztens, akkor oldja meg.

A lineáris egyenletrendszer n lineáris egyenlet uniója, amelyek mindegyike k változót tartalmaz. Így van írva:

Sokan, amikor először találkoznak magasabb algebrával, tévesen azt hiszik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie a változók számával. Az iskolai algebrában ez általában megtörténik, de magasabb algebrára ez általában nem igaz.

Egy egyenletrendszer megoldása egy számsorozat (k 1, k 2, ..., k n), amely a rendszer egyes egyenleteinek megoldása, i.e. ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük az x 1, x 2, ..., x n változók helyett, a helyes numerikus egyenlőséget adja.

Ennek megfelelően egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldásának halmazát, vagy bebizonyítjuk, hogy ez a halmaz üres. Mivel az egyenletek száma és az ismeretlenek száma nem feltétlenül esik egybe, három eset lehetséges:

1. A rendszer inkonzisztens, pl. az összes megoldás halmaza üres. Meglehetősen ritka eset, amely könnyen észlelhető, függetlenül attól, hogy milyen módszerrel oldják meg a rendszert.
2. A rendszer következetes és határozott, i.e. pontosan egy megoldása van. A klasszikus változat, az iskola óta jól ismert.
3. A rendszer konzisztens és definiálatlan, i.e. végtelenül sok megoldása van. Ez a legnehezebb lehetőség. Nem elég azt jelezni, hogy „a rendszernek végtelen számú megoldása van” – le kell írni, hogy ez a halmaz hogyan épül fel.

Egy x i változót akkor nevezünk megengedettnek, ha a rendszer egyetlen egyenletében szerepel, és 1-es együtthatóval. Más szóval, más egyenletekben az x i változó együtthatójának nullával kell egyenlőnek lennie.

Ha minden egyenletben kiválasztunk egy megengedett változót, akkor a teljes egyenletrendszerre vonatkozó megengedett változók halmazát kapjuk. Magát a rendszert ebben a formában feloldottnak is nevezzük. Általánosságban elmondható, hogy ugyanazt az eredeti rendszert le lehet redukálni különböző engedélyezettekre, de ez egyelőre nem foglalkozik velünk. Példák az engedélyezett rendszerekre:

Mindkét rendszer feloldása az x 1, x 3 és x 4 változókra vonatkozik. Ugyanilyen sikerrel azonban vitatható, hogy a második rendszer x 1, x 3 és x 5 függvényében van feloldva. Elég a legutolsó egyenletet átírni x 5 = x 4 alakban.

Most nézzünk meg egy általánosabb esetet. Legyen összesen k változónk, amelyből r megengedett. Ekkor két eset lehetséges:

1. A megengedett r változók száma megegyezik a k változók teljes számával: r = k. Kapunk egy k egyenletrendszert, amelyben r = k megengedett változók. Egy ilyen rendszer együttes és határozott, mert x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. A megengedett r változók száma kisebb, mint a k változók összes száma: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Tehát a fenti rendszerekben az x 2, x 5, x 6 (az első rendszerhez) és az x 2, x 5 (a második rendszerhez) változók szabadok. Azt az esetet, amikor vannak szabad változók, jobban meg lehet fogalmazni tételként:

Figyelem: ez egy nagyon fontos pont! Attól függően, hogy hogyan írja meg az eredményül kapott rendszert, ugyanaz a változó lehet engedélyezett vagy szabad. A legtöbb felsőfokú matematika oktató a változók lexikográfiai sorrendben történő kiírását javasolja, pl. növekvő index. Ön azonban nem köteles követni ezt a tanácsot.

Tétel. Ha egy n egyenletrendszerben az x 1, x 2, ..., x r változók megengedettek, és x r + 1, x r + 2, ..., x k szabadok, akkor:

1. Ha beállítjuk a szabad változók értékeit (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), majd megkeressük az x 1, x 2 értékeket, ..., x r, az egyik döntést kapjuk.
2. Ha két megoldásban a szabad változók értéke egybeesik, akkor a megengedett változók értéke is egybeesik, pl. a megoldások egyenlőek.

Mi ennek a tételnek az értelme? Ahhoz, hogy egy feloldott egyenletrendszer összes megoldását megkapjuk, elegendő a szabad változókat elkülöníteni. Ezután a szabad változókhoz különböző értékeket rendelve kész megoldásokat kapunk. Ez minden – így megkaphatja a rendszer összes megoldását. Nincsenek más megoldások.

Következtetés: a feloldott egyenletrendszer mindig konzisztens. Ha egy feloldott rendszerben az egyenletek száma megegyezik a változók számával, a rendszer határozott, ha kevesebb, akkor határozatlan.

És minden rendben is lenne, de felmerül a kérdés: hogyan lehet az eredeti egyenletrendszerből megoldani? Erre van