"9. osztályos aritmetikai progresszió" címkével ellátott bejegyzések. Aritmetikai progresszió Példák a számtani progresszióra

A matematikának megvan a maga szépsége, akárcsak a festészetnek és a költészetnek.

Orosz tudós, szerelő N.E. Zsukovszkij

A matematikai felvételi vizsgákon nagyon gyakori problémák a számtani progresszió fogalmával kapcsolatos problémák. Az ilyen problémák sikeres megoldásához jól ismernie kell az aritmetikai progresszió tulajdonságait, és bizonyos ismeretekkel kell rendelkeznie azok alkalmazásában.

Először idézzük fel az aritmetikai sorozat alapvető tulajdonságait, és mutassuk be a legfontosabb képleteket, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.

Meghatározás. Számsorozat, amelyben minden következő tag azonos számmal tér el az előzőtől, aritmetikai sorozatnak nevezzük. Ebben az esetben a számprogressziós különbségnek nevezzük.

A számtani progresszióhoz a következő képletek érvényesek:

, (1)

Ahol . Az (1) képletet egy aritmetikai sorozat általános tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a számtani sorozat fő tulajdonságát jelenti: a progresszió minden tagja egybeesik a szomszédos tagok számtani átlagával és.

Vegyük észre, hogy a vizsgált progressziót éppen ezen tulajdonság miatt nevezik „aritmetikának”.

A fenti (1) és (2) képlet a következőképpen általánosítható:

(3)

Az összeg kiszámításához első egy aritmetikai progresszió feltételeiáltalában a képletet használják

(5) hol és .

Ha figyelembe vesszük az (1), akkor az (5) képletből az következik

Ha jelöljük, akkor

Ahol . Mivel a (7) és (8) képlet a megfelelő (5) és (6) képlet általánosítása.

Különösen , az (5) képletből az következik, Mit

A legtöbb diák számára kevéssé ismert az aritmetikai progresszió tulajdonsága, amelyet a következő tétellel fogalmazunk meg.

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Például , tétel segítségével, ez kimutatható

Nézzük meg a tipikus példákat az „Aritmetikai progresszió” témával kapcsolatos problémák megoldására.

1. példa Hadd legyen. Megtalálja .

Megoldás. A (6) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy . Mivel és , akkor vagy .

2. példa Legyen háromszor nagyobb, és ha elosztjuk a hányadossal, az eredmény 2, a maradék pedig 8. Határozza meg és .

Megoldás. A példa feltételeiből az egyenletrendszer következik

Mivel , , és , akkor a (10) egyenletrendszerből kapjuk

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .

3. példa Keresse meg, ha és .

Megoldás. Az (5) képlet szerint van vagy . A (9) tulajdonság használatával azonban megkapjuk a .

Mivel és , majd az egyenlőségből az egyenlet következik vagy .

4. példa Keresse meg, ha.

Megoldás.Az (5) képlet szerint megvan

A tétel segítségével azonban írhatunk

Innen és a (11) képletből kapjuk.

5. példa. Adott: . Megtalálja .

Megoldás. Azóta. Azonban ezért.

6. példa. Hagyjuk , és . Megtalálja .

Megoldás. A (9) képlet segítségével megkapjuk. Ezért ha , akkor vagy .

Mivel és akkor itt van egy egyenletrendszerünk

Amelyik megoldásával kapjuk és .

Az egyenlet természetes gyöke van .

7. példa. Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel a (3) képlet szerint megvan, hogy , akkor a feladatfeltételekből következik az egyenletrendszer

Ha behelyettesítjük a kifejezésta rendszer második egyenletébe, akkor kapunk vagy .

A másodfokú egyenlet gyökerei a következőkÉs .

Vegyünk két esetet.

1. Hagyja, majd . Azóta és akkor .

Ebben az esetben a (6) képlet szerint megvan

2. Ha , akkor , és

Válasz: és.

8. példa. Ismeretes, hogy és. Megtalálja .

Megoldás. Az (5) képletet és a példa feltételét figyelembe véve írunk és -t.

Ez magában foglalja az egyenletrendszert

Ha a rendszer első egyenletét megszorozzuk 2-vel, majd hozzáadjuk a második egyenlethez, akkor azt kapjuk,

A (9) képlet szerint megvan. Ebből a szempontból a (12) vagy .

Azóta és akkor .

Válasz: .

9. példa. Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel , és feltétel szerint , akkor vagy .

Az (5) képletből ismert, Mit . Azóta.

Ennélfogva , itt van egy lineáris egyenletrendszer

Innen kapunk és . A (8) képlet figyelembevételével írjuk.

10. példa. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás. A megadott egyenletből az következik, hogy . Tegyük fel, hogy , , és . Ebben az esetben .

Az (1) képlet szerint írhatunk vagy -t.

Mivel , akkor a (13) egyenletnek van az egyetlen megfelelő gyöke.

11. példa. Keresse meg a maximális értéket, feltéve, hogy és .

Megoldás. Mivel , akkor a figyelembe vett számtani progresszió csökken. Ebben a tekintetben a kifejezés akkor veszi fel a maximális értékét, ha ez a progresszió minimális pozitív tagjának száma.

Használjuk az (1) képletet és a tényt, hogy és . Akkor azt kapjuk, hogy ill.

Azóta, akkor ill . Ebben az egyenlőtlenségben azonbanlegnagyobb természetes szám, Ezért .

Ha a , és értékeit behelyettesítjük a (6) képletbe, akkor azt kapjuk, hogy .

Válasz: .

12. példa. Határozza meg mindazon kétjegyű természetes számok összegét, amelyeket 6-tal elosztva 5 marad.

Megoldás. Jelöljük az összes kétjegyű természetes szám halmazával, azaz. . Ezután megszerkesztünk egy részhalmazt, amely a halmaz azon elemeiből (számaiból) áll, amelyek 6-tal osztva 5-ös maradékot adnak.

Könnyen telepíthető, Mit . Magától értetődően , hogy a halmaz elemeiszámtani sorozatot alkotnak, amelyben és .

A halmaz számosságának (elemszámának) megállapításához feltételezzük, hogy . Mivel és az (1) képletből vagy az következik. Az (5) képlet figyelembevételével megkapjuk.

A problémamegoldás fenti példái semmiképpen sem mondhatók kimerítőnek. Ez a cikk egy adott témakör tipikus problémáinak megoldására szolgáló modern módszerek elemzésén alapul. Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák megoldási módszereinek alaposabb tanulmányozásához célszerű az ajánlott irodalom jegyzékére hivatkozni.

1. Matematikai feladatgyűjtemény főiskolára jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. – M.: Béke és oktatás, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: az iskolai tananyag további részei. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Van még kérdése?

Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A matematika és a fizika számos témakörének megértése a számsorok tulajdonságainak ismeretéhez kötődik. A 9. osztályos iskolások az „algebra” tárgy tanulmányozásakor figyelembe veszik az egyik fontos számsorozatot - az aritmetikai progressziót. Bemutatjuk a számtani haladás alapképleteit (9. évfolyam), illetve példákat mutatunk be ezekre a feladatok megoldására.

Algebrai vagy aritmetikai progresszió

Az ebben a cikkben tárgyalandó számsorokat kétféleképpen nevezzük, és a bekezdés címében mutatjuk be. Tehát a matematikában aritmetikai progresszió alatt olyan számsort értünk, amelyben bármely két szomszédos szám azonos mértékben különbözik, ezt különbségnek nevezzük. Az ilyen sorozatokban szereplő számokat általában kisebb egész indexű betűkkel jelölik, például 1, 2, 3 és így tovább, ahol az index a sorozat elemének számát jelöli.

Az aritmetikai haladás fenti definícióját figyelembe véve a következő egyenlőséget írhatjuk fel: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, itt d az algebrai haladás különbsége, n pedig tetszőleges egész szám . Ha d>0, akkor számíthatunk arra, hogy a sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, ebben az esetben növekvő progresszióról beszélünk. Ha d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Számtani képletek (9 osztályos iskola)

A szóban forgó számsornak, mivel rendezett, és bizonyos matematikai törvényeknek engedelmeskedik, két olyan tulajdonsága van, amelyek a használat szempontjából fontosak:

Először is, ha csak két számot, a 1-et és d-t ismer, megtalálhatja a sorozat bármely tagját. Ez a következő képlettel történik: a n = a 1 +(n-1)*d.
Másodszor, az első n tag összegének kiszámításához nem szükséges őket sorrendben összeadni, mivel a következő képlet használható: S n = n*(a n +a 1)/2.

Az első képlet könnyen érthető, hiszen egyenes következménye annak, hogy a vizsgált sorozat minden tagja azonos különbséggel különbözik szomszédjától.

Az aritmetikai progresszió második képlete megkapható, ha megjegyezzük, hogy az a 1 +a n összeg ekvivalensnek bizonyul az a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 és így tovább. Valójában, mivel a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 és a n-1 = -d+a n, akkor ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a megfelelő összegeket, úgy találjuk, hogy azonosak lesznek. Az n/2 tényező a 2. képletben (S n-re) abból adódik, hogy az a i+1 +a n-i típusú összegek pontosan n/2-nek bizonyulnak, itt i egy 0-tól n-ig terjedő egész szám. /2 -1.

A fennmaradt történelmi bizonyítékok szerint az S n összeg képletét először Carl Gauss (a híres német matematikus) találta meg, amikor az iskolai tanártól azt a feladatot kapta, hogy adja össze az első 100 számot.

Példa probléma #1: találja meg a különbséget

Azok a problémák, amelyekben a következő kérdés merül fel: egy aritmetikai sorozat képleteinek ismerete, d (d) megtalálása a legegyszerűbb, ami csak ebben a témában lehetséges.

Mondjunk egy példát: adott egy -5,-2, 1, 4, ... numerikus sorozat, meg kell határozni a különbségét, azaz d.

Ez a lehető legegyszerűbben megtehető: ki kell venni két elemet, és ki kell vonni a kisebbet a nagyobbból. Ebben az esetben a következőt kapjuk: d = -2 - (-5) = 3.

A beérkezett válasz biztos érdekében ajánlott ellenőrizni a fennmaradó eltéréseket, mivel előfordulhat, hogy a bemutatott sorozat nem felel meg az algebrai progresszió feltételének. Van: 1-(-2)=3 és 4-1=3. Ezek az adatok azt jelzik, hogy a helyes eredményt kaptuk (d=3), és bebizonyítottuk, hogy a problémafelvetésben szereplő számsorok valóban algebrai haladást reprezentálnak.

2. példafeladat: keresse meg a különbséget a progresszió két tagjának ismeretében

Nézzünk meg egy másik érdekes problémát, amely azt kérdezi, hogyan lehet megtalálni a különbséget. Ebben az esetben az n-edik taghoz az aritmetikai progressziós képletet kell használni. Tehát a feladat: adott például egy algebrai folyamat összes tulajdonságának megfelelő sorozat első és ötödik száma, ezek az a 1 = 8 és a 5 = -10 számok. Hogyan lehet megtalálni a különbséget d?

A probléma megoldását úgy kell kezdenie, hogy felírja az n-edik elem képletének általános alakját: a n = a 1 +d*(-1+n). Most kétféleképpen járhat el: vagy azonnal helyettesítheti a számokat, és dolgozhat velük, vagy kifejezheti a d-t, majd továbbléphet az 1-es és az 5-ös specifikus értékre. Az utolsó módszerrel a következőt kapjuk: a 5 = a 1 +d*(-1+5) vagy a 5 = 4*d+a 1, ami azt jelenti, hogy d = (a 5 -a 1)/4. Most már nyugodtan helyettesítheti az ismert adatokat a feltételből, és megkapja a végső választ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Vegyük észre, hogy ebben az esetben a progressziókülönbség negatívnak bizonyult, vagyis van egy csökkenő számsor. A problémák megoldása során figyelni kell erre a tényre, hogy ne keverjük össze a „+” és „-” jeleket. Az összes fent megadott képlet univerzális, ezért mindig követni kell őket, függetlenül attól, hogy a számok előjelével a műveleteket végrehajtják.

Példa a 3. feladat megoldására: keresse meg a1-et a különbség és az elem ismeretében

Változtassunk egy kicsit a problémafelvetésen. Legyen két szám: a különbség d=6 és a progresszió 9. eleme a 9 = 10. Hogyan találjuk meg az a1-et? Az aritmetikai progresszió képletei változatlanok maradnak, használjuk őket. Az a 9 számra a következő kifejezést kapjuk: a 1 +d*(9-1) = a 9. Ahonnan könnyen megkapjuk a sorozat első elemét: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Példa a 4. feladat megoldására: találjunk a1-et, két elem ismeretében

A probléma ezen verziója az előző bonyolult változata. A lényeg ugyanaz, ki kell számítani egy 1-et, de most a d különbség nem ismert, helyette a progresszió egy másik eleme adott.

Egy példa az ilyen típusú problémákra: keresse meg egy olyan sorozat első számát, amelyről ismert, hogy aritmetikai sorozat, és amelynek 15. és 23. eleme 7, illetve 12.

Ezt a feladatot úgy kell megoldani, hogy minden, a feltételből ismert elemre írunk egy kifejezést az n-edik tagra, van: a 15 = d*(15-1)+a 1 és a 23 = d*(23-1) +a 1. Amint látja, két lineáris egyenletünk van, amelyeket meg kell oldani 1 és d esetén. Tegyük ezt: vonjuk ki az elsőt a második egyenletből, majd a következő kifejezést kapjuk: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Az utolsó egyenlet levezetésekor az 1 értékeit kihagytuk, mert kivonáskor érvénytelenné válnak. Az ismert adatokat behelyettesítve megkapjuk a különbséget: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

A d értékét bármely ismert elem képletébe be kell cserélni, hogy megkapjuk a sorozat első tagját: a 15 = 14*d+a 1, amelyből: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.

Ellenőrizzük a kapott eredményt, ehhez a második kifejezésben 1-et találunk: a 23 = d*22+a 1 vagy a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Példa az 5. feladat megoldására: keresse meg n elem összegét!

Mint látható, eddig csak egy számtani képletet (9. osztály) használtak a megoldáshoz. Most bemutatunk egy problémát, amelynek megoldásához a második képlet ismerete szükséges, vagyis az S n összeghez.

Van a következő rendezett számsor -1,1, -2,1, -3,1,..., ennek első 11 elemének összegét kell kiszámítani.

Ebből a sorozatból jól látható, hogy csökken, és a 1 = -1,1. Különbsége egyenlő: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Most definiáljuk a 11. tagot: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Az előkészítő számítások elvégzése után használhatja a fenti képletet az összegre, a következőt kapjuk: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Mivel minden tag negatív szám volt, az összegüknek is megvan a megfelelő előjele.

Példa a 6. feladat megoldására: keresse meg az elemek összegét n-től m-ig

Talán ez a fajta probléma a legnehezebb a legtöbb iskolás számára. Mondjunk egy tipikus példát: adott egy 2, 4, 6, 8... számsort, meg kell találni az összeget a 7-től a 13-ig.

Képletek aritmetikai progresszió(9. évfolyam) pontosan ugyanúgy használják, mint minden korábbi feladatnál. Ezt a problémát ajánlott lépésről lépésre megoldani:

Először keresse meg 13 tag összegét a szabványos képlet segítségével.
Ezután számítsa ki ezt az összeget az első 6 elemre.
Ezek után vonjuk le az 1. összegből a 2.-t.

Térjünk rá a megoldásra. Az előző esethez hasonlóan előkészítő számításokat végzünk: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Számítsunk ki két összeget: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Felvesszük a különbséget és megkapjuk a kívánt választ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Vegyük észre, hogy ennek az értéknek a megszerzésekor a progresszió 6 elemének összegét használtuk részrészként, mivel a 7. tag benne van az S 7-13 összegben.

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Előnézet:

Tantárgy

Aritmetikai progresszió

CÉL :

tanítsa meg a számtani sorozat felismerését annak meghatározásával és előjelével;
tanítsa meg a problémák megoldását egy definíció, jel, képlet segítségével a progresszió általános tagjára.

A LECKE CÉLKITŰZÉSEI:

definiálja az aritmetikai sorozatot, bizonyítsa a számtani sorozat jelét, és tanítsa meg ezek használatát a feladatok megoldásában.

TANÍTÁSI MÓDOK:

tanulók tudásának frissítése, önálló munkavégzés, egyéni munkavégzés, problémahelyzet kialakítása.

MODERN TECHNOLÓGIÁK:

IKT, probléma alapú tanulás, differenciált tanulás, egészségkímélő technológiák.

TANTERV

	Az óra szakaszai.	Megvalósítási idő.
	Idő szervezése.	2 perc
	A leírtak megismétlése	5 perc
	Új anyagok tanulása	15 perc
	Testnevelés perc	3 perc
	Feladatok készítése a témában	15 perc
	Házi feladat	2 perc
	Összegzés	3 perc

AZ ÓRÁK ALATT:

Az utolsó órán megismerkedtünk a „szekvencia” fogalmával.

Ma folytatjuk a számsorozatok tanulmányozását, definiálunk néhányat, megismerkedünk tulajdonságaikkal és jellemzőikkel.

Válaszolj a kérdésekre: Mi az a sorozat?

Milyen sorozatok vannak?

Milyen módokon állíthatja be a sorrendet?

Mi az a számsorozat?

Milyen módszereket ismer a számsorozat megadására? Melyik képletet nevezzük ismétlődőnek?

Adott numerikus sorozatok:

1, 2, 3, 4, 5, …
2, 5, 8, 11, 14,…
8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Keresse meg az egyes sorozatok mintáját, és nevezze meg mindegyik következő három tagját.

a n = a n -1 +1
a n = a n -1 + 3
a n = a n -1 + (-2)
a n = a n -1 + 0,5

Adja meg minden sorozathoz az ismétlődési képletet.

1. dia

Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az ugyanahhoz a számhoz hozzáadott előző taggal.

A d számot egy aritmetikai sorozat különbségének nevezzük.

Az aritmetikai sorozat egy numerikus sorozat, tehát lehet növekvő, csökkenő vagy állandó. Mondjon példákat ilyen sorozatokra, nevezze meg az egyes folyamatok közötti különbséget, és vonjon le következtetést.

Vezessük le az aritmetikai sorozat általános tagjának képletét.

A táblán: legyen a 1 akkor a progresszió első tagja, d a különbsége

a 2 =a 1 + d

a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d

a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 + d (n-1) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.

Oldja meg a feladatot: A számtani sorozatban az első tag 5, a különbség pedig 4.

Keresse meg ennek a progressziónak a 22. tagját.

A tanuló dönt a testületben: a n =a 1 + d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Testnevelés perc.

Felkeltunk.

Kezek az övön. Balra, jobbra dönthető (2-szer);

Hajoljon előre, hátra (2-szer);

Emelje fel a kezét, vegyen egy mély lélegzetet, engedje le a kezét, lélegezzen ki. (2 alkalommal)

Kezet ráztak. Köszönöm.

Leültünk. Folytassuk a leckét.

A feladatokat az aritmetikai sorozat általános tagjának képletével oldjuk meg.

A hallgatók a következő feladatokat várják:

A számtani sorozatban az első tag -2, d=3, a n = 118.

Keresse meg n.

A számtani sorozatban az első tag 7, a tizenötödik tag –35. Találd meg a különbséget.
Ismeretes, hogy a számtani haladásban d=-2, a39=83. Keresse meg a progresszió első tagját.

A tanulókat csoportokra osztják. A feladat 5 percre szól. Ezután az első 3 tanuló, aki megoldotta a feladatokat, oldja meg azokat a táblán. A megoldás megkettőződik a diákon.

Tekintsük egy aritmetikai sorozat jellemző tulajdonságait.

Számtani haladásban

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Adjuk össze tagonként ezt a két egyenlőséget, így kapjuk: 2a n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Ez azt jelenti, hogy a számtani sorozat minden tagja, az első és az utolsó kivételével, egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával.

TÉTEL:

Egy numerikus sorozat akkor és csak akkor aritmetikai progresszió, ha minden tagja, kivéve az elsőt (és véges sorozat esetén az utolsót), egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával (egy jellemző tulajdonsága aritmetikai progresszió).

Algebrai vagy aritmetikai progresszió

Az ebben a cikkben tárgyalandó számsorokat kétféleképpen nevezzük, és a bekezdés címében mutatjuk be. Tehát a matematikában aritmetikai progresszió alatt olyan számsort értünk, amelyben bármely két szomszédos szám azonos mértékben különbözik, ezt különbségnek nevezzük. Az ilyen sorozatokban szereplő számokat általában kisebb egész indexű betűkkel jelölik, például a1, a2, a3 és így tovább, ahol az index a sorozat elemének számát jelöli.

Számtani képletek (9 osztályos iskola)

A szóban forgó számsornak, mivel rendezett, és bizonyos matematikai törvényeknek engedelmeskedik, két olyan tulajdonsága van, amelyek a használat szempontjából fontosak:

Először is, ha csak két a1 és d számot ismerünk, a sorozat bármely tagját megtalálhatjuk. Ez a következő képlet segítségével történik: an = a1+(n-1)*d.

Másodszor, az első n tag összegének kiszámításához nem szükséges őket sorrendben összeadni, mivel a következő képlet használható: Sn = n*(an+a1)/2.

Az első képlet könnyen érthető, hiszen egyenes következménye annak, hogy a vizsgált sorozat minden tagja azonos különbséggel különbözik szomszédjától.

Az aritmetikai sorozat második képlete megkapható, ha megjegyezzük, hogy az a1+an összeg ekvivalens az a2+an-1, a3+an-2 stb. összegekkel. Valójában, mivel a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 és an-1 = -d+an, akkor ezeket a kifejezéseket a megfelelő összegekkel helyettesítve azt találjuk, hogy egyformák lesznek. Az n/2 tényező a 2. képletben (Sn-re) abból adódik, hogy az ai+1+an-i típusú összegek pontosan n/2-nek bizonyulnak, itt i egy 0-tól n/2-ig terjedő egész szám. - 1.

A fennmaradt történelmi bizonyítékok szerint az Sn összeg képletét először Carl Gauss (a híres német matematikus) találta meg, amikor az iskolai tanártól azt a feladatot kapta, hogy adja össze az első 100 számot.

Példa probléma #1: találja meg a különbséget

Azok a problémák, amelyekben a következő kérdés merül fel: egy aritmetikai sorozat képleteinek ismerete, d (d) megtalálása a legegyszerűbb, ami csak ebben a témában lehetséges.

Mondjunk egy példát: adott egy -5,-2, 1, 4, ... numerikus sorozat, meg kell határozni a különbségét, azaz d.

Ez a lehető legegyszerűbben megtehető: ki kell venni két elemet, és ki kell vonni a kisebbet a nagyobbból. Ebben az esetben a következőt kapjuk: d = -2 - (-5) = 3.

2. példafeladat: keresse meg a különbséget a progresszió két tagjának ismeretében

Nézzünk meg egy másik érdekes problémát, amely azt kérdezi, hogyan lehet megtalálni a különbséget. Ebben az esetben az n-edik taghoz az aritmetikai progressziós képletet kell használni. Tehát a feladat: adott például egy algebrai folyamat összes tulajdonságának megfelelő sorozat első és ötödik száma, ezek az a1 = 8 és a5 = -10 számok. Hogyan lehet megtalálni a különbséget d?

A probléma megoldását az n-edik elem általános képletével kell kezdenie: an = a1+d*(-1+n). Most kétféleképpen járhat el: vagy azonnal helyettesítheti a számokat, és dolgozhat velük, vagy kifejezheti d-t, majd továbbléphet a konkrét a1-re és a5-re. Az utolsó módszerrel a következőt kapjuk: a5 = a1+d*(-1+5) vagy a5 = 4*d+a1, ami azt jelenti, hogy d = (a5-a1)/4. Most már nyugodtan helyettesítheti az ismert adatokat a feltételből, és megkapja a végső választ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Példa a 3. feladat megoldására: keresse meg a1-et a különbség és az elem ismeretében

Változtassunk egy kicsit a problémafelvetésen. Legyen két szám: a d=6 különbség és az a9 = 10 progresszió 9. eleme. Hogyan találjuk meg az a1-et? Az aritmetikai progresszió képletei változatlanok maradnak, használjuk őket. Az a9 számra a következő kifejezés van: a1+d*(9-1) = a9. Ahonnan könnyen megkapjuk a sorozat első elemét: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Példa a 4. feladat megoldására: találjunk a1-et, két elem ismeretében

A probléma ezen verziója az előző bonyolult változata. A lényeg ugyanaz, ki kell számítani a1-et, de most a d különbség nem ismert, helyette a progresszió egy másik eleme adott.

Egy példa az ilyen típusú problémákra: keresse meg egy olyan sorozat első számát, amelyről ismert, hogy aritmetikai sorozat, és amelynek 15. és 23. eleme 7, illetve 12.

Ezt a feladatot úgy kell megoldani, hogy minden, a feltételből ismert elemhez írunk egy kifejezést az n-edik tagra, így van: a15 = d*(15-1)+a1 és a23 = d*(23-1)+a1. Amint látja, két lineáris egyenletünk van, amelyeket meg kell oldani a1 és d esetén. Tegyük ezt: vonjuk ki az elsőt a második egyenletből, majd a következő kifejezést kapjuk: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Az utolsó egyenlet levezetésekor az a1 értékeit kihagytuk, mert kivonáskor érvénytelenné válnak. Az ismert adatokat behelyettesítve megkapjuk a különbséget: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

A d értékét bármely ismert elem képletébe be kell cserélni, hogy megkapjuk a sorozat első tagját: a15 = 14*d+a1, amelyből: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75 .

Ellenőrizzük a kapott eredményt, ehhez a második kifejezésen keresztül a1-et találjuk: a23 = d*22+a1 vagy a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Példa az 5. feladat megoldására: keresse meg n elem összegét!

Van a következő rendezett számsor -1,1, -2,1, -3,1,..., ennek első 11 elemének összegét kell kiszámítani.

Ebből a sorozatból jól látható, hogy csökken, és a1 = -1,1. Különbsége egyenlő: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Most definiáljuk a 11. tagot: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Az előkészítő számítások elvégzése után a fenti képletet használhatja az összegre, a következőt kapjuk: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Mivel minden tag negatív szám volt, az összegüknek is megvan a megfelelő előjele.

Példa a 6. feladat megoldására: keresse meg az elemek összegét n-től m-ig

Talán ez a fajta probléma a legnehezebb a legtöbb iskolás számára. Mondjunk egy tipikus példát: adott egy 2, 4, 6, 8... számsort, meg kell találni az összeget a 7-től a 13-ig.

Az aritmetikai progressziós képleteket (9. osztály) pontosan ugyanúgy használjuk, mint minden korábbi feladatnál. Ezt a problémát ajánlott lépésről lépésre megoldani:

Először keresse meg 13 tag összegét a szabványos képlet segítségével.

Ezután számítsa ki ezt az összeget az első 6 elemre.

Ezek után vonjuk le az 1. összegből a 2.-t.

Térjünk rá a megoldásra. Az előző esethez hasonlóan előkészítő számításokat végzünk: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Számítsunk ki két összeget: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Vegye ki a különbséget, és kapja meg a kívánt választ: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Megjegyzendő, hogy ennek az értéknek a megszerzésekor a progresszió 6 elemének összegét használtuk részfejként, mivel a 7. tag benne van az S7-13 összegben.