Tétel. Egy háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.
Vegyünk egy ABC háromszöget (208. ábra). Jelöljük belső szögeit 1, 2 és 3 számokkal. Bizonyítsuk be
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Rajzoljunk át a háromszög valamelyik csúcsán, például B-n, egy AC-vel párhuzamos MN egyenest.
A B csúcsban három szöget kaptunk: ∠4, ∠2 és ∠5. Összegük egyenes szög, ezért egyenlő 180°-kal:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
De ∠4 = ∠1 belső keresztirányú szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és AB szekánssal.
∠5 = ∠3 - ezek belső keresztirányú szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és BC szekánssal.
Ez azt jelenti, hogy ∠4 és ∠5 helyettesíthető ∠1 és ∠3 értékekkel.
Ezért ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. A tétel bizonyítást nyert.
2. Háromszög külső szögének tulajdonsága.
Tétel. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.
Valójában az ABC háromszögben (209. ábra) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, de ∠ВСD is ennek a háromszögnek a külső szöge, amely nem szomszédos ∠1 és ∠2, szintén 180°. -∠3.
És így:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Ezért ∠1 + ∠2= ∠BCD.
A háromszög külső szögének származtatott tulajdonsága tisztázza a háromszög külső szögére vonatkozó, korábban bizonyított tétel tartalmát, amely csak azt mondta ki, hogy a háromszög külső szöge nagyobb, mint a vele nem szomszédos háromszög minden belső szöge; most megállapítottuk, hogy a külső szög egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével.
3. 30°-os szögű derékszögű háromszög tulajdonsága.
Tétel. Egy derékszögű háromszög 30°-os szöggel szemben fekvő szára egyenlő a befogó felével.Legyen B szög az ACB derékszögű háromszögben 30° (210. ábra). Ekkor a másik hegyesszöge 60° lesz.
Bizonyítsuk be, hogy az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével. Hosszabbítsuk meg az AC szakaszt a C derékszög csúcsán túl, és tegyünk félre egy CM szakaszt, amely megegyezik az AC szakasszal. Kössük össze az M pontot a B ponttal. A kapott ВСМ háromszög egyenlő az ACB háromszöggel. Látjuk, hogy az ABM háromszög minden szöge 60°, ezért ez a háromszög egyenlő oldalú háromszög.
Az AC láb egyenlő az AM felével, és mivel AM egyenlő az AB-vel, az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével.
A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala (három szöge) van. Leggyakrabban az oldalakat kis betűk jelzik, amelyek megfelelnek a nagybetűknek, amelyek az ellentétes csúcsokat jelentik. Ebben a cikkben megismerkedünk ezeknek a geometriai alakzatoknak a típusaival, azzal a tétellel, amely meghatározza, hogy mekkora egy háromszög szögeinek összege.
Típusok szögméret szerint
A következő típusú, három csúcsú sokszögeket különböztetjük meg:
- hegyesszögű, amelyben minden sarok éles;
- téglalap alakú, amelynek egy derékszöge van, generátorait lábaknak nevezik, és a derékszöggel szemben lévő oldalt hipotenusznak nevezik;
- tompa ha egy ;
- egyenlő szárúak, amelyekben két oldal egyenlő, és ezeket oldalsónak nevezzük, a harmadik pedig a háromszög alapja;
- egyenlő oldalú, amelynek mindhárom oldala egyenlő.
Tulajdonságok
Vannak alapvető tulajdonságok, amelyek minden típusú háromszögre jellemzőek:
- A nagyobb oldallal szemben mindig nagyobb a szög, és fordítva;
- az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, és fordítva;
- minden háromszögnek két hegyesszöge van;
- a külső szög nagyobb, mint bármely vele nem szomszédos belső szög;
- bármely két szög összege mindig kisebb 180 foknál;
- a külső szög egyenlő a vele nem metsző másik két szög összegével.
Háromszög szögösszeg tétel
A tétel kimondja, hogy ha összeadjuk egy adott geometriai alakzat összes szögét, amely az euklideszi síkon helyezkedik el, akkor ezek összege 180 fok lesz. Próbáljuk meg bizonyítani ezt a tételt.
Legyen egy tetszőleges háromszögünk KMN csúcsokkal.
Az M csúcson keresztül CN-t rajzolunk (ezt az egyenest euklideszi egyenesnek is nevezik). Jelöljük rajta az A pontot úgy, hogy a K és A pontok az MH egyenes különböző oldalain helyezkedjenek el. Egyenlő AMN és KNM szögeket kapunk, amelyek a belsőekhez hasonlóan keresztben fekszenek, és az MN szekáns alkotja a párhuzamos KH és MA egyenesekkel együtt. Ebből következik, hogy az M és H csúcsokban elhelyezkedő háromszög szögeinek összege megegyezik a KMA szög nagyságával. Mindhárom szög összege megegyezik a KMA és MKN szögek összegével. Mivel ezek a szögek belső egyoldalúak a párhuzamos KN és MA egyenesekhez képest KM metszővel, összegük 180 fok. A tétel bizonyítást nyert.
Következmény
A fent bizonyított tételből a következő következmény következik: bármely háromszögnek két hegyesszöge van. Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy ennek a geometriai alakzatnak csak egy hegyesszöge van. Azt is feltételezhetjük, hogy egyik sarok sem hegyes. Ebben az esetben legalább két olyan szögnek kell lennie, amelyek nagysága 90 fokkal egyenlő vagy nagyobb. De akkor a szögek összege nagyobb lesz 180 foknál. De ez nem történhet meg, mivel a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege 180° - nem több és nem kevesebb. Ezt kellett bizonyítani.
A külső szögek tulajdonságai
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege? Erre a kérdésre a választ két módszer egyikével kaphatjuk meg. Az első az, hogy meg kell találni a szögek összegét, amelyek mindegyik csúcson egyet vesznek fel, azaz három szöget. A második azt jelenti, hogy meg kell találnia mind a hat csúcsszög összegét. Először nézzük meg az első lehetőséget. Tehát a háromszög hat külső szöget tartalmaz - kettőt minden csúcsban.
Mindegyik párnak egyenlő a szöge, mert függőlegesek:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Ezenkívül ismert, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem metszik egymást. Ennélfogva,
∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.
Ebből kiderül, hogy a külső szögek összege, amelyeket minden csúcson egyet veszünk, egyenlő lesz:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Figyelembe véve, hogy a szögek összege 180 fokkal egyenlő, azt mondhatjuk, hogy ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Ez azt jelenti, hogy ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ha a második lehetőséget használjuk, akkor a hat szög összege ennek megfelelően kétszer akkora lesz. Vagyis a háromszög külső szögeinek összege a következő lesz:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Derékszögű háromszög
Mennyi egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege? A válasz erre a kérdésre ismét abból a tételből következik, amely szerint a háromszög szögei 180 fokot adnak össze. És a mi állításunk (tulajdonságunk) így hangzik: egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek 90 fokot adnak össze. Bizonyítsuk be az igazát.
Adjunk meg egy KMN háromszöget, amelyben ∟Н = 90°. Be kell bizonyítani, hogy ∟К + ∟М = 90°.
Tehát a szögek összegére vonatkozó tétel szerint ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Feltételünk szerint ∟H = 90°. Így kiderül, ∟К + ∟М + 90° = 180°. Vagyis ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Pontosan ezt kellett bizonyítanunk.
A derékszögű háromszög fent leírt tulajdonságain kívül a következőket adhatja hozzá:
- a lábakkal szemben lévő szögek hegyesek;
- a hipotenusz háromszög alakú, nagyobb, mint bármelyik láb;
- a lábak összege nagyobb, mint a hypotenusa;
- A háromszög 30 fokos szöggel ellentétes szára fele akkora, mint a hipotenusz, azaz fele annak.
Ennek a geometriai alaknak egy másik tulajdonságaként kiemelhetjük a Pitagorasz-tételt. Azt állítja, hogy egy 90 fokos szögű (téglalap alakú) háromszögben a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.
Egy egyenlő szárú háromszög szögeinek összege
Korábban azt mondtuk, hogy három csúcsú, két egyenlő oldallal rendelkező egyenlő szárú sokszöget nevezünk. Ennek a geometriai alaknak ez a tulajdonsága ismert: az alapjában lévő szögek egyenlőek. Bizonyítsuk be.
Vegyük a KMN háromszöget, amely egyenlő szárú, KN az alapja.
Be kell bizonyítanunk, hogy ∟К = ∟Н. Tehát tegyük fel, hogy MA a KMN háromszögünk felezőpontja. Az MKA háromszög az egyenlőség első jelét figyelembe véve egyenlő az MNA háromszöggel. Ugyanis a feltétellel adott, hogy KM = NM, MA a közös oldal, ∟1 = ∟2, mivel MA egy felezőszög. Felhasználva azt a tényt, hogy ez a két háromszög egyenlő, kijelenthetjük, hogy ∟К = ∟Н. Ez azt jelenti, hogy a tétel bizonyított.
De minket az érdekel, hogy mennyi egy háromszög (egyenlőszárú) szögeinek összege. Mivel ebből a szempontból ennek nincsenek sajátosságai, a korábban tárgyalt tételre építünk. Vagyis azt mondhatjuk, hogy ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, vagy 2 x ∟К + ∟М = 180° (mivel ∟К = ∟Н). Ezt a tulajdonságot nem fogjuk igazolni, mivel magának a háromszögnek a szögeinek összegére vonatkozó tételt korábban bizonyítottuk.
A háromszög szögeivel kapcsolatban tárgyalt tulajdonságokon kívül a következő fontos megállapítások is érvényesek:
- amelynél leeresztették az alapra, egyben a medián, az egyenlő oldalak közötti szög felezője, valamint az alapja;
- egy ilyen geometriai alakzat oldalsó oldalaira húzott mediánok (felezők, magasságok) egyenlők.
Egyenlő oldalú háromszög
Szabályosnak is nevezik, ez az a háromszög, amelyben minden oldal egyenlő. És ezért a szögek is egyenlők. Mindegyik 60 fokos. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot.
Tegyük fel, hogy van egy KMN háromszögünk. Tudjuk, hogy KM = NM = KN. Ez azt jelenti, hogy egy egyenlő szárú háromszög alapjában elhelyezkedő szögek tulajdonsága szerint ∟К = ∟М = ∟Н. Mivel a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, akkor 3 x ∟К = 180° vagy ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Így az állítás bebizonyosodott.
Amint az a fenti tételen alapuló bizonyításból látható, a szögek összege, mint bármely más háromszög szögeinek összege, 180 fok. Ezt a tételt nem kell újra bizonyítani.
Az egyenlő oldalú háromszögre jellemző tulajdonságok is vannak:
- a medián, a felező, a magasság egy ilyen geometriai alakzatban egybeesik, és hosszukat a következőképpen számítjuk ki (a x √3): 2;
- ha leírunk egy kört egy adott sokszög körül, akkor a sugara egyenlő lesz (a x √3): 3;
- ha egy kört írunk egy egyenlő oldalú háromszögbe, akkor a sugara (a x √3): 6;
- Ennek a geometriai alakzatnak a területét a következő képlettel számítjuk ki: (a2 x √3): 4.
Tompa háromszög
Értelemszerűen az egyik szöge 90 és 180 fok között van. De tekintettel arra, hogy ennek a geometriai alaknak a másik két szöge hegyes, arra a következtetésre juthatunk, hogy nem haladják meg a 90 fokot. Ezért a háromszög szögösszegének tétele működik egy tompa háromszög szögösszegének kiszámításakor. Kiderült, hogy a fent említett tétel alapján nyugodtan kijelenthetjük, hogy egy tompa háromszög szögeinek összege 180 fokkal egyenlő. Ismétlem, ezt a tételt nem kell újra bizonyítani.
A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a matematika egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges 60-65 ponttal. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.
Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.
Célok és célkitűzések:
Nevelési:
- ismételje meg és általánosítsa a háromszöggel kapcsolatos ismereteket;
- bizonyítsa be a tételt a háromszög szögeinek összegéről;
- gyakorlatilag ellenőrizze a tétel megfogalmazásának helyességét;
- megtanulják alkalmazni a megszerzett ismereteket a problémák megoldása során.
Nevelési:
- fejleszti a geometriai gondolkodást, a tantárgy iránti érdeklődést, a tanulók kognitív és kreatív tevékenységét, a matematikai beszédet, valamint az önálló tudásszerzés képességét.
Nevelési:
- fejleszteni kell a tanulók személyes tulajdonságait, mint például az elszántságot, a kitartást, a pontosságot és a csapatmunkára való képességet.
Felszerelés: multimédiás projektor, színes papírból készült háromszögek, „Élő matematika” oktatási komplexum, számítógép, képernyő.
Előkészületi szakasz: A tanár azt a feladatot adja a tanulónak, hogy készítsen történelmi jegyzetet a „Háromszög szögeinek összege” tételről.
Az óra típusa: új anyagok tanulása.
Az órák alatt
I. Szervezési mozzanat
Üdvözlet. A tanulók munkához való pszichológiai hozzáállása.
II. Bemelegít
A geometriai alakzat „háromszöggel” az előző leckéken ismerkedtünk meg. Ismételjük meg, mit tudunk a háromszögről?
A tanulók csoportokban dolgoznak. Lehetőséget kapnak arra, hogy kommunikáljanak egymással, mindegyik önállóan építse fel a megismerési folyamatot.
Mi történt? Minden csoport megteszi a javaslatait, a tanár felírja a táblára. Az eredmények megvitatása:
1. kép
III. Az óra céljának megfogalmazása
Tehát már elég sokat tudunk a háromszögről. De nem az összes. Mindegyikőtök asztalán van háromszög és szögmérő. Ön szerint milyen problémát tudunk megfogalmazni?
A tanulók megfogalmazzák az óra feladatát - egy háromszög szögeinek összegét megtalálni.
IV. Új anyag magyarázata
Gyakorlati rész(elősegíti az ismeretek és az önismereti készségek frissítését) Mérje meg a szögeket szögmérővel, és keresse meg az összegüket! Az eredményeket írja le a füzetébe (hallgassa meg a kapott válaszokat). Megtudjuk, hogy a szögek összege mindenkinél más és más (ez azért történhet meg, mert a szögmérőt nem pontosan alkalmazták, a számítást hanyagul végezték el stb.).
Hajtsd végig a szaggatott vonalak mentén, és nézd meg, mi mással egyenlő egy háromszög szögeinek összege:
A) 
2. ábra
b) 
3. ábra
V) 
4. ábra
G) 
5. ábra
d) 
6. ábra
A gyakorlati feladat elvégzése után a tanulók megfogalmazzák a választ: Egy háromszög szögeinek összege megegyezik a kibontott szög mértékével, azaz 180°-kal.
Tanár: A matematikában a gyakorlati munka csak valamiféle állítást tesz lehetővé, de azt bizonyítani kell. Tételnek nevezzük azt az állítást, amelynek érvényességét bizonyítás állapítja meg. Milyen tételt fogalmazhatunk meg és bizonyíthatunk?
Diákok: Egy háromszög szögeinek összege 180 fok.
Történelmi hivatkozás: A háromszög szögösszegének tulajdonságát az ókori Egyiptomban állapították meg. A modern tankönyvekben leírt bizonyítást Proklosz Euklidész elemeihez írt kommentárja tartalmazza. Proklosz azt állítja, hogy ezt a bizonyítékot (8. ábra) a pitagoreusok fedezték fel (Kr. e. 5. század). Az Elemek első könyvében Eukleidész a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel egy másik bizonyítását állítja fel, amely rajz segítségével könnyen megérthető (7. ábra):
7. ábra
8. ábra
A rajzok kivetítőn keresztül jelennek meg a képernyőn.
A tanár felajánlja a tétel rajzok segítségével történő bizonyítását.
Ezután a bizonyítást az „Élő matematika” tanítási és tanulási komplexum segítségével hajtják végre.. A tanár a tétel bizonyítását kivetíti a számítógépre.
Tétel a háromszög szögeinek összegéről: „A háromszög szögeinek összege 180°”
9. ábra
Bizonyíték:
A) 
10. ábra
b) 
11. ábra
V) 
12. ábra
A tanulók röviden jegyzik fel a tétel bizonyítását a füzetükbe:
Tétel: Egy háromszög szögeinek összege 180°.
13. ábra
Adott:Δ ABC
Bizonyít: A + B + C = 180°.
Bizonyíték:
Amit bizonyítani kellett.
V. Phys. Csak egy perc.
VI. Az új anyag magyarázata (folytatás)
A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételből származó következtetést a tanulók önállóan vezetik le, ez hozzájárul a saját nézőpont megfogalmazásának, kifejezésének és érvelésének képességének fejlődéséhez:
Bármely háromszögben vagy minden szög hegyesszögű, vagy kettő hegyesszög, a harmadik pedig tompa vagy derékszögű..
Ha egy háromszögnek minden hegyesszöge van, akkor ún hegyesszögű.
Ha egy háromszög egyik szöge tompaszögű, akkor azt ún tompaszögű.
Ha egy háromszög egyik szöge derékszögű, akkor ún négyszögletes.
A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel lehetővé teszi, hogy a háromszögeket ne csak oldalak, hanem szögek szerint is osztályozzuk. (Miközben a tanulók bemutatják a háromszögtípusokat, a tanulók kitöltik a táblázatot)
Asztal 1
| Háromszög nézet | Egyenlő szárú | Egyenlő oldalú | Sokoldalú |
| Négyszögletes | 
|
|
|
| Tompa | 
|
|
|
| Hegyesszögű | 
|
|
|
VII. A tanult anyag konszolidációja.
- Problémák megoldása szóban:
(A rajzok kivetítőn keresztül jelennek meg a képernyőn)
1. feladat. Keresse meg a C szöget!
14. ábra
2. feladat Keresse meg az F szöget.
15. ábra
3. feladat Keresse meg a K és N szögeket!
16. ábra
4. feladat Keresse meg a P és T szögeket!
17. ábra
- Oldja meg saját maga a 223 (b, d) feladatot.
- Oldja meg a feladatot a táblán és a füzetekben, 224. sz. tanuló!
- Kérdések: Lehet-e egy háromszögnek: a) két derékszöge; b) két tompaszög; c) egy derékszögű és egy tompaszög.
- (szóban történik) Az egyes asztalokon lévő kártyákon különböző háromszögek láthatók. Határozza meg szemmel az egyes háromszögek típusát!
18. ábra
- Határozzuk meg az 1, 2 és 3 szögek összegét!
19. ábra
VIII. Óra összefoglalója.
Tanár: Mit tanultunk? Alkalmazható-e a tétel bármely háromszögre?
IX. Visszaverődés.
Mondjátok el a hangulatotokat srácok! A háromszög hátoldalán ábrázolja arckifejezéseit.
20. ábra
Házi feladat: 30. bekezdés (1. rész), 1. kérdés ch. A tankönyv IV 89. oldala; 223. (a, c), 225. sz.
Előzetes információ
Először nézzük közvetlenül a háromszög fogalmát.
1. definíció
Háromszögnek nevezzük azt a geometriai alakzatot, amely három, egymással szakaszokkal összekapcsolt pontból áll (1. ábra).
2. definíció
Az 1. definíció keretein belül a pontokat a háromszög csúcsainak nevezzük.
3. definíció
Az 1. definíció keretein belül a szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük.
Nyilvánvaló, hogy minden háromszögnek 3 csúcsa és három oldala van.
Tétel a háromszög szögeinek összegéről
Vezessük be és bizonyítsuk be a háromszögekkel kapcsolatos egyik fő tételt, mégpedig a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt.
1. tétel
A szögek összege bármely tetszőleges háromszögben $180^\circ$.
Bizonyíték.
Tekintsük az $EGF$ háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy ebben a háromszögben a szögek összege $180^\circ$. Készítsünk egy további konstrukciót: húzzuk meg a $XY||EG$ egyenest (2. ábra)
Mivel a $XY$ és $EG$ egyenesek párhuzamosak, ezért a $∠E=∠XFE$ a $FE$ szekánsnál keresztben, a $∠G=∠YFG$ pedig a $FG$ szekánsnál keresztben fekszik.
A(z) $XFY$ szög megfordul, ezért 180$^\circ$ lesz.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Ennélfogva
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
A tétel bizonyítást nyert.
Háromszög külső szög tétel
Egy másik, a háromszög szögösszegére vonatkozó tétel tekinthető a külső szögre vonatkozó tételnek. Először is mutassuk be ezt a fogalmat.
4. definíció
A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög bármely szögével szomszédos (3. ábra).
Tekintsük most közvetlenül a tételt.
2. tétel
Egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két olyan szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.
Bizonyíték.
Tekintsünk egy tetszőleges $EFG$ háromszöget. Legyen a $FGQ$ háromszög külső szöge (3. ábra).
Az 1. Tétel szerint $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, tehát
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Mivel a $FGQ$ szög külső, ezért szomszédos a $∠G$ szöggel
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
A tétel bizonyítást nyert.
Minta feladatok
1. példa
Határozza meg a háromszög összes szögét, ha egyenlő oldalú.
Mivel egy egyenlő oldalú háromszög minden oldala egyenlő, akkor azt fogjuk kapni, hogy minden szöge egyenlő egymással. Jelöljük a mértéküket $α$-val.
Ekkor az 1. tételből kapjuk
$α+α+α=180^\circ$
Válasz: minden szög egyenlő $60^\circ$.
2. példa
Keresse meg egy egyenlő szárú háromszög összes szögét, ha az egyik szöge egyenlő $100^\circ$.
Vezessük be a következő jelölést az egyenlő szárú háromszög szögeire:
Mivel abban a feltételben nincs megadva, hogy pontosan mekkora $100^\circ$ szöggel egyenlő, két eset lehetséges:
A $100^\circ$-nak megfelelő szög a háromszög alapjában lévő szög.
Az egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögekre vonatkozó tételt felhasználva megkapjuk
$∠2=∠3=100^\circ$
De akkor csak az összegük lesz nagyobb 180$^\circ$-nál, ami ellentmond az 1. Tétel feltételeinek. Ez azt jelenti, hogy ez az eset nem fordul elő.
A $100^\circ$-nak megfelelő szög az egyenlő oldalak közötti szög, azaz