Mátrix sorok A forma sorköz R(A T).

Mátrix oszlopok A forma oszloptér mátrixok és jelöljük R(A).

Kernel vagy nulla tér mátrix

Az egyenlet összes megoldásának halmaza ax=0, ahol A-m x n-a Mátrix, x- hossz vektor n- nyomtatványok nulla hely vagy mag mátrixok Aés jelöli Ker(A) vagy N(A).

Szemben a Mátrixszal

Bármilyen mátrixhoz A van egy ellentétes mátrix -A oly módon, hogy A+(-A)=0. Nyilvánvalóan mátrixként -A vedd a mátrixot (-1)A, amelynek elemei eltérnek az elemektől A jel.

Ferde-szimmetrikus (ferde-szimmetrikus) mátrix

Egy négyzetes mátrixot ferde-szimmetrikusnak nevezünk, ha a transzponált mátrixától egy -1 tényezővel különbözik:

Egy ferde-szimmetrikus mátrixban a főátlóhoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő két elem -1-es tényezővel tér el egymástól, és az átlós elemek nullával egyenlőek.

Példa egy ferde mátrixra:

Mátrix különbség

különbség C két mátrix AÉs B azonos méretet az egyenlőség határozza meg

Két mátrix különbségének jelölésére a következő jelölést használjuk:

Mátrix fokozat

Legyen a méret négyzetmátrixa n×n. Ezután a mátrix mértékét a következőképpen határozzuk meg:

ahol E az azonosságmátrix.

A szorzás asszociatív tulajdonságából következik:

ahol p,q- tetszőleges egész, nem negatív számok.

Szimmetrikus (Szimmetrikus) mátrix

A feltételt kielégítő mátrix A=A T szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Szimmetrikus mátrixok esetén az egyenlőség:

a ij = a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

1. definíció. Mátrix A méretm n egy m sorból és n oszlopból álló téglalap alakú táblázat, amely számokból vagy más matematikai kifejezésekből (úgynevezett mátrixelemekből) áll, i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, vagy

2. definíció. Két mátrix
És
azonos méretűek nevezik egyenlő, ha elemenként egyeznek, azaz. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

A mátrixok segítségével könnyen fel lehet írni néhány gazdasági függőséget, például a gazdaság egyes ágazataira vonatkozó forráseloszlási táblázatokat.

3. definíció. Ha a mátrixsorok száma megegyezik az oszlopainak számával, azaz. m = n, akkor a mátrixot hívjuk négyzetes rendn, másképp négyszögletes.

4. definíció. Az A mátrixról az A m mátrixra való átmenetet, amelyben a sorok és oszlopok felcserélődnek a sorrend megőrzésével, ún. átültetése mátrixok.

Mátrixok típusai: négyzet (33-as méret) -
,

téglalap alakú (25 méret) -
,

átlós -
, egyedülálló -
, nulla -
,

mátrix sor -
, mátrix-oszlop -.

5. definíció. Az n rendű négyzetmátrix azonos indexű elemeit a főátló elemeinek nevezzük, azaz. ezek az elemek:
.

6. definíció. Az n rendű négyzetmátrix elemeit másodlagos átlóelemeknek nevezzük, ha indexeik összege n + 1, azaz. ezek az elemek: .

1.2. Műveletek mátrixokon.

1 0 . összeg két mátrix
És
Az azonos méretű mátrixot С = (с ij) mátrixnak nevezzük, melynek elemeit ij = a ij + b ij egyenlőség határozza meg, (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

A mátrixösszeadás működésének tulajdonságai.

Bármely azonos méretű A, B, C mátrixra a következő egyenlőségek érvényesek:

1) A + B = B + A (kommutativitás),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asszociativitás).

2 0 . munka mátrixok
számonként  mátrixnak nevezzük
akkora, mint az A mátrix, és b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

(А) = ()А (a szorzás asszociativitása);

(А+В) = А+В (a szorzás eloszlása ​​a mátrixösszeadáshoz képest);

(+)A = A+A (a szorzás eloszlása ​​a számok összeadása tekintetében).

7. definíció. Mátrixok lineáris kombinációja
És
Az azonos méretű A + B alakú kifejezésnek nevezzük, ahol  és  tetszőleges számok.

3 0 . A termék  Mátrixokban Az mn, illetve nk méretű A-t és B-t mk méretű C mátrixnak nevezzük úgy, hogy az ij elem egyenlő az i-edik sor elemeinek szorzatának összegével. Az A mátrix és a B mátrix j-edik oszlopa, azaz ahol ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Az AB szorzat csak akkor létezik, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával.

A mátrixszorzás működésének tulajdonságai:

(АВ)С = А(ВС) (asszociativitás);

(А+В)С = АС+ВС (eloszlás a mátrixösszeadás tekintetében);

А(В+С) = АВ+АС (eloszlás a mátrixösszeadás tekintetében);

АВ  ВА (nem kommutativitás).

8. definíció. Az A és B mátrixokat, amelyeknél AB = BA, ingázásnak vagy permutációnak nevezzük.

Egy tetszőleges sorrendű négyzetmátrix megszorzása a megfelelő azonosságmátrixszal nem változtatja meg a mátrixot.

9. definíció. Elemi átalakulások A mátrixokat a következő műveleteknek nevezzük:

Cseréljen két sort (oszlopot).

Szorozzuk meg egy sor (oszlop) minden elemét egy nullától eltérő számmal.

Egy sor (oszlop) elemeihez egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeinek hozzáadása.

10. definíció. Az A mátrixból elemi transzformációk segítségével kapott B mátrixot ún egyenértékű(BA jelöléssel).

1.1. példa. Keresse meg a 2A–3B mátrixok lineáris kombinációját, ha

,
.

,
,

.

Példa 1.2. Keresse meg a mátrixok szorzatát
, ha

.

Megoldás: mivel az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával, akkor létezik a mátrixszorzat. Ennek eredményeként egy új mátrixot kapunk
, ahol

Ennek eredményeként azt kapjuk
.

2. előadás. Determinánsok. Másod-, harmadrendű determinánsok számítása. Minősítő tulajdonságain- a sorrend.

Meghatározás. A méretmátrix egy számtáblázat, amelyből áll vonalak és oszlopok. A mátrixot alkotó számokat mátrixelemeknek nevezzük.

A mátrixokat a latin ábécé nagybetűivel jelöljük (pl A, B, C), és a mátrix elemei kisbetűvel, kettős indexeléssel szerepelnek: , ahol - sorszám - oszlopszám.

Például mátrix
,

vagy rövidített formában
, ahol
;
.

A mátrixok típusai.

Egysoros mátrixot hívnak mátrix (vektor)–sor, és egy oszlopból - mátrix (vektor)-oszlop:
– mátrixsor;

-mátrix-oszlop.

A mátrix az ún négyzet - sorrendben, ha sorainak száma megegyezik az oszlopok számával és egyenlő . Például,
harmadrendű négyzetmátrix.

Mátrix elemek , amelynek sorszáma megegyezik az oszlop számával
, hívják átlósés forma főátló mátrixok.

Ha egy négyzetes mátrix minden átlón kívüli bejegyzése nulla, akkor a mátrix meghívásra kerül átlós. Például,

egy harmadrendű diagonális mátrix.

Ha az átlós mátrix sorrendben minden átlós elem egyenlő eggyel, akkor a mátrixot hívják egyetlen mátrix sorrendben, és azt a betű jelöli . Például,
a harmadik rend identitásmátrixa.

Műveletek mátrixokon.

Például ha
, azután
.

Például:
,
,
.

Példa. Számítsa ki a mátrixok szorzatát!
, ahol

;
.

Keresse meg a szorzatmátrix méretét (ha lehetséges a mátrixszorzás):
. Számítsa ki a mátrix elemeit! . Elem szorzással kapott mátrix sora a -a mátrix oszlopa .

Kapunk
.

,
.

A definícióból következik, hogy ha a mátrixnak van mérete
, majd a transzponált mátrix mérete van
.

Például:
;
.

Négyzetmátrixok meghatározói

A determináns egy négyzetmátrixot jellemző szám.

Mátrix meghatározó jelöljük vagy .

Egy elsőrendű mátrix determinánsa
, vagy elsőrendű meghatározó, elemnek nevezzük
:

. Például hadd
, azután
.

Másodrendű mátrix determináns
, vagy másodrendű meghatározó, egy szám, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

.

Műalkotások
És
hívott meghatározó tagjai másodrendű. Például hadd
, azután
.

Adjunk meg egy harmadrendű négyzetmátrixot:

.

Harmadrendű mátrix determinánsa, vagy harmadrendű determináns egy számot hívunk, amelyet a következő képlettel számítunk ki:

Ez a szám egy algebrai összeg, amely 6 tagból vagy a determináns 6 tagjából áll. Minden tag pontosan egy elemet tartalmaz a mátrix minden sorából és oszlopából. Azok az előjelek, amelyekkel a determináns tagjai szerepelnek a képletben, könnyen megjegyezhetők a séma segítségével (1. ábra), amely ún. háromszög szabály vagy Sarrus uralkodik.

A magasabb rendű determinánsok kiszámításához további fogalmakra van szükségünk.

Legyen adott egy négyzetmátrix n- a sorrend.

Kisebb
elem mátrixok n a sorrend a mátrix meghatározója ( n– 1) a mátrixból kapott sorrend áthúzni -edik sor és -adik oszlop.

Például az elem minor
mátrixok a harmadik sorrend a következő lesz:

Algebrai összeadás elem mátrixok n a rend a kisebb, a jellel együtt
:
, azaz az algebrai komplementer megegyezik a molldal, ha a sor- és oszlopszámok összege ( én+ j) páros szám, és eltér a moll előjeltől, amikor ( én+ j) - páratlan szám. Például, ;
.

A harmadrend feletti négyzetmátrixok determinánsainak kiszámításához a Laplace-tételt használjuk.

Laplace-tétel.A négyzetmátrix determinánsa megegyezik bármely sor (oszlop) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával:

(elemenkénti bontás én- sor;
);

(elemenkénti bontás j- oszlop;
);

A determinánsok tulajdonságai szerint a mátrix determináns nem változik, ha a mátrix bármely sorának (oszlopának) elemeit hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeihez, előzőleg megszorozva ugyanazzal a számmal. A determinánsok ezen tulajdonsága és a Laplace-tétel lehetővé teszi a magasabb rendű determinánsok számításának jelentős egyszerűsítését. A determinánsok kiszámításakor az eredeti mátrixot úgy kell átalakítani, hogy a transzformált mátrixban legyen minél több nullát tartalmazó sor (vagy oszlop), majd ennek a sornak (oszlopnak) a kibontásával meg kell keresni a determinánst.

Példa. Számítsa ki a negyedrendű determinánst:

.

Alakítsuk át a mátrixot úgy, hogy a 3. sorban egy kivételével minden elem 0-ra forduljon. Ehhez szorozzuk meg a 3. oszlop elemeit (-4)-el, illetve 2-vel, és adjuk hozzá a 3. oszlop elemeihez. az 1. és 2. oszlop . A kapott determinánst kiterjesztve a harmadik sor elemeire, azt találjuk

.

A kapott harmadrendű determináns kiszámítható a háromszögek szabályával vagy a Laplace-tétellel, azonban folytathatja a mátrix egyszerűsítését. "Reset" a harmadrendű mátrixban a 2. sor elemeit (egy kivételével). Ehhez a mátrix harmadik oszlopának elemeit előzőleg (-13) és 4-gyel megszorozva hozzá kell adni az 1. és 2. oszlop elemeihez:

.

A második sor elemeit kibővítve és a közös tényezőket kiemelve kapjuk.

1. évfolyam, felsőfokú matematika, tanulmány mátrixokés az alapvető műveletek rajtuk. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható főbb műveleteket. Hogyan kezdjünk hozzá a mátrixokhoz? Természetesen a legegyszerűbbtől - definícióktól, alapfogalmaktól és legegyszerűbb műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szentel rájuk!

Mátrix definíció

A Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Nos, ha leegyszerűsítve - egy számtáblázat.

A mátrixokat általában latin nagybetűkkel jelölik. Például mátrix A , a Mátrix B stb. A mátrixok különböző méretűek lehetnek: téglalap alakúak, négyzet alakúak, vannak sormátrixok és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m a n , ahol m a sorok száma, és n az oszlopok száma.

Elemek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.

Mit lehet tenni a mátrixokkal? Összeadás/Kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.

Mátrix összeadás és kivonás műveletek

Azonnal figyelmeztetünk, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű − csak adja hozzá a megfelelő elemeket . Vegyünk egy példát. Végezzünk el két A és B mátrix összeadását, amelyek mérete kettős kettő.

A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.

Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:

Mátrixszorzási művelet

Nem minden mátrix szorozható meg egymással. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. a kapott mátrix minden eleme az i-edik sorban és a j-edik oszlopban egyenlő lesz az első tényező i-edik sorában és a második j-edik oszlopában lévő megfelelő elemek szorzatának összegével.. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:

És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:

Mátrix transzponálási művelet

A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:

Mátrix meghatározó

A determináns, ó, a determináns, a lineáris algebra egyik alapfogalma. Valamikor régen az emberek lineáris egyenletekkel álltak elő, és ezek után fel kellett találniuk egy determinánst. Végül csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz-e, szóval az utolsó lökés!

A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.

Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.

Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.

Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből az elemek szorzata a másodlagos átlóból és a másodlagos átlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatát kivonjuk.

Szerencsére a gyakorlatban ritkán van szükség nagy mátrixok determinánsainak kiszámítására.

Itt megvizsgáltuk a mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveleteket. Persze a való életben még csak egy mátrix egyenletrendszerre sem lehet találkozni, vagy fordítva, sokkal bonyolultabb esetekkel is találkozhat, amikor tényleg törni kell az agyát. Ilyen esetekre van szakképzett diákszolgálat. Kérjen segítséget, kapjon minőségi és részletes megoldást, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidőt.

Az mxn méretű téglalap alakú mátrix mxn számok gyűjteménye egy téglalap alakú táblázatba rendezve, amely m sort és n oszlopot tartalmaz. Beírjuk az űrlapba

vagy rövidítve A = (a i j) (i = ; j = ), az a i j számokat elemeinek nevezzük; az első index a sorszámra, a második index az oszlopszámra mutat. Az azonos méretű A = (a i j) és B = (b i j) egyenlőnek nevezzük, ha az azonos helyeken lévő elemeik páronként egyenlőek, vagyis A = B, ha a i j = b i j .

Az egy sorból vagy egy oszlopból álló mátrixot -sor vagy oszlopvektornak nevezzük. Az oszlopvektorokat és a sorvektorokat egyszerűen vektoroknak nevezzük.

Az egy számból álló mátrixot ezzel a számmal azonosítjuk. Az mxn méretű A-t, amelynek minden eleme egyenlő nullával, nullának nevezzük, és 0-val jelöljük. Az azonos indexű elemeket a főátló elemeinek nevezzük. Ha a sorok száma egyenlő az oszlopok számával, azaz m = n, akkor a mátrixot n-es rendű négyzetnek mondjuk. Azokat a négyzetes mátrixokat, amelyekben csak a főátló elemei nem nullák, átlós mátrixoknak nevezzük, és a következőképpen írjuk őket:

.

Ha az átló minden eleme a i i egyenlő 1-gyel, akkor egységnek nevezzük, és E betűvel jelöljük:

.

A négyzetes mátrixot háromszög alakúnak nevezzük, ha a főátló felett (vagy alatta) lévő összes elem nulla. Az átültetés olyan átalakítás, amelyben sorok és oszlopok felcserélődnek, miközben megtartják a számukat. Az átültetést felül egy T jelzi.

Ha a (4.1)-ben átrendezzük a sorokat oszlopokkal, akkor azt kapjuk

,

amelyet A-hoz képest transzponálunk. Különösen egy oszlopvektor transzponálása eredményez egy sorvektort és fordítva.

Az A b számmal való szorzata egy mátrix, amelynek elemeit A megfelelő elemeiből kapjuk meg b számmal megszorozva: b A = (b a i j).

Az azonos méretű A = (a i j) és B = (b i j) összege azonos méretű C = (c i j), melynek elemeit a c i j = a i j + b i j képlet határozza meg.

Az AB szorzatot abból a feltételezésből definiáljuk, hogy az A oszlopok száma megegyezik a B sorok számával.

AB szorzata, ahol A = (aij) és B = (bjk), ahol i =, j=, k=, meghatározott AB sorrendben megadva C = (cik), melynek elemeit a következő szabály:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Vagyis az AB szorzat elemét a következőképpen definiáljuk: az i-edik sor és a k-edik C oszlop eleme egyenlő az i-edik A sor elemeinek szorzatainak összegével a k-edik B oszlop megfelelő elemei.

Példa 2.1. Keresse meg AB és szorzatát.

Megoldás. Van: A 2x3 méretű, B 3x3 méretű, akkor létezik az AB = C szorzat és a C elemei egyenlőek

С 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, с 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, с 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

, és a BA termék nem létezik.

Példa 2.2. A táblázat az 1. és 2. tejüzemből az M 1, M 2 és M 3 üzletekbe naponta szállított termékek darabszámát mutatja, és az egyes tejüzemekből egy termelési egység M 1 raktárba szállítása 50 denba kerül. egységek, az üzletben M 2 - 70, és M 3 - 130 den. egységek Számítsa ki az egyes üzemek napi szállítási költségeit.

Megoldás. Jelölje A-val a feltételben nekünk adott mátrixot, és -val
B - egy termelési egység boltokba szállításának költségét jellemző mátrix, azaz

,

Ekkor a szállítási költség mátrix így fog kinézni:

Tehát az első üzem naponta 4750 den-t költ a szállításra. egység, a második - 3680 den.un.

2.3. példa. A varroda télikabátokat, félszezonos kabátokat és esőkabátokat gyárt. Az egy évtizedre tervezett teljesítményt az X = (10, 15, 23) vektor jellemzi. Négyféle szövetet használnak: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . A táblázat az egyes termékek szövetfogyasztási arányait mutatja (méterben). A C = (40, 35, 24, 16) vektor az egyes típusok egy méter szövet költségét adja meg, a P vektor = (5, 3, 2, 2) pedig egy méter szövet szállításának költségét. típus.