Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.
Téma: Trigonometrikus függvények
Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja
Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.
Határozzuk meg a megfelelési törvényt.
Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).
Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.
A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.
Az ábra azt mutatja 
mert az egységkör egy pontjának ordinátája.
Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.
Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).
Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).
A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.
Tekintsük a függvény tulajdonságait:
1) A meghatározás hatálya:
2) Értéktartomány: 
3) Páratlan függvény:
4) A legkisebb pozitív időszak:
5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái: 
6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:
7) Azok az időközök, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:
8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:
9) Növekvő időközök:
10) Csökkenő intervallumok:
11) Minimum pont: 
12) Minimális funkciók:
13) Maximális pont: 
14) Maximális funkciók:
Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.
Bibliográfia
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.
5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.
Házi feladat
Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
További webes források
3. Oktatási portál a vizsgákra való felkészüléshez ().
Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.
Téma: Trigonometrikus függvények
Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja
Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.
Határozzuk meg a megfelelési törvényt.
Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).
Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.
A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.
Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.
Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.
Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).
Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).
A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.
Tekintsük a függvény tulajdonságait:
1) A meghatározás hatálya:
2) Értéktartomány:
3) Páratlan függvény:
4) A legkisebb pozitív időszak:
5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:
6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:
7) Azok az időközök, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:
8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:
9) Növekvő időközök:
10) Csökkenő intervallumok:
11) Minimum pont:
12) Minimális funkciók:
13) Maximális pont:
14) Maximális funkciók:
Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.
Bibliográfia
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.
5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.
Házi feladat
Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
További webes források
3. Oktatási portál a vizsgákra való felkészüléshez ().
X y O Egységbeli trigonometrikus kör
3 =180 3,14 rad R R О Р М R Tekintsünk egy R sugarú kört. MOP konstrukció: МР = R 1 radián A МОР értéke egyenlő 1 radiánnal МР =1rad МОР 57 17= 1rad Radián szögmérték
4 A kör kerületét a C=2 R képlet fejezi ki, ahol R a kör sugara. 3, Azt a kört, amelynek sugara egyenlő 1-gyel... Pontok M, P, K, N - nevezzük csomópontoknak. Jelöljük az A, B, C pontokat. Az egységkör hosszát célszerű radiánban mérni. Ha R=1, akkor C=2 rad! A radián elnevezést általában kihagyják. y x K R S V A A fél kör ívének hossza rad. M N rad – a kerület negyede rad – a kerület háromnegyede Kb. 1 egység Radián szögmérték uk-badge uk-margin-small-right"> 5 Fokmérték Radián mértéke0 Tehát egy pont elfordulási szögének értéke, valamint az egységkör ívének nagysága megadható: I negyed II negyed III negyed IV negyed O fokmértékben radiánmértékben A szög radiánmértéke 0 2 I negyed II negyed III negyed IV negyed O 2
6 „Tekerjük le” a kört fonalszerűen egy koordinátasugárra, amelynek kezdete a 0 pontban van. Állítsunk fel egyezést a számegyenesen lévő valós számok halmaza és az egységkör pontjai között. Ez a „letekerés” a végtelenségig folytatható. 3,14 0 Grafikon ábrázolása x y=sin x
13 Grafikonok transzformációja Funkció Transzformáció 1 y= f (x) + mPárhuzamos átvitel az OY tengely mentén m egységgel 2 y= f (x – n) Párhuzamos átvitel az OX tengely mentén n egységgel 3 y=A f (x) Nyújtás az OY tengely mentén az OX tengelyhez viszonyítva A-szor 4 y= f (k x) Összenyomás az OX tengely mentén az OY tengelyhez képest k-szer 5 y= – f (x) Szimmetrikus visszaverődés az OX tengelyhez képest 6 y= f (– x) Szimmetrikus visszaverődés az OY tengelyhez képest y =f(x)
20 Készítsük el az y= 3 sin(2x+ /3)–2 függvény grafikonját: 1. y= sin x – szinuszos 3. y= sin(2x+ /3) – mozgassuk /3 egységgel balra 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – 3-szoros nyújtás az Oy tengely mentén 2. y= sin 2x – 2-szeres összenyomás az Ox tengely mentén 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – 2-szeres átvitel egységekkel lefelé
26 Grafikonok transzformációja Funkció Transzformáció 1 y=sin(kx) Kompresszió az OX tengely mentén az OY tengelyhez képest k szor 2 y=sin(x–m) Párhuzamos szállítás az OX tengely mentén m egységgel 3 y=A sin x Nyújtás az OY tengely mentén relatív OX tengely A-ban 4-szer y=sin x+nPárhuzamos eltolás az OY tengely mentén n egységgel 5 y= – sin x Szimmetrikus visszaverődés az OX tengelyhez képest 6 y= sin (–x) Szimmetrikus visszaverődés az OY tengely y = Asin(kx–n )+m
28 1. Az y=sin x függvény létezik x minden valós értékére, és grafikonja egy folytonos vonal (törés nélkül), azaz. a függvény folyamatos. 2.Az y=sin x függvény páratlan, grafikonja szimmetrikus az origóra. 3.A legnagyobb és legkisebb értékek. A sinx függvény minden lehetséges értékét a -1 sinx 1 és 4 egyenlőtlenség korlátozza. A függvény nullái (a függvénygráf és az abszcissza tengely metszéspontjai): sinx=0, ha x= n. (n Z) Az y=sinx függvény néhány tulajdonsága sin x= – 1, ha sin x=1, ha
Funkcióy = bűnx
A függvény grafikonja szinuszos.
A szinuszhullám teljes nem ismétlődő részét szinuszhullámnak nevezzük.
A fél szinuszhullámot fél szinuszhullámnak (vagy ívnek) nevezzük.
Funkció tulajdonságaiy =
bűnx:
3) Ez egy páratlan függvény. 4) Ez egy folyamatos függvény.
6) A szakaszon [-π/2; π/2] függvény növekszik a [π/2; 3π/2] – csökken. 7) Időközönként a függvény pozitív értékeket vesz fel. 8) A növekvő függvény intervallumai: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) A függvény minimális pontjai: -π/2 + 2πn. |
Függvény ábrázolása y= bűn x Kényelmes a következő mérlegek használata:
Egy négyzetes papírlapon két négyzet hosszát vesszük szegmens egységnek.
A tengelyen x Mérjük meg a π hosszt. Ugyanakkor a kényelem kedvéért a 3.14-et 3 formájában mutatjuk be - vagyis törtszám nélkül. Ekkor egy papírlapon egy cellában π 6 cella lesz (háromszor 2 cella). És minden cella megkapja a saját természetes nevét (az elsőtől a hatodikig): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ezek a jelentések x.
Az y tengelyen 1-et jelölünk, amely két cellát foglal magában.
Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről az értékeink felhasználásával x:
√3 | √3 |
Ezután hozzunk létre egy ütemtervet. Az eredmény egy félhullám, amelynek legmagasabb pontja (π/2; 1). Ez a függvény grafikonja y= bűn x a szegmensen. Adjunk hozzá egy szimmetrikus félhullámot a megszerkesztett gráfhoz (az origóhoz képest szimmetrikusan, vagyis a -π szakaszon). Ennek a félhullámnak a csúcsa az x tengely alatt van, koordinátákkal (-1; -1). Az eredmény egy hullám lesz. Ez a függvény grafikonja y= bűn x szakaszon [-π; π].
A hullámot a [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] stb. Ezeken a szegmenseken a függvény grafikonja ugyanúgy fog kinézni, mint a [-π; π]. Folyamatos hullámvonalat kapsz azonos hullámokkal.
Funkcióy = kötözősalátax.
Egy függvény grafikonja egy szinuszhullám (néha koszinuszhullámnak is nevezik).
Funkció tulajdonságaiy = kötözősalátax:
1) Egy függvény definíciós tartománya a valós számok halmaza. 2) A függvényértékek tartománya a [–1; 1] 3) Ez egy páros függvény. 4) Ez egy folyamatos függvény. 5) A grafikon metszéspontjainak koordinátái: 6) A szakaszon a függvény csökken, a szakaszon [π; 2π] – növekszik. 7) intervallumokon [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] függvény pozitív értékeket vesz fel. 8) Növekvő intervallumok: [-π + 2πn; 2πn]. 9) A függvény minimális pontjai: π + 2πn. 10) A funkció felülről és alulról korlátozott. A függvény legkisebb értéke –1, 11) Ez egy 2π periódusú periodikus függvény (T = 2π) |
Funkcióy = mf(x).
Vegyük az előző függvényt y=cos x. Mint már tudja, a grafikonja egy szinuszhullám. Ha ennek a függvénynek a koszinuszát megszorozzuk egy bizonyos m számmal, akkor a hullám kitágul a tengely felől x(vagy zsugorodni fog, m értékétől függően).
Ez az új hullám lesz az y = mf(x) függvény grafikonja, ahol m bármely valós szám.
Így az y = mf(x) függvény az ismerős y = f(x) függvény szorozva m-mel.
Ham< 1, то синусоида сжимается к оси x együtthatóvalm. Ham > 1, akkor a szinuszost a tengelytől kifeszítjükx együtthatóvalm.
Nyújtás vagy tömörítés végrehajtásakor először csak egy szinuszhullám egy félhullámát ábrázolhatja, majd befejezheti a teljes grafikont.
Funkcióy= f(kx).
Ha a funkció y=mf(x) a szinusz tengelytől való megnyúlásához vezet x vagy a tengely felé történő összenyomás x, akkor az y = f(kx) függvény a tengely felőli nyújtáshoz vezet y vagy a tengely felé történő összenyomás y.
Ráadásul k bármely valós szám.
0-nál< k< 1 синусоида растягивается от оси y együtthatóvalk. Hak > 1, akkor a szinusz a tengely felé összenyomódiky együtthatóvalk.
Ennek a függvénynek a grafikon ábrázolásakor először felállíthat egy szinuszhullám félhullámát, majd felhasználhatja a teljes grafikont.
Funkcióy = tgx.
Függvénygrafikon y= tg x egy érintő.
Elegendő a gráf egy részét a 0-tól π/2-ig terjedő intervallumban megszerkeszteni, majd szimmetrikusan folytatni a 0-tól 3π/2-ig terjedő intervallumban.
Funkció tulajdonságaiy = tgx:
Funkcióy = ctgx
Függvénygrafikon y=ctg x tangentoid is (néha kotangentoidnak is nevezik).
Funkció tulajdonságaiy = ctgx:
>>Matematika: y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Az y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Ebben a részben az y = sin x, y = cos x függvények néhány tulajdonságát tárgyaljuk, és megszerkesztjük grafikonjaikat.
1. Függvény y = sin X.
Fent, a 20. §-ban megfogalmaztunk egy olyan szabályt, amely lehetővé teszi, hogy minden t számhoz egy cos t szám társuljon, azaz. jellemezte az y = sin t függvényt. Nézzünk meg néhány tulajdonságát.
Az u = sin t függvény tulajdonságai.
A definíciós tartomány a valós számok K halmaza.
Ez abból következik, hogy bármely 2-es szám megfelel egy M(1) pontnak a számkörön, amelynek jól meghatározott ordinátája van; ez az ordináta a cos t.
u = sin t páratlan függvény.
Ez abból következik, hogy a 19. §-ban bebizonyosodott, hogy bármely t az egyenlőség
Ez azt jelenti, hogy az u = sin t függvény grafikonja, mint bármely páratlan függvény grafikonja, szimmetrikus a tOi derékszögű koordinátarendszer origójához képest.
Az u = sin t függvény az intervallumon növekszik 
Ez abból következik, hogy amikor egy pont a számkör első negyede mentén mozog, az ordináta fokozatosan növekszik (0-ról 1-re - lásd 115. ábra), és amikor a pont a számkör második negyede mentén mozog, a ordináta fokozatosan csökken (1-ről 0-ra – lásd 116. ábra).
Az u = sint függvény alul és felül is korlátos. Ez abból a tényből következik, hogy amint azt a 19. §-ban láttuk, minden t esetében fennáll az egyenlőtlenség
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket 
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük a számunkra érdekes függvény grafikonját. De (figyelem!) az u - sin t helyett y = sin x-et fogunk írni (végül is inkább y = f(x), és nem u = f(t)-t szoktunk írni). Ez azt jelenti, hogy egy gráfot a szokásos xOy koordinátarendszerben fogunk felépíteni (és nem tOy).
Készítsünk egy táblázatot az y - sin x függvény értékeiről:
Megjegyzés.
Adjuk meg a „sine” kifejezés eredetének egyik változatát. Latinul a sinus azt jelenti, hajlítás (íjhúr).
A megszerkesztett gráf bizonyos mértékig igazolja ezt a terminológiát. 
Az y = sin x függvény grafikonjaként szolgáló egyenest szinuszhullámnak nevezzük. A szinusz azon része, amely az ábrán látható. A 118 vagy 119 szinuszhullámnak nevezzük, és a szinuszhullámnak azt a részét, amely az 1. ábrán látható. 117, félhullámnak vagy szinuszhullám ívének nevezik.
2. Függvény y = cos x.
Az y = cos x függvény vizsgálata megközelítőleg ugyanazon séma szerint végezhető el, mint amit fentebb az y = sin x függvénynél használtunk. De azt az utat választjuk, amely gyorsabban vezet a célhoz. Először két olyan képletet fogunk bebizonyítani, amelyek önmagukban is fontosak (ezt látni fogjátok a gimnáziumban), de egyelőre csak kisegítő jelentőséggel bírnak céljaink szempontjából.
t bármely értékére a következő egyenlőségek érvényesek:
Bizonyíték. A t szám feleljen meg az n numerikus kör M pontjának, a * + - szám pedig P pontnak (124. ábra; az egyszerűség kedvéért az első negyedben vettük az M pontot). Az AM és BP ívek egyenlőek, az OKM és OLBP derékszögű háromszögek pedig ennek megfelelően egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy O K = Ob, MK = Pb. Ezekből az egyenlőségekből, valamint az OCM és OBP háromszögek koordinátarendszerbeli elhelyezkedéséből két következtetést vonunk le:
1) a P pont ordinátája abszolút értékben és előjelben egybeesik az M pont abszcisszájával; ez azt jelenti
2) a P pont abszcisszája abszolút értékben egyenlő az M pont ordinátájával, de előjelben különbözik tőle; ez azt jelenti
Körülbelül ugyanezt az érvelést hajtjuk végre azokban az esetekben, amikor az M pont nem tartozik az első negyedévhez.
Használjuk a képletet 
(ez a fent bevált képlet, de a t változó helyett az x változót használjuk). Mit ad nekünk ez a képlet? Lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a funkciók
azonosak, ami azt jelenti, hogy grafikonjaik egybeesnek.
Ábrázoljuk a függvényt 
Ehhez térjünk át egy olyan segédkoordináta-rendszerre, amelynek origója egy pontban van (a szaggatott vonal a 125. ábrán látható). Társítsuk az y = sin x függvényt az új koordinátarendszerhez - ez lesz a függvény grafikonja 
(125. ábra), i.e. az y - cos x függvény grafikonja. Ezt, akárcsak az y = sin x függvény grafikonját, szinuszhullámnak nevezzük (ami teljesen természetes).
Az y = cos x függvény tulajdonságai.
y = cos x páros függvény.
Az építési szakaszok az ábrán láthatók. 126:
1) készítsük el az y = cos x függvény grafikonját (pontosabban egy félhullámot);
2) a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 0,5-ös tényezővel megnyújtva megkapjuk a kívánt gráf egy félhullámát;
3) a kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük az y = 0,5 cos x függvény teljes grafikonját.