Na youtube kanal naše stranice stranice da budete upoznati sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.

Proizvod broja a dešava na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe- ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza, uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili mera.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Takav primjer se može riješiti čak i u umu. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako treba donijeti ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili ovu jednačinu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da sumiramo naše rješenje.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li su osnove jednadžbe na desnoj i na lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stepena i riješiti rezultirajuću novu jednačinu.

Sada da riješimo neke primjere:

Počnimo jednostavno.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.

x+2=4 Pokazala se najjednostavnija jednačina.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za početak, prenosimo devetku na desnu stranu, dobijamo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Koristimo formulu snage (a n) m = a nm .

3 3x = (3 2) x + 8

Dobijamo 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2 x + 16

3 3x = 3 2x + 16 sada je jasno da su baze na lijevoj i desnoj strani iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze su različite dvije i četiri. I mi treba da budemo isti. Transformišemo četvorku prema formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislite 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x = 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x - 12*3 x +27= 0

transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primeru je jasno da prva trojka ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda zamjene. Broj s najmanjim stepenom zamjenjuje se sa:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zamjenjujemo sve stupnjeve sa x-ovima u jednadžbi sa t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Povratak na varijablu x.

Uzimamo t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stranici možete u rubrici POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja koja vas zanimaju, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi

y (x) = e x, čiji je izvod jednak samoj funkciji.

Eksponent je označen kao , ili .

e broj

Osnova stepena eksponenta je e broj. Ovo je iracionalan broj. To je približno jednako
e ≈ 2,718281828459045...

Broj e je određen kroz granicu niza. Ova tzv druga divna granica:
.

Takođe, broj e se može predstaviti kao niz:
.

Shema izlagača

Grafikon eksponenta, y = e x .

Grafikon prikazuje eksponent, e u meri u kojoj X.
y (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.

Formule

Osnovne formule su iste kao i za eksponencijalnu funkciju sa bazom stepena e.

;
;
;

Izraz eksponencijalne funkcije sa proizvoljnom bazom stepena a kroz eksponent:
.

Privatne vrijednosti

Neka y (x) = e x. Onda
.

Svojstva eksponenta

Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena e > 1 .

Domen definicije, skup vrijednosti

Eksponent y (x) = e x definisano za sve x .
Njegov opseg je:
- ∞ < x + ∞ .
Njegov skup značenja:
0 < y < + ∞ .

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponent je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponenta je prirodni logaritam.
;
.

Derivat eksponenta

Derivat e u meri u kojoj X je jednako sa e u meri u kojoj X :
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Kompleksni brojevi

Operacije sa kompleksnim brojevima se izvode pomoću Eulerove formule:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

; ;
.

Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija

; ;
;
.

Proširenje serije snaga

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, ovo se može predstaviti kao pravougaonik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane označava boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč u matematičkom smislu? Kako se zbir dva segmenta može pretvoriti u trigonometriju? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam funkcije linearnog ugla.

Nećete naći ništa o funkcijama linearnog ugla u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, funkcionišu bez obzira da li znamo da postoje ili ne.

Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Je li moguće bez linearnih ugaonih funkcija? Možete, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Vidi. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju da ih rešimo. Šta učiniti ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član da bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se jako dobro snalazimo bez razlaganja zbira, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučnim studijama zakona prirode, proširenje sume u termine može biti veoma korisno.

Još jedan zakon sabiranja o kome matematičari ne vole da govore (još jedan njihov trik) zahteva da termini imaju istu jedinicu mere. Za zelenu salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, cijene ili jedinice mjere.

Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematiku. Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u obimu opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih jedinica mjere. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse u istu notaciju za mjerne jedinice različitih objekata, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili u vezi s našim djelovanjem. pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- Borsch. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog ugla za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja ispasti. Šta smo onda učili da radimo? Učili su nas da odvajamo jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu savremene matematike - ne razumijemo šta, nije jasno zašto, a vrlo slabo razumijemo kako se to odnosi na stvarnost, jer od tri nivoa razlike matematičari operišu samo na jednom. Bit će ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

I zečići, i patke, i male životinje mogu se izbrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.

Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.

Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.

Ali vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti ugla funkcija linearnog ugla.

Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Zero borsch može biti i na nula salate (pravi ugao).

Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema ovome kako hoćete, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen sa nulom jednako nuli" , "iza tačke nula" i ostale gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje generalno gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji da pripišete nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je kao slikanje bojom koja ne postoji. Mahali su suvim kistom i govorili svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.

Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobijamo gusti boršč.

Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršeni boršč (neka mi kuvari oproste, to je samo matematika).

Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo zelene salate. Uzmi tečni boršč.

Pravi ugao. Imamo vodu. Ostale su samo uspomene na zelenu salatu, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, sačekajte i pijte vodu dok je dostupna)))

Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego primjerene.

Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubistva jednog od njih, sve je otišlo na drugog.

Pojava matematike na našoj planeti.

Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26.10.2019

Gledao sam zanimljiv video o tome Grandijev red Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili test jednakosti u svom rasuđivanju.

Ovo rezonuje sa mojim rasuđivanjem o .

Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku rezonovanja, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li je broj elemenata u njemu paran ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?

Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata u nizu - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz sa neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.

Stavljajući znak jednakosti između dva niza različitog po broju elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.

Ako vidite da matematičari stavljaju zagrade u toku dokazivanja, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite vrlo oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput čaranja karata, matematičari vam skreću pažnju raznim manipulacijama izraza kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu varanja, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate u varanje, ali ponavljanje svih manipulacija s matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost rezultata, baš kao kad su vas uvjerili.

Pitanje iz publike: A beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S), da li je parna ili neparna? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?

Beskonačnost za matematičare je kao carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako sve tamo funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana , ali ... Dodajući samo jedan dan na početak vašeg života, dobićemo potpuno drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronim je potpuno isti, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - rođen je jedan dan prije tebe.

A sada na stvar))) Pretpostavimo da konačni niz koji ima paritet izgubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza također mora izgubiti parnost. Mi to ne primećujemo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li je broj elemenata u beskonačnom nizu paran ili neparan uopšte ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može netragom nestati u beskonačnost, kao u rukavu oštrije karte. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.

Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što nazivamo "kazaljkom na satu". Možda zvuči paradoksalno, ali smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.

Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo točno odrediti u kojem smjeru se ovi kotači okreću, ali možemo sa apsolutnom sigurnošću reći da li se oba točka okreću u istom smjeru ili u suprotnim smjerovima. Poređenje dva beskonačna niza S I 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različit paritet i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem u matematiku, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "simultanost". Ovo će se morati nacrtati.

Srijeda, 07.08.2019

Završavajući razgovor o , Moramo razmotriti beskonačan skup. Dao u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao boa constrictor na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:

Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti na sljedeći način:

Kako bi vizuelno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Ja lično na sve ove metode gledam kao na ples šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se u njih nastanjuju novi gosti, ili da se neki posetioci izbace u hodnik da se napravi mesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu gostinjsku sobu, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, vremenski faktor se može glupo zanemariti, ali ovo će već biti iz kategorije "zakon nije pisan za budale". Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Infinity gostionica je gostionica koja uvijek ima bilo koji broj slobodnih mjesta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve prostorije u beskrajnom hodniku "za posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa sobama za "goste". Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Istovremeno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari, s druge strane, nisu u stanju da se odmaknu od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju da žongliraju sa serijskim brojevima hotelskih soba, ubeđujući nas da je moguće "gurnuti nepogurnute".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo mi sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje opcije, kako i priliči pravom naučniku.

Opcija jedan. "Neka nam se da" jedan set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već uzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobijamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Zapisao sam operacije u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.

Opcija dva. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako se jedan beskonačan skup doda drugom beskonačnom skupu, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će već biti druga linija, ne jednaka originalu.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - ovo je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite jeste li na putu lažnog rasuđivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, časovi matematike, prije svega, u nama formiraju stabilan stereotip mišljenja, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 04.08.2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio sam ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "...bogata teorijska osnova babilonske matematike nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je slabo gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sledeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da bih potvrdio svoje riječi – ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav ciklus publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu jedinicu mjere, koja je prisutna u nekim elementima odabranog skupa. Razmotrimo primjer.

Neka nas bude mnogo ALI koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi" Označimo elemente ovog skupa kroz slovo ali, indeks sa brojem će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "seksualna karakteristika" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo ALI o rodu b. Obratite pažnju da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa rodom". Nakon toga, polne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženski bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način razmišljaju matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nas ne izlažu detaljima, već nam daju gotov rezultat – „mnogo ljudi se sastoji od podgrupe muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možda imate pitanje, koliko je pravilno primijenjena matematika u gornjim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su transformacije u stvari urađene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Bulove algebre i drugih dijelova matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče superskupova, moguće je kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Znak da sa teorijom skupova nije sve u redu je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su radili ono što su nekada radili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovom "znanju" nas uče.

U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći) . Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u bubuljicu sa mašnom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Imamo dosta "crvenih". Sada škakljivo pitanje: da li su primljeni setovi "sa mašnom" i "crvenim" isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvenih čvrstih bubuljica sa mašnicom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u kvržici), ukrasi (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućava adekvatno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica prema kojoj se formira skup. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, argumentirajući to "očiglednošću", jer jedinice mjere nisu uključene u njihov "naučni" arsenal.

Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Od davnina je bilo potrebno uspoređivati ​​vrijednosti i količine u rješavanju praktičnih problema. Istovremeno su se pojavile riječi više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd. koje označavaju rezultate poređenja homogenih količina.

Koncepti više i manje nastali su u vezi sa brojanjem predmeta, mjerenjem i poređenjem veličina. Na primjer, matematičari antičke Grčke znali su da je stranica bilo kojeg trougla manja od zbira druge dvije strane i da veća strana trokuta leži nasuprot većeg kuta. Arhimed je, računajući obim kruga, otkrio da je obim svakog kruga jednak trostrukom prečniku sa viškom manjim od jedne sedme prečnika, ali više od deset sedamdeset i prve prečnika.

Simbolično zapišite odnose između brojeva i veličina pomoću znakova > i b. Unosi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veći od), Brojevne nejednakosti susreli ste se i u razredima osnovne škole. Znate da nejednakosti mogu, ali ne moraju biti tačne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je važeća numerička nejednakost, 0,23 > 0,235 je nevažeća numerička nejednakost.

Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznatih i lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je tačna za x = 3, ali netačna za x = -3. Za nejednakost s jednom nepoznatom možete postaviti zadatak: riješite nejednakost. Problemi rješavanja nejednačina u praksi se postavljaju i rješavaju ništa manje od problema rješavanja jednačina. Na primjer, mnogi ekonomski problemi se svode na proučavanje i rješavanje sistema linearnih nejednakosti. U mnogim granama matematike, nejednakosti su češće nego jednačine.

Neke nejednakosti služe kao jedino pomoćno sredstvo za dokazivanje ili opovrgavanje postojanja određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.

Numeričke nejednakosti

Možete upoređivati ​​cijele brojeve i decimale. Poznavati pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; sa istim brojnicima ali različitim nazivnicima. Ovdje ćete naučiti kako uporediti bilo koja dva broja tako što ćete pronaći znak njihove razlike.

Poređenje brojeva se široko koristi u praksi. Na primjer, ekonomista upoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, doktor upoređuje temperaturu pacijenta sa normalnom, strugar upoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima upoređuju se neki brojevi. Kao rezultat poređenja brojeva, nastaju numeričke nejednakosti.

Definicija. Broj a je veći od broja b ako je razlika a-b pozitivna. Broj a je manji od broja b ako je razlika a-b negativna.

Ako je a veće od b, onda pišu: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Teorema. Ako je a > b i b > c, onda je a > c.

Teorema. Ako se na obje strane nejednakosti doda isti broj, onda se predznak nejednakosti ne mijenja.
Posljedica. Bilo koji pojam se može prenijeti iz jednog dijela nejednakosti u drugi promjenom predznaka ovog člana na suprotan.

Teorema. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako se oba dijela nejednakosti podijele sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako su oba dijela nejednakosti podijeljena istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.

Znate da se numeričke jednakosti mogu sabirati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Mogućnost sabiranja i množenja nejednakosti pojam se često koristi u praksi. Ove radnje vam pomažu u rješavanju problema evaluacije i poređenja vrijednosti izraza.

Prilikom rješavanja različitih zadataka često je potrebno sabrati ili pomnožiti pojam lijevi i desni dio nejednačina. U ovom slučaju se ponekad kaže da se nejednakosti sabiraju ili množe. Na primjer, ako je turista prvog dana prepješačio više od 20 km, a drugog dana više od 25 km, onda se može tvrditi da je za dva dana prešao više od 45 km. Slično, ako je dužina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, onda se može tvrditi da je površina ovog pravokutnika manja od 65 cm2.

Razmatrajući ove primjere, sljedeće teoreme o sabiranju i množenju nejednačina:

Teorema. Sabiranjem nejednakosti istog predznaka dobijamo nejednakost istog predznaka: ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.

Teorema. Množenjem nejednačina istog predznaka, kod kojih su lijevi i desni dio pozitivni, dobije se nejednakost istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, tada je ac > bd.

Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz stroge nejednakosti > i Na isti način, nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veći od ili jednako b, tj. i ne manje od b.

Nejednačine koje sadrže znak \(\geq \) ili znak \(\leq \) nazivaju se nestrogim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.

Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednakosti. Štaviše, ako se za striktne nejednakosti predznaci > smatraju suprotnim, a znate da za rješavanje niza primijenjenih problema morate izraditi matematički model u obliku jednačine ili sistema jednačina. Nadalje, naučit ćete da su matematički modeli za rješavanje mnogih problema nejednakosti sa nepoznanicama. Uvest ćemo pojam rješavanja nejednakosti i pokazati kako provjeriti da li je dati broj rješenje određene nejednačine.

Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax gdje su a i b dati brojevi, a x je nepoznat, naziva se linearne nejednačine sa jednom nepoznatom.

Definicija. Rješenje nejednakosti s jednom nepoznatom je vrijednost nepoznate za koju se ova nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost. Riješiti nejednakost znači pronaći sva njena rješenja ili utvrditi da ih nema.

Jednadžbe ste riješili tako što ste ih sveli na najjednostavnije jednadžbe. Slično, kada rješavaju nejednačine, oni teže da ih uz pomoć svojstava svedu na oblik najjednostavnijih nejednačina.

Rješenje nejednakosti drugog stepena sa jednom varijablom

Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \) se nazivaju nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom.

Rješavanje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c \) se može smatrati pronalaženjem praznina gdje funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivnu vrijednost ili negativne vrijednosti Da biste to učinili, dovoljno je analizirati kako se graf funkcije \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nalazi u koordinatnoj ravni: gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje , da li parabola siječe x osu i ako siječe, u kojim tačkama.

Algoritam za rešavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom:
1) pronađite diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i saznajte da li trinom ima korijen;
2) ako trinom ima korijene, označite ih na osi x i šematski nacrtajte parabolu kroz označene tačke, čije su grane usmjerene prema gore na a > 0 ili prema dolje na 0 ili na dnu na a 3) pronađite praznine na x osi za koje se parabole tačaka nalaze iznad x-ose (ako rešavaju nejednakost \(ax^2+bx+c >0 \)) ili ispod x-ose (ako rešavaju nejednakost
\(ax^2+bx+c Rješenje nejednačina metodom intervala

Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domen ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele domenu funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) i \( (5; +\infty) \)

Hajde da saznamo koji su predznaci ove funkcije u svakom od navedenih intervala.

Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je proizvod tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u razmatranim intervalima prikazan je u tabeli:

Općenito, neka funkcija bude data formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domen definicije podijeljen nulama funkcije, predznak funkcije je sačuvan, a pri prolasku kroz nulu njen predznak se mijenja.

Ovo svojstvo se koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi

Razmatrana metoda rješavanje nejednačina naziva se metoda intervala.

Navedimo primjere rješavanja nejednačina metodom intervala.

Riješite nejednačinu:

\(x(0.5-x)(x+4) Očigledno, nule funkcije f(x) = x(0.5-x)(x+4) su tačke \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Nacrtamo nule funkcije na realnoj osi i izračunamo predznak na svakom intervalu:

Odaberemo one intervale na kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.

odgovor:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo "kvadratna nejednakost"? Nije pitanje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednačinu i promijenite predznak u njoj "=" (jednako) bilo kojoj ikoni nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Pa, shvatili ste...)

Ovdje sam svjesno povezao jednačine i nejednakosti. Činjenica je da je to prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga - nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.

Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: lijevo - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje spremni za odluku. Treći primjer još treba pripremiti.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.