Materijal predstavljen u ovoj temi zasniva se na informacijama iznesenim u temi "Racionalni razlomci. Dekompozicija racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Toplo preporučujem da barem preletite ovu temu prije nego što pređete na čitanje ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tabela neodređenih integrala.

Dozvolite mi da vas podsjetim na nekoliko pojmova. O njima je bilo reči u odgovarajućoj temi, pa ću se ovde ograničiti na kratku formulaciju.

Omjer dva polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak se zove ispravan, ako je $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri tipa:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (poželjno za potpunije razumijevanje teksta): prikaži\sakrij

Zašto je potreban uslov $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobijamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Pošto je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Inače, za ovu provjeru uopće nije potrebno da koeficijent prije $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobijamo: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Pošto je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ se može faktorizovati.

Mogu se pronaći primjeri racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i primjeri razlaganja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje će nas zanimati samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaki od četiri tipa elementarnih razlomaka iznad je lako integrirati koristeći formule u nastavku. Da vas podsjetim da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavljaju $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju ispunjenje uslova $p^2-4q< 0$.

\begin(jednačina) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednačina) \begin(jednačina) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednačina) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednačina)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je rezultujući interval podijeljen na dva. Prvi će se izračunati unosom pod znakom diferencijala, a drugi će imati oblik $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima korištenjem rekurentne relacije

\begin(jednačina) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj (jednačina)

Proračun takvog integrala je razmatran u primjeru br. 7 (vidi treći dio).

Šema za izračunavanje integrala racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

1. Ako je integrand elementaran, onda primijeniti formule (1)-(4).
2. Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte koristeći formule (1)-(4).

Gornji algoritam za integraciju racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. One. koristeći ovaj algoritam možete integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zato se gotovo sve promjene varijabli u neodređenom integralu (Euler, Chebyshev, univerzalna trigonometrijska zamjena) vrše na način da se nakon ove promjene dobije racionalni razlomak ispod intervala. I onda primenite algoritam na to. Analizirat ćemo direktnu primjenu ovog algoritma koristeći primjere, nakon što napravimo malu napomenu.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj integral je lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako iz predznaka integrala uzmemo konstantu $7$ i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobićemo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučujem da pogledate temu. On detaljno objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Inače, formula je dokazana istim transformacijama koje su primijenjene u ovom paragrafu prilikom rješavanja „ručno“.

2) Opet, postoje dva načina: koristite gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, treba uzeti u obzir da će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati ukloniti. Da bismo to uradili, jednostavno izvadimo ovo četiri iz zagrada:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je vrijeme da primijenite formulu:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez uzimanja konstantnih 4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobijamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja za pronalaženje ovakvih integrala data su u temi „Integracija supstitucijom (supstitucija pod predznakom diferencijala)“.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je ovo zaista elementarni razlomak trećeg tipa, morate provjeriti da li je ispunjen uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Rešimo isti primer, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojiocu. Šta to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolovati u brojiocu. Do sada brojilac sadrži samo $4x+7$, ali ovo neće dugo trajati. Primijenimo sljedeću transformaciju na brojnik:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sada se u brojiocu pojavljuje traženi izraz $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Podijelimo integrand na dva. Pa, i, shodno tome, sam integral je takođe "razdvojen":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Hajdemo prvo govoriti o prvom integralu, tj. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da je $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada brojnik integrala sadrži diferencijal nazivnika. Ukratko, umjesto toga od izraza $( 2x+10)dx$ pišemo $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Odaberimo ceo kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koji smo ranije dobili može prepisati u malo drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ako izvršimo zamjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će ona poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i može se dobiti jednostavnom primjenom druge formule iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je izvodljiva promjena $u=x+5$, nakon čega će dobiti oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je najčistija jedanaesta formula iz tabele neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbir integrala, imamo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo isti odgovor kao i prilikom primjene formule, što, strogo govoreći, nije iznenađujuće. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljivi čitatelj mogao imati jedno pitanje ovdje, pa ću ga formulirati:

Pitanje br. 1

Ako drugu formulu iz tabele neodređenih integrala primenimo na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dobićemo sledeće:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto u rješenju nije bilo modula?

Odgovor na pitanje #1

Pitanje je potpuno prirodno. Modul je nedostajao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. Ovo je prilično lako prikazati na nekoliko načina. Na primjer, pošto je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Možete razmišljati drugačije, bez korištenja odabira cijelog kvadrata. Od $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafičku metodu za rješavanje kvadratnih nejednačina). U svakom slučaju, pošto je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. Umjesto modula, možete koristiti obične zagrade.

Sve tačke primjera br. 1 su riješene, preostaje samo da zapišete odgovor.

Odgovori:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primjer br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, integrand razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ je vrlo sličan elementarnom razlomku trećeg tipa, tj. po $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent od $3$ ispred $x^2$, ali nije potrebno dugo da se koeficijent ukloni (izbacite ga iz zagrada). Međutim, ova sličnost je očigledna. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uslov $p^2-4q je obavezan< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent prije $x^2$ nije jednak jedinici, stoga provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, stoga se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. To znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak trećeg tipa, i primijeniti $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) na integral 5x-2)dx$ formula nije moguća.

Pa, ako dati racionalni razlomak nije elementarni razlomak, onda ga treba predstaviti kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, iskoristite prednost staze. Kako razložiti racionalni razlomak na elementarne je detaljno napisano. Počnimo rastavljanjem imenioca na faktore:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Subinterkalnu frakciju predstavljamo u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Sada dekomponirajmo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu zamjene djelomične vrijednosti, zamjenjujući $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Pošto su koeficijenti pronađeni, ostaje samo da se zapiše završeno proširenje:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim precizniju opciju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izvorni integral, u njega zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju. Zatim dijelimo integral na dva i primjenjujemo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primjer br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Brojilac sadrži polinom drugog stepena, a nazivnik sadrži polinom trećeg stepena. Pošto je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u nazivniku, tj. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Sve što treba da uradimo je da podelimo dati integral na tri i primenimo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.

Ovdje pružamo detaljna rješenja za tri primjera integracije sljedećih racionalnih razlomaka:
, , .

Primjer 1

Izračunaj integral:
.

Rješenje

Ovdje se pod predznakom integrala nalazi racionalna funkcija, pošto je integrand razlomak polinoma. Stepen polinoma nazivnika ( 3 ) je manji od stepena brojevnog polinoma ( 4 ). Stoga, prvo morate odabrati cijeli dio razlomka.

1. Odaberimo cijeli dio razlomka. Podijelite x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Odavde
.

2. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti kubnu jednačinu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamenimo x = 1 :
.

1 . Podijeli sa x - 1 :

Odavde
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe.
.
Korijeni jednadžbe su: , .
Onda
.

3. Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik.

.

Tako smo pronašli:
.
Hajde da se integrišemo.

Odgovori

Primjer 2

Izračunaj integral:
.

Rješenje

Ovdje je brojilac razlomka polinom stepena nula ( 1 = x 0). Imenilac je polinom trećeg stepena. Zbog 0 < 3 , onda je razlomak tačan. Podijelimo ga na jednostavne razlomke.

1. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu trećeg stepena:
.
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 3 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamenimo x = 1 :
.

Dakle, našli smo jedan korijen x = 1 . Podijelite x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

dakle,
.

Rješavanje kvadratne jednadžbe:
x 2 + x + 3 = 0.
Naći diskriminanta: D = 1 2 - 4 3 = -11. Od D< 0 , tada jednadžba nema pravi korijen. Tako smo dobili faktorizaciju nazivnika:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamenimo x = 1 . Onda x - 1 = 0 ,
.

Zamenimo unutra (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Hajde da se izjednačimo sa (2.1) koeficijenti za x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Hajde da se integrišemo.
(2.2) .
Da bismo izračunali drugi integral, izolujemo derivaciju nazivnika u brojiocu i smanjimo nazivnik na zbir kvadrata.

;
;
.

Izračunaj I 2 .


.
Pošto je jednačina x 2 + x + 3 = 0 nema pravih korijena, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Mi dostavljamo na (2.2) :
.

Odgovori

Primjer 3

Izračunaj integral:
.

Rješenje

Ovdje se pod predznakom integrala nalazi dio polinoma. Dakle, integrand je racionalna funkcija. Stepen polinoma u brojiocu je jednak 3 . Stepen polinoma nazivnika razlomka je jednak 4 . Zbog 3 < 4 , onda je razlomak tačan. Stoga se može razložiti na jednostavne razlomke. Ali da biste to učinili, morate rastaviti imenilac na faktore.

1. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu četvrtog stepena:
.
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 2 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamenimo x = -1 :
.

Dakle, našli smo jedan korijen x = -1 . Podijeli sa x - (-1) = x + 1:


dakle,
.

Sada treba da rešimo jednačinu trećeg stepena:
.
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima cjelobrojni korijen, onda je ona djelitelj broja 2 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamenimo x = -1 :
.

Dakle, našli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao u prethodnom slučaju, polinom podijeliti sa , ali ćemo grupisati pojmove:
.

Budući da je jednačina x 2 + 2 = 0 nema pravih korijena, tada dobijamo faktorizaciju nazivnika:
.

2. Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik. Tražimo proširenje u obliku:
.
Riješimo se nazivnika razlomka, pomnožimo sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamenimo x = -1 . Tada je x + 1 = 0 ,
.

Hajde da razlikujemo (3.1) :

;

.
Zamenimo x = -1 i uzeti u obzir da je x + 1 = 0 :
;
; .

Zamenimo unutra (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Hajde da se izjednačimo sa (3.1) koeficijenti za x 3 :
;
1 = B + C;
.

Dakle, pronašli smo dekompoziciju na jednostavne razlomke:
.

3. Hajde da se integrišemo.


.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

U integralima 1-3 as u prihvatiti . Onda, posle n-višestrukom primjenom formule (19) dolazimo do jednog od tabličnih integrala

,
,
.

U integralima 4-6, prilikom diferenciranja, pojednostavite transcendentalni faktor
,
ili
, što treba shvatiti kao u.

Izračunajte sljedeće integrale.

Primjer 7.

Primjer 8.

Svođenje integrala na sebe

Ako je integrand
ima oblik:

,
,
i tako dalje,

onda nakon dva puta integracije po dijelovima dobijamo izraz koji sadrži originalni integral :

,

Gdje
- neka konstanta.

Rješavanje rezultirajuće jednačine za , dobijamo formulu za izračunavanje originalnog integrala:

.

Ovaj slučaj primjene metode integracije po dijelovima naziva se " dovodeći integral sebi».

Primjer 9. Izračunaj integral
.

Na desnoj strani je originalni integral . Pomeranjem na lijevu stranu dobijamo:

.

Primjer 10. Izračunaj integral
.

4.5. Integracija najjednostavnijih pravih racionalnih razlomaka

Definicija.Najjednostavniji pravi razlomci I , II I III vrste Zovu se sljedeći razlomci:

I. ;

II.
; (
- pozitivan cijeli broj);

III.
; (korijeni nazivnika su složeni, odnosno:
.

Razmotrimo integrale prostih razlomaka.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformišemo brojilac razlomka na način da izolujemo član u brojniku
, jednako derivaciji nazivnika.

Razmotrimo prvi od dva dobijena integrala i izvršimo promjenu u njemu:

U drugom integralu savršenom kvadratu dodajemo nazivnik:

Konačno, integral razlomka trećeg tipa jednak je:

=
+
. (22)

Dakle, integral najjednostavnijih razlomaka tipa I izražava se kroz logaritme, tipa II - kroz racionalne funkcije, tipa III - kroz logaritme i arktangente.

4.6.Integracija frakciono-racionalnih funkcija

Jedna od klasa funkcija koje imaju integral izražen u terminima elementarnih funkcija je klasa algebarskih racionalnih funkcija, odnosno funkcija koje su rezultat konačnog broja algebarskih operacija nad argumentom.

Svaka racionalna funkcija
može se predstaviti kao omjer dva polinoma
I
:

. (23)

Pretpostavit ćemo da polinomi nemaju zajedničke korijene.

Razlomak oblika (23) se zove ispravan, ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika, tj. m< n. inače - pogrešno.

Ako je razlomak nepravilan, onda dijeljenjem brojnika sa nazivnikom (prema pravilu za dijeljenje polinoma) predstavljamo razlomak kao zbir polinoma i pravilnog razlomka:

, (24)

Gdje
- polinom, - pravi razlomak i stepen polinoma
- ne viši od stepena ( n-1).

Primjer.

Budući da se integracija polinoma svodi na zbir tabeliranih integrala funkcije stepena, glavna poteškoća u integraciji racionalnih razlomaka leži u integraciji pravih racionalnih razlomaka.

U algebri je dokazano da svaki pravi razlomak razlaže se u zbir navedenog protozoa razlomci čiji je oblik određen korijenima nazivnika
.

Razmotrimo tri posebna slučaja. Ovdje i dalje ćemo pretpostavljati da je koeficijent na najvišem stepenu nazivnika
jednako jedan =1, tjredukovani polinom .

Slučaj 1. Korijeni nazivnika, odnosno korijeni
jednačine
=0, su validne i različite. Tada imenilac predstavljamo kao proizvod linearnih faktora:

a pravi razlomak se razlaže na najjednostavnije razlomke I-gotipa:

, (26)

Gdje
– neki konstantni brojevi koji se nalaze metodom neodređenih koeficijenata.

Za ovo vam je potrebno:

1. Desnu stranu proširenja (26) dovesti do zajedničkog nazivnika.

2. Izjednačiti koeficijente identičnih potencija identičnih polinoma u brojiocu lijeve i desne strane. Dobijamo sistem linearnih jednačina za određivanje
.

3. Riješite rezultujući sistem i pronađite neodređene koeficijente
.

Tada će integral frakciono-racionalne funkcije (26) biti jednak zbiru integrala najjednostavnijih razlomaka I-tipa, izračunatih po formuli (20).

Primjer. Izračunaj integral
.

Rješenje. Hajde da faktorizujemo imenilac koristeći Vietinu teoremu:

Zatim se funkcija integranda razlaže u zbir jednostavnih razlomaka:

.

X:

Hajde da napišemo sistem od tri jednačine za pronalaženje
X na lijevoj i desnoj strani:

.

Naznačimo jednostavniji način pronalaženja nesigurnih koeficijenata, tzv metoda parcijalne vrijednosti.

Uz pretpostavku jednakosti (27)
dobijamo
, gdje
. Believing
dobijamo
. Konačno, verovanje
dobijamo
.

.

Slučaj 2. Korijen nazivnika
važeće, ali među njima ima višestrukih (jednakih) korijena. Tada imenilac predstavljamo kao proizvod linearnih faktora koji su uključeni u proizvod u onoj mjeri u kojoj je višestrukost odgovarajućeg korijena:

Gdje
.

Pravilan razlomak zbir razlomaka tipa I i II će biti razložen. Neka, na primjer, - korijen nazivnika višestrukosti k, i svi ostali ( n- k) korijeni su različiti.

Tada će proširenje izgledati ovako:

Isto tako, ako postoje drugi višestruki korijeni. Za korijene koji nisu višestruki, ekspanzija (28) uključuje najjednostavnije razlomke prvog tipa.

Primjer. Izračunaj integral
.

Rješenje. Zamislimo razlomak kao zbir najjednostavnijih razlomaka prve i druge vrste s neodređenim koeficijentima:

.

Dovedemo desnu stranu u zajednički nazivnik i izjednačimo polinome u brojiocima lijeve i desne strane:

Na desnoj strani predstavljamo slične sa istim stepenima X:

Hajde da napišemo sistem od četiri jednačine za pronalaženje
I . Da bismo to učinili, izjednačavamo koeficijente na istim potencijama X na lijevoj i desnoj strani

.

Slučaj 3. Među korijenima nazivnika
postoje složeni pojedinačni korijeni. Odnosno, proširenje nazivnika uključuje faktore drugog stepena
, ne mogu se razložiti na realne linearne faktore i ne ponavljaju se.

Zatim, u dekompoziciji razlomka, svaki takav faktor će odgovarati najjednostavnijem razlomku tipa III. Linearni faktori odgovaraju najjednostavnijim razlomcima tipa I i II.

Primjer. Izračunaj integral
.

Rješenje.
.

.

.

Obrazovna ustanova „Beloruska država

poljoprivredna akademija"

Odsjek za višu matematiku

Smjernice

proučavati temu „Integracija nekih funkcija“ studenata Fakulteta računovodstva za dopisno obrazovanje (NISPO)

Gorki, 2013

Integracija nekih funkcija

Integracija racionalnih funkcija

Funkcija forme
pozvao racionalni razlomak , ako su mu brojilac i nazivnik polinomi. Racionalni razlomak pozvao ispravan , ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika. Ako je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika, onda je racionalni razlomak pozvao pogrešno .

Pošto se bilo koji nepravilan razlomak može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka, onda Integriranje nepravilnog racionalnog razlomka svodi se na integraciju polinoma i pravilnog racionalnog razlomka.

Polinome je lako integrirati. Razmotrimo integraciju razlomaka oblika
,
koji se zovu jednostavnih racionalnih razlomaka .

.

.

Neka je imenilac
razlomak ima realne korijene i može se predstaviti proizvodom faktora oblika
. Tada za svaki takav faktor postoji proširenje forme
. Dakle, svaki pravi racionalni razlomak može se predstaviti kao zbir konačnog broja prostih razlomaka. Ovo se radi metodom neodređenih koeficijenata.

Primjer 1 . Integriraj razlomak
.

Rješenje .
Hajde da dekomponujemo integrand na jednostavne razlomke:

Izjednačimo koeficijente za i besplatni članovi:
Hajde da rešimo ovaj sistem jednačina i dobijemo ,
. Onda

.

Integracija nekih iracionalnih funkcija

Ako je integrand iracionalan, onda se promjenom varijable u mnogim slučajevima može dovesti u racionalni oblik ili u funkciju čiji je integral tabelariziran. Poziva se integracija pomoću promjene varijable koja integrand dovodi u racionalni oblik integracija kroz racionalizaciju integranda .

Integrali oblika
svode se na integrale racionalnih funkcija argumenta t korištenjem zamjene
, Gdje k– najmanji zajednički umnožak brojeva
.

Primjer 2 . Pronađite integral
.

Rješenje . Najmanji zajednički višekratnik brojeva
I
jednako 6. Dakle, moramo primijeniti zamjenu
. Onda

. Razložimo integrand funkciju na najjednostavnije: . Izjednačimo koeficijente za i besplatni članovi:
Odavde nalazimo
Onda
. Dakle, =
. Jer
, To
. Zamijenimo u rezultirajući izraz:

.

Integrali oblika
svode se na integrale racionalnih funkcija primjenom zamjene
.

Primjer 3 . Pronađite integral
.

Rješenje . Izvršimo zamjenu
:

.

Integriranje izraza koji sadrže

trigonometrijske funkcije

Razmotrimo glavne slučajeve integracije izraza koji sadrže trigonometrijske funkcije.

Prilikom pronalaženja integrala oblika
,

,
integrand funkcije iz proizvoda

unosi se pretvaraju u iznose pomoću formula:

Kao rezultat, dobijeni integrali se pronalaze korištenjem metoda integracije i tablica integrala. U ovom slučaju možete koristiti formule
I
.

Primjer 4 . Pronađite integral
.

Rješenje . Koristimo prvu od gornjih formula:

Integrali oblika
mogu se naći vrlo jednostavno u sljedećim slučajevima.

Ako m je pozitivan neparni broj, tada možete odvojiti prvi stepen sinusa i primijeniti zamjenu
. Onda
a integrand će se svesti na funkcije stepena koristeći trigonometrijske formule. Ako n je pozitivan neparni broj, tada možete odvojiti prvi stepen kosinusa i izvršiti zamjenu
. Onda
a integrand koji koristi trigonometrijske funkcije će se također svesti na funkcije stepena.

Primjer 5 . Pronađite integral
.

Rješenje .

.

Primjer 6 . Pronađite integral
.

Rješenje .

Ako m I n su nenegativni parni brojevi, onda se transformacija integrala može izvesti pomoću formula za smanjenje stepena
I
.

Primjer 7 . Pronađite integral
.

Rješenje .

.

Funkcija integranda je razlomak čiji je brojilac stepen sinusa, a nazivnik je stepen kosinusa, ili obrnuto. U ovom slučaju, eksponenti su ili parni ili oba neparni, tj. isti paritet.

U ovom slučaju, ako je brojilac sinus, tada je najprikladnija zamjena
. Odavde
,
,
,
.

Ako brojilac ima kosinus, onda je zgodno koristiti zamjenu
. Onda
,
,
,
.

Primjer 8 . Pronađite integral
.

Rješenje .

.

Nalaženje integrala oblika
smanjeno korištenjem zamjene
na pronalaženje integrala racionalnih funkcija. Zamjena
pozvao univerzalna trigonometrijska supstitucija , što uvijek vodi do rezultata. U ovom slučaju
,
,
,
,
.

Primjer 9 . Pronađite integral
.

Rješenje .
.

Pitanja za samokontrolu znanja

svode se na integrale racionalnih funkcija?

,

Kako se zove univerzalna trigonometrijska zamjena i kada se koristi?

Zadaci za samostalan rad

Pronađite integrale racionalnih funkcija:

A)
; b)
; V)
.

2) Integrirati izraze koji sadrže trigonometrijske funkcije:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Integracija racionalnih funkcija Razlomak - racionalna funkcija Najjednostavniji racionalni razlomci Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke Integracija prostih razlomaka Opće pravilo za integraciju racionalnih razlomaka

polinom stepena n. Razlomak - racionalna funkcija Razlomak - racionalna funkcija je funkcija jednaka omjeru dva polinoma: Racionalni razlomak se naziva pravim ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika, odnosno m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Razlomak - racionalna funkcija Smanjite nepravilan razlomak na ispravan oblik: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 633 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najjednostavniji racionalni razlomci Pravi racionalni razlomci oblika: Zovu se najjednostavniji racionalni razlomci tipova. sjekira A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke Teorema: Svaki pravi racionalni razlomak, čiji je imenilac je faktorizovan: može se, štaviše, predstaviti na jedinstven način u obliku zbira prostih razlomaka: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Dekompozicija racionalnog razlomka na jednostavne razlomke Objasnimo formulaciju teoreme na sljedećim primjerima: Za pronalaženje neizvjesnih koeficijenata A, B, C, D... koriste se dvije metode: metoda poređenja koeficijenata i metoda parcijalnih vrijednosti varijable. Pogledajmo prvu metodu koristeći primjer. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke. Predstavite razlomak kao zbir prostih razlomaka: Dovedite najjednostavnije razlomke u zajednički nazivnik. Izjednačite brojioce rezultujućeg i originalnog razlomka. Izjednačite koeficijente na istim potencijama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najjednostavnijih razlomaka Nađimo integrale najjednostavnijih racionalnih razlomaka: Pogledajmo integraciju razlomaka tipa 3 koristeći primjer. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija prostih razlomakadx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 dtt 32 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integracija prostih razlomaka Integral ovog tipa zamjenom: svodi se na zbir dvaju integrala: Prvi integral se izračunava uvođenjem t pod diferencijalnim predznakom. Drugi integral se izračunava pomoću formule recidiva: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N na dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija prostih razlomaka a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 t) 2 t 2 t (4)1(

Opće pravilo za integraciju racionalnih razlomaka Ako je razlomak nepravilan, onda ga predstavite kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Faktorizirajući nazivnik pravilnog racionalnog razlomka, predstavite ga kao zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima. Integrirajte polinom i rezultujuću sumu prostih razlomaka.

Primjer Stavimo razlomak u ispravan oblik. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 x 442 xxx 1 x 2 x 2 x 5 05 23 48 2 x x

Primjer Razložimo nazivnik pravilnog razlomka. Predstavimo razlomak kao zbir prostih razlomaka. Nađimo neodređene koeficijente koristeći metodu parcijalnih vrijednosti varijable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primjer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln