Postovi označeni "aritmetička progresija 9. razreda". Aritmetička progresija Primjeri aritmetičke progresije

Matematika ima svoju lepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.

Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky

Vrlo česti problemi na prijemnim ispitima iz matematike su problemi vezani za koncept aritmetičke progresije. Da biste uspješno rješavali takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.

Definicija. Redoslijed brojeva, u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. U ovom slučaju brojnazvana razlika u progresiji.

Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule:

, (1)

Gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije se poklapa sa aritmetičkom sredinom njegovih susednih članova i .

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetička".

Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:

(3)

Za izračunavanje iznosa prvo termini aritmetičke progresijeformula se obično koristi

(5) gdje i .

Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi

Ako označimo , onda

Gdje . Budući da su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

posebno, iz formule (5) slijedi, Šta

Većini studenata malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulisano kroz sljedeću teoremu.

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda

Teorema je dokazana.

Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da

Idemo dalje na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu „Aritmetička progresija“.

Primjer 1. Neka bude. Pronađite .

Rješenje. Primjenom formule (6) dobijamo . Budući da i , onda ili .

Primjer 2. Neka je tri puta veći, a kada se podijeli s količnikom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odrediti i .

Rješenje. Iz uslova primjera slijedi sistem jednačina

Pošto , , i , onda iz sistema jednačina (10) dobijamo

Rješenje ovog sistema jednačina je i .

Primjer 3. Pronađite ako i .

Rješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobijamo .

Budući da i , Zatim iz jednakosti jednačina slijedi ili .

Primjer 4. Pronađite ako .

Rješenje.Prema formuli (5) imamo

Međutim, koristeći teoremu, možemo pisati

Odavde i iz formule (11) dobijamo .

Primjer 5. Dato: . Pronađite .

Rješenje. Od tada. Međutim, stoga.

Primjer 6. Neka , i . Pronađite .

Rješenje. Koristeći formulu (9), dobijamo . Stoga, ako , Tada ili .

Od i onda ovde imamo sistem jednačina

Rješavajući koje, dobivamo i .

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7. Pronađite ako i .

Rješenje. Pošto prema formuli (3) imamo da , onda sistem jednačina slijedi iz uslova problema

Ako zamijenimo izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobivamo ili .

Korijeni kvadratne jednadžbe su i .

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka , onda . Od i , onda .

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako , onda , i

Odgovor: i.

Primjer 8. Poznato je da i. Pronađite .

Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .

To podrazumijeva sistem jednačina

Ako pomnožimo prvu jednačinu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednačini, dobićemo

Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, iz (12) proizlazi ili .

Od i , onda .

Odgovor: .

Primjer 9. Pronađite ako i .

Rješenje. Budući da , i pod uvjetom , onda ili .

Iz formule (5) je poznato, Šta . Od tada.

dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednačina

Odavde dobijamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .

Primjer 10. Riješite jednačinu.

Rješenje. Iz date jednačine slijedi da . Pretpostavimo da , , i . U ovom slučaju .

Prema formuli (1), možemo napisati ili .

Budući da , tada jednačina (13) ima jedini odgovarajući korijen .

Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i .

Rješenje. Budući da , tada se razmatrana aritmetička progresija smanjuje. U tom smislu, izraz poprima svoju maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, to i . Onda dobijemo to ili .

Od , tada ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zbog toga .

Ako se vrijednosti , i zamijene u formulu (6), dobivamo .

Odgovor: .

Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva koji, kada se podijele brojem 6, ostavljaju ostatak od 5.

Rješenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruisati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele brojem 6, daju ostatak od 5.

Jednostavan za instalaciju, Šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i .

Da bismo ustanovili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da i , to slijedi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo .

Gore navedeni primjeri rješavanja problema nikako ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremenih metoda za rešavanje tipičnih problema na datu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema vezanih za aritmetičku progresiju, preporučljivo je pogledati listu preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate još pitanja?

Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Razumijevanje mnogih tema iz matematike i fizike povezano je sa poznavanjem svojstava brojevnih nizova. Školarci u 9. razredu, kada izučavaju predmet "Algebra", razmatraju jedan od važnih nizova brojeva - aritmetičku progresiju. Predstavljamo osnovne formule aritmetičke progresije (9. razred), kao i primjere njihove upotrebe za rješavanje zadataka.

Algebarska ili aritmetička progresija

Brojevne serije o kojima će biti reči u ovom članku nazivaju se na dva različita načina, predstavljena u naslovu ovog paragrafa. Dakle, pod aritmetičkom progresijom u matematici podrazumijevamo niz brojeva u kojem se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za isti iznos, koji se naziva razlika. Brojevi u takvoj seriji obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, 1, a 2, a 3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa serije.

Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, ovdje je d razlika algebarske progresije i n bilo koji cijeli broj . Ako je d>0, onda možemo očekivati da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govorimo o rastućoj progresiji. Ako d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)

Dotični niz brojeva, budući da je uređen i poštuje neki matematički zakon, ima dva svojstva koja su važna za njegovu upotrebu:

Prvo, znajući samo dva broja a 1 i d, možete pronaći bilo koji član niza. Ovo se radi pomoću sljedeće formule: a n = a 1 +(n-1)*d.
Drugo, da biste izračunali zbir prvih n članova, nije ih potrebno sabirati po redu, jer možete koristiti sljedeću formulu: S n = n*(a n +a 1)/2.

Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.

Druga formula za aritmetičku progresiju može se dobiti ako primetimo da se ispostavi da je zbir a 1 +a n ekvivalentan zbiru a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 i tako dalje. Zaista, budući da je a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 i a n-1 = -d+a n, onda zamjenjujući ove izraze u odgovarajućim iznosima, nalazimo da će oni biti isti. Faktor n/2 u 2. formuli (za S n) pojavljuje se zbog činjenice da su sumi tipa a i+1 +a n-i tačno n/2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n /2 -1.

Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir S n prvi je dobio Carl Gauss (čuveni njemački matematičar) kada je dobio zadatak od svog učitelja da sabere prvih 100 brojeva.

Primjer problema #1: pronađite razliku

Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.

Dajemo primjer: dat numerički niz -5,-2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.

To se može učiniti što je lakše moguće: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.

Da biste bili sigurni u dobiveni odgovor, preporučuje se provjeriti preostale razlike, jer prikazani niz možda neće zadovoljiti uvjet algebarske progresije. Imamo: 1-(-2)=3 i 4-1=3. Ovi podaci ukazuju da smo dobili tačan rezultat (d=3) i dokazali da niz brojeva u iskazu problema zaista predstavlja algebarsku progresiju.

Primjer zadatka br. 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije

Razmotrimo još jedan zanimljiv problem, koji pita kako pronaći razliku. U ovom slučaju, formula aritmetičke progresije se mora koristiti za n-ti član. Dakle, zadatak: s obzirom na prvi i peti broj niza koji odgovaraju svim svojstvima algebarske progresije, na primjer, to su brojevi a 1 = 8 i a 5 = -10. Kako pronaći razliku d?

Trebali biste početi rješavati ovaj problem tako što ćete napisati opći oblik formule za n-ti element: a n = a 1 +d*(-1+n). Sada možete ići na dva načina: ili odmah zamijenite brojeve i radite s njima, ili izrazite d, a zatim prijeđite na određene 1 i 5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a 5 = a 1 +d*(-1+5) ili a 5 = 4*d+a 1, što znači da je d = (a 5 -a 1)/4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Imajte na umu da se u ovom slučaju razlika u progresiji pokazala negativnom, odnosno da postoji opadajući niz brojeva. Na ovu činjenicu potrebno je obratiti pažnju prilikom rješavanja problema kako ne biste pobrkali znakove "+" i "-". Sve gore navedene formule su univerzalne, pa ih uvijek treba slijediti bez obzira na predznak brojeva s kojima se operacije izvode.

Primjer rješavanja zadatka br. 3: naći a1, znajući razliku i element

Hajde da malo promijenimo iskaz problema. Neka postoje dva broja: razlika d=6 i 9. element progresije a 9 = 10. Kako pronaći a1? Formule za aritmetičku progresiju ostaju nepromijenjene, upotrijebimo ih. Za broj a 9 imamo sljedeći izraz: a 1 +d*(9-1) = a 9. Odakle lako dobijamo prvi element niza: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Primjer rješavanja zadatka br. 4: naći a1, znajući dva elementa

Ova verzija problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati 1, ali sada razlika d nije poznata, a umjesto nje je dat drugi element progresije.

Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija i da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.

Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a 15 = d*(15-1)+a 1 i a 23 = d*(23-1) +a 1 . Kao što vidite, imamo dvije linearne jednačine koje treba riješiti za 1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, onda ćemo dobiti sljedeći izraz: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti 1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da bi se dobio prvi član niza: a 15 = 14*d+a 1, od čega: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.

Provjerimo dobijeni rezultat; da bismo to učinili, nalazimo 1 kroz drugi izraz: a 23 = d*22+a 1 ili a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Primjer rješavanja zadatka br. 5: pronaći zbir n elemenata

Kao što vidite, do sada je za rješenje korištena samo jedna formula aritmetičke progresije (9. razred). Sada predstavljamo problem čija rješenja zahtijevaju poznavanje druge formule, odnosno za zbir S n.

Postoji sljedeća uređena serija brojeva -1,1, -2,1, -3,1,..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.

Iz ove serije je jasno da je opadajuća, a a 1 = -1,1. Njegova razlika je jednaka: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za iznos, imamo: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, njihov zbir ima i odgovarajući predznak.

Primjer rješavanja zadatka br. 6: pronaći zbir elemenata od n do m

Možda je ova vrsta problema najteža za većinu školaraca. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. članova.

Formule aritmetička progresija(9. razred) koriste se potpuno isto kao u svim prethodnim zadacima. Preporučuje se rješavanje ovog problema korak po korak:

Prvo pronađite zbir 13 članova koristeći standardnu formulu.
Zatim izračunajte ovaj zbir za prvih 6 elemenata.
Nakon toga oduzmite 2. od 1. iznosa.

Idemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršićemo pripremne proračune: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Izračunajmo dva zbroja: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Uzimamo razliku i dobijamo željeni odgovor: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišten kao oduzimanje, pošto je 7. član uključen u zbir S 7-13.

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Pregled:

Predmet

Aritmetička progresija

CILJA:

naučiti da prepoznaju aritmetičku progresiju koristeći njenu definiciju i znak;
naučiti kako rješavati probleme koristeći definiciju, znak, formulu za opći pojam progresije.

CILJEVI ČASA:

dati definiciju aritmetičke progresije, dokazati znak aritmetičke progresije i naučiti kako ih koristiti u rješavanju problema.

NASTAVNE METODE:

ažuriranje znanja učenika, samostalni rad, samostalni rad, kreiranje problemske situacije.

SAVREMENE TEHNOLOGIJE:

IKT, učenje zasnovano na problemima, diferencirano učenje, tehnologije koje štede zdravlje.

PLAN LEKCIJE

	Faze lekcije.	Vrijeme implementacije.
	Organiziranje vremena.	2 minute
	Ponavljanje onoga što je pokriveno	5 minuta
	Učenje novog gradiva	15 minuta
	Minut fizičkog vaspitanja	3 minute
	Izvršavanje zadataka na temu	15 minuta
	Zadaća	2 minute
	Rezimirajući	3 minute

TOKOM NASTAVE:

U prošloj lekciji smo se upoznali sa konceptom „sekvence“.

Danas ćemo nastaviti proučavati nizove brojeva, definirati neke od njih i upoznati se s njihovim svojstvima i karakteristikama.

Odgovorite na pitanja: Šta je niz?

Koje sekvence postoje?

Na koje načine možete postaviti redoslijed?

Šta je niz brojeva?

Koje metode specificiranja niza brojeva poznajete? Koja se formula naziva rekurentna?

Zadati numerički nizovi:

1, 2, 3, 4, 5, …
2, 5, 8, 11, 14,…
8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Pronađite obrazac svakog niza i imenujte sljedeća tri pojma svakog od njih.

a n = a n -1 +1
a n = a n -1 + 3
a n = a n -1 + (-2)
a n = a n -1 + 0,5

Navedite formulu ponavljanja za svaki niz.

Slajd 1

Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.

Broj d naziva se razlika aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je numerički niz, tako da može biti rastuća, opadajuća ili konstantna. Navedite primjere takvih nizova, navedite razliku između svake progresije i izvucite zaključak.

Hajde da izvedemo formulu za opšti pojam aritmetičke progresije.

Na tabli: neka a 1 je prvi član progresije, d je onda njegova razlika

a 2 =a 1 +d

a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d

a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 +d (n-1) - formula n-og člana aritmetičke progresije.

Riješite zadatak: U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 5, a razlika je 4.

Pronađite 22. član ove progresije.

Učenik odlučuje na odboru: a n =a 1 +d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Minut fizičkog vaspitanja.

Ustali smo.

Ruke na pojasu. Nagibi lijevo, desno, (2 puta);

Savijte se naprijed, nazad (2 puta);

Podignite ruke gore, duboko udahnite, spustite ruke dolje, izdahnite. (2 puta)

Rukovali su se. Hvala ti.

Sjeli smo. Nastavimo lekciju.

Zadatke rješavamo koristeći formulu za opći pojam aritmetičke progresije.

Učenicima se nude sljedeći zadaci:

U aritmetičkoj progresiji, prvi član je -2, d=3, a n =118.

Nađi br.

U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 7, petnaesti član je –35. Pronađite razliku.
Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji d=-2, a39=83. Pronađite prvi član progresije.

Učenici su podijeljeni u grupe. Zadatak se daje 5 minuta. Zatim prva 3 učenika koji su riješili probleme rješavaju ih na tabli. Rješenje je duplicirano na slajdovima.

Razmotrimo karakteristična svojstva aritmetičke progresije.

U aritmetičkoj progresiji

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Dodajmo ove dvije jednakosti pojam po član, dobićemo: 2a n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1))/2

To znači da je svaki član aritmetičke progresije, osim prvog i posljednjeg, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

TEOREMA:

Numerički niz je aritmetička progresija ako i samo ako je svaki od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova (karakteristično svojstvo aritmetička progresija).

Algebarska ili aritmetička progresija

Brojevne serije o kojima će biti reči u ovom članku nazivaju se na dva različita načina, predstavljena u naslovu ovog paragrafa. Dakle, pod aritmetičkom progresijom u matematici podrazumijevamo niz brojeva u kojem se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za isti iznos, koji se naziva razlika. Brojevi u takvoj seriji obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, a1, a2, a3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa serije.

Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a2-a1 =...=an-an-1=d, ovdje je d razlika algebarske progresije, a n bilo koji cijeli broj. Ako je d>0, onda možemo očekivati da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govorimo o rastućoj progresiji. Ako d

Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)

Dotični niz brojeva, budući da je uređen i poštuje neki matematički zakon, ima dva svojstva koja su važna za njegovu upotrebu:

Prvo, znajući samo dva broja a1 i d, možete pronaći bilo koji član niza. Ovo se radi pomoću sljedeće formule: an = a1+(n-1)*d.

Drugo, da biste izračunali zbir prvih n članova, nije ih potrebno sabirati po redu, jer možete koristiti sljedeću formulu: Sn = n*(an+a1)/2.

Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.

Druga formula za aritmetičku progresiju može se dobiti ako primetimo da se ispostavi da je zbir a1+an ekvivalentan zbiru a2+an-1, a3+an-2 i tako dalje. Zaista, budući da je a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 i an-1 = -d+an, zatim zamjenom ovih izraza u odgovarajuće sume, nalazimo da oni će biti isti. Faktor n/2 u 2. formuli (za Sn) se pojavljuje zbog činjenice da su sumi tipa ai+1+an-i tačno n/2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n/2 - 1.

Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir Sn prvi je dobio Carl Gauss (slavni njemački matematičar) kada je dobio zadatak od svog učitelja da sabere prvih 100 brojeva.

Primjer problema #1: pronađite razliku

Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.

Dajemo primjer: dat numerički niz -5,-2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.

To se može učiniti što je lakše moguće: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.

Primjer zadatka br. 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije

Trebali biste započeti rješavanje ovog problema pisanjem opšte formule za n-ti element: an = a1+d*(-1+n). Sada možete ići na dva načina: ili odmah zamijenite brojeve i radite s njima, ili izrazite d, a zatim prijeđite na određene a1 i a5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a5 = a1+d*(-1+5) ili a5 = 4*d+a1, što znači da je d = (a5-a1)/4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Primjer rješavanja zadatka br. 3: naći a1, znajući razliku i element

Hajde da malo promijenimo iskaz problema. Neka postoje dva broja: razlika d=6 i 9. element progresije a9 = 10. Kako pronaći a1? Formule za aritmetičku progresiju ostaju nepromijenjene, upotrijebimo ih. Za broj a9 imamo sljedeći izraz: a1+d*(9-1) = a9. Odakle lako dobijamo prvi element serije: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Primjer rješavanja zadatka br. 4: naći a1, znajući dva elementa

Ova verzija problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati a1, ali sada razlika d nije poznata, a umjesto nje je dat drugi element progresije.

Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija i da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.

Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a15 = d*(15-1)+a1 i a23 = d*(23-1)+a1. Kao što vidite, imamo dvije linearne jednačine koje treba riješiti za a1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, onda ćemo dobiti sljedeći izraz: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti a1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da bi se dobio prvi član niza: a15 = 14*d+a1, od čega: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75 .

Provjerimo dobijeni rezultat; da bismo to učinili, nalazimo a1 kroz drugi izraz: a23 = d*22+a1 ili a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Primjer rješavanja zadatka br. 5: pronaći zbir n elemenata

Postoji sljedeća uređena serija brojeva -1,1, -2,1, -3,1,..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.

Iz ove serije je jasno da je opadajuća, a a1 = -1,1. Njegova razlika je jednaka: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za iznos, imamo: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, njihov zbir ima i odgovarajući predznak.

Primjer rješavanja zadatka br. 6: pronaći zbir elemenata od n do m

Možda je ova vrsta problema najteža za većinu školaraca. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. članova.

Formule aritmetičke progresije (ocena 9) koriste se potpuno isto kao i u svim prethodnim problemima. Preporučuje se rješavanje ovog problema korak po korak:

Prvo pronađite zbir 13 članova koristeći standardnu formulu.

Zatim izračunajte ovaj zbir za prvih 6 elemenata.

Nakon toga oduzmite 2. od 1. iznosa.

Idemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršit ćemo pripremne proračune: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Izračunajmo dva zbroja: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Uzmite razliku i dobijete željeni odgovor: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišten kao oduzetak, pošto je 7. član uključen u zbir S7-13.