/

Teorema o zbiru uglova trougla. Zbir uglova trougla

Teorema. Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je dvama pravim uglovima.

Uzmimo neki trougao ABC (slika 208). Označimo njegove unutrašnje uglove brojevima 1, 2 i 3. Dokažimo to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Provucimo kroz neki vrh trougla, na primjer B, pravu liniju MN paralelnu sa AC.

U vrhu B imamo tri ugla: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihov zbir je pravi ugao, pa je jednak 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ali ∠4 = ∠1 su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom AB.

∠5 = ∠3 - ovo su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom BC.

To znači da ∠4 i ∠5 mogu biti zamijenjeni njihovim jednakima ∠1 i ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema je dokazana.

2. Svojstvo vanjskog ugla trougla.

Teorema. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji mu nisu susjedni.

U stvari, u trouglu ABC (slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ali i ∠VSD, spoljni ugao ovog trougla, koji nije susedan sa ∠1 i ∠2, takođe je jednak 180° - ∠3 .

ovako:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izvedeno svojstvo spoljašnjeg ugla trougla pojašnjava sadržaj prethodno dokazane teoreme o spoljašnjem uglu trougla, koja je samo govorila da je spoljašnji ugao trougla veći od svakog unutrašnjeg ugla trougla koji mu nije susedan; sada je utvrđeno da je vanjski ugao jednak zbiru oba unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

3. Svojstvo pravouglog trougla sa uglom od 30°.

Teorema. Krak pravokutnog trokuta koji leži nasuprot kuta od 30° jednak je polovini hipotenuze.

Neka je ugao B u pravouglom trouglu ACB jednak 30° (Sl. 210). Tada će njegov drugi oštri ugao biti jednak 60°.

Dokažimo da je krak AC jednak polovini hipotenuze AB. Produžimo krak AC izvan temena pravog ugla C i odvojimo segment CM jednak segmentu AC. Povežimo tačku M sa tačkom B. Dobijeni trougao VSM jednak je trouglu ACB. Vidimo da je svaki ugao trougla ABM jednak 60°, stoga je ovaj trougao jednakostraničan trougao.

krak AC jednak je polovini AM, a pošto je AM jednak AB, krak AC će biti jednak polovini hipotenuze AB.

Trougao je mnogougao koji ima tri strane (tri ugla). Najčešće su stranice označene malim slovima koji odgovaraju velikim slovima koji predstavljaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati sa vrstama ovih geometrijskih figura, teoremom koja određuje koliko je jednak zbir uglova trokuta.

Vrste prema veličini ugla

Razlikuju se sljedeće vrste poligona sa tri vrha:

  • oštrokutni, u kojem su svi uglovi oštri;
  • pravokutni, koji ima jedan pravi ugao, njegovi generatori se zovu noge, a strana koja se nalazi nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza;
  • tupo kada jedan ;
  • jednakokraki, u kojima su dvije stranice jednake, i zovu se bočne, a treća je osnova trokuta;
  • jednakostraničan, sa sve tri jednake strane.

Svojstva

Postoje osnovna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:

  • Nasuprot veće strane uvijek postoji veći ugao, i obrnuto;
  • nasuprot jednakih strana postoje jednaki uglovi, i obrnuto;
  • bilo koji trougao ima dva oštra ugla;
  • vanjski ugao je veći od bilo kojeg unutrašnjeg ugla koji mu nije susjedan;
  • zbir bilo koja dva ugla je uvijek manji od 180 stepeni;
  • vanjski ugao jednak je zbiru druga dva ugla koji se s njim ne seku.

Teorema o zbroju ugla trougla

Teorema kaže da ako saberete sve uglove date geometrijske figure, koja se nalazi na euklidovoj ravni, onda će njihov zbir biti 180 stepeni. Pokušajmo dokazati ovu teoremu.

Neka nam je proizvoljan trokut sa vrhovima KMN.

Kroz vrh M povlačimo KN (ova prava se još naziva i Euklidska prava linija). Na njoj označavamo tačku A tako da se tačke K i A nalaze na različitim stranama prave MH. Dobijamo jednake uglove AMN i KNM, koji, kao i unutrašnji, leže poprečno i formirani su sekantom MN zajedno sa ravnima KH i MA, koje su paralelne. Iz ovoga slijedi da je zbir uglova trougla koji se nalazi na vrhovima M i H jednak veličini ugla KMA. Sva tri ugla čine zbir koji je jednak zbiru uglova KMA i MKN. Pošto su ovi uglovi unutrašnji jednostrani u odnosu na paralelne prave KN i MA sa sekantom KM, njihov zbir je 180 stepeni. Teorema je dokazana.

Posljedica

Iz gore dokazane teoreme slijedi sljedeći zaključak: svaki trougao ima dva oštra ugla. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da ova geometrijska figura ima samo jedan oštar ugao. Takođe se može pretpostaviti da nijedan od uglova nije oštar. U tom slučaju moraju postojati najmanje dva ugla čija je veličina jednaka ili veća od 90 stepeni. Ali tada će zbir uglova biti veći od 180 stepeni. Ali to se ne može dogoditi, jer je prema teoremi zbir uglova trougla jednak 180° - ni više ni manje. To je ono što je trebalo dokazati.

Svojstvo vanjskih uglova

Koliki je zbir vanjskih uglova trougla? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti pomoću jedne od dvije metode. Prvi je da je potrebno pronaći zbir uglova koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, odnosno tri ugla. Drugi podrazumijeva da morate pronaći zbir svih šest uglova vrhova. Prvo, pogledajmo prvu opciju. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih uglova - dva u svakom vrhu.

Svaki par ima jednake uglove jer su okomiti:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Osim toga, poznato je da je vanjski ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja koja se s njim ne sijeku. dakle,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Iz ovoga ispada da će zbir vanjskih uglova, koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, biti jednak:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Uzimajući u obzir činjenicu da je zbir uglova jednak 180 stepeni, možemo reći da je ∟A + ∟B + ∟C = 180°. To znači da je ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ako se koristi druga opcija, tada će zbir šest uglova biti, shodno tome, dvostruko veći. To jest, zbir vanjskih uglova trougla bit će:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Pravokutni trokut

Koliki je zbir oštrih uglova pravouglog trougla? Odgovor na ovo pitanje, opet, slijedi iz teoreme, koja kaže da su uglovi u trouglu 180 stepeni. A naša izjava (svojstvo) zvuči ovako: u pravokutnom trokutu, oštri uglovi su zbirni do 90 stepeni. Dokažimo njegovu istinitost.

Neka nam je dat trougao KMN, u kojem je ∟N = 90°. Potrebno je dokazati da je ∟K + ∟M = 90°.

Dakle, prema teoremi o zbiru uglova ∟K + ∟M + ∟N = 180°. Naš uslov kaže da je ∟N = 90°. Dakle, ispada, ∟K + ∟M + 90° = 180°. To jest, ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. To je upravo ono što smo trebali dokazati.

Osim gore opisanih svojstava pravokutnog trokuta, možete dodati sljedeće:

  • uglovi koji leže nasuprot krakova su oštri;
  • hipotenuza je trokutasta veća od bilo koje katete;
  • zbir kateta je veći od hipotenuze;
  • Krak trougla, koji leži nasuprot ugla od 30 stepeni, je polovina veličine hipotenuze, odnosno jednaka je njegovoj polovini.

Kao još jedno svojstvo ove geometrijske figure možemo istaknuti Pitagorinu teoremu. Ona navodi da je u trouglu sa uglom od 90 stepeni (pravougaonom) zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze.

Zbir uglova jednakokračnog trougla

Ranije smo rekli da se zove jednakokraki poligon sa tri vrha koji sadrži dvije jednake stranice. Ovo svojstvo ove geometrijske figure je poznato: uglovi u njenoj osnovi su jednaki. Dokažimo to.

Uzmimo trougao KMN, koji je jednakokraki, KN mu je osnova.

Od nas se traži da dokažemo da je ∟K = ∟N. Dakle, recimo da je MA simetrala našeg trougla KMN. Trokut MKA, uzimajući u obzir prvi znak jednakosti, jednak je trokutu MNA. Naime, uslovom je dato da je KM = NM, MA je zajednička stranica, ∟1 = ∟2, pošto je MA simetrala. Koristeći činjenicu da su ova dva trougla jednaka, možemo reći da je ∟K = ∟N. To znači da je teorema dokazana.

Ali nas zanima koliki je zbir uglova trougla (jednakokrakog). Budući da u tom pogledu nema svojih posebnosti, mi ćemo se nadovezati na teoremu o kojoj smo ranije govorili. To jest, možemo reći da je ∟K + ∟M + ∟N = 180°, ili 2 x ∟K + ∟M = 180° (pošto je ∟K = ∟N). Ovo svojstvo nećemo dokazivati, jer je teorema o zbiru uglova samog trougla ranije dokazana.

Pored svojstava o uglovima trougla o kojima se raspravlja, važe i sledeće važne izjave:

  • na kojoj je spuštena na osnovu, istovremeno je i medijana, simetrala ugla koji se nalazi između jednakih stranica, kao i njegova osnova;
  • medijane (simetrale, visine) koje su povučene na bočne strane takve geometrijske figure su jednake.

Jednakostranični trougao

Naziva se i regularnim, ovo je trougao u kojem su sve strane jednake. I stoga su uglovi takođe jednaki. Svaki od njih je 60 stepeni. Dokažimo ovo svojstvo.

Recimo da imamo trougao KMN. Znamo da je KM = NM = KN. To znači da je, prema svojstvu uglova koji se nalaze u osnovi u jednakokračnom trouglu, ∟K = ∟M = ∟N. Pošto je, prema teoremi, zbir uglova trougla ∟K + ∟M + ∟N = 180°, onda je 3 x ∟K = 180° ili ∟K = 60°, ∟M = 60°, ∟ N = 60°. Dakle, izjava je dokazana.

Kao što se može vidjeti iz gornjeg dokaza zasnovanog na teoremi, zbir uglova, kao i zbir uglova bilo kojeg drugog trougla, iznosi 180 stepeni. Nema potrebe ponovo dokazivati ​​ovu teoremu.

Postoje i takva svojstva karakteristična za jednakostranični trokut:

  • medijana, simetrala, visina u takvoj geometrijskoj figuri se poklapaju, a njihova dužina se računa kao (a x √3): 2;
  • ako opišemo krug oko datog poligona, tada će njegov polumjer biti jednak (a x √3): 3;
  • ako upišete kružnicu u jednakostranični trougao, tada će njegov polumjer biti (a x √3): 6;
  • Površina ove geometrijske figure izračunava se po formuli: (a2 x √3) : 4.

Tupokutni trokut

Po definiciji, jedan od njegovih uglova je između 90 i 180 stepeni. Ali s obzirom na to da su druga dva ugla ove geometrijske figure oštra, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stepeni. Stoga, teorema o sumi uglova trougla radi u izračunavanju zbira uglova u tupouglu. Ispada da možemo sa sigurnošću reći, na osnovu gore pomenute teoreme, da je zbir uglova tupouglog trougla jednak 180 stepeni. Opet, ovu teoremu ne treba ponovo dokazivati.

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Ciljevi i zadaci:

edukativni:

  • ponoviti i generalizirati znanje o trouglu;
  • dokazati teoremu o zbiru uglova trougla;
  • praktično provjeriti ispravnost formulacije teoreme;
  • naučiti primjenjivati ​​stečena znanja prilikom rješavanja problema.

edukativni:

  • razvijati geometrijsko mišljenje, interesovanje za predmet, saznajnu i kreativnu aktivnost učenika, matematički govor i sposobnost samostalnog sticanja znanja.

edukativni:

  • razvijati lične kvalitete učenika, kao što su odlučnost, upornost, tačnost i sposobnost rada u timu.

Oprema: multimedijalni projektor, trouglovi od papira u boji, obrazovni kompleks “Živa matematika”, kompjuter, ekran.

Pripremna faza: Nastavnik daje učeniku zadatak da pripremi istorijsku bilješku o teoremi „Zbir uglova trougla“.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Pozdrav. Psihološki odnos učenika prema radu.

II. Zagrijavanje

Sa geometrijskom figurom „trokut“ upoznali smo se u prethodnim lekcijama. Hajde da ponovimo šta znamo o trouglu?

Učenici rade u grupama. Pruža im se mogućnost da međusobno komuniciraju, svaki da samostalno grade proces spoznaje.

Šta se desilo? Svaka grupa daje svoje predloge, nastavnik ih zapisuje na tabli. O rezultatima se raspravlja:

Slika 1

III. Formulisanje cilja lekcije

Dakle, već znamo dosta o trouglu. Ali ne sve. Svako od vas na svom stolu ima trouglove i kutomjere. Šta mislite kakav problem možemo formulisati?

Učenici formuliraju zadatak lekcije - pronaći zbir uglova trougla.

IV. Objašnjenje novog materijala

Praktični dio(podstiče ažuriranje znanja i vještina samospoznaje) Izmjerite uglove pomoću kutomjera i pronađite njihov zbir. Rezultate zapišite u svoju bilježnicu (poslušajte dobijene odgovore). Saznajemo da je zbir uglova kod svakog različit (to se može dogoditi jer kutomjer nije bio precizno primijenjen, proračun je obavljen nepažljivo itd.).

Presavijte duž isprekidanih linija i saznajte čemu je još jednak zbir uglova trokuta:

A)
Slika 2

b)
Slika 3

V)
Slika 4

G)
Slika 5

d)
Slika 6

Nakon završenog praktičnog rada, studenti formulišu odgovor: Zbir uglova trougla jednak je stepenu mere rasklopljenog ugla, odnosno 180°.

Učitelj: U matematici, praktičan rad samo omogućava da se iznese neka tvrdnja, ali to treba dokazati. Tvrdnja čija se valjanost utvrđuje dokazom naziva se teorema. Koju teoremu možemo formulisati i dokazati?

Studenti: Zbir uglova trougla je 180 stepeni.

Istorijska referenca: Svojstvo zbira uglova trougla ustanovljeno je u starom Egiptu. Dokaz, izložen u modernim udžbenicima, sadržan je u Proklovom komentaru na Euklidove elemente. Proklo tvrdi da su ovaj dokaz (sl. 8) otkrili Pitagorejci (5. vek pne). U prvoj knjizi Elementi Euklid iznosi još jedan dokaz teoreme o zbiru uglova trougla, koji se lako može razumeti pomoću crteža (slika 7):


Slika 7


Slika 8

Crteži se prikazuju na ekranu preko projektora.

Nastavnik nudi da dokaže teoremu pomoću crteža.

Zatim se dokaz izvodi pomoću kompleksa za nastavu i učenje „Živa matematika“. Nastavnik projektuje dokaz teoreme na računar.

Teorema o zbiru uglova trougla: "Zbir uglova trougla je 180°"


Slika 9

dokaz:

A)

Slika 10

b)

Slika 11

V)

Slika 12

Učenici u svojim sveskama ukratko zapisuju dokaz teoreme:

Teorema: Zbir uglova trougla je 180°.


Slika 13

Dato:Δ ABC

dokazati: A + B + C = 180°.

dokaz:

Šta je trebalo dokazati.

V. Phys. samo minut.

VI. Objašnjenje novog materijala (nastavak)

Posljedicu iz teoreme o zbiru uglova trokuta učenici samostalno izvode, što doprinosi razvoju sposobnosti da formulišu vlastito gledište, izraze i argumentiraju ga:

U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi..

Ako trokut ima sve oštre uglove, onda se zove oštrougao.

Ako je jedan od uglova trougla tup, onda se naziva tupougla.

Ako je jedan od uglova trougla pravi, onda se zove pravougaona.

Teorema o zbiru uglova trougla nam omogućava da trouglove klasifikujemo ne samo po stranicama, već i po uglovima. (Dok učenici uvode vrste trouglova, učenici popunjavaju tabelu)

Tabela 1

Pogled na trokut Jednakokraki Equilateral Svestran
Pravougaona
Tupo
Oštri kut

VII. Konsolidacija proučenog materijala.

  1. Usmeno rješavajte probleme:

(Crteži se prikazuju na ekranu kroz projektor)

Zadatak 1. Pronađite ugao C.


Slika 14

Problem 2. Pronađite ugao F.


Slika 15

Zadatak 3. Pronađite uglove K i N.

Slika 16

Zadatak 4. Pronađite uglove P i T.


Slika 17

  1. Zadatak br. 223 (b, d) riješite sami.
  2. Reši zadatak na tabli i u sveskama, učenik broj 224.
  3. Pitanja: Može li trougao imati: a) dva prava ugla; b) dva tupa ugla; c) jedan pravi i jedan tup ugao.
  4. (usmeno) Kartice na svakom stolu prikazuju različite trouglove. Odredite okom vrstu svakog trougla.


Slika 18

  1. Pronađite zbir uglova 1, 2 i 3.


Slika 19

VIII. Sažetak lekcije.

Učitelj: Šta smo naučili? Da li je teorema primjenjiva na bilo koji trougao?

IX. Refleksija.

Recite mi kako ste raspoloženi, momci! Na poleđini trougla oslikajte izraze lica.


Slika 20

Zadaća: stav 30 (deo 1), pitanje 1 gl. IV strana 89 udžbenika; br. 223 (a, c), br. 225.

Preliminarne informacije

Prvo, pogledajmo direktno koncept trougla.

Definicija 1

Trougao ćemo zvati geometrijska figura koju čine tri tačke povezane jedna s drugom segmentima (slika 1).

Definicija 2

U okviru definicije 1, tačke ćemo nazvati vrhovima trougla.

Definicija 3

U okviru definicije 1, segmenti će se zvati stranicama trougla.

Očigledno, svaki trougao će imati 3 vrha, kao i tri stranice.

Teorema o zbiru uglova u trouglu

Hajde da uvedemo i dokažemo jednu od glavnih teorema vezanih za trouglove, odnosno teoremu o zbiru uglova u trokutu.

Teorema 1

Zbir uglova u bilo kom proizvoljnom trouglu je $180^\circ$.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $EGF$. Dokažimo da je zbir uglova u ovom trouglu jednak $180^\circ$. Napravimo dodatnu konstrukciju: nacrtaj pravu liniju $XY||EG$ (slika 2)

Pošto su prave $XY$ i $EG$ paralelne, onda $∠E=∠XFE$ leže poprečno na sekanti $FE$, a $∠G=∠YFG$ poprečno na sekanti $FG$

Ugao $XFY$ će biti obrnut i stoga je jednak $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Dakle

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorema je dokazana.

Teorema vanjskog ugla trokuta

Druga teorema o zbiru uglova za trokut može se smatrati teoremom o vanjskom kutu. Prvo, hajde da predstavimo ovaj koncept.

Definicija 4

Spoljnim uglom trougla nazvaćemo ugao koji će biti susedan bilo kom uglu trougla (slika 3).

Razmotrimo sada teoremu direktno.

Teorema 2

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.

Dokaz.

Razmotrimo proizvoljan trougao $EFG$. Neka ima vanjski ugao trougla $FGQ$ (slika 3).

Prema teoremi 1, imaćemo da je $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, dakle,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Pošto je ugao $FGQ$ spoljašnji, on je susedan uglu $∠G$, tada

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka

Primjer 1

Nađi sve uglove trougla ako je jednakostraničan.

Pošto su sve stranice jednakostraničnog trougla jednake, imaćemo da su i svi uglovi u njemu jednaki. Označimo njihove mjere stepena sa $α$.

Zatim, prema teoremi 1 dobijamo

$α+α+α=180^\circ$

Odgovor: svi uglovi su jednaki $60^\circ$.

Primjer 2

Pronađite sve uglove jednakokračnog trougla ako je jedan od njegovih uglova jednak $100^\circ$.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju za uglove u jednakokračnom trokutu:

Pošto u uslovu nije dato tačno kojem je ugao $100^\circ$, onda su moguća dva slučaja:

    Ugao jednak $100^\circ$ je ugao u osnovi trougla.

    Koristeći teoremu o uglovima u osnovi jednakokračnog trougla, dobijamo

    $∠2=∠3=100^\circ$

    Ali tada će samo njihov zbir biti veći od $180^\circ$, što je u suprotnosti sa uslovima teoreme 1. To znači da se ovaj slučaj ne dešava.

    Ugao jednak $100^\circ$ je ugao između jednakih stranica, tj



Dijeli